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Full text of "Archiv der Mathematik und Physik"

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r. I •' 



Archiv 



der 



Mathematik und Physik 

mit besonderer Rücksicht 

attf die Bedürfnisse der Lehrer an höheren 

Unterrichtsanstaiten. 



Henusgegeben 

▼OD 



JnhamM AuguMt Orunert^ 

Prtfcntr ii (reifrwald. 



yienmdyierzigster Theil. 



Mit ntim Figurentaleln. 



. • . • • ' ' . . • : • 



Grelftwald. 

C. A. Koch's VerlagsbachbandluDg, 
Tb. KuDike. 

1865. 



162471 



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• • • 



Inhaltsreneicluiiss des vierandvierzigsten Theils. 



Nr. der 
kbhandliiDg. Heft. Seite. 

Creschichte der Bfathematik und Physik. 

XXni. Handschriillicher Fand aus der Thomer Gydi- 
naiial -Bibliothek. Von dem Lehrer Herrn M. 
Cartie mm GjmoMiam tu Thorn .... IH. 371 
XXVIH. Weiteret ober den handadirifllichen Fand ans 
der Thomer G/mnatial- Bibliothek. Von dem 
Lehrer Herrn M. Cnrtse am Ojmnatinm an 
Thorn IV. 501 



Arithmetik. 

I. Ueber die Beortheilong der Wurzeln einer vor- 
gelegten cnbitchen Gleichung. (Dritte Abthei- 
loag, ab FortMti. der Abhandlangen ThLXLL, 
No. VL und Tbl. XLIL, No. XVI.). Von Herrn 
Ferdinand Ken, Major in dem Groethenogl. 
Heeeiechen Gendarmerie-Corpt inDarmetadt I. 1 

II. Theorie des ^qaationa r^ciproqnet par Montienr 

Dr. Ad. Vogt k Olpe en Wettphalie . . I. 50 

VIU. Ueber die dnrch p:=^x dargestellte Gurre mit 
iwei Zeichnungen auf Taf.I. Von Herrn Hu- 
bert Möller, Lehramtt-Candidaten der Ma- 
thematik in Fr eib arg i. B I. 128 

IX. Ueber die Bearthellong der Wnnela eiuer ror- 



II 

Nr. der 
AbhindluDg. Heft Seitiu 

gelegten cabitchen Gieichang« (Vierte Abthel- 

lung, alt FortMtsong der Abhandl. Tbl. XLIT., 

No. I.). Von Herrn Ferdinand Ken, Migor 

in dem GrottberxogL Hettitchen Gendarmerie- 

Corpt in Darmttadt II. 1S9 

XIX. Zar Theorie der Determinanten. Von Herrn 

M« Dietrich, Profeecor am Realgjmnaainm 

in Regentbnrg ••.••• UI. 344 

XXIII. Et itt immer: 

+2(aa'+6ö'+cc')iaa''+6ö''+c(fXa'af+ö'6'+c'(f) 
— («• +*• +0(0'«"+ ^'^''+ c'c^) 

— ia''*+ö''*+c''*)iaa'+ö6''i'cc'y 

Von dem Herausgeber . • UI. S74 

XXIV. lieber die Beurtheilnng der Wnneln einer Tor- 
gelegten cabitchen Gleichnag« (Fünfte Abthei- 
lung, alt Forttetinng der Abhandi. ThL XLIV. 
Nr. IX.)- Von Herrn Ferdinand Ken, Ma- 
jor in dem Grottheraogl. Hettitchen Gendar- 
merie-Corpt in Darmttadt ...:... IV. 379 

XXVI. Theorie der AeqaiTaleasen. Von dem Her- 

antgeber . « IV., 443 

XXVIL Neuer Beweit einet wichtigen und merkwür- 
digen arithmetitchen Satiet. Von dem Her- 

autgeber IV« 478^ 

XXVIII. Zwei Briefe von Sohnmacher und Gautt über 
eine Aufgabe der nnbettimmten Analjtit. (Brief- 
wechtel iwitchen C. F. Gautt und H. C. Sehn- 
macher. Herantgegeben tou C. A. F. Petert. 
Fünfter Band. Altena. 1863. S.875.) ... IV. 504 

Geometrie. 

III. Ueber die Quadratur det Zirkelt. Von Herrn 

Dr. Hermann Scheff 1er in Brauntehweig 1. 84 

V. Beweit det in ThL XLU. S. 354^ mitgetheilten 



1 



i 







III 




1 


du 


llolL 


Sdle. 1 




Drllraoii'atilieiiSiUe«. VonHomi CSlruii. 




■ 




«nTtnÜldoni Lehror «a d«r hüniRl. aMUchule 




1 




in Priüiuai 




119 ^^^™ 


*1. 


tn der BerührunsibteUB «inf<> Ureiecb«. Von 








a«mi C«»l Schmidl In Spremborg . . . 


1. 


m H 


VIU 


dicbM twdlef Ordaaag, welcbe eioe gemcio- 
Htinrirh Gr«l*cho), Lehrer <lor Halhoma- 




J 




lik ■■> J« HuideUlehranttall in Leiptig . . 


1. 


)M.^^^H 


XI. 


D«r mcnitriiche Kreii für die Hjperbei. Von 
H«mi C. Siru*«, ordcDÜichem Lehret an der 




^H 




kAnIgl. BuLchnle in Franiladl 


II. 


IM^^^B 


%II. 


A»ljtl»fa-K»oiiieb>*i:he Parallelxn. Von Herrn 




1 




inBtgtiaabarg • . - . 


11. 


300 1 


xvt 


Eli>iDcuUrerBe«aiide*Bellram{'«chenSBtiea. 






XXI. 


OAaaeldoir 


in. 


335 ^^fl 


GaomilTiichet Ort der Hittelpunkle alter dorch 




•Inco fMlin Punkl gehenden Sehnen eine« Ke- 




^^^1 




geUthnllM. Vdd Herrn Jo«. Brsnr, Lehrer 




^^H 




■m HjITel.chen tn.tiiat in Seif« (Znrioh.ee) 


IJI. 


358 H 


XUI. 






H 




Tnn dem Heran. geher 


in. 


363 H 


XIII. 


AüBljliicbe Bedlngnngigleichaog, da*! Tier 
PaabU in eiaem KreUe liegen. Voo dem Her- 




1 




anegflier 


III. 


3T< ■ 


XX.V. 










Vaa Herrn Joe. Eille* in »^uachcD . . . 


IV. 


440 ^^^M 




Trigonometrie. 




^M 


XUI. 


SnBBimng der Uelhe 




^^H 




'«1 »4 '8-1 *«! 




^H 


1 


n ~r' T- -r- ■■■■ 


■ 


J 



IV 

Mr. der 
Abhandlung. Heft Seite. 

Nach einer Nittheilnng des Herrn Dr. Paul 

Etcher In Wien III. 374 



Geodäsie. 

\. lieber die Pothenot*tche Aufgabe. Von den 
Herausgeber • . . , II. 

WH. Trunk' • Flanimeter. Von Herrn A. Hühner 

in Hallo III. 

XXIi. On two new formt of Heliotrope. Bj W. H. 
Miller, M.A., For. See. R. S., Profeseor of 
Mineralogy in the Univertity of Cambridge Hl. 



Mechanik. 

XIIl. Die Tragheilemomente geradlcantiger, krumm- 
kantiger und gewundener Priemen und Pyrami- 
den. Von Herrn Dr. Eduard Zetieehe, Leh- 
rer an der königlichen hohem Gowerbechnle 

in Chemnitz • ... 11. 287 

Will, lieber die Anwendung dee Principe der rir- 
tneilen Geichwiadigkeiten lur Bestimmung der 
GleichgewichtsbediDgungen eines Systems un- 
reränderlich mit einander verbundener Punkte, 
auf deren jeden eine Kraft wirkt. Von Herrn 
Doctor Hartwig, Lehrer am Grossherzogl. 
Mecklenburgischen Gymnasium in Schwerin Hl. 340 
\X. Ueber die Sdiwere an der Oberfläche eme« 
gleichförmig dichten, durch Umdrehung einer 
Ellipse um ihre kleinere Ase eneugten liota- 
tionssphäroides. Von Herrn Dr. Karl Frie- 
se ch, k. k. Hauptmann in der Armee in Wien III. 3&5 



Astronomie. 

XIV. lieber die Berucksichiigung des Fehlers, wel- 
cher bei Berechnung der Auf- und Untergange 
der Sonne und des Mondes dadurch entsteht, 



Hr. im 
klhnilwig. Heft S«ite. 

diM der inertt anf- oder ontergeheode Pukt 

dee Raadee dee Geatiroe nicht i^enao die in den 

Ephemerlden angegebene Declination dee Mit- 

telponkte deeedben hat. Von Herrn Doctor 

D. K. Kokidee, Adjjnnet bei der Sternwarte in 

Athen H. 955 

XV. Nene Entwiekelnng der Grnndformeln der tphA- 
riechen Actronomie mit TöUiger Beeeitignng je- 
der eigentlichen Parallaxen - Reehnnng und mit 
▼ertchiedenen Anwendungen. Von dem Her- 
antgeber IH. 859 

XS« Ueber die Schwere an der Oberfläche einec 
gleichförmig dichten, durch Umdrehung einer 
Ellipie um ihre kleinere Axe erxeugten Rota- 
tionetpharoidee. Von Herrn Dr. Karl Frie- 
cacb, k, k. Hauptmann in der Armee in Wien UI. 355 



Physik. 

IV. Uelier Waeeerhoten und über Dnftanhang und 
HageL Von dem Herrn Grafen L. t* Pfeil 
auf Hanedorf bei Neurode in Schleeien I. 113 



Literarische Berichte '^). 

CLxxm I. 1 

CLXXiv. n. i 

GLIXV. UL 1 

CLXXVI IV. 1 



*) Jede eiaxelne Nnmmer d«r Literarischen Berichte ist fnr sich be- 
Midert pagiairt tob Seite 1 an. 



lieber die Beurtheilung der Wurzeln einer vorgeleg- 
ten cubischen Gleichung. 

Dritte Abthcilun;;. als Fortsetzung der AMiPiidhiTiiron ThI. XLI. Nu. VI. 

und Thl. XLII, No. XVI. 

Von 

Herrn Ferdinand Herz, 

Major in drni Gras%herzo<^l. fIesiiic1icnGendariiicrie-Cor|is in lliirmütadt. 



fU. 



Ist 



die gegebene cubische Gleichung und setzt man in 

2) a='\c, also auch: ti7=:^c' 

so sind die drei Wurzeln: 



[8. DJ 
[4.3)1; 



3) 



-ic, -ic-iV^3c2-l»6, — 4c + 4V3c2— %; 



ond da das Produkt dieser drei Wurzeln , mit entgegengesetzten 
Zeichen genommen, gleich a sein muss, so erhält man als Bedin- 
gung hierfür : 



4) 



27fi=:Ü6f — 2 t» 



Ist 



5) c«<36, also auch 3c2<lW>, 

so sind die drei Wurzeln: 

Theil XLIV. 1 



/ 



'i ' E'ty%: Veitr dii Btüriheiltinp drr \\w%ttn 

03. 
Scbreiiil man fdr die i;«gebeiie Gleichung [91. Vi\ 
I) = 27ii+HA(3y)+3cM5)« + (%)». 

■0 Ist, wenn die Bedingung [91. •!)) »tsUriiKlcl, 

genau ein Faktor dieser Gleichtiiif;. 
Ist aber 
3) 270 ^ Wc - 2r» 

und aetit man 

iDdem man q so nihil, dass 

5) 279=96c-'i«:» 

ist, (also auch r eine bekannte Grusle ausüriicbl), so 

in welt^em Falle p eine noch lu bestimmende Grüsso 
In dlesoni Falle musa 
7) +cTP + (3y) 

genau ein Palliar der Gleichung I) sein. 



Wann man nun die Gleichung [99. 1)] in Betag auf den 
polhetischen Faktor [92. 7)] zerlegt , ao erglebt sich , indem 
nach ralleDden. Poteosen ordnet: 

1) 
0= (3j)»+3o(3y)«+96(3y) + 27<i 
= (3,)«+[eTp](3y)"+ [2c±p](3,)« + [2«"T«?»-|»«](3, 
+ [««-2c"±cp+;i«J(3y) + [9ft«-ac»T(0ft-3c»)pTp' 



rtutr utrtrtfSltH niiM^ta CMriunff. 
Da nan nadi [93.3] — 5)] 

; SU fulgl. Im lÜDblicke auf [fii. 9)} alsbald i 



27r 



I ~^L(86-3c«)l.l'''L(llö-3c«)tJ ' 



•o r«lgl: 
(II. 



{»6— Sc«)*"" ' 






Ea folgt [aua 5) anil 6)}: 



7) SoIImi die Grü«sen R und /j, also auci 
isen btzckfafleo, so muss die Bedingung 



Htaltiiliden oml di« vorgelegte Gle'icbuiig hat eil 
iiBA^iniife Warieln. [8. 4)J 



r und P, reelle 



[ai. 5)1 
t reelle und zwei 






Da di« (ak-icbang 111. nar zwei veränderliche GrSsseo, R und 
f*, rnIhXll, so dient a'ie uns, analog den Gleicbuogen 1. und II. 
[46]. zur AuCetcHung einer Tabelle [ll(i.], welche füt auf einander 
~ Igendc Werthe von R die xugehGrigen Wcrthe von P angiebl, 
lud nelcbe daher (Ut Werthe von R, welche in ihr nicht genau 
«ntbalten sind, annähernde Werthe von P, und somit auch von;; 
niid 5. in Zahlenmileo liererl. Diese Tabelle (III.) bat dieselbe 
Einrichlong wie die Tabellen I. und II., und sind da, wo sich In 
S[iaito /> ein <fueratrich vorfindet, die über diesem Querstriche 
befMidlichrn Zahlen dem üben eingescbriehenen Werthe von D. 
die unter dcmselbeo befindlicben Zahlen aber dem unten einge- 
scbriebenen Werthe von D ansufägen, eine Einrichtung, die auch 
licIiDD bei den Tabellen I. und II. bSlte iweckiaäeslg slallÜnden 
küuoeu. 






Ker%: Veber die Beurtheilung der Wurzeln 



Zas am men Stellung der verschiedenen Fälle, vvelcli 
sich zur annähernden Bestimmung der reellen Wurx 
einer vorgelegten cubischen Gleichung 0=a-\by\-cy^-{-\ 

c^<36 vorausgesetzt» ergeben. 



94. 






1) 
2) 






7+a 



r 
r 



(3;y) =— c+;^ 






i 



\ 



95. 



— 279= — 96c + 2c» 



1) 
2) 



— a< — 9 



9±o='' 
a — q = r 



+ + 






' tvrfffUtlrH enUiritu Qtefchatig 



Tabelle III. 



IMKXl tMHHMHKMHIO| 
[M)Ot (i.(H)llHKI04ll 



»u7 jU,iHi;«MKi4a 

I «.«»«BIS 
I 0.0(19000729 
(10 O.OKKIOI 
0,011001,131 

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I 0,02902438» 

I o.osno27 



0001 

0007 

001» 

0037 

0061 

0061 

0127 

0109 

0217 

0271 

0331 

0397 

0409 

0547 

0<'i31 

0721 

0817 

0019 

1027 

IUI 

126 

139 

1.12 

166 

18(t 

195 

211 

227 

244 



0,032 
0,033 
0,0.14 
0,03.'i 
0,036 
0.037 
0,038 
0,039 
0,040 
0,041 



^.044 
0,045 
0,046 
0,047 
0,048 
0,049 



0,030 '0,030027 
0,031 0,031029791 
0,032032768 
0,033035037 
0.im0.193O4 
0,O3riO4287.'i 
0,0.160466.50 
0,037050653 
0,0380:.4»72 
0,0390.50.119 
0,040064 
0,041008921 
0,04210,042074088 
0,043 0,043079507 
0,044tl85!fi4 
0,04.5091125 
0,04*1097.136 
0,047103823 
0,048110.592 
0,049117649 
0,050 (),0501-2j 
0,051 ,0,0511326.51 
0,052 !0,052140608| 
0,053 iO,053I488771 
0,0,54 '0,0541 574641 
0,055 |o,055166375( 
0,0.56 0,0561 7.561 6 1 
0,057:0,0.57185193 
0,058 0,0081951121- 
0,059 0,0,59205379 



279 
298 
317 
337 
,157 
.178 
400 
422 
445 
468 
492 
.517 
542 
.568 



649 
077 
700 
735 
7«5 
796 
827 
8,59 
891 
924 
958 



r 



itrt: Itbfr die Beurl/ieltunff ilrr Wurzftn 



Tabelle III. 



0,060 
0,061 
0,062 
0,063 
0,064 
0,065 
0,066 
0,067 
0,068 
0,069 
0,070 
0,071 
0,072 
0,073 
0,074 
0,075 
0,076 
0,077 
0,078 
0,078 
0,080 
0,081 
0,082 
0,083 
0,084 
0,085 
0,086 
0,087 
0,088 
0,0S9 
0.090 



0,060216 

0,061220981 

0,06223832» 

0,063250047 

0,064262144 

0,065274625 

0,006287496 

0,067300763 

0,068314432 

0,069328509 

0,070343 

0,071357911 

0,072373248 

0,073389017 

0,074405224 

0,075421875 

0,076438976 

0,077456533 

0,078474552 

0,079493039 

0,080512 

0,081,531441 

0,082551368 

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Tabelle III. 






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Tabelle III. 



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Tabelle 111. 



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Tabelle III. 



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Tabelle 111. 



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0,809 
0,810 



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1,257379541 

1,260211768 

1,263048687 

1,265890304 

1,208736625 

1,271587656 

1,274443403 

1,277303872 

1,280169069 



1,2S5M3671 

1,288793088 

1,291677257 

1,294566184 

1,297459875 

1,300358336 

1,303261573 

1,306169592 

1,309082399 

1,312 

1,314922401 

1,917849608 

1,320781627 

1,323718464 

1,326600125 

1,329606616 

1,,Ö2557943 

1,335514112 

1,338475129 

1,341441 



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557 
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652 



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659 



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0,812 
0,813 
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0,811 
0,816 
0,817 
0,818 
0,819 
0,820 
0,821 
0,822 
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0,825 
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0,831 
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0,836 
0,837 
0,838 
0,8.39 
0,840 



R 

1,341441 

1,344411731 

1,347387328 

1,350367797 

1,353353144 

1,356343375 

1,359338490 - 

1,302338513 

1,365343432 

1,368353259 

1,371368 

1,374387661 

1,377412248 

1,380441767 

1,.383476224 

1,386515625 

1,389559976 

1,392609283 

1,395063552 

1,398722789 

1,401787 

1,404*56191 

1,407930368 

1,411009537 

1,414093704 

1,417182875 

1,420277056 

1,423376253 

1,426480472 

1,429580719 

1.432704 



9707 
9756 
9805 
9853 
9902 
9951 
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0444 
0493 
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0592 
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0692 
0742 
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1143 



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294 
345 
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0,899 
0.900 



1,.528.503 

1,531776311 ) 

1,535054848 

1,5.18338617 

1,541027824 

1,.544921875 

1,548221370 

1.551526133 

1,554836152 

1,558151439 

1,561472 

1,564797841 

1,508128968 

1,571405387 

1,574807104 

l,.578i54125 

1,581506456 

1,584864103 

1,588227072 

1,591.59.5309 

1,594969 

1,598347971 

1,601732288 

1,605121957 

1,608516984 

1,611917375 

1,61.5323136 

1,618734273 

1,0221.50792 

1,025572099 

1.029 

K 



27.13 
2785 
2838 
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3303 
3417 
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3630 
3683 
37.16 
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3897 
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0,909 
0,910 
0,011 
0,912 
0,913 
0,914 
0,915 
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0,917 
0,91 S 
0,919 
0,920 
0,921 
0,922 
0,923 
0,924 
0,925 
0,926 
0,927 
0,028 
0,929 
0,930 



1,629 

1,632432701 

1,635870808 

1,639314327 

1,642763264 

1,646217625 

1,649677418 

1,6.13142643 

1,656613312 

1,660089429 

1,60.1571 

1,6870.58031 

1,670550528 

1,674048497 

1,677551»14 

1,681060871 

1,684575296 

1,688095213 

1,691620632 

1,695151559 

1,698688 

1,702229961 

1,705777448 

1,709330467 

1,712889024 

1,716453125 

1,720022776 

1,723597983 

1,727178752 

1,730765089 

1,734357 



327 
381 
435 
489 
544 
598 
652 
707 
761 
816 
870 
925 
980 



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089 
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254 
309 
364 
420 
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808 
863 
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0,931 
0,932 
0,933 
0,934 
0,935 
0,936 
0,937 
0,938 
0,939 
0,940 
0,941 
0,942 
0,943 
0,944 
0,945 
0,946 
0,947 
0,948 
0,949 
0,950 
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0,955 
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0,957 
0,958 
0.959 
0,960 



1,734357 

1,737954491 

1,741557.568 

1,745166237 

1,748780504 

1,752400375 

1,756025856 

1,7506569.53 

1,763293672 

1,766936019 

1,770584 

1,774237621 

1.777896888 

1,781561807 

1,785232384 

1,788908625 

1,792590536 

1,796278123 

1.799971392 

1,803670349 

1,807375 

1,811085351 

1,814801408 

1,818523177 

1,822250664 

1,825983875 

1,829722810 

1,833467493 

1,837217912 

1,840974079 

1,844736 



5975 
6031 
6087 
6143 
6199 
6255 
6311 
6367 
6423 
6450 
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6593 
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6762 



6990 
7047 
7104 
7161 

7218 
7275 
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7389 
7447 
7504 
7562 
7619 



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Tabelle III. 



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0,889 
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0,892 
0,89.1 
0,894 
0,895 
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0,897 
0,898 
0,899 
0,900 



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1,531776311 

1,5350.54848 

1,5.38338617 

1,541027624 

l,ri44921875 

1,548221370 

1,.551.526133 

1,554836152 

1,558151439 

1,561472 

1,564797841 

1,568128968 

1,57146.5387 

1,574807104 

l,578i:.4125 

1, '»81.500456 

1,584864103 

1,588227072 

1,59159,5369 

1,.594%9 

1,598347971 

1,601732288 

1,005121957 

1,608516984 

1,011917375 

1,615,323136 

1.618734273 

1,6221.507112 

1,62.5.572699 

1.629 



27.33 
2785 
2838 
2800 
2943 
2985 
.3048 
3100 
3153 
3206 
3258 
3311 
.3363 
.3417 
3470 
3523 
3576 
3630 
3683 
.3730 
3790 
3843 
3897 
3950 
4004 
4058 
4111 
4165 
4219 
4273 



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Tabelle III 






p 1 a 


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P 


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2,70 


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3114 


2,41 


16,407521 


8407 


2,71 


22,612511 


2,42 
2,43 


16,592488 
16,778907 


8642 

8788 


2,72 
2,73 


22,843648 
23,076417 


3277 
3441 


2,44 


16,966784 


8934 


2,74 


23,310824 


3605 


2,45 


17,156125 


9081 
9229 


2,75 


23,546875 


3770 


2,46 


17,346936 


2,76 


23,784576 


3936 


2,47 


17,539223 


9367 


2,77 


24,023933 


4102 


2,48 


17,732092 


9526 


2,78 


24,264952 


4269 


2,49 


17,928249 


9675 


2,79 


24,507639 


4436 


2,50 


18,125 


9825 


2,80 


24,752 


4604 


2,51 


IS,323251 


9975 


2,81 


24,998041 


4773 


2,52 


18,523008 




2,82 


25,243768 




0127 
0279 


4942 


2,53 


1S,724277 


2,83 


25,495187 


5112 


2,54 


18,927064 


043] 


2,84 


25,746304 


5282 


2,55 
2,56 


19,131375 
19,337216 


0584 
0738 


2,85 
2,86 


25,999125 
26,253656 


5453 
5624 


2,57 


19,544593 


0802 


2,87 


26,509903 


5797 


2,58 


19,753512 


1049 


2,88 


26,767872 


5970 


2,59 
2,60 


19,963970 
20,176 


1202 
1358 


2,89 
2,90 


27,027569 
27,289 


6143 
6317 


2,61 
2,62 


20,389581 
20,604728 


1515 
1672 


2,91 
2,92 


27,552171 
27,817088 


6492 
G667 


2,63 


20,821447 


1830 


2,93 


28,083757 


6843 


2,64 


21,039744 


1988 


2,94 


28,352184 


7019 


2,65 


21,259625 


2147 
2307 


2,95 


28,622375 


7190 


2,66 


21,481096 


2,96 


28,894336 


7374 


2,67 


21,704163 


2407 
2628 


2,07 


29,168673 


7552 


2,68 


21,928832 


2,98 


29,443592 


7731 


2,69 
2,70 


22,155109 
22,383 


2789 


2,99 
3,00 


29,720899 
30. 


79IÜ 


F 


R 


ß = o.i 


p 


R 


D = 0,2 



^^B f/Hfr torgrlfgttn nihlschtn CleKhung. 


a 


m 


TabeUf 1X1. 




m\ " 


1>_— U,-2 


!' 


fi 


= 0,3 


3.0« 30. 


8090 


3,30 


39,237 


3769 


3,01 


30,280901 


8271 


3,31 


39,574691 


3968 


,02 


30,563008 


8452 


3,32 


39,914368 


4167 


,03 


:tO,848127 


8634 


3,33 


40,256037 


4367 


«4 


31,1344«4 


8816 


3,34 


40,59971» 


4567 


» 


31,422(125 
31.712610 


8999 
9183 


3,35 
3,36 


40,945375 
41,293056 


4768 
4970 


,07 


32.004443 


9367 


3,37 


41,642753 


5172 


,(W 


32,298112 


9552 


3,38 


41,994472 


5375 


,U9 


32,593(129 


9737 


3,39 


42,348219 


5578 


,1" 
.11 


32,891 
33,190231 


9923 


3,40 
3,41 


42,704 
43,001821 


5782 
5987 


0110 


M 


. 33,491328 
.*),794297 


0297 
0485 


3,42 
3,43 


43,421688 
43,783607 


6192 
6.398 


[U 34,U<jm44 


0673 


3,44 


44,147.584 


6604 


,15 34,4Ü5M5 


0S(j2 


3,45 


44,513625 


6811 


16 ä*,7l441Ki 


1062 


3,46 


44,881736 


7019 


,17 1 3J,02ä0l3 


1242 
1433 
1624 


3,47 


45,251923 


7227 


tl8 


35,337432 


3,48 


45.624192 


7436 


'9 


Al)51759 


3,49 


45,998549 


7645 


20 


35,968 


1816 


3,50 


46,375 


7855 


St 


36,286161 


2009 


3,51 


46,753551 


8066 


s 


36,006248 
36,928267 


2202 
239(1 
2590 


.1,52 
3,53 


47,134208 
47,516977 


8277 
8489 


,2*1 37,252224 


3,54 


47.901884 


8701 


^ 


.37,578125 


2785 
2981 


3,55 


48,288875 


8914 


^ 


37,905976 


3,56 


48,678016 


9128 


$1 


38,235783 


3177 
3374 
3571 


3,57 


49,069293 


9342 


«8 


38,567552 


3,58 


49.462712 


9557 


^ 


38,901289 


3,59 


49,858279 


9772 


IM 


,39,237 




.1,60 


50,256 




(• ; II 


D^<\^ 


P 


R 


2- = 0,3 


^^^^^^ 



Kerz: Vebtr die BeurtheUung ätr Wurzeln 
Tabelle 111. 



p 


R 


^=0,3 


l' 


R 


D=^ü,t 


3,60 
3,61 


50,256 
50,655881 


9988 


3,90 
3,91 


63,219 
63,686471 


6747 


0205 


6982 


3,62 


51,057928 


0422 


3,92 


64,156288 


7217 


3,63 


51,462147 


0640 


3,93 


04,628457 


7453 


3,64 


51,868544 


0858 


3,94 


65,102984 


7689 


3,65 


52,277125 


1077 


3,95 


65,579875 


7926 


3,66 


52,687896 


1297 


3,96 


66,059136 


8164 


3,67 


53,100863 


1517 


3,97 


66,540773 


8402 


3,68 


53,516032 


1738 


3,98 


67,024792 


8641 


3,69 


53,033409 


1959 


3,99 


07,511199 


8880 


3,7U 


54,353 


2181 


4,00 


68. 


9120 


3,71 


54,774811 


2404 


4,01 


68,491201 


9361 


3,72 


55,198848 


2627 


4,02 


08,984808 


9602 


3,73 


55,625117 


2851 


4,03 
4,04 


69,480827 
69,979264 


9844 


3,74 


56,053624 


3075 


0086 


3,75 


56,484375 


3300 


4,05 


70,480125 


JD329 


3,76 


56,917376 


3526 
3752 


4,06 


70,983416 


0573 


3,77 


57,352633 


4,07 


71,489143 


0817 


3,78 


57,790152 


3979 


4,08 


71,997312 


1062 


3,79 


58,229939 


4206 


4,09 


72,507929 


1307 


3,80 


58,672 


4434 


4,10 


73,021 


1553 


3,81 


59,116341 


4663 


4,11 


73,536531 


1800 


3,82 


59,56296» 


4892 


4,12 


74,054528 


2047 


3,83 


60,011887 


5122 


4,13 


74,574997 


2295 


3,84 


60,463104 


5352 


4,14 


75,097944 


2543 


3,85 


60,916625 


5583 


4,15 


75,023375 


2792 


3,86 


61,372450 


5815 


4,16 


76,151296 


3042 


3,87 


61,830603 


6047 


4,17 


79,681713 


3292 


3,88 


62,291072 


6280 


4,18 


77,214632 


3543 


3,89 


62,753869 


6513 


4,19 


77,750059 


3794 


3,90 


63,219 




4,20 


78,288 




p 


" 


ZJ^Ü,4 


p 


R 


D = 0,i 






tlner rorgelegltn mblsc'ifn CttUhuns. 
Tabelle III. 



e 


R 


i> — 0.5 


P R 


D = (tfi 


30 


78,21*8 


4046 


4,50 


95,625 


1885 


Vi2 


78,82HW1 
79.37144S 


4299 
4552 


4,51 
4,52 


96,243851 
96,865408 


2156 
2427 


4,23 


79,y]6967 


4806 


4,53 


97,489677 


2699 


4,24 


80,4«J0ä4 


5U60 


4,54 


98,116664 


2971 


4,23 


81,015625 


5315 


4,55 


98.746375 


3244 


4j» 


»1,508776 


5571 


4.56 


99,378816 


3518 


♦^7 


82,124483 


5827 


4,57 


100,013993 


3792 


*,28 


82,082752 


6084 


4,58 


100,051912 


4067 


4,29 


83,243589 


6341 


4,59 


101,292579 


4342 


4,30 


83,8(17 


6.599 


4,60 


101,936 


4618 
4895 


4,81 


84,372991 


4.01 


102,582181 


4,32 


84,94! M8 


7117 
7377 
7637 
78(18 
8160 
8422 
8085 
8948 
9212 
9477 
9742 


4,62 


103,231128 


5172 
5450 
5728 
8007 
6287 
6567 
6848 


4,33 


85,512737 


4.63 


103,882847 


4,34 


86,080504 


4,64 


104,5.37344 


4,35 


86.862875 


4,65 


105,194625 


4,3» 


87,241856 


4,66 


105,854696 


4jn 


87,823453 


4,67 


106,517563 


kfH, 


88,407672 


4,68 


107,183232 


4,39 


88,994519 
89,584 


4.69 
4,70 


107,851709 
108,523 


7129 
7411 
7694 
7977 


Ml 


90,176121 


4,71 


109,197111 


4,42 


90,770888 


4,72 


109,874048 


4,43 


91,308307 


4,73 


110,553817 


01108 
0274 
0.541 
0809 


8261 

8545 

8830 

9110 

9402 . 

9689 

9976 


4,44 


91,968.384 


4,74 


111,236124 


4,45 
4,46 

4,47 


92.571125 
»3,176536 
93,784023 


4,75 
4,76 
4.77 


111,921875 
112,1110176 
113,301333 


4,4*1 


»4,395392 


1077 
1346 
1615 


4.78 


113,995352 


4,49 


95,008849 


4,79 


114,602239 


4.!i[) 


95.625 


4,80 


115,392 


P t R 


ii — o,r, 


P 


R 


i> = n,6 



Ken: Eeber die Beurthetlung der Wuraeln 
Tabelle III. 



4,80 


115,392 


4,81 


116,094641 


4,82 


116,800168 


4,83 


117,508587 


4,84 


118,219904 


4,85 


118,934125 


4,86 


119,651256 


4,87 


120,371303 


4,88 


121,094272 


4,89 


121,820169 


4,90 


122,549 


4,91 


123,280771 


4,92 


124,015488 


4,93 


124,753157 


4,94 


125,493784 


4,95 


126,237875 


4,96 


126983936 


4,97 


127,733473 


4,98 


128,485992 


4,99 


129,241499 


5,00 


130, 


5,01 


130,761501 


5,02 


131,526008 


5,Ü3 


132,293527 


5,04 


133,064064 


5,05 


133,837625 


.5,06 


134,614216 


5,07 


135,393843 


5,08 


136,176512 


5,09 


136,96222» 


5,10 


137,751 



0264 
0553 
0842 
1132 
1422 
1713 
2005 
2297 
2590 
2883 
3177 
3472 
3767 
4063 
4359 
4656 
4954 
5252 
5551 
5850 
6150 
6451 
6752 
7Ü54 
7350 
7659 
7963 
8267 
8572 
8877 



,751 

i,542831 

1,337728 

,135697 

,936744 

,740875 

,548096 

,358413 

,171832 

,9883.59 

i,808 

,630761 

,456648 

,285667 

1,117824 

,953125 

,791576 

,633183 

,477952 

,325889 

177 

,031291 

,888768 

1,749437 

,613304 

,480375 

,350056 

,2241.53 

100872 
,980819 
, 864 



9183 
9490 
9797 
0105 
0413 
0722 
1032 
1342 
1653 
1964 
2276 
2589 
2902 
3216 
3530 
3845 
4161 
4477 
4794 
.5111 
5429 
.5748 
6067 
6387 
6707 
7028 
7350 
7672 
7995 
8318 

£1 = 0,6 



^^H tlHtr torgeltgteK cuilscAen Glelehuwj. 


29 


m 


Tabrile llf. 




W r \ n 


D = U,8 


P [ w 


Z>=I),B 


3.40 1 162,864 

5.41 1 163,750421 


8642 
8967 


5.70 I 190,893 

5.71 191.879411 


8641 
8984 


5,42 


164,640088 


9292 


5,72 192,869248 


9327 


5,43 
9,W 


165,333007 
100,429184 


9618 


5,73 193.862517 


9671 


9944 


5,74 "" "=",-1' 


1 »^n.jdsat 


0015 


1,45 


167,328625 


0271 


.5,75 


195,859;)75 


0360 


i,46 


108,23133« 
169,137323 


0399 
0927 


5,76 
5,77 


196,862976 
197,870033 


0706 
105 


K« 


170,040392 


12.50 


5,78 


198,880532 


140 


1,49 


170,939140 


1583 


.5,79 


199,894539 


175 


,50 


171,875 


1915 


5,80 


200,912 


209 


1,52 


172,794151 
173,716608 


2240 
2577 


5,81 
5,82 


201,932941 
202,957368 


244 
279 
314 


1,53 


174,642377 


2909 


3,83 


203,98.5287 


^ 


175,371464 
176,503875 


.3221 
3574 


5,84 
.5,85 


205,016704 
206,031625 


349 

384 


1,56 \ 177,439011) 
i,57 I78,37!<«!)3 
S,58 179,321112 


3908 
4242 
4577 


5,86 
5,87 
5,88 


207,090056 
208,132003 
209,177472 


419 
453 
490 


i,59 IH0,266879 


4912 


5,89 


210,226469 


325 


,00 


181,210 


5248 


5,90 


211,279 


561 


,«1 


182,108481 


5585 


5,91 


212,335071 


590 


1,62 


183,124328 


5922 


5,92 


213,394688 


632 


5,63 


184,083347 


6260 


.5,93 


214,437857 


667 


i,04 


lKl.040144 


6.598 


5,94 


215,524584 


703 


*,6i 


186,012125 


6937 


5,95 


210,594875 


739 




186,981490 


7277 


3,96 


217,668736 


774 


,67 


187,954263 


7017 


3,97 


218,746173 


810 


^68 ISi',93U432 


7958 


5,98 


219,827192 


846 


1,69 189.910009 


8299 


5,99 


220,911799 


882 


S,7ü 190,893 




6,0(1 


222. 




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D ^ o,a 


P 


11 




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R 


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P 


R 


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6,00 


222. 


918 


6,30 


256,347 


026 


6,01 


223,091801 


954 


6,31 


257,549591 


064 


6,02 


224,187208 
225,286227 


990 


6,32 
6,33 


258,755968 
259,966137 


l(ß 


6,03 


026 


140 


6,04 


226,388864 


063 


6,34 


261,180104 


178 


6,05 


227,495125 


099 


6,35 


262,397875 


216 


6,06 


228,605016 


135 


6,36 


263,619456 


254 


6,07 


229,718543 


172 


0,37 


264,844853 


292 


6,08 


230,835712 


208 


6,3» 


268,074<(i2 


330 


6,09 


231,950529 


245 


6,39 


267,307119 


369 


6,10 


233,081 


281 


6,40 


268,544 


407 


6,11 


234,209131 


318 


6,41 


269,784721 


446 


6,12 


235,340928 


355 


6,42 


271,029288 


484 


6,13 


236,476397 


391 


6,43 


272,277707 


523 


6,14 


237,615544 


428 


6,44 


273,529984 


561 


6,15 


238,758375 


465 


6,45 


2/4,786125 


600 


6,16 


239,9C4896 


502 


6,46 


276,046136 


639 


6,17 


241,055113 


539 


6,47 


277,310023 


678 


6,18 


242,209032 


570 


6,48 


278,577792 


717 


6,19 


243,366659 


613 


6,49 


279,849449 


756 


6,20 


244,528 


651 


6,r)0 


281,125 


795 


6,21 


245,693061 


688 


6,51 


282,404451 


834 


6,22 


246,861848 


725 


6,52 


283,687808 


«73 


6,23 


248,034367 


763 


6,53 


284,975077 


912 


6,24 


249,210624 


800 


6,54 


286,266264 


951 


0,25 


250,390625 


838 


6,55 


287,561375 


990 




251,574376 


875 


6,56 


288,860416 


vmi 


6,26 


030 


6,27 


252,761883 


913 


6,57 


290,163393 


069 


6,28 


253,953152 


950 


6,58 


291,470312 


109 


6,29 


255,148189 


988 


6,59 


292,781179 


148 


6,30 


256,347 




6,60 


294,096 




P 


ü 


Z<=1,1 


p 


R 


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rtiifffUnf^Ji 


cnitic/ien €Ultliunti- 


31 




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6.00 


294,090 


188 


6,90 1 335,409 


404 


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227 


U,91 ' 336,849371 


445 


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6,92 


338,293888 


487 


,63 


S9S,0«4247 


307 


0,93 


339,742557 


528 


,04 1 209.31141)44 


347 


0,94 


341,195384 


570 


,66 


300,729025 


387 


6,95 


342,052375 


612 


,C6 


302,06*29« 


427 


6,96 { 344,113536 


653 


,«' 


303,410963 


467 


0,97 345,578873 


095 


fiS 


304,757632 


507 


6,98 347,048392 


737 


,6» 


306,108309 


Mi 
547 


0,99 \ 348,522099 


779 


■0 
,'1 


307,463 
308,821711 


587 
627 


7,00 
7,01 


350. 
351,482101 


821 
803 


7ä 


310,184448 


668 


7,02 


352,968408 


905 


73 


311,551217 


708 


7,03 


354,458927 


947 


U 31ä,92i(«4 
15 314,21)6875 


749 


7,04 


355,95.W64 
357,452625 


990 


789 


7,05 


032 


16 315,675-76 


830 
830 


7,06 


358,955816 


074 


77 317,050733 


870 


7,07 


300,463243 


117 


78 


318,445752 


911 


7,08 


301,974912 


159 


i7» 


319,836839 


952 


7,09 


363,490829 


202 


81 


321^32 
322,631241 


992 


7,10 
7,11 


365,01 1 
366,535431 


244 
287 


033 


e! 


324,034568 


074 


7,12 


368,064128 


330 


S3 


325,441987 


115 


7,13 


369,597097 


372 


B4 


326,853504 


156 


7,14 


371,134344 


415 


» 


328,269125 


197 


7,15 


372,675875 


458 


» 


329,688856 


238 


7,16 


374,221696 


501 


^ 


331,112703 

332,540672 


280 
321 


7,17 
7,18 


375,771813 
377,326232 


544 

587 


» 


333,972769 


362 


7,19 


378,884959 


630 


K) 


935,409 




7,20 


380,448 




« 


Zj=i,t 


p 


R 


J)=,,. 


^^^^^^ 



Ker%: Ctber die BeuriheUung der Wur%tln. 



Tabelle 111. 



p 


R 


D=\fi 


P 


R 


D=i, 


7,20 
7,21 

7,22 


380,448 

382,015361 

38.3,587048 


674 
717 
760 

804 


7,50 
7,51 
7,52 


429,375 

431,074751 

432,779008 


«998 
704S 

7088 


7,23 


385,163067 


7,53 


434,487777 


7133 


7,24 


886,743424 


817 
891 


7,54 


436,201064 


7178 


7,25 


388,328125 


7,55 


4.37,918875 


7223 


7,26 
7,27 


389,917176 
391.510583 
39,3,108352 
394,710489 


934 
978 


7,56 
7,57 
7,58 
7,59 


439,641216 
441,368093 
443,099512 
444,835479 


7269 
7914 


7,28 
7,29 


021 
065 


7360 
7405 


7,30 


396,317 


109 


7,60 


446,576 


7451 


7,31 


397,927891 


153 


7,61 


448,321081 


7496 


7,32 
7,33 
7,34 
7,35 
7,36 


399,543168 

401,162837 
402,786904 
404,415355 
406,0482,'>6 


197 
241 
285 
329 
373 
417 


7,62 
7,63 
7,64 
7,65 
7,66 


4.50,070728 
451,824947 
453,583744 
455,347125 
457,11.5096 


7542 
7588 
7634 
7680 
772« 
7772- 


7,37 


407,685553 


7,67 


458,887663 


7,38 


409,327272 


461 
506 
550 
595 
639 
684 
728 
773 
818 
863 


7,68 


460,6648.32 


7818 
7864 
7910 
7956 


7,39 
7,40 
7,41 


410,973419 

412,624 

414,279021 


7,69 
7,70 
7,71 


462.446609 

464,233 

466,024011 


7,42 


415,9.58488 


7,72 


467,819648 


8003 
8049 
8096 
8142 
8189 
8235 


7,43 
7,44 
7,45 


417,602407 
410,270784 
420,943625 


7,73 
7,74 
7,75 


469.619917 
471,424824 
473,234375 


7,46 


422,620936 


7,76 


475,048576 


7,47 


424,302723 


7,77 


476,867433 


7,48 


425.988992 


908 
953 


7,78 


478,690952 


8282 
8329 


7,49 


427,679749 


7,79 


480,519139 


7,50 


429,375 


7,80 


482,352 


p 


R 


i>=l,6 


p 


R 


D=\, 



einer titrg<fl(g!en rnbiirhtn Gleichung. 



Ti»bf*llo III. 



I 



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7.W 
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7,90 
7,»I 
7,92 
7,93 
7,»» 
7,95 
7,90 
,« 



1,09 



4>'2,3i)2 ■ 

4>*4,1 89541 

4Wi.lB176S 

4S7.R7e687 

489.730304 

491,586625 

493,447656 

49:j,3134(« 

497.183872 

499,059009 

ri(K),9,'>9 

J0-2,8i3671 

504,713088 

5<i6.607-257 

508J06184 

.'110.409875 

512.3IH336 

514,231573 

516.149392 

äI8.07ä399 

.520, 

521,932401 

.523,869008 

525,811627 

587,758464 

529,710125 

531,666610 

533,627943 

535,594112 

.537,565129 

.539.541 



409 
516 
563 
61Ü 



847 
894 
942 
989 



037 
085 
132 
ISO 
228 
276 
324 
372 
420 
468 
517 
.565 
613 
602 
710 
7.59 



8,10 
8,11 
8,12 
8,13 
8,14 
8,15 
8,16 
8,17 
8,18 
8,19 



8,21 
8,22 
8,23 
8,24 
8,25 
8,26 
8,27 
8,28 
8,29 
8,30 
8,31 
8,.32 
8,33 
8,34 
8,35 
8,36 
8,37 
8,38 
8,39 
8.40 I 601.104 



,541 
,521731 
,507328 
,497797 
,493144 
,403375 
,498496 
,506513 
523432 
543259 
.568 
597661 
,632248 
,671767 
,716224 
65625 
,819976 
,879283 
,943552 ( 
,012789 ' 
,087 

166191 I 
250368 
,339537 
,433704 
,532875 
,637056 
,746253 I 
,860472 I 
1,979719 



9807 
9856 
9905 
9953 
0002 
0051 
0100 
0149 
0198 
0247 
0297 
0346 
0395 
0445 
0494 
0544 
0593 
0643 
0692 
0742 
0702 
0842 
0892 
0942 
0992 
1042 
1092 
1142 
1192 
1243 



Ker%: Vrbtr itte BeurUnUjing der WwaelH 
Tabelle III. 



/J = 2, 



8,40 
S,41 
f,42 
8,43 
8,44 
8,45 
8,4U 
8,47 
8,48 
8,49 
8,50 
8,51 
8,52 
8,53 
8,54 
8,55 
8,56 
8,57 
8,58 
8,59 
8,60 
8,61 
8,62 
8,63 
8,64 
8,05 
8,66 
8,67 
8,88 



104 

,233321 

,367688 

,507107 

,651584 

,801125 

,955736 

U5423 

,280192 

,450049 

,625 

,805051 

,990208 

180477 

,375864 

,576375 

,782016 

,092793 

,208712 

,09779 

,656 

i,887381 

,123928 

,365647 

,612544 

,864625 

1,121896 

,384363 

,652032 

.,924909 

,203 



293 
344 
394 
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495 
546 



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801 



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954 



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521 
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625 
677 
729 
781 



667,203 

669,486311 

671,774848 

674,068617 

676,367624 

678,671875 

680,981376 

683,296133 

685,616152 

687,941439 

690,272 

692,607841 

694.948968 

697,295387 

699,647104 

702,004125 

"04,360456 

706,734103 

709,107072 

711,485369 

713,869 

716,257971 

718,652288 

721,051957 

723,456984 

725,867375 

728,283136 

730,704273 

733,130792 

735,.562699 

738. 



2833 
2885 
2938 
2990 
3043 
3095 
3148 
3200 
3253 
3306 
3358 
3411 
3464 
3517 
3570 
3623 
3676 
37S0 
3783 
3836 
3890 
3943 
3997 
4050 
4104 
4158 
4211 
4265 
4319 
4373 



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9,34 


821,496237 
824.120504 


243 
299 




730,287823 


4Ü98 


9,35 


826,75037» 


355 




752,737416 
753,212843 


4752 
4807 


9,36 
9,37 


829,385856 
832,026953 


411 
467 




7.57,093312 


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9,38 


834,073672 


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782,071 


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033 


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861,451392 


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147 


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^■,21 ;9U,43i»WI 


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5575 


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809,595351 


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261 


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5630 


9,52 


872,321408 


318 


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5686 


9,53 


875,053177 


375 
432 
489 
547 
604 


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5741 


9,54 877,790664 




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5797 


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5852 


9,56 883,282816 




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5908 


9.57 886,637493 




808,458752 


5963 


9,58 1 888,797912 


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811,055089 


6019 


9,59 1 891,564079 


719 


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34,700 
35,417 
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36,731 
37,307 
38.060 
38,747 
39,431 
40,121 
40,B17 
41,510 
42,227 
42.041 


9,61 


897,113681 


7834 


9.91 


983,152271 


9,62 
9,63 


899,897128 
902,686347 


7892 
79.50 


9,92 
9,93 


986.111488 
989,076657 


9,64 


905,481344 


8008 


9,94 


992,047784 


9,65 


908,282125 


8066 


9,95 


995,024875 


9,66 


911,088696 


8124 


9,96 


998,007936 


9,67 


913,901063 


8182 


9.97 


1000,990973 


9,68 


916,719232 


8240 


9,98 


1003,991992 


9,69 
9,70 


919,543209 
922.373 


8298 
8356 


9,99 
10,0 


1006,992999 
1010. 


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9,72 


925,208611 
928,050048 


8414 
8473 


10.1 
10,2 


1049,401 
1071.408 


9,73 
9,74 
9,75 


930,897317 
933,750424 
936,609375 


8531 
8590 

8648 


10,3 
10,4 
10,5 


1103,027 
1 135,264 
1168,125 


9,76 


939,474176 


8707 


10,6 


1201,616 


9,77 


942,344833 


8765 


10,7 


1235,743 


9,78 


945,221352 


8824 


10,8 


1270,512 


9,79 
9,80 
9,81 


948,103739 

950,992 

953,886141 


8883 
8941 
9000 


10,9 
11,0 
11,1 


1305,929 

1342. 

1378.731 


9,82 


956,780168 


9059 


11,2 


1416.128 


9,83 


959,692087 


9118 


11,3 


1454.197 


9,84 


962,603904 


9177 


11,4 


1492,944 


9,85 


965,521625 


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11,5 


1532,375 . 


9,86 


968,445256 


9295 


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1572,496 


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971,374803 


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1613,313 


9,88 


974,310272 


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1654,832 


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1697,059 


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1740. 


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44,387 
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40,601 
47,351 



3390. 

3458,051 

3527,008 

3596,877 

3667,604 

3739,375 

3812,016 



68,051 
88,957 
69,809 
70,787 
71,711 
72,641 



.■ (Wer die Btnrtlieiiung der H'urMlit 
T»b«Ue 111. 



18,0 
18,1 
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21,0 



5850. 

5947,841 

6046,76» 

6148,787 

6247,904 

6350,125 

6453,456 

6557,903 

6663,472 

6770,109 

6878. 

6980,971 

7097,088 

7208,357 

7320,784 

7434,375 

7549,136 

7665,073 

7782,192 

7900,499 

8020. 

8140,701 

8262,608 

8385,727 

8510,064 

8635,625 

8762,416 

8890,443 

9019,712 

9150,229 

9282. 



97,841 
98,927 
100,02 
101,12 
102,22 
103,33 
104,45 
105,57 
106,70 
107,83 
108,97 
110,12 
111,27 
112,43 
113,.59 
114,76 
115,94 
117,12 
118,31 
119,50 
120,70 
121,91 
123,12 
124,34 
125,56 
126,80 
128,03 
129,27 
130,52 
131,77 



9282. 
9415,031 
9549,328 
%84,897 
9821,744 
9959,875 
10099,296 
10240,013 
10382,032 
10525,359 
10670. 
10815,961 
10963,248 
11111,867 
11261,824 
11413,125 
11565,776 
11719,783 
11875,152 
12031,889 
12190. 
12349,391 
12510,368 
12672,637 
12836,304 
13001,375 
13167,856 
13335,753 
13505,072 
1307.5,819 
13848. 



133,03 
134,30 
135,57 
136,85 
138,13 
139,42 
140,72 
142,02 
143,33 
144,64 
145,96 
146,29 
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149,96 
151,30 
152,65 
154,01 
155,37 
156,74 
158,11 
159,39 
160,98 
162,27 
163,67 
165,07 
166,48 
167,70 
169,32 
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^^^1 einer to'stlfg'tn eublxcheit €ltlchnHa. 


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0,0007 

0012 
0016 


S. B." 
8. 7. 






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0011 
0015 
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4! 5.6. 






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1. 9 


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0,000006 


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0,0006 


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9. 8 




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t. 8. 






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3. T 




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0014 


8. 7. 


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4.5.r,. 




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0,0D7 


1,40 







Aem: Vtötr die Bturtheitattg der Wuneln 



I Tatelle IIL 



Q 


P 


C 


P 


c 


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P 


c 


p 


C, 


Q 


1. H. 


1,40 


+ 
0,0U06 


2,80 


+ 

0,0003 


1. 9. 


~^, 


+ 

O,0IK>2 


11,0 


+ 
0,0009 


1. 9- 


2. B. 




0010 




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2. B. 




0002 




0015 


2. ft. 


3. 7. 




0013 




0008 


3. 7. 




0003 




0019 


3. 7. 


4.a.s. 




0UI5 




0009 


1. 6. 




0003 




0022 


4. 6. 




1,50 


+ 


3,00 


+ 


5. 




0OO3 




0023 


5. 


1. 9. 




0,0006 




0,0003 




9,00 


+ 


11,2 


+ 




2. a. 




ÜOIO 




0006 


1. 9. 




0,0001 




0,0008 


1. 9. 


3. T. 




01113 






2. fl. 




0002 




0015 


2. a 


4.5.6. 




0014 




mm 


3. 7. 




noo3 




0019 


3. 7. 




1,60 


+ 


3,20 


+ 


4. 6. 




0003 




O022 


4. 6. 


1. 9. 




0,0005 




0,0003 


5. 




0003 




0023 


5. 


a. 8. 




000!» 




0003 




10,0 


+ 




-f 




3. 7. 




0012 




OOOT 


1. 9. 




0.0O09 




O.OOOH 


1. 9. 


i.s.e. 




aii4 




OOOS 


2. S. 




0016 




0015 


2. 8. 




1,70 


+ 


3,40 


+ 


3. 7. 




ooai 




0019 


3. 7. 


1, 9. 




0.0OU5 




0,0003 


4. 8. 




0024 




00^ 


4. 6. 


2. 8. 




0009 




0003 


5. 




00^ 




0022 


5. 


3. 7. 




0012 




0006 




10,1 


11,4 


+ 




4.&.6. 




0013 




O0O7 


1. 9. 




0,0009 




0,0008 


1. 9. 




1,60 


+ 


4,00 


+ 


2. 8. 




0016 




0014 


2. 8. 


1. 9. 




0,0005 




0,00 U3 


3. 7. 




0021 




0U1!J 


3. T. 


a. e. 




0009 




0004 


4. 6. 




0024 




0021 


4. 6. 


3. 7. 




OOII 




0006 


6. 




0035 




0022 


5. 


l.fi.6. 




0013 




Ü006 




10.4 


+ 


11,6 


+ 






1.90 


+ 


4.50 


+ 


1. 9. 




0,0009 




0,0<HI8 


1. 9. 


1. 9. 




0,0003 




0.0003 


2. fl. 




0016 




0014 


8. 8. 


2. 8. 




OÜOB 




04 


3. 7. 




0020 




0018 


3. 7. 


3. T. 




0011 




0003 


4. 6. 




0083 




0021 


4. 6. 


4.5.6. 




0012 




0006 


5. 




0024 




0022 


6. 




2,00 


+ 


5,00 


+ 




10,5 


+ 


11,9 


+ 




1. 9. 




0,0005 




0,0002 


I, 9. 




0,0009 




0,0<K»fl 




2. H. 

3. 7. 




OOOB 
0010 




01)04 
0005 


2. 8. 

3. T. 




Ü0I5 




0014 
OOIH 


2. 8. 

3. 7. 


4.5.6. 




0012 




0003 


4. 6. 




0023 




0020 


4. 6. 




2,20 


+ 


3,50 


+ 


5. 




0024 




0021 


5. 


1. 9. 




0,0004 




0,0002 




10.« 


+ 


12,1 1 -f 




2. H. 




0001 




0003 


|], 9. 




0.0009 


j Ü.O0O8 


1. 9. 


3. 7. 




0009 




0004 


|2. a 






0014 


2. 8. 


4.5.6. 




0011 




0005 


3. 7. 




0020 


OOIR 


3. 7. 




2.40 


+ 


ö,Oü 


+ 


4. 6. 




0023 


! 0020 


4. 6. 


1. 9. 




0,0004 




0.0002 


5. 




0023 




0020 


5. 


a. 0. 




0007 




000;i 




10,9 


H- 


12,4 


+ 




3. 7. 




0009 




0004 


1. 9. 




0,0009 




0,0008 


1. 9. 


4.5.6. 




0010 




0004 


2. 8. 




0015 




0013 


2. 8. 




2,«0 


+ 


7,00 


+ 


3. 7. 




ooao 




0017 


3. 7. 


1. 9. 




0,00O( 




O.IH)02 


4. 6. 




00-22 




0030 


4. 6. 


2. H. 




00116 




«0113 


5. 




0023 




0020 


5. 


3. 7. 




IKHW 




0003 




11,0 




12,6 






4.5.0. 


2,S0 


0009 


H,00 


O004 















eifter vargeiegien cubischen Gleichung* 



41 



Anhaiig >■ Tabelle III« 



1. 


9. 


^ 


8. 


3. 


T. 


4.5.6. 


1. 


9. 


2. 


8. 


S. 


7. 


15.6. 



1. 9. 

2. 8. 

3. 7. 
4.5.6. 

1. 9. 

2. 8. 
8. T. 
4.5.6. 

1. 9. 

2. a 

«. 7. 
4.5.6. 



12,6 



12,8 



13,1 



15,2 



13,9 



14,0 



+ 
0,0008 

0013 

0017 

0019 

+ 
0,0007 

0013 

0017 

0019 

+ 
0,0007 

0013 

0016 

0019 

+ 
0,0007 

0012 

0016 

0019 

+ 
0,0007 

0012 

0016 

0018 



14,0 



14,1 



14,5 



14,9 



15,0 



16,0 



+ 
0,0007 

0012 

0015 

0018 

+ 
0,C007 

0012 

0015 

0017 

+ 
0,0007 

0011 

0015 

0017 

+ 
0,0006 

0011 

0015 

0017 

+ 
0,0006 

0011 

0014 

0016 



16,0 



16,1 



1T,1 



17,5 



17,7 



+ 

0,0006 

0010 
0014 
0015 

+ 
0,0006 

0010 

0013 

0015 

+ 
0,0006 

0010 

0013 

0014 

+ 
0,0006 

0010 

0012 

0014 

+ 
0,0006 

0009 

0012 

0014 



17,9 



17,9 



18,3 



19,1 



20,0 



21,0 



21,8 



0,0005 
0009 
0012 
0014 

+ 
0,0005 

0009 

0012 

0013 

+ 
0,0005 

0009 

0011 

0013 

+ 
0,0005 

0008 

0011 

0012 

+ 
0,0005 

0008 

0010 

0012 



21,8 



22,5 



22,8 



23,3 



23,8 



+ 

0,0005 

0008 
0010 
0011 

+ 
0,0004 

0008 

ooio 

0011 

+ 
0,0004 
0007 
0010 
0011 

+ 
0,0004 

0007 

0009 

0011 

+ 
0,0004 

0007 

0009 

0010 



24,0 



1. 9. 

2. 8. 

3. 7. 
4.5.6. 

1. 9. 

2. 8. 

3. 7. 
4.5.6. 

1. 9. 

2. 8. 

3. 7. 
4.5.6. 

1. 9. 

2. 8. 

3. 7. 
4.5.6. 

1. 9. 

2. 8. 

3. 7. 
4.'5.6. 



42 Ker%: Debet tue Beurtheilung der Wurzein 



97. 

Wenden wir das bisher Abgehandelte auf einige Zahlenbei« 
spiele an. Es sei die reelle Wurzel der Gleichung 

a h c 

9 

SO genau zu bestimmen, als dies die Einrichtung der Tabelle III. 
zulSsst. Der Vorzeichen der Glieder wegen Ist nach [94.] anfzu- 
ISsen. Man erhilt: 

(96 -3c«)l = VM= 5,7445626 und (96 -3c*) 1=189,5705673. 



-f 270=: 4698 
+ 27^= 74 



also +a> + 9, daher Fall 2) vorliegend. 
Nun ergiebt sich: 



C4624 
27 («4- 9)=^ 27r, daher Ä=4624 : 189.6705673=24,391972 

also A' =24.264952 

l>=2,78 und — ^- = 024ate = ^''^^ 

C= 0,0009 

0.5243 

P'=2,78 



P = 2,785243. 



P. 5.7445626 = p= 16.000002 
(3y) = — 2 - 16,000002 = - 18,000002 

y = — 6,000000. 

In Wirklichkeit ist —6 die wahre reelle Wurzel der gegebe- 
nen Gleichung. 



98. 

Es sei: 

= -2 + 7y- y« + y». 

ab c 

Der Vorzeichen der Glieder wegen ist nach [95.] aufzulösen und 
man erhält: 



einer tortelegten eubisehen eieicAung. 43 

(9fr-3c«)l= V6Ö=7.74596669 and (96— 3c>)l =464,75800154. 

—27a =—64 I also: — a>— 9, daher Fall 1) vorliegeDd. 
-279=— 61 I Es erglebt sich: 

27(y— a)=j27,, daher ß=7: 464,75800154=0,015061602 

£'=0,015003375 

i>_0015 g-fi' 0.0000582S» 

f_u,uia. ^ -0,001000721 

= 0,058185 
C= 0.000000 
0,058185 
/» = 0,015 
P =0,015058185 

P. 7,74596669=jt>ss0,1166402]. 
(3y) = + 1 - 0,11664021 =0,88335979 

9=0,29445326. ■ 



99. 

Ware aber in dem vorhergebendeo Beispiele e positiv, also 
die gegebene Gleichung: 

0=-2 + 7y+ »«+y» 

a o • 

80 ist, der Vorzeichen wegen, nach [94.] aufzulösen und es er- 
giebt sich: 



— 27a=— 54 
+ 279= + 61 



also —a^+q, daher Fall 1) vorliegend. 
Es ergiebt eich weiter: 



_ 115 

i7 (9 + o)_ ^ 27^ j^ijg^ Ä=115 : 464,75800154=0,217440602 

A' =0,246812904 



i*=0,234; 



R - R '_ 0,000627698 
D "0,001165 
=0,5387 

C= 0,0002 
0,5389 

/*= 0,234 
P =0,2346389. 



. \ 



44 Ker%: Ueöer die BeurtheUunf der Wurneln. 

P. 7,74596669 = p= 1,8167306. 

(3^) = -.]-{■ 1,8167305 = -I- 0>8167306 

y = 0.2722435. 



100. 



Es sei: 



0=-17+16y-6y«+y8. 

a 6 o 



Der Vorzeichen der Glieder wegen ist nach [95.] aufzuloseD und 
man erhält: 

(9Ä-3c«)4=6 und (96— 3c*)i = 216. 



—27a = —469 



also: — fi^-^g, daher Fall 2) vorliegend. 



— 27y = — 432 Es ergiebt sich: 



C27 
27(a— ^)= ^27r, daher Ä = 27:216 = 0,125 

R' = 0J24860867 

i>-nio^ Ä^^'_ 0000139133 

#--.ü,iZJ; ^ ■"0,00104576 

= 0,13304 
C= 0,00004 
1^,13308 
P' = 0,123 



P = 0,12313308. 

p.6 = /> = 0,73879848. 

(3y) = + 6+0,73879848 = 6,73879848 

y = 2,24626616 



101. 



Es sei die gegebene Gleichang: 

0= + lO + 93^-5y«+y». 

a b c 

Der Vorzeichen der Glieder wegen ist nach [95.] aufzulösen. 
Man erhSIt: 



F 



ttner rorge/egira cuötarlttn eieictiuug. 
(96-3c«)*=2.44Ö'l8'j7... iin.J {!l6-3c')l = 14,6969384.. 



—27»= — 155 



also ist Fall I) rorliegeail. Mau erliäll: 



C +425 

'i7(9+a) = I 27r. tiaher « =: 425:14,0969384... = 28,91758*2.... 
^• = 2,96 und fi' = 28.894336 







R- 


«• 0,0232813 






D 


0,27374 
= 0.0849. 


Werth 


nihc 0,1 tut 


so Ut 


C = 0,0003 
0,0852 






/» = 


2,96 






#» = 


2,960552 


/*. 


,44948«?. .. 


= P = 


7,252676 


<3.) 


= +5-7,252976 = 


-2,258576 






y = 


-0.750658. 



I 



102. 

Fchli in einer gegebenen cuhischen deicbung das ijuadraßecEi? 
lilied, nder ist dasselbe durch Transrormation h rnwegg esc li äfft, 
fio itann beaüglicfa der Vorzeichen ihrer (ilieder nur einer von 
-balehemlen vier fällen staliGnden. 



: + o + fty f .V^ 



- + 

- + 



Eb folgt wegen 0< + 6 und 0> —0, alsbald [aus 41.], dasa 
Air die Falle 1) and 2} die vorgelegte Gleichung .stets nur eine 
reelle \V«iet babe, lür die Fälle 3) und 4) aber die Mügllchkeit 
dr^er re«lleT Wurzeln vorliege. 

All» [^4. 9», 49. und 52.] ergeben sich fOr diese Wer Fälle 
tm annKbernden Bestimmung der reellen Wurzeln leicht die be- 
■Ggtlchen Formeln. 

Ebenso ergeben sieb lie/üglicb der Vorseicben vier ver- 
schiedene FSIIe, wenn in einer cubiscbeii Gleichung das Glied 
der ersten Potenz feblf, und lassen sieb die hierher i;ebürigen 
FoniielD leicht aus [48. 49. 51: und 52.| ableiten. 



•1 



46 



K«r%: Veber die BeurtheUung der Wunebt 



SSmntllcbe Fonneln mr annäheradeD Bestimmong der reellen 
Wnrzeln einer vorgelegten nnvolLstfindigen cnbischen Glelchneg 
sollen nachstebend EasaamiengesteUt werden. 



103. 



0=:±o+6y+y». 



Tab. III. 



y = TP.M. 



104. 



= ±a- *»+»»• 
27^ = 66(36)i 



Ä = 



27r 

(3Ä)|- 



^)±a<±g 
2)±a>±5- 



9 
a 



a 
9 



r 
r 



Tab. I. 
„ II. 



y = ±i(36)J(P-2). 
» = T*(36)»(P+2). 



105. 



ß=27« 



.3 • 



Tab. II. 



y = Tg(P+3), 



106. 



= i:a+cy«+y». 
27^ = 4c» 


"-"j 


2) ±a<±q 


q — a=zT 


Tab. 11. 


9 = TI(P+1). 

y = ±g(P-l). 



107. 
Es sei die reelle Wurzel der Gleichung 

0=-6+2y+y» 

• b 



i 



finer viirgrlfg/m cublschen SUtchung. 



at> g«(iati XU bestimmen, als dies die Einricbtung der Tabelle zu 
lilwf. Der VoMekbei» der Glieder wegen ist nach [I03.J aufwi 
b'fite», und sind die unteren Vorzeichen ku berückaich^en. 
Man erhalt: 

frl = l,4r4'2I35fV2.. ; 61 = 2^28427124... 

U = 5:2,828427124 = I,76776öy53 
/* = 0,03'.* und li- = I.7fi6tt3fi01fl 

n-w _ », oooBao934 

D ~ 0,003645 
= 0,2279 
f = + 0^00(0 
0.22» I 
/"= 0.930 

p= o,y;ty228i 

3(=+ 1,328269. 
Is( Hie gegebene Uleichuug 

0=+5+2y ^y^ 



80 kommen die oberen Vorzeichen [103.] t 
man erhält auf dieselbe Weise: 



Berücksichtigung und 



^^H Es se 

so genau 
gesUllet. 
xulüseo, v 



ieii die Wurzeln der Gleichung 
0=-5-2y + .v» 

£u bestimmen, als dies die Einrichtung der Tabellen 
Der Vorzeichen der Glieder wegen ist nach [104. J auf- 
qJ es sind die unteren zu berOcksicIitigen. Man erhält: 

(36)1 = 2.4494897....; (36)! = 14.6969384. . 
27a = — 135 
—27« = —29,3938769. .. , 

daher ist — a< — q und Fall 2j vorliegend, räch welchem die 
«orgelegle Gleichnng nur eine reelle Wurzel hat. Man erbüll 
, ireiteT: 

105,6061230 



27{a-»)=J 



27r. 



1 



48 Ker%: Veber die Beurtheilung der Wurzeln 

Daher ist nach Tab. II : /> = 0^6 und R' = 7J0m2l6 



R-R' _ 0,0883705 
D "" 0,1674 
= 0>Ö27 
C = + a002 

0,529 
P'= 0,66 

P = 0,56520 

P + 2= 2,56529 

(3M)(P+2)=: 6,28365 

y = +2,09455. 

Ist die gegebene Gleichung 

0=+6-2y+y3, 

80 sind die oberen Vorzeichen zu berücksichtigen, und man er« 
hfilt auf dieselbe Weise: 

y = —2,09455. 



109. 

Es sei die reelle Wurzel der Gleichung 

0=:+5 + 23^«+y8 

a e 

so genau zu bestimmen, als dies die Einrichtung der Tabelle zu- 
läsat. Der Vorzeichen der Glieder wegen ist nach [106.] aufzu' 
lOsen: Man erhält: 

c = 2; c»=8. 

12 = 135:8=16,875 
P» = 1,03 und Ä'= 16,728127 



R 


— R' 
D 


0.146873 
~ 0,2463 

C 


= 0^96 
= -f 0.001 






i* = 


0.597 
+ 1,03 






P = 


1.03697 



P+3 = 4,03697 
y = — J (P + 3) = —2,69064. 



+ -27a=135 
+ 27y= 32 



einer twpelegten cuUecMen eMchtum. 49 

. Ist die gegebene Gleichang 

so ergiebt sich aaf dieselbe Weise : 

y s +2,69064. 

110. 
Es seien die reellen Wurzeln der Gleichung 

= + 5-2»H»« 

O 

80 genau zu bestimmen, als dies die Einrichtung der Tabellen ge- 
stattet. Der Vorzeichen der Glieder wegen ist nach [106.] anfzulusen 
and es sind die oberen Vorzeichen zu beröcksichtigen. Man erhält : 

c = 2; c» = 8; 

daher ist +<z> -f ^ und Fall 1) vorliegend, nach 
welchem die gegebene Gleichung nur eine reelle 
Wurzel hat. Man erhält weiter : 

i 103 
«(«-9) = j 27r, also ist Ä = ^= 12,875. 

Nach Tab. IL ist : P* = 0,86 und W = 12,813656 

Ä-jß' _ 0,061344 
D •" 0,2162 
= 0,283 
C= -f 0,001 

0,284 
/>= 0,86 \ 

P = 0,86284 

P+l= 1,86284 

y = - Je ( P + 1 ) = — 1 ,24 1 89. 

ist die gegebene Gleichung 

= -5 + 2if« + .y*, 

80 sind di6 unteren Vorzeichen [106. 1)] zu beröcksichtigen, und 
man erhält die Wurzel ganz in vorstehender Weise, nur in po- 
sitiver Bedeutung. 

(Die TJerte Abtheilnng dieser Abhandlung folgt im n&cbsten Hefte.) 



Th«il XLIV. 



50 Vogt: ThH>rie des iquaiions rMpraoues. 



II. 

Thöorie des equations rcciproqucs 

|iar 

Monsieur Dr. u4ld. Vogt 

\\ Olpe OD Westphalie. 



üotions prelininaires. 

1. De tout temps, les analystes se sont vivcment oceupito 
du problöme de la räsolution gönörale dea Equations algäbriquea 
d'un degre quelconqiic. Mais quelques efforts qu'ils aient «bita« 
ils n'ont reusai jusqu' ici qu'ä rösoudre les Equations des qoatre 
prenoiiers degrös; et il est fort doutcux si jamais ils parviendront 
k la r^solution de Celles d'un degr^ sup^rieur au quatriöroe. 
Cependant les recherches qu'ils ont faites dans ce but, n'ont pas 
et^ tout-^-fait infructueuses; car il en a räsult^, qu'il y a toa- 
jours certaioes classes d'^quations de degrä supärieur qu'on peat 
r^soudre complötement, ou do moins ramener ä des Equations de 
degrö moindre. 

Pariiii ces ^qnations Celles qu'on appelle r^ciproques, ae 
distinguent autant par la singularite de leur forme « que par l'^ä- 
gance de la roäthode de leur r^solution. L'honneur de les avoir 
fait connaitre et r^solues le preinier, est AA ä Moivre, c^ldbre 
analyste franyais. II en a publik des recherches fort iogenieuses 
dans ses ««Misceilanea analytica de seriebus et quadra- 
turis'S qui ont paru en 1730. Plus tard Euler, cet illustre 
matbömaticien allemand, en a complet^ la thöorie, avec son adresse 
et sa finesse ordinaires, dans les ,»Conimentaires de l'aca- 
d^mie de Pötersbourg*', imprimäs en 1738. C'est encore lai 
qui leur a donnö le nom de r^ciproques, qui est depuis d*un 
usage genöral. 



Vogt: Thtarle des eiiiaflom rcrlprmivn. *>J 

ii-rioltlna Fl pruprlelfs g^K-rilei. 

%. Onllhairenient on coniprend soua ce (ilre (»ules les «iqiia- 
tiaii8 itut, si elloa soat ealisfailes par 2=a, le «ont aiiasi (lor 

x^', raleiir dtte r«d|iroi|Ne de «. Mais, )mu> (jIub de g^m^ra- 

Ute. iiouB ^tendroDs ici le sens de cette dcnominalioN, «I dirons 
r^ciproquc (oute ^qualion qui. h\ eile es( verili^n (lar .er:«, se 

v^rifie egalenient par :r = -, stipposä «(iie r soit ane tiunnlit^ 
^l^-^brique ou tium^rique iiuclconi|ue. Ain!<i, pur exemple, (oute 
^■(|i[ation du »econd degr^, c"esl-n-dire de la forme ir*+p,r + 7=0 
U'il «ilrc ri-gaid^e comme r^upraque, ptneque les ilcux racines 
' r. aoiit e];aleBi ä a et -, ai (i en tat iiae quelcnnqne et quc Ion 
i]>pose r i%tA nn dernler lertno 9 de cetto öqnalinn, le(|uel reprö- 
-enlc Iniijoura, comilic on saÜ, le prnduil de ses deux racines. 

3. El) adtiiellant Getto d^üiittioii, on peul en d^duire des 
I <iiisei)ucnce9 fort curieusce et propres ä noiis eclaircir cijcore 
dnvantage Hur la iiature dca liquations nkipraquee. 

Ciiinaient;aa(j par ub^erver que, b ^tanl loitjuitrs dilTeruiit de 
, 4 moins qu'il ne soit i>^nl ä -f t'r, toute ^qualinn rtfeiproque 

t avoir en k^"**'^! um nombro pair de raciiie«, et qu'elle ne 

iat V» aVDir un nonibri: inspair, sans iiu'd y en ail qui soleiil 

■le« i Vr positive üu negative. i*nr constiquent, uiio lelle 

I n« peilt jamaie etre de degre iiiipair, ä nioiiis d'älre 

kfiüte par la valeur -f V't oo — Vr de x. DailtenrH , ces 

Hnes pnrticnlttre» peuveot calisfalre ansei aux «iqualions röci- 

pr»ques de degri^ pnlr. Maia \\ Taut absolnniciit pourcela, qu'cl- 

lea »'y tronvent plusiours fois et toiijoiirsen noinbre pair, puisque 

_lm auttes racinc» qui sont diff^rente« de J. Vr, ne petivcnt s'y 

m*«r non plus qu'eti iiombre patr. Aiii^ii donc, \\ ei^ra pos- 

kfa qos l'uitc nu l'aatre do ces deux racinee y siiit tonte aeule deux 

, oa qnstre fois, ou [^^neralenirnt 2m (oia ; et de plus qu'el- 

soient foulen dciix ettüf-mlile, ä rondiliou que l'une s'y 

|>ar escmple, p (Viis et l'aiitre ("in—;») Toi». II ae pour- 



ImdBie que lequallon ii'edt p.i»- dautren r 



;elleB'Ci. 



Bemarquoiis aussi, en second lieu . que les rucines d'unc 

n de Ak^t^ pair S'inl touinurä conjugu^en entce elles, et 

tC» formenl, deux n deux, den prodiiiti« de vaienr conalaule. 

Oll reconnall rauilement que ces incines^ pcuvcnt £tre 

bin^ee deux & tleux de softe qnc le produit cn soit ^(jal ä i-, 



^ 



52 Voffi: Theorie des iquations rMproguet. 

CsLT, 8i räqaation n*a que des racines diffärentes de izVr, il fant 

seulement« poor cela, en reunir chacune k sa räciproque, savoir 

f* I* 1^ 

aä-» ß ^ ß' yä-.... etc.; roaia lorsquelle a.des racines ^ga- 

fx p y 

les ä ± Vt, il suffit d'en combiner soccessiTement deox quel- 
conques de m^me eigne. II n'y a qu'un seul cas qui fasse ex- 
ception: c'est celui ou, dans l'equation donuäe« lea racines -fV^ 
et — Vr se trouVent chacune en nombre impair, et dans lequel 
on est obügö^ par consequent, de reunir au moina une fois -f Vr 
ä — Vr» et d'admettre ainsi une combinaison ägale ä — -r» pro- 
duit de ces deox valeurs de signe contraire. Mais ce cas par- 
ticulier nlnfirme en rien l'exactitude de la proposition qae neos 
venons d*avancer. Or, celle-ci ^tant juste, il s'ensuit encore que 
toute öquation r^ciproque de degrö pair est döcomposable en 
autant de facteurs du second degrö^ qu'il y a d'unit^s dans la 
nioitie de son degrä ; et que dans chacun de ces facteurs le der- 
nier terme est toujours constant et gäneralement ögal k r posi- 
tif. Aussi voit-on que les racines d*une teile äquation ont ton- 
jours la mdme forme que Celles d'une äquation du second degr^, 
et qu*elles sont doiic^ deux ä deux« ou reelles ou iniaginairea. 

5. Enfiuy il nous reste encore ä constater en dernier lieu, 
qu'en vertu de la relation ötablie entre les racines d'une ^qoation 

r^ciproque, celle-ci ne peut subir aucun changenient, lorsqu*OD y 

*• 
remplace x par -• En effet, si Ton suppose que a, ß, y.,.. et 

T T T 

par cons^quent encore -$ g» -.... soient les racines de T^ua- 
tion donn^e^ Celles de Täquation nouvelle, qui provient de la 

T T T 

Substitution indiquöeserontnecessairement -$ g> -.... et tx,ß,y,.„f 

%x p y 

c'est-a-dire les m^mes qui satisfont ä la premiere. Ainsi donc, 

celle-ci n'a changö par cette Substitution ni de la r^iprocit^ 

ni de la valeur de ses racines^ ni non plus par consäquent de 

sa forme. Cette particularit^ est d'une grande consäquence« et 

m^rite bien d*6tre regardee« suivant Topinion d 'Euler, comme 

Ic caractöre le plus distinctif des equations räciproques. Aussi 

est -eile on ne peut plus propre k nous servir de nioyen pour en 

däterminer la forme g^u^rale, comme nous allons voir dans ce 

qui va suivre. 

Vorne des eqaations reciproqaes« 

6. De möme que les Equations reciproques se distinguent 
des autres par la relation singuli^re qui existe entre leurs racines. 



ogl Thtoile ilci fiiuatium rficlprotiuea. 



^^^P mrime et encoie |iIua ellea ae foul reoiinailr« ausai |)nr leur 
^^Bbv. II «ern ilnni: iinitorlHDt pour nous iloii prenüre connaiasance. 
^^H Remar<]U(>ns d'akord, i|ue (oute t-quation du degrü m, cette 
' lettre d^aignant un nonibre entier et positU', peut 4tre mitte snua 
la Tonne 



- + J, T" 



'-V A^x"^^ .... + Akx»-''.... 

.... + Am-kX^ + *Ji»-«a*+ Am~lX + Am 



:0 



ilans laquelle Af, A^, A3,.... Ak ^«—«....^411.-3, Am-i< Am 

Boiil des coefTicienla pris daiia le sens alK^briqae le plas geni- 
tal. Supfiostf maiiiteiiaiil (juo Celle ^ijunlion repr^aente une ^quatioo 
r(?ci)>Toque , il faul neceasairemenl, d'apr^s ce qu'on vieut de dire 
ci-deesos (n". 5), qu'elle reale la ni)'-nie larsqu'on y change x en 

-. Ro effeetnanl cette subslilutlon, on obliendra : 



i^*- 






- + ^» = 



(IQ bleD, aj>r6s avoir multiplti! jiBr z"*, dtvisii pai Am, et renvers^ 
[ordre dea tcrinea. 



.... + — i—a:».. 



^ — 'Ti . r— rt 



r iiuu cetle nuuvelle e^tualion s'accorde avec In propasto, Ü 
t et 11 suflit que les Icrnies aflect^e d'iine m^nie pnisaance de 
Ktieiit ^^ai:x cntre eux. On parviendra dnnc aux relations eni- 
^les «ulre le» coeflicienls de vea deiis equationa, aavnir: 



•■I™ = - 



i bieii .•l„=J:V^ = ±r' 



r— '/)» . J-> 
.^=-5— = ±r. / 



54 Vogt: Theorie des egualiom reciprogaes. 

Remontant maintenant ä requation primitive , on recoDDait qa'elle 
se reduit ä 

(O) a:^ + AiX^-^ + A^x^-^ .... + ^tar"«-*.... 

....dbr*" AkX^,...±r^'' 24aa:«±r«~ ilt^rir* =0. 

Teile est donc la forme la plus generale sous laquelle ane 
äqaation r^ciproque doit se presenter. 

7. Ainsi on voit qu*une equation est r^ciproque, sl les ter- 
mes ägalement distants des deux extremes sont tous ou de ro^me 
signe ou de signe contraire» suivant que le dernier terme est pris posi- 
tif ou negatif ; et que les coeflScients de ces ternies ne diff<fereiit 
entre eux que d'un facteur ^gal ä une puissance de r dont Tex- 

posant est moindrc que 5- d^autant d'unites qu'il y a de termes 
apres le dernier ou avant le premier des termes conjaga^s. 

Ces deux conditions sont rigoureusement näcessaires« et se 
rapportent aux äquations röciproques de tous les degr^s. Quant 
a la premiere, il se pcut pourtant qu'elle semble ^tre en defaot. 
Car il existe des equations r^ciproques dans lesquelles les termes 
affeetäs d'une puissance de degrä pair de r ont le m^me signe 
que ceux qui leur corrcspondent, (andis que les autres termes 
conjugu^s sont de signe contraire; et r^ciproquement. Mais il 
est aise de voir que ces irrögularit^s proviennent de ce que r est 
lui-möme de valeur negative, et que par consequent les puis- 
sances de degre pair en sont positives, tandis que celles de 
degre impair sont negatives. Donc, dies ne sont qu*apparentes 
et nullement incompatibles avec la condition que nous avons 
adoptöe. De nieme, les valeurs iniaginaires de r pourraient don- 
ner naissancc ä ccrtaines anomalies de signes, sans que ceHe con- 
dition en füt infirmee. II ne sera pas difficile, au besoin, de 
s'en rendrc compte. 

S. Cependant toutes justes que sont ces conditions, dies 
ne suffisent pas tout-a-fait pour les äquations r^ciproques de 
degrö pair, puisqa*elles ne fönt pas reconnaitre specialement a 
quoi s'en tcnir rdativement au terme du milieu de ces (Equations. 
C'est pourquoi il sera necessaire, afin de ne rien laisser k d^si- 
rer, d'examincr ä quelles conditions particulTeres ce terme doit 
etrc i»oumis. 

Observons que le premier mcnibre de toutc equation com- 
plete du degre m contient en gdneral mfl termes. Donc, si 



Voßl: TAeoik de* fiiiiallons recliirogues. 5ft 

^lu l'eiiualioii proposfie "' est tiupt">a^ {jair, le nombro total 
io BKS tcrnies sera iiupair, et \\ y anra un (erme de niilieu ijui 

lil |irifc«d^ el suivi de „ autres termes, et qut AoW pnr coii- 
»•■({uenl i^tre dt^signc', d'apr^a la nntalion convenae, par AmX*.' 
I>e invmr, le tcrmo correspondaiit de l'tfquation qui r^sull« de 
(a sulislitntion de — au lieu de x daas l'^qttation propos^e, eera 

— -j — x^. Or, comine les coefficioiits de cea termes, conform^ 
I jnnt i cc que noua en avons d^jä dit, doWent äiro 4gaux enire 
Max, II Taut iju'uii ait la rdalioii 



/!«= - 



_ 4t«H, en y eubslitu.int Bacccssivemenl Ics valeurs de A, 
B|i|Hlt d'olilenir plus haut, savoir 

I 



J«, = r" et .^«=-r^ 
I dödiril !e« t'gniites suitantes; 

I) Am = A„ et 2) J„=~^„ 



firami^ra en est du nomlire de celles qu'on noiunie ideuliipicH; 
e»! «Innc alisalumetit indiff^renl de quci coeffident le ternie 
Sm mllieu est nffe'.lii, pourva que le dernier teritic — ahstraclion 
falte de la valeur de r — eoil poeitif. Mais la derni^re rcnfernie 
ahaurdil^ ü nioinn qu'on ne euppnse Am = ^- II s'cnsuil quo 

a toale ^quation de degre pair dont le dernier lerme est ne^ja- 
ne du milieu doil ni::nquer. Cependatil, ce tcrme peitt 
tajMir« «obsister, si la raleur negative du dernier Icrnie provienl 
I C« quo r liii-memc est iiegatif; de m^me qu'il it'y en aura 
R al, malgre la valeur negative de r, le dernier terme de IVqua- 
I est poaitif. 

En ttfstimnnl enün ce quo nniis avone dit jusqu'ici de la 
Icfi ^uatioDs r^ciproquea, on reconnatlra racilemetit qu'el- 
I n* pcuvent ao präsenter quo sous uno quelconque des qitalre 
Tonnca sDivanles: 



56 Vogi: Tkiorit des äguaitons rMprogues. 

.... + i4n-i J?"+^ + il«a:* + ril«-ia:"-* .... 
....+r*-*Aa:*....+r«-*-4«a:«+f»-M|X+r"=ft 

.... — r»-* Aar* .... — r"-* ilt a:« — 1*-*-^, j:— 1*=0, 

.... + J„_ia?»+a+ il„a:"+i + Vriln^:» + Vr»^n-ia^-^... 

.... + r»-* Vr^lifca:*.... + r»~* Vr^aa?*+r«-i Vril,a: + i*Vr=0, 

(D) a:«"+* + J| x^^+A^x^"^.... + Aar«»-*+i .... 

.... + i4„-.ia:«+« + ^„a:«+* - Vr AnO^ - Vr» J«-i a:"-» .... 

.... — r«-* Vr -^ta:*.... - r»-«Vril2a?*— r»-^ Vr-^ior— f*Vr=0, 

dont les deuz premi^res se rapportent aoz öqaations de degrä 
pair, et les derniöres k Celles de degr^ impair. Ainsi une ^aa- 
tion quelconque ätant donn^e, on pourra ais^ment s'assarer, si 
eile est r^ciproque ou non, en faisant comparaison entre eile et 
Celle de ces quatre formes qui est du möme degrä. 

Pour faciliter encore cet examen, nous signalerons finalemeot 
quelques formes particuli^res dont les equations r^ciproques sont 
susceptibles, mais en nous restreignant, pour abr^ger, aux 4q&^ 
tions de degrö pair, qui, comme nous allons voir plus bas» m^ri- 
tent le plus d'attention. Remarquons donc que^ si r est suppos^ 
D^gatif, ces equations apparaitront sous une quelconque des 
formes quc voici: 

(a) x"^ + Ai x*^'^ + A2 0?*»-* + Ai ar««-» + A^ a^-^ .... 

14-1 

. ... ± r««-4 /^4 ar* T r*»- ' ^s *' ± »•*""* -^a«* T r*«-^ AiX± r«- = 0, 

(b) ar*"+2 + A^ a;4»+i + A^x^^ + A^ a:*»-» + A^ a;^»-* .... 
.... + A«a:«"f« + -^A2n^ria:^''^^TrA%nx'^.... 



^^H ioßt: Ti*orlf itts t'/unUont rfclpriigues. 57 

Vto« avons ajivul», dan^ ccs formulea, ainoi qne rlans cell« ijai 
■ i encore euivre, te facl^ur ~ au lerme du latlieu jioar in- 
ilitjaer <|ue ce lerme cxisle <iu dUparatt, suivanl que l'ou admet 
lc$> sigiies sup^rieure ou mfiSriours dans tcs derniere feTines. 

Enlin al r est *gal ä l'unite, d'apres la dälinitiun des öqua- 
tinna r^ciproquea Inqudlc nous avona drisign^e conimc ordinaire- 
nient ado[it^, dlea feroiit de la rorme suivante: 

m^) -^' + ^\ ^•""' + ^,a:>"-*.... + Aix^«-'' .... 

» .... + AkX^ .... i AtX*±Ai a: i: 1 = 0. 

i»xs laquelle il faut anrlout remarquer que les coefficients des 
termes A ^galfl distatice des deux extremes sont ^gaux entre eux, 
landis qn'ils sont cornrnun^ment diff^rents. Du reste, on peut 
rameiier tou|oar8 (oute ^quatinn ri^ciproque ä une frirnie pareille, 

I y anlMtituaiil .rv'r au licu de x, el en la diviaani ensuile par 

'i clernier tenne. 



frlnriiie fenduueiilal du la n-selnllon 
des ^qnatlons r<''clpra<|ues. 

' l#. Aprei« avoir f'ait cnntiaitre la furme des ^qualions itici- 

il cntivienf d'esposer la nit^lbode nu nioyeii de laquelle 

en diiteiiiiiner les racinea. Or, comme foute ^quation de 

I hnpair se v^riße au moinN une Tois par la valeur j:Vr de 

Kd'aprea ce que iKtus avoiis di( plus harit (n". 3), et quelle est 

[ dirisilile par 3; + Vr eu vettu de eerlains principes analy- 

MS; tl DO s'agit que de Irouver les moyena pnur r^soudre les 

isr^iproques de deijre pair. Mais an sali dejü (voy. 110. 4) 

I ilaiw loule iiqualion de ce degr^ les racines vont par couples 

[Tarmeat deux h deux des produila d'une valeur cnnalaiite el 



IC. Supposiius, par exemple, que a 
I (es racines de l't^quatiun propus^c. 



natt d^jä d'avance 



I ptoddlte aX-, ß>iä' yX'i «t'^- Oanc il sufGra, pour 

nolr les valeura m^mes de ces rauines, d'eii connailre encore 

les Mfliiues *'+">P+n. )" + "■■■■. ou ce qui revient au merac, 



58 Vogt: Theorie des eguations rMprogues, 

m 

f 

les valeurs de la fonction aTgöbrique x -i- —• Car, le prodait et U 

somme de deux racines ätaot coiinu8, la d^termination n'en dopend 
plus que de la räaolution d'une äquation du second degr^. 

C'est pourquoi nous sommes conduits ä supposer daiis toate 
äqaatioD reciproque de degrö pair 

et k essayer de d^terminer dans räqiiation qai r^sulte de cette 
Substitution, les valeurs de y. Celles •ci etaiit trouvöes, U sera 
facile de calculer les racines de l'^quation proposäe k Taide de 
la formule 

(J) ^ = 4(y±Vi^S;). 

qui se deduit de Thypotbese qu'on vient de faire tout k Fbeitre. 
II sult de la nature de cette relation qu'ä cbaque valeur de y 
doivent correspoudre deux valeurs de ar; circonstance qui est 
tres-importante ä retenir dans le cas oü röquation en y eBt sa- 
tisfaite par y^i^Vr, puisqu alors on doit admettre, dans l'^aa* 
tion primitive, deux racines Egales ä -f Vr on a — Vr. Ainsi, 
le nombre des racines de requation propos^e sera nöcessairement 
le double de celui des racines de F^quation derivöe. 



rermvle de svbstitvtieii. 

11. Pour faciliter Tintroduction de y au lieu de x ■{'- dans 

une equation reciproque quciconque, nous ferons auparavant con* 
naitre unc formule qui nous servira ä exprimer les somnics des 

puissances semblables de or et de - par des puissances de y; 

c*est-a->dire nous allons d^velopper Texpression x"-f '~;^ en une 

sc 

sörie qui proc^de suivant les puissances d^croissantes de y. 
D'apres la formule dite du bindme, od a toujours 

(x + -)« =r a:" + Hl rar*»-* + n^r^x^"^ + n^r^x^-^^.. + wir*a:"-**.... 

X 

l»fi— fc |»fi— 8 mh— S «iii-^l «pR 

n etant un nombre entier positif, et n|, it^, 713, .... nk etc. d^si- 



Vogt: Thiorie des equatiam riciprogues. 59 

goaiit ies coefficieots dits du bindmc, savoir les quotienta -s» — . x » 

«(n— l)(n- 2) n(n-l)....(«>-^ + l) ^ _^ . ' , 
1 a t\ » •••• ["q X •••• ®^*^* Keunissant les 

tcrines affectäs de meines coefficients, et remplagaiit a;-f- par 
fß on aura donc 

d'oü Ton tire 

.... — ifftr*(j:"-«* + — Zäj) etc.. 

r" 
Od peot en conclure que la somme x'^-{- -^ est susceptible d*^tre 

d^Foloppee en ane särie de la rorme 

«• + ^ =^1« + aiy»-* + by^-^ + cy^-^ + d^»-«+ ... 

dans laqaelle a, b, c, d.»., designent des coefGcients fooetions 
de n, mais independants de x et par consdquent aassi de y; 
coefficients qu1l 8*agit d'ailleurs de döterminer encore. Pour y 
parFenir, observons que Ton peut d^duire de Tidentit^ (1) ci- 
dessus, n ^tant un nombre arbitraire, encore ies identites sui- 
rantes : 

(2) :t-« + J^ä = .yn-*-(„_2), r[^-*+~] 

-(« - 2),r«tx-« + ~:'äJ -(«-2),r»[j:"-«-|-5Sl- eJc, 

(3) .r-« + ^4 = »"-*- («-4). '[^"-« + S^'«] 

- (n -4)ar«[a:— « + ^^] - („_4),r»[a:"-K>+^Zi5] " ««C 

(4) j:»-« + ^'i = 2,«-« - (n -0), r [a:— « + ~-^] 

«.»—10 

-(»-6)4r«[a:"-»» + ^5riö]- etc.. 



60 Yogi: Theorie des iguaüons rMprogues. 

|.n-8 «41-10 

(5) a;«-« + -zs = y"-»-(n-8)»r[:r»-»« + ^ijinö] 



— (n-8),r«[Ä^w+ -j;^]— etc. 



et ainsi de soite. 

En additionnant malntenant toutes ces ägalit^» äpartir de la 
premi^re» apres avoir multipliö auparavant la deaxi^me par a» la 
troisi^me par A, la quatriöme par c,.... Ton troave 

= y" + fly«-*+6y«-* + c^«+rfy*-» + etc. 



Kr* + a(n-2)8r»+6(n-4)^r« + c(n^6)ir][a;»-«+^d 



-[n5r»+a(n-2)4i^+6(n--4),r8+c(n--6),i^+d(n-8),r][a;»-w+^__^ 

— etc 

Or, nous avona d^jä aapposö 

a:* + ^=y« + o^«-« +61/»-* + cy»-« + etc 

doDc il faut, pour que r^qaation nouvellement obtenue puisse sub- 
sister, qu'on ait les relations 

a = — >f,r, 

b = — [war« + a(n— 2)ir], 

c =-[n8r' + fl(«— 2),r« + 6(n-4),r], 

rf = — [n4r* + a(n-2)8r» + 6(n— 4)»r« + c(n-6)|r], 

c = - [«5rHa(»-2)4r*+6(n-4)jr»+c(n-6)sr«+d(n-8),r], 



et ainai de suite; d'oü Tod döduit> toot caicul fait, 



Yo§l: Tkttrte de» HiuaHon» rMproquet. 61 



6 = 



»(»«-3) (it-3),n 
1.2 ^— 2 ' ' 



«(it-4)(it— S) _,_ («— 4),ii 

'-~ 1.2.3 '~ 3 "^ ' 

n(n-6)(n-6)(«-7) (»^-8),n 

""- 1.2.3.4 "^-"nr *^' 

_ n(it-6)(«— 7)(n-8)(«- 9) ,_ (11-6)4« 
' ~~ 1.2.3.4.S *^ ""■ 5 '• 



Ainsi, Ton obtient pour la s^rie demand^e 

f* o . (»» — 3)« - . («— 4)on , . 

H.(^l)> ^"-^-')*-'% >y.-«*....etc.. 

et continnant josqa*^ ce qu'on arrive ä des puissances negatives 
de 3f. 

ÜS. On pourrait encore parvenir au menie r^sultat de la 
maniere suivante, qai est anaJogue k celle que Lagrange^ ce 
grand analyste Francis 9 a auivie dans les »^M^moires de l'aea- 
cl^inie de Berlin" pour Tann^e 1768, pour trouver la somme 
des paissances d'un degrä quelcooque de toutes les racines d*une 
^aation donnöe. 

D'abord od aait par la th^orie göii^rale des ^quations, qu'eii 
admettant x ei — comme racines d'une äquation du second degr^, 

et sopposaot d;4-- = y» d'apr^s Thypoth^e que nous avons faite 

X 

ci-dessos, on anra n^cessairement 

% DUZ 

r-«i + »«=0, on bien r(l --)(!— -)=ü. 

X w 

DoDC, si Ton ^gale ces deuz expressions identiques, et qu'on en 
divise encore cbacune par r, on obtiendra 



r ^ r ^ x^ t' 



02 Vogt: Tk^rie.des äguaHans rMprogmet. 

d*oü Ton tire, en prenant les logarithmes de part et d'aotre 

(I) <.-e+i>/(,-i) +/(,-£). 

Or, on a en göneral dane le Systeme n^p^rien 

M* m' W* tt* 

Le dernier roembre de Täquation pr^ädente (I) deviendra done 

egal ä 

ou bien egal k 

(2) 

-(x + ^);-(^« + ^.)jJ-(:r»+^t)j^V--(^-+S)£-,-ete. 
Quant ä son premier membre, Ü peut etre transform^ en 

/ 



1 



|0-?)(-;öZi)) 



OU en 



'0-?)+'(-n-4) 

et sera donc egal ä 

«2 2^ 2^ Z® 2^^ 

+ i^^~'i(r-y2)« + 3(r-.yi)>~J(r^=^ + 5(r-yz)»~ •*'' 

Or, il est facile de d^velopper les dcrniers qnotients de cette 
ezpression en 8^riea recurrentes, et Ton troovera 

2« j« «2» M«t« «8j» «4,8 «"-^z" 



r— y2 



— ,T^Tj.8l-y4Ty» ".. 1- ^_, + eic 



'i(r-yi)« = * Lr"5 + ■;»"+ "^ + "r* " + ?^ ' +etc. J, 

3(r -y»)» - * Lr» + '7«^ + ~i^ +."~J^"" + ^i^'^ f etc. J, 



Yo§t: Tkiorte des iquaUons rieiproques, 63 

5(r-yz)»""^Lr»' r« * r^ "*" r« -+ ^i^^^» "*^®^^' IV 

et ainsi de suite. Sobstitoant donc ces si^ries dans Texpression 
pr^^ente, et rtfunissant les termes affectäs des ni^mes pois- 
sances de 2, on aara 

r* V2r» rj* V.3r» rV* Ur* r» + 2r»y* 

_/«!_«!+ yV._ A»! _»!. ^•_ »V. 

V5r» r*^r'J V6r« r» ^^ 2r* 3r»J* "" 

_/y _y— ' . (n-3)y--* (*i-4),y"-* , (n-S),y»-« 
■••• V«r" r»-» "*■ 2r"-» 3r»-» "*" ir*-* 

(n— 6)4«"->» , \ 
-- -5^— + etcjt«- etc., 

on bien anssi 

(3) 

-»•;-(»'-2r)^-(3^»-3ry)^,-(y*-4ry«+2r«)^ 

- (y'-7rv» + I4rV-7rV)^ - • 

.... - (y- — nrg-* + ^' r*y— «- ^— r»y"-« 

. (n— 6),n . „ / 

+ /» r«y»-« - etc.) -- - etc 



nr» 

Afais ponr qae cette expression puisse s'accorder avec la s^rie (2) 
ci-deMW, il Taut admettre les ^quations suivantee: 

r» 






"% 



64 Vogt: Thiorte de» iquattont rMproque». 



«• + ^, = y«_6ry«+9rV-2r». 



dont ia derni^re n'est ^videromcnt autre chose que la serie qoe 
nous avons döjä trouvöe plus haut (n^. 11) par le »ecoar» de ia 
fonnule du bindme. Quant aux premi^res, ce ne sont que des 
formes particulieres de cette serie qui correspondent ä des valeurs 
particulieres de n. Nous verrons plus bas quel eu sera Tusage 
dans les equations röciproques. 

18. II existe d aillears encore une autre relation eiitre x et 
y qui peut remplacer jusqu'ä lin certain point la s^rie g^nörale 
ci-dessns. Teile est la relation 

qu*il est facile d'ötablir, et qui sert k exprimer ia somme des 
mömes puissances de o; et de - au moyen de Celles de de^äs 

immödiatement inf<^rieur8. En effet» en faisant successivement 
n=l, 2, 3, 4, etc., on trou?e 

et ainsi de saite k l*infini. Cette relation nous fournit donc les 
m^mes r^sultats que la särie (J^) ci-dessus. Mais celle-ei a 

ravantage d'^tre bien plus exp^ditive et plus commode que la 
derniere formule» puisqu'eile se rapporte k teile valeur de n qae 
l'on voudra, sans avoir recours, comme Fautre, aux valeurs pr^ 
cädentes de ce nombre. 



Vogt: UiX'ile i. 



r i-iiiiatliiH» reclproqncs. 



ÖJ 



14. Vuivi, eu d«rnier lieu, encore i|uel<]ii«e romiex ))articu- 
re» ile cetle sirle, qii'll «1 bun He connnitre puiir avoir pluH 
'de (hcilile ilnns %ks applicatioDB, et \\\\\ sc rapporlenl ^ c^laiiies 
9 de r. Si Ton suppose, par exemple, <|ite r snit n^galif, 



•I; 



r*y"-" \ etc. 



■ Premier memfare de cotte a^rie decient ^gal ii 

*' , ..... 

'' — — . suivaiit qae « est pair ou inipaiT, et 1 «ii 

Enfin. »i Ton foU r^ I, cettc aerie se röiluit ä 

Sous cell» derni^re loinie eile s'applique donc am ^qualtons qui 
"onl appelries niciproquee dans lu mens le plus resireiiit, mais 
le plus iisitö de ce mol. 



R«iftliill*ii dcB eqHaliDns rt-ciproqnrs de dtgre jtair. 



I 



Itt. En reprenant acliiellement kü recberches relatives ä la 
des equutions t^ciprotiues, iious tfleherona cii prumier 
de bir» savoir, cominent on parvient ä la resolation d« «el- 
dfl degr^ pait* qni aonl de la Tonne suivanle; 









Ob»entt>its dofic que, si l'oii divise cette ^qualion par x" et qn'oii 
nUMenbl« Ic« lernies & äi^ale distance des deux estr^mes, on 
itieol U Iransrorm^e : 



.- + .*»(**-* + J3)-- + ^n-«(*H 5 + -4»-i(a:+ ^)+-4-=0. 

mptsgant niaintenant les sommea mises en parentlieses ]iar 
) talaOTB en y. qul rt^sullent de la a^rie {^) du cliapilre pre- 
Bent. I'on trutive 



-66 Vogt: Thiorie det equatlonB rMpro^vet. 

._, . (n— 3)ii .^. ("—4),» , ^ , , (»— ß)s«i_- - . 

+ ^1 b-'-Cn- l)ry«-« + (n-4)(»t- lj^^._, 

+ ^. [r-* - (n - 2) nr-* + ^"~^j/''"^ -^r«y-« 

+ .4,[»"-»-(n-3)ry-»+ (?Lr.^üZ:?)^^»-T 

- (n-7y-3) ^,^^^„_.^ (n-8),(n- ^^^,... ^ 

+ ^t [j,-* - (n - Ä) ry-t-« + («-^-3) (n-*) ^,^,.^.^ 

_ <"-^-^>«<"-*) r»y-*-« + etc. ....] 

+ ^»-8 [y* - 3ry] + A_8 [y*—2r] + J»_iy + ^n = 0, 

ou bien, ordonnant et r^unissant les mdmes puissances de y, 

(I) y" + ^ly-» + [^«-nr]y»-« + [^,-(n- I)r^,]y"-» 

3 ' ^*-« 

. («-A+3),(H-^ +8) 
+ 21 r* Ak~§ — etc.] y"-* 



+ [A»-t—4rA„-t + V^n-« — i6r*An-t ■ • • Oy' 

+ [i4«-i— 3r^„_, + 5r»^,_4 — 7rM«-T..,.ly 

+ [^»— 2ril,-a + 2r«^«-4 - ZrM,-, + 2r*i<,_,. .. .] = 0. 



Yept- ntorfe rles fQuaUont rMproijws. 



ns realp «ncure a rrfsoiiilfc. 
tandis quc IVquation ]ir(i|)o- 



Wi: Mt donc l'AjnaOon qu'il o 
AQU» bi»D qa'ell» est du degr^ t 
ft c«l du itcgr^ 2r. 

hH s'ensuit que ponr parvenlr ä la r^solutinn d'utie äqualion 
oroque de degrt' pnir et de ta forme (A) du n". Q, il sufiil de 
todre une ^tiunlton de degrä sous-rlouble, qu'on obtJent pat 

stilulion de $ ä la place de -t-^- dnns l'^qaatinn donn^e. 
Bit dptennini^ les valeiirs de y, on auro Celles de .1- :i l'aide 
forniule (J) du n", 10. 

Soll, par exeniple. ä r^souHre IVqnaliun: 

»I de Ib rortnute (A) du n", <J, »l l« 
an = 8 j ^, = — 3,5 I ^, = 
r =: 4 I At= - il \ ^^ = 

I appltcallon de la ro^lhode que tinos Tennns d'eipo!ier, 
r^daira cetle ^quntion h la suivante: 

y* — 3,5y» — 5Sj«+326y - 408 = 

ItiManI reaolue d'apr^A tes reglea analyliques relatives n lu 
" ilion des (^(lunlions du qualrieme dcgr^, donne 

5 = 2; ff = 4; j=6; j = -8,5. 

Uf dweane de ces valeors dans la relatinn (J) du r 
9 hutt Taleurs de x, savoir: 

liV^^: 2,2; 3±v5; -8,-0,5. 

nnl donc Ics huit racines de l>quation propos^e. 

Oiffculons, en secnud lieu, teo moyena de räsouitre une 
Blioa rfeiproqiie de la Torme: 

'■ + .l,;r'^»-' + W,jr"'-''.... + Akx'»'-*^ .... 
.... 4 ^„_|jr"+l — r.^„_ia^-'.... 
....— f~*^*x*..,. — r"-«<4aa^-r^M, i-r" = 0. 

Ricoiuaft d'alturd racilenietit que celtc equalion se v^rifie par 
leux valeurs + Vr et —Vr de .r. Car, cumme le deroier 
t de toutc äquntion reprösente toujours lo pruduit de loutes 
meines > «1 que dans une equation recipruque de degr^ pnir, 



68 



Vogt: Theorie des iqtiatlona rMproque$. 



1 



d'apres ce que nous avons va au n^. 4^ les racines peuvent ton* 
jours ^tre combinäes deux ä deuz de sorte qu'elles ne formeBt 
que des prodnits ägaux ä -f ^> a moins que les deu^ racinet 
•f Vr et — Vr ne s'y trouvent cbacune en nombre impair; il est 
Evident que le deroier terme d'une teile ^quation ne pent ^tre 
negatif (abstraction faite de la valeur de r), que dans ce rodme 
cas exceptionnel. Donc, cbacune de ces deux racines particali^ 
res doit se trouver au moios une fois dans r^quation propos^* 
On pourra^ du reste, s*en convaincre encore davantage« si Tob 
y substitue ±V'* au lieu de a:\ car eile deviendra identique de 
cette mani^re« 

11 en r^suUe n^essairement que cette ^quation est diTbible 
par le produit {x -f Vt) {x — Vr) , ou , ce qui revient au mtae» 
par x^ — r. En effectuant cette divisioDy on obtiendra donc pour 
quotient une äquation du degr^ 2n — 2 et de la forme suivante: 

(Bb) a:«"-«+^iar««-» + Ä»af««-*..., + Aar«*-*-«.... 

* 

.... + Ä«-« ar" + Bn-i ar*«-i + Bn ^"-* . . . . 

Afin de d^terminer les coefficients Biy B^y B^.... etc. encore 
inconnus» multiplions Täquation ro^me par x^ — r; ce qui donne: 



+ (Bn^rBn-t) X* + (Ä+i — rBn^i) x^^ .... 
..... + (Ba«-t— r&ii-»-a)a:*.... + (Äh-s— rÄ««-5)Ä* 
+ (Äa»_a — rÄ2fi-4)j:* — rÄ«-,ar — rÄ«n-a = 0. 

Comme ce produit doit ötre identique avec l'^quation (B) ei-des- 
sus^ on est oblige de supposer: 






By 
B^ 



r 

tB, 

tB^ 



Ak-Bk-rBk^% 



Am—^ =Ä«— a— rÄn— 4 

An—l ^Bn—V-~-rBn—^ 

An =Ä»-rÄ,-.2=0 



i*~* A = rÄn-*-a— Äa«^* 



r«-M3 = 



rB^-s 



^a"-s 



-Ä 



d*oü Ton df^duit successivement 



r 



Yogi: Theorie des iquattons reciprogues. 



09 



^4= A^-f-rA^ + r* 



i?»-! c=i<ii-i+r/f«-8+rM«-5+etc. 



B*= A+rA-«+r*A-4+ etc. 

But'-k-t = r«-*-» ( A + r A-« + r« A-4 + etc.) 

Par la Substitution de ces valeure, l'equation (Bb) ci-dessus devient 

«■ii-H4a«»-»+(^+r)Ä««-*....+(-^A+r/fA-,+rM*-4+etc.)a:««-»-« 
....-f (il«-a + ri^«-4+etc.)a:» + (An^i +r2l«-,+etc) jr"-* 

't-T(A»-^+rA»^+eic.)x^'-^...,'t-r^'-'"-^Ak+rAk^+eic.)x''..., 
..^+r— »(i4t + r)a:« + r«-«i^iar + r"-J = 0, 

f oi Tod Toit qu'elle est de ro^me forme qo*one ^quatioii räci- 
prs^o* de la fonae (A) da n^. 9, que ooas avons dejä appris k 
f ^ s o a Jre ao noiiiero pr^f^dent. 

Ea y appliquant donc la formole (I) de ce Dumero, laquelle 
npr^seoCe requation räsultaiit de la proposäe par l*introduction de 

y an lieu de x-|- — , 011 obtiendra pour r^duite 
jr-HÄiy-» + [Ä,-(n-l)r]y— » + [Ä,— («-2)r»,Jy»-« 

_i»-*Ji).(2-*±5,^.^_^ + etc.],— .....=0. 



70 ^ogl: Thiorie des iquattmns recfproguet. 

Mais comme on a, tout caicul fait, 

B,-(n-I)r = ät- (n-2)r, 
B,-(n-2)rBi = ^,-(tt-3)r^,, 

^4-(«-3)rÄ, + ("-^H"-') ^ _ A^-{n-^)rA^ + (ii-3),r». 
Ä5 - (n-4)rÄ, + (»'-gH"r g>ra/y,=^,-(n-S)rv<,+(i»-A),ir«/«,. 

= /<,-(n-6)ri<4+(it-5),r«^,— (f»-4),r». 



« / / I i\ » j («— A)(w — A-t-3) ,„ 

(n-^+l),(«-H8) ,„ . (n-A-f2),(n-A+7) ^„. 



on trouvera finalenient 

(II) y»-« + ^i»"-*+ [^2-(»«-2)r]y"-HM8-(«-3)r4]3r-* 
+ [y<4 - (n-4)rv<, + (n-3),r«]y— • 

+ K-(n-6)ry<4 + («-5)jr»^a- («— 4)jr»]3r-» .... 
+ [/4t — (n - Ä)r/4»_« + (n— A+l)ar».(lt_4 

+ („ _ Ä + 2), r« .4»_« - etc.] y»-*-i + etc. 
= 0. 

C'est donc l'äquation dont il Taut encore dtfterminer les racines, 
pour obtenir, ä l'aide de la formule (^) du n°. 10 celles de l'^qua- 
tion proposöe (B). 

18. Supposons, par exemple, qu'oii ait & resoudre IVqua- 
tion suivante: 

x^H^x^—lx^ ~ .'i8a:'+196a;«-784x«+928ar»+448x«— 2048a:— 1024 

= 0, 
qui r^sulte de l'equation (B) ci-dessus, si l'on y fait 



r 



H = S I A,= 8 ] A, = ~- 58 
T = 4 I ^ = —7 I 4.= \m. 



StitvsDt I«« principe« «in'an v'ienl dVtablir, on voil <]n'elle «st 
vatUfaile par .!-= j:2, et qn'elle peut ^h-e r^duite ä une dqualion 
du qualriime (legre, pat Tapplicalion de la forniule (II) ci-des«as. 
Itr, on B dans celte formule 

=8 I At-itt-S)rAi=~m I 
obtienifr« ilonc pour ^ijuatioii t^uultante 

g* + %'— löi^a— I22j + '240 = 0. 
ae v^rlfie, comme il est facÜe de proaver, par 
y = 3; 5 = 8; y= — 2\ y = — 3- 
i'on sabstitue chacune de ces valeiits dans lequatiau (J) du 






I 

^^V*. 10, on tronvera lea valeurs de a: correspoodantee, savnir: 

^f -4, _|; 2(— 2 + V3); l±V^=3; i(3i:V:=7). 

Or, CD y ajoulant eocore lea deux valeurx -f 2 et — 2 qii'on 

vlmt de Bignakf ci^deseas cnrome racines. on aura diz valeuts 

^^^p X qai satisfunt ä la propoade; eile se trouve donc coinpl^le- 



HaelBlIao dci pqnilleiis rpclpraquest dt de|ip im 



Maiatenant tious allons nous occuper des öqualtons tec'i- 
preqne« de degr^ iiiipair. et niius commencernns par exposer le» 
mayena pour r^soudre celles qui soni de la forme suivanle : 



... + r"-*V'rvl*.r*.... + r'-''Vr/l».i«+r"-'Vr-4,a;+r"v'r 



I 

^^B ao tappelaul que, d'apres ce <)iii a ete dit plus haut (n". 3 

^^1 «■*. 10). loute öquation röciproque de degr^ impair doil nvoir 

In ncine + V ou — \^t. oii recotinaitra fncilenient, que cetle 

ci^nalion • ci est satiafaile por x= — Vt, et par oonsequent divi- 

Lble par x+Vr. Cetle division etani eRectii^e d'une maiilere 




72 Vogt: Theorie des ^quations rMprognes. 

m 

analogue ä celle que nous avons suivie au num^ro pr^^dent, od 
aura pour quotient: 

ar«" + (Ai — Vr)x^^- » + (A^-- \/rA^ + r)ar««-«.... 

....+ {Ah - Vr Ak--i + rAh^^ - ( Vr)» i^*-s + r* A-4 ~ etc.) ar««-* ... 
....+ Mn-i — Vr /<fi-a+r/<n-8 — etc.) a:«^ * 

+ (^w — Vr An-^\ + r i4«-2 — etc.) x^ 

+r (iln-i— Vr ^fi-« + ri^n-8 — etc.)ar«-* .... 
....+r«-*(2l* — Vr A-i + etc.);r*.... 
....+ r"-*(^a-Vril, +r)Ä:«+r«^H-^i— Vr)ar + r« = 0. 

Evidemment, il n'est autre chose qo'une äqnation r^ciproqoe de 
degr^ pair et de möme forme que celle du n^. 15^ et pourra donc 
dtre trait^ aussi de la inline manUre. 

Uepr^sentons-le» pour abreger, par 
ar«* + Ci j;««-i + Cio:««-« . . . . + r»-« Ciar* + r"-i Ci j: +r" = 

et appliquons-y maintenant la formule (I) du n^. 15, pour y sub- 
stituer y au Heu de :r + — ; il en r^sultera T^quation suivante : 

sr + C, y»-« + [Ca - «r]y»-« + [Q - (« -l)rCi]y"-» 

+ [Q - (« - 2)r Ci + ^^^-t^^y--* 

+ [C. - (« - 4)r Q + ^^^=^\*C- ^-5^>^r>V---. 

+ etc. = 0. 
Or on a, toute räduction faite, 

Ci = i^i — Vr, 

Q — ni==M» — Vr^,)-(n — l)r, 

<i— (n— I)rCi = (J8-Vri4^-(n-2)r(i^i~Vr), 



Vogt: Theorie des äguaiions rMprogues, 73 



= (/*4- \^rA^ - (II -3)r (^, - VrAO + (n-2),r«, 

= (^5-Vr^4) - (n-4)r{Ai-VrAt) + (n-3),r«(^,-Vr), 

C< — (n — 4)rC4+ 2 r'Ci— g r» 

=(i4,-Vr/<5)-(«-6)r(i<4-Vri4j)+(«-4),r»(^9-Vr/<i)-(«-3),r», 

=(A— Vr/4t-i)— (n— A + IMAk-^—VrAk-a) 

+ («-*+2),r»(A-H- Vr^t-s) -(n-*+3)8r»(^t-«— Vr/<t_r) 

+ efc. 



lotroduitons ces valenrs dans räqnation ci-dessus; eile se cban- 
gere en 

flII) ^ + M, - Vr]3r-H[(^a- Vri4,)-(n- J)r]y«-« 
+ [(A,- VrA^-(n-'i)r(Ai ~ Vr)]y-» 
+ [(.I4- Vr^,)-(n -3)r(A^ - VrA^) + (»-2),r«].y»-'« 

+ [(J.-V'r^4)-(«-'*M^s-V»-/4,)+(»-3)ar«(^,-Vr)]y"-» 
+ [(^«- Vr/4»)-(n-5)r(^4- Vr^,)+(n-4)jr«(^a- Vr^, ) 

-(«-3),r»]y-« 

+ [(/4»— Vr A-O— («— A + \)r{Ak-i—VrAk-t) 

+ (n-A+2),r*(/4t_4— VrA-s) — etc.]y«-*.... 

= 0. 

Teile aera donc l'tfquation qu'il Taut encore rtfsoudre poar parve- 
air k la r^olaHon de l'^quation propostfe (G). 



74 Vogl: Theorie des er/uaiions rMprogues. 

90. Soit» par exeniple, üonn^e Tf^quation 

que l'oo peut d^duire de la forme g^ni^rale (G) du n^. 9, en y 
faisant 



n = 4 
r==l 






^3 = lU 

A^= 4i. 



Conforiuöment aux d^ductions faites ci-dessos, eile a la racioe 

— 1, et doit 4tre räductible k nne ^quation du qnatri^me degi^. 
Pour y parvenir, il faut observer que Ton a dans la formale (IIQ 
ci-dessus 

n = 4 Ai—Vr = --2i 

(ilj — Vri^a)-(n— 2)r(^i — Vr)=25, 

(/l4-Vril8)-(n-3)r(i<,-Vrili)+(ii-2>tr*=:0, 

ce qui donoe pour la röduite cherchäe 

y4-2iy»-9Jy« + 25y = 0, 

qui est satisfaite par 

y = 0, 24, -3, 3*. 

Or, ces quatre valeurs de y, Substitutes dans la formule (±) da 
n^. 10, donneot huit valeurs de x, savoir 

x=±V;^; 2, i; l(-3±v5); 3,1, 

qui satisfont k la propos^e. Donc , en y ajoutant encore la valeur 

— 1, qu*on a reconnue tout d'abord ötre racine de cette öquation, 
on a dätermin^ toutes les racines qu*il fallait avoir. 

91. II nous reste encore finalement ä ezaminer le cas ou 
r^quation donnäe est de degr^ impair et de la forme suivante: 

(D) j;*»f ^ + ^i j:«" + A^x^«'^ .... + ^Aar«»-*+» .... 

.... + i4„-ia:«+* + il« j:»+1— Vr i4«a:» — Vr'-^«^ia:»-* . . . . 
.... — r«-*Vr ^ko;*....— r«-*Vr A^x^-r^-^VrAi x^-r^x^r 

= 0. 

On reconnait, au preroier abord, qu*on peut y satisfaire en niet- 
tant X = Vr, et que par cons^quent on peut aussi la diviser ex- 
actement par x — Vr. Essayant cette division, on obtiendra, de 
la möme maniöre que tout k i'beure, pour quotient 



^: 



YOft: thMhe tief njuallon» r^cfproques. 7ft 

+ M,+ Vr<<. + f^, + V'r»)x*-».... 
-+(*<» + Vr^»-i +Mt-a+ Vr»^i-, + r«A-, + etc.Jy*^-* .... 

-I- (A + Vr^n-i + TA^^^ + etc.)x" 
+r(v<«-i + VrAt-i + r (<,_, + etc.) j:"-' .... 
fS«.+i"-*(A+Vf/*k-i + r.d*-» + etc.)a;*.... 

II s'enBnit que la r^solution de l'äqnation donn^e dopend encor« 
teile il'tm« equation r^ciproque de degr^ pair et de la forme 
du a**. 9. doot nous avons döjä fall connaltre la iD^thode de 
ilutioR. 

Op^rant donc suivant celte mätfaode , an parviendra d'une 
maui^ro saalogue ä c«IIe du nam^ro pr^crident, ä IVqualion aui- 
- rwile: 

jlV) y + M,H Vr]sr-' + M« + VrH,)-(n-l)r]y"-« 

+ [K+V»-^j)-('»-3)rM, + Vr^,)+{n-2),r«].v"-* 

+ (.i-3),r»(^,+Vr)]jr-* 
^;[('*«^-V^^s)-(»-Ö)^{d4+ Vr/J,J 

-f(«-4)ar«{A + Vr4,)-(n-3)jr»]^-«... 

-» elc. =0, 

Lrcpr^Mfile celle ä la<{uelle on reduit la proposee par la sub- 

■flffO dft y ä la place de :r -| - , apr^s lavoir divisäe aupara* 

l par fr — Vr. II ne s'agit donc plus que de resouHre cette 

I poiir parvenir ä la t^salulion de l'^qualion propos^e (D). 

n. Aiusi, par exemple. I'^qualion r^ciproque 
= 0, 



70 Vogl: Theorie deM ef/uaiion» redpro^mtM. 

<|ui coin|iar^e avec i'^qoation (Ü; ci-deasas donne 

r = 9 i i^, = -25 i i^4 = — «3 

i«t da RH lai|uelle on a par cons^queiit 

Ai I Vr = - 3, 
(/f, fVr^,)-.(n-l)r=-70, 
M. |Vrilt)-(w-2)rMi+Vr) = — 36, 
(J4+Vr^3)-.(ii— 3)r(^,+ Vr^i) + (ii-2)tr* = a60, 

NO r^diill k Ti^quation suivaiite 

y4_3yj_70^«-. 36^ + 360 = 0. 

Or. collo-ri est satisfaite par qiiatre valears diff^rentes de f, 
Navoir 

Doiic, l'equation proposee ae verifie par les hnit valears aaifü' 

tea de or, 

a- = l±V^i:8; |(-1±V^); -3, --3; 9,1; 

et eil ootre encore par jr=:3 d'apr^ Jes principe« döja ^tablii 
pliia haut. Elle est donc coropl^tement r^aolue. 



Srelif fKfieral ft reselitiei dfs fqiatieis reclpraqici 



\. U<^cnpilnlanl liri<'voin<'nt foul ce qni vient d^^tre dit am 
U I «^Pitliitlon d«^i« «"qnatiAn« rociproqncs, on voit bien qoe, par de« 
pirt«*««d<^»k Amü«»» simplo«, loute eqnation reciproque da degrtf Sfe 
\\\\ ^^ ( I. «"t pailois m^mc dn dogre 2ff-f 2 (voy. n^. 16) peat 
i^ho trtm«^niH^ A nno rquntion dn dof»re w. Par conaeqnenty tootes 
loi« iMn qn'il ^%t p^»iMhl^ d<^ rö«ondr^ <^tte equation rtfsaltaiite, 
on pAMk<«n«lia an^^i A 1a r«^<^loti^n do IVqaation reciproqoe doo- 
ni^«^ <^i . «>n r«Mina\l den niolhodoi^ c<^nrrales ponr resoodre (oit- 
fiMk lok o«|nallt>nK qni no KnrpaK^rnt pa« ic qnatriene d^rrf; done, 
«Mt pt^nn^ an»"^! i^«w«rdrr c«*n^ralomonl traute« le» fH|iiati«fM rdd- 
pvoqiio» d^^ noiil pf^^mior^ «fccr«^. qnHqncfoi» encore cefles do 

#t Main, danx Ik prafvqii<^. il »r pi^t neme qn'ra r^s* 
kt»«o .^ nvHi^iidi«i' ^^ «H|nafi<HU^ rcvipnH|ireft d'm degre encore 



l'exceptinu 
qui m^ril« 



fogf: rke«rlt i/rs eiinnllaNS rccIproiiKts. 77 

■rri^Mvat an neavi^nie. C'est ce i|in acrive souvcnl. |tar exeni- 
Av, dikns W «qualions recjfiroques k ileux Icrmea ou biiiilmct*. 
?sl-i-(!ire d« U forine: 

',ir<Hi poot d^aire de la forme g^n^rale (Q) il< 

I in^ae» (voy. o". 6), en y aiiiiulant loua Ita (er 

!''■> il«ax extr^Rivs. Exniiiinons un peu plus pr^s c« 
nit niilrc allention. 

Or, il p«t facile de prouver, qu'on peut rrisoudre ces rqua- 
'iriiB Irinlinea loules les fniä qnc leur exposnut est iiti nomhro 
>W*ampi>aable »n Tacleura premiera plu« peltls qne 11. Cnr daits 
rM caa la rf^solutlon d'iine teile ^quation peut luujnure ^fre ra- 
ownM, aaU par ritilroductinii ifincontinea auxilinirea, anit par In 
J^ooipDiritifiD rio IVquadon eti racleura bimtmes, i^ celle d't^quS' 
i)>m« t^ciproquos d'iin degrt^ iiir^rieor so dixt^me. 

Alna), puar fiier les ideea par nii exenipk-, b ri'aoliitioii df 
leqtuttoa bio-line 

^»•' + 1=0. 
lua laquelle ad a 

n. = 2».3.7 *)t /<„=1, 
4*p«i>d qun de celle de« ^quations kinAmes snivanlc«: 
dl y*+I=0; (2) i«-I = 0: (3) «'-1=0; 

eat fat-ite de r^soudre, puisque leur degrri eat moiiidre que 
«I dani la premirre resiille de la prnpoa^ mAme, ail'on y (ait 



I 



) 4nxitai« de l'iqnalinn 

x«-, = 0. »i Ion 
»t ta tnivUimv co£ii de IVquatio 



>uppoat 



Sjc'—iVs = 9, «i r«ii y fall J = u"* 
doni^k« bypotbeae dann« les valeura de:r I 
, a detaraiin^ los tbIcvts de y, i et u. 

Da niAne, pouT pancnlr ä la reaolalJnn de 1' 

» laqwvlle un a 



= V.y. 



80 Vogt: Th^rie des equations rMprognet. 

il faudrait d'abord däterminer ane valeur de p qui «atisfait a 
requation 

192^» + 160/>«— 3200/1—5504 = 

r^sultant de T^quation (2) du n^. pr^c^dent, si Tou y fait 

A-U\ Ä = 45; C=— 4; Z> =— 28. 

Comme od trouvera, entre aotres, la valeur p = — 2, T^oation 
proposäe se transformera par la Substitution de ar=z— 2» d'apm 
la formule (I) ci-dessus en: 

j44.6^8_i5j«_482+64 = 0, 

qui est cohforme ä la formule (A) des ^quatioiis r^iproques» et 
se r^sout donc de la m^me nianiere (voy. n^. J5). Ainsi, Fonaora 

2 = i (- 3 + 2 V2 ± V49±12V2) 
et par cons^quent 

o: = i(-7i2V2+ V^49i"f2 V2) 

pour les quatre valeurs de .r dans T^quation donn^e. 

%7. II existe d'ailleurs encore uii autre moyen fort ^l^gant 
pour opärer cette traosforroation doot il est question, lequel repose 
sur les relations connues qu'on a ätablies entre les racines d*ane 
^quation quelconque et les coefficients de ses termes. Voicl en 
quo! il consiste*): 

On sait d'abord que, si i*on d^signe par a, ß, y, ö les quatre 
racines de l'^quation propos^e, 

(1) ar« + ^a:» + ÄÄ«+Gr+/) = 

il faut qu'on ait 

A =-(«+|J+y+d), 
Ä= aß + ay-i-ad'i-ßyi-ßi'i-Yd, 
C='-(aßy + aßd + ayö + ßyd), 
D = aßyS. 

Supposant donc 

aßz=z a; cy = 6 ; ad=:c 



•) \oy. GriincrCt Archiv Bd. XXXI. 



yogt: Theorie des tquatton» rietprognet. 81 

on aura 

jt D D D 

Mais ce8 derni^res valeurs forroent evidemment les racines d'une 
^qaation r^ciproque du sixiöme degr^ et de la forme 

(2) y^i^Py^+Qu^ + Ry^ + DQy^+D^Pif + D^ = 
dans laquelle il Taut supposer: 

cD cD ^ D* D^ D* 

aD* bcD ^ . ., D» bV.iy.cIJ^.D* 
6c ' o ' ' ^ a ae c ab a 

+ 6 +fl6cJ- 

Or, expriraant a, b, c..., par «, ß, y...., on trouve, tout« r^- 
dnction fatte, 

/» = — («/? + «y + od + yd 4/?* + jSy) = — Ä, 

Q = («+ |J + y + d) (a/Jy + aßi + «yd + /Jyd) — a/Jyd = /<C- ü, 

Ä= — [«öyd|(o + /J + y+d)« — 2(B/» + «y + «d + |Jy+/Sd + yd)| 

+ (a/5y + a^d + ayd + /Syd)«] 

Done r^qnalion (2) ci-dessus se r<iduit ä 

(3) y«_By» + (^C— />)3>«- (i4«D-2ÄD+C«)y» 

+ {AC— D) Dg*— BD»y + D» = 

et eile se obangera par la Substitution de i^y-^-—, effecta^e ä 
l'aide de la formule (1) du n^. 15 , en 

(4) «B— i?2«+(^C— 4Z>)2+(4BZ>-^«/>-C«)=0 



82 Vogt: Thiorie de9 iquatiom recfprogues. 

qoi fouroit trois valeurs de z et par cons^qaoDt siz valeurs de y 
qui conviennent k T^quatioD (3) ci-deesus. Celles -ci ötant tm" 
vees, donoeot lee racines de la propoatfe, eo vertu dee rehtioM 
Stabiles plus haut. Ainsi» comme on a suppo»^ 

aß ^= a; cvy = 6; ad = c 

et par conni^queDt auasi 

a^ßyd =' «•/) = abc 



011 obtiendra 






abc 



XTäbcD* 



(5) 



6 _ bP 
^ c ^ cD 



« VabcD 

Mais 5 puiaqu'il faut choisir a, 6, c entre six valeurs de y, et 
qu*oii pourrait par coDsäqnent les confondre surtout avec lean 
röciproques; il est n^cessaire, avant d'admettre les racines ci- 
dessus, de s'assurer si Ton a pris les valeurs convenables et 
propres k donner les vraies racines de Töquation propos^. II 
sufGt pour cela, qu*on les ait choisies telles qu'elles conviesneBt 
ä r^quatlon 

(6) a6c+(a+6+c)Z>= - ^ Vä6c7Ö, 

qui r^sulte de la relation 

si Ton y substitue les valeurs At a, ß^ y, 6 ci-dessus. 8*VL es 
est alnsi, il n'y aura plus de doute qu'on alt trouvä les v^ritabltf 
racines qu'on demandait. 

M. Soit« par ezemple, 

a?*-&r« + l&r« — &r — 7 = 

r^quation h rteoudre. On en d^dnira, k Taide des formules (Q 
et (4) ci-dessus, les ^quations suivantes: 

(3) y«- 18y*+71y* + 132y» - 4973^« - 882.v -343=0, 



Vogl; Thiarig tlet eijuaHonB rtctprorptet, 1*3 

P) !» - \hi* + Ö2i — 120 = 0, 

: la tlerai^fe se v^rtfie par 

t=IO, 2, fi 

Isorle qu'on a ilans IVqustioii präcedcnle , soivanl la formule 
I da ao. lÜ. 



V =5 ±4^/2;. I±2V2; 7, 



I. 



hme mainlcnsnt , [ittrmi ces dernieros valeiira, les troJs sutran- 
|Balisroiil ü la condilion (6) ci-dessus, savoir 

a = 5 + 4v2j 6 = l + 2v2i c = — I; 

■all est facile de prouver; on nbtiendra donr, auivani les 
I (5) ci-dessua 



.= ^E 



= V3+'iV2^ I + v2. 




ponr nciites de Icquation prapostie, qui sc Irouve par cons^quent 
compl^tmaeot r^aolae. 

SO. On voit, par ce qni pr^c^de, de quelle maniere on peut 
lirrr paili des i^qualions r^clproques pour r^soudre les «^qaationa 
du quatrl^me d«gr^, Quant aax aulres ^quationa non-r^ciproquea, 
\\ n'extat« pas, qae je sache, des inoyens de les rendre TÖcipro- 
qdM. Du niotns, les m^tbodea que onus venons de auivre daas 
Ibs ^mtions du qaatrieine degrä, ne s'nppliqaent plus a celles 
4'tin ie^ri sop^rieur, ni ni^me ^ Celles du troisiäme degrä; soit 
parce qaa le nombre des öquatlons de cnndition auxquelles on 
Ml coaduil, est plus granrl que celui des incounuea auxiliaires 
qoll Taut d^teimtner, soit que leur degrä est le ni^me ou encore 
plna haut que celui des ^quatlous primilivea. 11 faudra donc, je 
atäa, renoncer ä faire application de la thriorie des tiqualioos 
r^dpraques dans U r^solutinn des ^quations qui surpaseeot le 
qaiiHdme degr^. 



84 Scheffier: üeöer die Quadratur des Zirkele* 



III. 

Ueber die Quadratur des Zirkels. 



Von 



Herrn Doctor Hermann Scheffler, 

in Brauntchweig. 



Da 80 eben in Frankfurt am Main die Quadratur des Zirkeli 
erfunden ist, so wird eine Unterbaltuni; liber die Unmöglichkeit 
dieser Operation zur Verberrlichang jener Erfindung beitragen. 

1) Die Quadratur und die Rektifikation des Kreises nehmeo 
hinsichtlich der geometrischen Konstruirbarkeit, so wie anch hw- 
sichtlich der arithmetischen Berechenbarkeit gleichen Rang ein. 
Die Erstere verlangt die Bestimmung der FIScbe ABC (Taf.II. 
Fig. 1.), welche der Vektorradius Aß beschreibt, indem er ass 
der gegebenen Lage Aß in die gegebene Lage AC übergeht; die 
Letztere verlangt die Bestimmung der Linie ßC, welche der End- 
punkt des Radius bei dieser Bewegung beschreibt. Beide kom- 
men auf die Bestimmung der Ludolph'schen Zahl n heraas. 

Die Aufgabe, aus dem Radius den Umfang des Kreises sa 
bestimmen, scheint eindeutig, ist aber in Wahrheit vnend- 
lich vieldeutig. Der Kreis ist nach seiner Entstehung und 
wahren Bedeutung keine begrenzte Linie, sondern eine an- 
endliche Spirale, deren Windungen aufeinander fallen. Die 
Aufgabe verlangt also die Bestimmung des Weges, welchen der 
Endpunkt 6 des Radius ab (Taf.II. Fig. 2.) beschrieben hal^ 
wenn seine Richtung wiederum mit der ursprfinglichen 
zusammenfällt. Von andern Prämissen als diesen geht die 
Aufgabe nicht a s; dieselben sind aasreichend und noth wen- 
dig, um das Problem zu definiren. 



Sdkefft'T: I>*f 'ii' Ouitdratur des ZUktlt, 



«> 



E* («dcblet rin, iltut» NOtvuliI die Windung bec, als aiK:h dla 
' <|-)iL*l»in<)i)ng btcfd und (iiierliaupl Jede vielfache Windung der 
. fxa'x: genügt, doM als« die Auflüsung alle diese Werl hfl 
^rlicn nrnss. Die Aiixaltl der niilglicben AuflüBungen ist 
iiendlich gros» und ilemzufnlge int es »«lliwendig, ilass sich 
- AuriüAiinii niiihincliäch durch eiuo (ileichung von unend- 
h bnbeia Grad« nder durch eine Kectinung von unend- 
< Fi«D Ujiera lioncu und geometrisch durch eine Konstruk- 
jQ To» unendlichen 0[>Qrationon darstelle. Weder ein« 
lliicbe Gleichung, DAch eitio endliche Kochnung, noch eine end- 
rlic KoBKtrnblion kann das Problem tusen. 

ßrtiuf n&herer BrlSulerung der letzteren Behauptungen wird 

iijiig vorangeachickt, dass das Verfahren, In H-elchem 

'- Autliisang liegen soll, mit gletclier Leichtigkeit das 

<lu!i Üuppelte, das Dreifache und iiberhau]i( jedes he- 

^-iv \ iciUchc des Unifnnges und Kivar sowohl als rechts sich 

idende. wie da links sich windende Linie, d.h. als [xmiliv« 

> aU nrea(iv# Gfiisse ergehen muss, dnfs dasselbe aber auch 

_ w«( die*« Vielfachen und keine anderen Grüssen ergehen darf, 

AJm >!*•' die Gtcicbung, welche zu dieser Auflösung dienen 

^^Kllie Wnrxeln 0, J:2n, ±in. J:6n.... und keine andere 

^^^■hrn nius. Dies« Gleichung iel: 

F 

I UäaC 



-J.)(*-fa)<* -»")•■ -1 [<» + !!")(» +J»)U + «.-'). 



•(»■— l»')!' - l<)..")(.r'— 3(>»>) . . .. (i« - 4»'««) . . 



= 0. 



M«M CMriiung lisBl sich in monniclirachor Weise umrormcn: 
' ÜMl »Ich diefellie In fulgciiile Kurm liringeii ; 



■"'-JJäX'-BSiX'-».-.'-'»- 



I Ealnicklun|c etgicbl sieb hieraus, 
Vg i^fi unterdrückt. 



;nn man die eine 



(l+l'J^ 



■74«< 






r 



mmmmimm 



HQ Scheffler: Ueber die Quadraiur det ZlrätU. 

'l) Weon «in Verfahren uneodlich viele Werlhe nrgobeii 
s(i\\; so mnss dasselbe, am irgend einen clieiter Werih« lu 
erxeugen, nDthiTeiidig in unendlicli vielen OpomtioneD be- 
stellen, welche an den gegebenen Grossen (hier dem ftndina oitj 
der Einheit) ;u vollziehen sind. IJenn xiir Erfüllung der Aufgabr 
hat jede ihrer Aul'lüaangen gleiche neTecblrgiing- üaa AuT- 
lilsuDßs verfahren, da es alle Werthe treffen seil, tdqss ein all* 
gemeines oder für aänimllichc Werthe gerne! nschafllich»8 i 
dasselbe niusa nach denselben Prinsipien so gu( aar 
einen n-ic auf den andern Werth führen. Die Wege, wetcb« 
den gegebenen Grüssen aus auf die einzelnen Werlhe d 
Auflüsungon führen, unterscheiden sich nicht durch die All u 
Zahl der vorzunehmenden Operationen, aunderu lediKÜcb du 
die verechiedeoen Einzeliverthe, tvelche die beim . 
ISsanga verfahre» sich darbietenden Gnlssen haben, oder dn 
die Viöldetiligkeil der nach der Vorschrift des AuflSn 
Verfahrens verlangten Operationen, so dass man zu v 
denen Endaertben gelangt, jenachdem man im Verlaufe i 
iDaung an irgend einer Stelle des Verfahrens den einen od«? d 
anderen Einzeltverlh der belreffemlcn Griisse annimmt. 

Wird z. B. an irgend einer Steile des AufliisungsverfahrenaFd 
Allsziehung einer Kubikwurzel verlangt; so nteht man auT j 
Schnelle, von iro aus das allgemeine Verfahren tvegen der Dr< 
deuligkcit joder Kubiknurzel eich in drei Spezialw^« a 
tel, welche zu drei l^ndtverthen führen, ohne dass daa i' 
meine Verfahren, d. b. die Art und Anzahl der Opcralioneo ■ 
irgend wie Jinderle. Wird in ähnlicher Weise bei der geomi 
ecben Konstrnidion an irgend einer Stelle des Auflösungsvcrfi 
rens der Durchschnitt oinea Kreises mit einer Geraden oder tj 
einem anderen Kreise verlangt; so bcGndet man sich auf i 
Punkte, von wo aus das ullitcmeine Verfahren liegen der SSt* 
deutigkeit eines solchen Durcbachnitles eich in zwei Sped 
wege trennt, welche zu zwei Enilwerlheii führen, ohne das ( 
liisungsverfahrcn selbst /a alleriren. 

(Afle Vieldeutigkeit der arithmetischen Funktionen i 
geometrischen Konstruktionen entspringt, wie ich glaube 
Artikel über die Vieldeutigkeit der Funktionen ia Gri 
nert'a Archiv Thl.28. und im Si tuationskolkul gez^ 
haben, aus der Vieldeutigkeil, welche jede Grüsse dadoi 
hat. dass nur ihre (JuanlitUt und Richtung, nicht aber die 2 
der ganzen Umdrehungen um den Nullpunkt, welche Ihr t 
gelegt wurden kilnricii, gegeben ist. Die Vielfacheil der Wursel 



^■BBT Glckhang ist eines der vielfacben Ergebnisse jener Viel 
^■itlgicelt der Rrüsge}. 

^H Da di* Vleldeuligketl einer endllcben Funktion, r. U. einer 
^^przel Vau endiicliem tirad«, stels endlicli ist oder da eine 
^^faie Funktion nur eine endliche Menge der Quatililüt und Rich- 
^^k nacb verschiedene Worthe hat; so kann ein endliebee 
^^■flüsunjisverrahreii. d. h. ein Verfahren, welches nur eine 
^Hdliche Menge endrn;her Uperationen fordert, nur eine 
^^blieb« Metige von AuTlüsungen liererri. Ein Verrühren 
^^■hin, welches eine unendliciic Menge von Auflüsiingen lierern 
^^p, moiis »ntliwcndig i:in unendliches sein, d.h. es muss aus 
^H|r utiendlichen Menge von einfachen Operationen be- 
^^blB. Unler deu einfachen Operalioneii sind lediglich die G rund- 
^^■erationea iter Malheiualik verstanden: dieselben sind in 
^^fcweÜscher llezichoag Addition, Multiplikation und Po- 
^^■liruDg (nurunter Subtraktion. Division und VVurzelausziehting 
^^f begriffen sind) nnd in geometrischer Beziehung Forlschritt 
Ewd Drehung, indem die niedere (ieometrie die der Potenzirung 

entsprechende Bewegnng nicht als Konatrukliunsmlttel gehrau- 

chen tt^iir. 

f)a die Herstellung des Kreisumfnnges aus dem Radius un- 
eodjiclt viel Auflüsungco gestattet; so kann dieselbe weder arilh- 
roetbisch , noch geometrisch durch ein endliches Verfahren ge- 
tchehen, ist also iii Ueziehung auf die Zeit der Ausfiihrnng 
unmOglicb. 

Die Zahl der Operationen oder die Zeit der AuafiUhrung he* 
irrigi durchaus keine innere Unmöglichkeit. Im tief>entheil, 
enn das zam Ziele ffihrende Verfahren seinem Wesen nach ein 
lievtimmtcs und in eeiuen eioEelnen Operationen ausführbares 
L«l, nujfl die nintbemntische Auflüsung als erbracht an- 
geaaben nnd die Unendlichkeit des Verfahrens ebenso sehr als 
etnas Unwesentliches belrncblet iverden, wie der Grad der Glei- 
cbtrag oder die Vielheit der geometrischen Schritte hei irgend 
eineoi endlichen Verfahren für »leichgSIlig gehalten wird. 

CiKer dem letaleren (jesicblsptinkte erscheint die Rektifikation 
I Krciaes nach den bekannten Verfahreu sowohl arithmetisch 
) genmelriach gelils't, jedoch immer nur mittelst unendli- 
cher Operationen*). 



Bin ««br einfncliea t 




cngegebpu. 



vischi-'B Nähe rnugs verfall rr II liubi.' ifh iin I 



- t 



HS Scheffier: Veöer die Quadratur des Zirkels. 

3) Mass die Zahl n irrational sein mflsse, folgt aus Vor- 
stehendem nicht. Ihre faktische Irrationalität lässt sich 
übrigens leicht und streng auf bekannte Weise durch die Ent- 
MJcklung in unendliche konvergente Kettenbrüche bewei- 
sen (vergl. Schlumilch's algebraische Analysis Kap. XX.) 
Die Irrationalität von n ist auch nicht der Grund ihrer Unkoo- 
struirbarkei t; denn es lassen sich sehr wohl Irrationalgr^ssen, 
z. B. Quadratwurzeln konstruiren. Diese IrrationalitSt ist auch in 
arithmetischer Hinsicht nicht der Makel, welcher jener Zahl 
anhaftet; denn fast alle Wurzeigrussen sind irrational, ohne dass 
man dieselben perhorreszirt. Die Zahl n ist nicht bloss eine 
irrationale» sondern eine transzendentale, d.h. eine nicht 
durch eine endliche Zahl von Grundoperationen darstell- 
bare, oder nicht algebraische Zahl, und hiervon liegt der Grund 
in den obigen Beziehungen. Man erkennt, dass jede W^urzel einer 
unendlichen Gleichung im Allgemeinen transzendental sein 
rouss. 

In besonderen Fällen ist es möglich, dass die Wurzel einer 
unendlichen Gleichung, welche ihrer allgemeinen Natur nach 
transzendental ist, algebraisch, d.h. durch eine endliche 
Menge von Grundoperationen darstellbar, ja sogar, dass sie 
rational wird. Ebenso kann eine Wurzel einer endlichen 
Gleichung vom zweiten oder höheren Grade, welche im Allge- 
meinen irrational ist, unter Umständen rational werden. Der 
Uebergang einer transzendentalen in eine algebraische 
Grüsse findet statt, wenn sich in dem unendlichen Verfahren, wel- 
ches die transzendentale Grüsse verlangt, eine unendliche Menge 
von Potenzirungen nachweislich in das Resultat einer endlichen 
Menge von Operationen zusammenfassen lässt. Der Uebergang 
einer irrationalen Grosse in eine rationale findet statt, wenn 
sich die im Allgemeinen unendliche Menge von Multiplika- 
tionen, welche die Erstere erfordert, auf eine endliche Menge 
reduzirt. 

Eine solche Zusammenziehung einer unendlichen Menge von 
Operationen in eine endliche Anzahl kann selbstredend uur in 
besonderen Fällen, d.h. nur dvtun stattfinden, wenn das Ver- 
fahren auf eine Grüsse führt, welche von den allgemeinen Eigen- 
schaften der Grüsscn eigenthiimliche Partikuiarwerthe, z. D. den 
Nullwerth besitzt. Wenn dieser Fall eintritt, und demzufolge 
eine An endliche Reihe von Operationen sich auf ein 
einziges Resultat reduzirt; so ist klar, dass mit jener Ab- 
kürzung eine unendliche Menge von Vieldeutigkeiten, 
also eine unendliche Menge von Verschiedenheiten ver- 



Sebeffirr: re!)rr rf/c Qiiailialui des Zlr/tels. 



L'»Tchl«t werden. Dieser Kuli kam 
deren llmslimden Biotretcn und mus 
nichliing gciTisKer Versah iedenheiti 
tüss «ich die VVuneln in Grujipe 
:iiv(Iern ein gcnieinsc haftli eher Gruppe 
Küuimt, w&lireiid die Gru|j[ieii selbst sich durch ape: 
~ g«rithCimlichkcltcii unteräcbeidcn. 



alao nur utiler ganz besaii' 
"egen der envtihiiten Voi 
immer zur Folge haben, 
vcriheilen . rieren Einzeln- 
kter 
il'iscbe 



Nun besitzt aber die oliige Gleichung unendlich viel ver- 
ladene Wurzeln 0, ±"2«, ±47i, J;6ji u. b. tv., welche die 
euiven VielTachen dersellieu Grüsse '2n darätellon. Nach 
Ciarnchbeil und Gleichartigkeit der Ueziebiiag, in welcher 
B Wertbe zu einander stehen, künnen sie nur aU eine ein* 
xiffe Gruppe (bllchslenK als Kwei Gruppen resp. von positiven 
ml uegaliven Grössen, deren Zahl aber iuiiuer unendlich bliebe) 
ilur als die ein« igen Glieder ebenso viel verschiedener Grup- 
|ieii angesehen werden. Im erslercn Falle läge (iberhaupl keine 
Vereirifachung vor, die Zahl n kiinnle also nur durch eine unenil- 
lirhe Menge von Operationen dargestellt werden, wäre mithin 
keine nlgebraincho und noch weniger eine rationale Zahl, 
adcr der Krctsunirang wäre nicht durth ein endliches Ver- 
konstruirbar. Im letzteren Falle dagegen niiissle die 
j^ebeno Gleichung in lauter Fubtnrcn vom ersten Grade 
Melcfie sich aus den Koerfizienten der Gleichun« durch 
Keba OperatioTicu darstellen liestien. Sieht man alter auch gaus 

I Umfange der Gruppen, welche die Wurzeln jener 

Cleickiuig etwa bilden künnlen; sn ist en viel klar, dass die LUs- 
linrLeit der GleiL-hun)> mindestens ein Zerfallen in Gruppen von 
«uäticber Gliederzabi, also die Müglichkeit der Abson- 
; Faktors von endlichem Grade voraussetzt. 

[In ilieiier allgemeinen Itetracbluiig liegt der Gedankengang, 
lei der nacbslehonden Beweisrühruni; vcrrolgen 
fem. Zu diesem Ende bedarf es zuiificbst der Darstellung 
iKoeflltienleu der Gleichung (2). 



fahren 
{ffigeebei 



m Wenn man die Aufgabe in trigonomelrii 
1 ifSJ), so muas man schreiben: 

sini.r=0 

KVi«sft Gleichung enlbült alle und keine 
ihten Auflüsungeti. Demzufolge kann sie 
I {I) nur durch einen konstanten Fak 
I also haben: 



Zeichen for- 



b von der Glei- 
r unterscheiden. 



90 Bcheffler: üeöer die Quadratur des Zirkels, 



rioix = ax(l-^^(l-^il-^ 



oder auch: 



Da fiir ar = 0, = 1 ond aoch die rechte Seite =1 ist, so 

muss a = i seiD. Diess giobt die bekannte Formel : 

sin^ *c* x'^ - a?* 

oder auch: 

filD ^ 

Setzt man für die linke Seite ihre trigonometrische Reibe 

X 

und entwickelt das Produkt auf der rechten Seite; so ergeben 
sich durch Gleichsetzung der Koeffizienten der gleich hohen Glie- 
der die Beziehungen: 

««= 1.2.3^1 + j + g + .... + ^ + ...J. 

«•=1.2.3.4.8.6.7(^;j;^+.... + — ,— i;;jj|j + ....) 

allgemein : 

Ich weiss nicht, ob diese Beziehungen bekannt sind» Bekannt 
ist folgende Formel, worin B^n^i die (2ft — ])6te Bernoulli'sche 
Zahl bezeichnet. 



7t*» = 



2.1.2.3....2 n/l . 1 



(1+32« + 5«« + ••••/ 



Eine Vergleichung dieses mit dem vorhergehenden Ausdrucke 
giebt : 



Sckeffltr^ Leber itie ffuiirJratur tiet Zltkttt. 



-(a,+i)(2»-i)- 



l.2».3«.. 



r.+..+: 



Vorstehen des lal ein Ausdruck für die Bernoulli'scbea Zah- 
^Im. Da diese Zahlet) sfimnitlich rational eini); so folgt, dass 
■^fc beiden Werlbe 

I 



Li "^3«« 



+ SÄ + - 



1 



Li. 2«. 3«, 
I einem rationalen VerhSllnisse 



■''■?», «ni,«....TO.»^'""J 

einander stehen. 



(5) 



+ .... = 



Schlleflslicb ist klar, daas statt der obigen unendlichen Glei- 
chung (t), deren Auriügimg Tür x die unendlich vielen Werthe 
0> J::2ii, j:4n, ^Qit — ergeben niirde, auch die Gleichung 

It2=:0. also die Gleichung 



'1.2.3. -2«^ 1.2.3.4.5.2* 1.2.3.4.5. 6.7. 2* 

lUtii vrerilen kann und ilasa die Koerßzienlen derselben 
denen der obigen Gleichung ganz identisch sind. Setzt 
2x (Or a; sti die Stelle; so leuchtet ein, dass die Gleichung 



(ß) 



- 1:2:3 + ■ 



^ WnnelnO, ±«, ±2t, ±3j 

Lkat man die Wurzel :r = au 
rch x; »o erhält man die Gleichung 

(7) 



.= 



2.3.4.5.6.7^ 
. und sollst keine hat. 
ausser Acht und ersetzt x^ 



1 + 



1.2.3^ I.-2.3,4.B'^ 1.2.3.4.5.6.7'» 



nelcb« aar pasllit 
tMP.... besitzt 



nämlich die Wurzeln 



Es leuchtet ein, dass die Lüsbarkeit und die Unlüebarketl 



*^ Sehe frier: Veber die Quadratur des Zirkeis. 

der eineo der beiden Gleichungen (6) und (7) die entsprechende 
Eigenschaft der anderen einschliesst. Wir werden quo die ieti* 
tere Gleichung (7) zum Ausgangspunkte nehmen. 

Um die Natur dieser Gleichung zu diskutiren, schicken wir 
folgende Sätze voran. 

5) Da jede Gleichung mit positiven ganzen Potenzen von 

X nie 

AnO^ + -4ii-ia:*-^+ . . . . + i^o = 0, 

ein spezieller Fall einer höheren Gleichung von jedem beliebi- 
gen Grade m ist, indem darin nur die Koedizienten der oberen 
Glieder den Spezialwerth Null haben; so muss das Auflusungs- 
verfahren jeder unteren Gleichung in dem Auflosungsverfahren 
jeder höheren enthalten sein. 

Das Auflosungsverfahren der quadratischen Gleichungen muss 
also das der Gleichungen ersten Grades und das Auflosungsver- 
fahren der kubischen Gleichungen niuss das der Gleichungen 
zweiten und ersten Grades mit einschliessen (was es auch thut). 

6) Die Auflösung der Gleichungen besteht hiernach in einem 
allgemeinen Verfahren, in \velchem der Grad n eine willkar- 
liehe ganze Zahl ist. 

Wegen dieser Willkfirlichkeit oder Unbestimmtheit von n und 
weil die höhere Gleichung die niedrigere einschliesst; muss das 
Auf lösungsverfahren dasjenige sein, welches für einen unend- 
lich hohen Werth von n Anwendung findet. Jede Gleichung 
ist daher nur durch ein unendliches Verfahren aufzulösen. 

7) Hieraus sollte man schliessen, dass jede Gleichung un- 
endlich viel Wurzeln hätte. So ist es auch. Beispielsweise 
sind die unendlich vielen W^urzeln der Gleichung ersten Grades 

X — = folgende o: = ae*"^'V^~^ worin n jeden beliebigen gan- 
zen Werth annehmen kann. 

8) Die unendlich vielen Wurzeln einer Gleichung haben zum 
Theil gleiche Quantität und Richtung, d.h. sie unterscheiden 
sich nur durch die Zahl von ganzen Umdrehungen, durch 
welche sie aus der Grundeinheit entstanden gedacht werden 
müssen. Diese Wurzeln decken sich also in geometri- 
schem Sinne gruppenweise, und wenn man nur die sich 
nicht deckenden als verschiedene Wurzeln ansehen will, 
reduzirt sich die Anzahl der Wurzeln einer Gleichung auf die 
Zahl n ihres Grades, d. h. des Exponenten des höchsten Gliedes, 
dessen Exponent einen von Null verschiedenen W^erth hat. 



SChfffitr: Veöer tlle Quaitmiur des Zirkelt. 



I Dieser Sats I«t atreng benieeen, uoter Aiiderem von mir in 
ranert'c Archiv Tbl. IS. 
0) Die Auflüsung der Gleichungen bestchl in einer geselz- 
hen Verknüpfun); Uür Kocriiiienlen. Uiese Koeriizieiiten ki>nnen 
nz betieltige Werllie haben: sie sind nur an die lieilingung 
kniipft, ürSsi«en dnrzuatellcn, nclcbe gewiHse konstante 
GrSBsen geunietrisch decken, also Grii^aeii von konstaii- 
ler QnanlitSt und konstanter Kichlung, eont^l aber von be- 
»btger Umdreliungsxahl. 

Es kann iiaeh Vorstellendem rcir alle Gleichungen (alle 
■ntde) iinr ein einziges AuriüsuiiEjageBetK geben und die- 
ps UcMtE Ist auch fUr alle Wurzeln einer Gleichung das- 
nd ein unendliches. Die Verschiedenheit den KesnU 
Üles niler die Verschiedenheit der Wurzeln cnU|>ringt nur aus 
r Vli'ldeDttgkelt oder Vielivedhigkeit der in dieses Geaelz ver- 
b^lcnen nnd im Laufe meiner Amiendimg daiaua cnlspringen- 
pn Gifissen *). 

10) Eine AbkürEung dieses .^uriüsungsverfahrena, d. h. eine 
iBinderntig der darin vorgeschriebenen Operationen kann nur 
Inlreten, wenn die Koetlizienlen der Gleichung gewissen apezlel- 
I Bedingungen geniigen. 

Namentlich bewirkt der Nullnerth wesentliche Verein- 
bchnngen, »eil alle Alultiplikatinnen und Potenxiruniien dieser 
BiüMe denselben NulliTerth behatten, also geometrisch sich 
Bcfat davon unterscheiden. Der erste tvichlige Einfluss des Null> 
Fprtfces mitcht sich gellend, nenn gewisse Koefrizienten der 
Bteichung Null sind. Haben dio höchsten Koellizienten den 
NDlIwarlb; sn lienirkt diess die unterNr.H) er" Jibnlo Verminderung 
4crZalil der ungleichen Wurzeln und eine nainharie Vereinfachung 

• ABrijisungsverfahrens. Nur die Annidlitung der obersten Koef- 
nentin bedingt die grössere Einfachheit, welche die Auflösung 
per Gleichung ersten Grades vor der einer Gleichung zweiten 

I dine vor der Auflösung einer Gleichung dritten Grndes vor- 

• bat. 

Durch Annullirung einer unendlichen Menge von oberen Koef- 

I erUabt) mir bei ilicirr Gelcgonhcit niif Ana nl tRemeioe 
hlB NälierringsverfHlirrn iiir Auftüiung jodsr GIcichnng 
n Veriiichlircrhniingcn, wcldicii \r\\ in Nr. 10. meiner Snhrifl 

• „AariitdiDg der algetiraisiMian und trnnit«n<teiilen Gtai- 

■n" CDlwicbell hnlie. niirmrikBam r.ii marhca. 



ft4 SeheffltT: tebtr dfe Ouatiratur det Zirkelt. 

Gxlflfiten kann das VerfalireQ sogar auf eine eadlicfie Meng« 
von Operationen reduzirt ivcrden, wie ea für die Gleichimgea 
ersten bis vierten Grades bereits beliannt ist 

Aber ancfa im Verlaufe des Au (1 üb ungs verfahren» kapa dek 
durch die Verknüpfung der gegebenen Gtilssen der Nullwctlh 
einstellen und eine Abkürzung bewirken. Dieser Nulltverlk 
bald die Quantität betreffen, wie in OefV^, bald die Drsbung*, 
tvie in ae°V~~': die vorneh ml ic baten Abküriuogen entspriagife 
aus der Annullirung der QuanlitSt. 

Aehnlicbe Wirkungen wie der Nullivertfa, kanu auch I 
andere Spczialwertfa hervorbringen, insbesondere wenn dadotd 
die IrrationalttSt, welche die allgemeine Eigenschaft T 
GrtlBseii ial'J. aufgehoben wird und in Rationalität ObergeU 
indem hiermit eine Unendlichkeit gewisser Operationen in i 
endliche Menge verwandelt wird. 

Auf diese Weise kann es also geschehen, dass selbst i 
Gleichung von unendlich hohem Grade Wurzeln hat, 
sich durch ein endliches Verfabren darstellen lassen 
n&mlicb durch Spezialwertbe der KoeflizieDten unendliche KeUM 
von Operationen auf eudliche zusammeaschrunipfen. 

Als ein interressanles Beispiel dieser Art bietet sich di« 
Gleicbang 



'"^I.-2.3*' + 1.2.3.4.5** 0.3.4.S.6.7*'"*' ** 

dar, welche man aus Gleichung (C) erhält, wenn man darin xn ■! 
die Stelle vnn j- setzt. Diese Gleichung hat uSmlich nur KBdi 
Zahlen zu Wurzeln und ist gleichbedeutend mit der Gleit&aaj 

x[(^-l)(a-2)....][(a: + l)(«+2)....] = 



■) Uhm in der That die Irratinnnli t&t die allgenieiae, dl« BB' 
linnalitül dagegen eine «iietielle Eigcatrhttt der Grüoen >«!. gsh 
dnrniiB lierTiir, ilaaa es iwinclica je *wel Greniwertlieii nur ctne ead- 
llcho Menge rnitonuler Wcrthe f;«l>en Innn (indem rational nur dar 
joni^ Werlh lat, weiclier eJnR endliuhn Menge von Ttieilongra W 
Verrtelfälligiingeii der Einheit erfordert), ilni« ta dagegen awlsdkS 
Jenen (Ircnien oiiendlirh viel Wt-rihc nlicrhnn|i^ folgtirb nnendlteh dm 
mehr irrnlianate nl« roliennU Znhiea gibt. 



tsehtffitr: t'föer die Quadralur det Zlrktit- 



«(! -*«)(!- 



r)('-«)- = 0- 



(9) 



Aassertlem besitzl die Otelcbun)* (6) ebenruUa eine rationale 
I leicht (tarstellbare Wurzel, nänilit-h die Wunel ;i;=0. 



r 

^^H II) Da (las ullgemetoe Aufhlsungsgeselt das Auriilsiiiigaver< 

^^Kren rUr die (ileichungen aller Grade nU veTeinfacIite Spezial- 

^^H|e enlhUll, die letaleren Verrahren alsn zu der Kategorie der 

HHko bescbrtobenen Ahliilrtungen gehi"ren; so ist es nfltEÜcb, bei 

^ jenen Abkfirsangen diejenigen, welche eine Herabdrückung des 

allgemeinen Gesetnes auf ein niedrigeres SpeKtalgesett 

betrliken, vah denjenigen eu unterscheiden, welche nur Ahktir- 

jtangen ianethalb des Bereiches eines solchen Gesetzes her- 

vurbringen. 

Nor durch AbkOriungen der erstereti Art ist es mSglich, 

dass dxs AnflüsuiigsTerrahren einer Gleichung von unendlich 

bobem Grade för die eine oder andere Wurzel auf ein eudli- 

^ebes Verfahren herabgedrQckl werden kann, während Abkilrzun- 

^Hbd der letzteren Art, selbst nenn sie das Verfahren im Be- 

^Hbslia def sukKeasir niedrigeren SpeEialge setze noch so sehr, 

^^Imlicb nur auf eine einzige Operation reduziren, doch immer 

H oder unendlich viel Operationen übrig ISsst. 

Die höchste Vereinfachung der letzteren Art wflrde offenbar 
dann dotrelen, «venn sich die ganze Operation auf eine einzige 
WnnwUasziehung vom Grade n rediizirlo, wo also die Gleichung 
sieb iü die Form 



~<i)- 



oder a; = n + VA 



hrtogen Hesse. Aber f>elbst dieser einfachste Fall wCrde, wie 
I flieht, eine nnendliche Operation ntilhig machen, da r 
I der Voraussetzung unendlich Ist. Nur dann, wenn zugleich 
sOmire, also die Gleichung gleiche Wurzeln u hätte, wQrde 
I nir diese Wurzeln das Verfahren auf eine endliche Opera- 
1 bcadiränken : allein dieser Kall liegt uns nicht vor, da die 
) Gleichung (7) lauter verschiedene Wurzeln hat. 

12) Wenn in Folge der Spezialwerthe der Knetlizienten einer 
iBiebting vom Grade n sich eine Wurzel nach dem Spezialge- 
«S niedrigeren Grades m berechnen lüsat; so heiast 
I anderen Worten, doss sie zugleich die Wurzel einer 
Iciebnng v«m Grade m sei. 

Dt «ttwerdem jede« Spezialgesetz wie dieses vom Grade m 



96 Seheffier: Ueöer die Quadratur des Zirkeis. 

vermöge der den Grossen zukommenden Vielwerthigkeit gans von 
selbst auf so viel besondere Resultate fuhrt, als seinem Grade 
ffi entspricht; so leuchtet ein, dass wenn die Berechnong der 
Wurzeln der Gleichung vom Grade n für irgend eine auf das 
einfachere Spezialgesetz des Grades m fuhrt, diess noth wen- 
dig für m Wurzein der Fall sein muss, weil sich ans der 
Anwendung des allgemeinen Gesetzes, indem sich dasselbe auf 
das Spezialgesetz vom Grade m reduzirt, ganz von selbst m be* 
sondere Wurzeln ergeben. 

• 

Demnach befinden sich unter den n Wurzeln der gegebenen 
Gleichung entweder gar keine oder überhaupt m Wurzele, 
welche sich nach dem Spezialgesetze des Grades m berechneo 
lassen, aber auch nicht mehr. 

13) Die Reduktion des Auflösungsverfahrens f8r gewisse 
Wurzeln einer Gleichung vom Grade n auf das Verfahren von 
Grade m ist durchaus nichts Anderes, als die Absender uDg 
eines Faktors vom Grade m aus der linken Seite der ge- 
gebenen Gleichung, wie denn die Reduktion jenes Verfab* 
rens auf das Verfahren vom ersten Grade eben das- 
selbe sagt, wie die Absonderung eines Faktors (d?— «) 
vom ersten Grade oder wie die vollständige AufloSBiig 
der Gleichung. 

Da das allgemeine Auflüsungsverfahren alle Grade und 
überhaupt das Verfahren für Irgend einen Grad n das Verfah- 
ren für jeden niedrigeren Grad m unifasst; so muss das Ver- 
fahren für irgend einen Grad n implizite die Verfahren für alle 
niedrigeren Grade enthalten oder es muss darin die sukzessive 
Absonderung von Faktoren der Grade n — 1, n — 2, n— 3,....1 
liegen. 

Wenn nun aber die allgemeine Auflosung einer Gleichung 
vom Grade n die Absonderung von Faktoren irgend eines nie- 
drigeren Grades m stets mit sich bringt, \vodurch unterscheidet 
sich der vorerwähnte spezielle Fall der Absonderung eines 
solchen Faktors von diesem allgemeinen Falle? Lediglich 
durch die erwähnte Abkürzung der Operationen, welche 
die höhere Komplikation des Verfahrens vom Grade n ganz be- 
seitigt und dafür das einfachere Verfahren vom Grade m ein- 
treten lässt. Dieses Resultat drückt sich analytisch folgeoder- 
maassen aus. 

Wenn eine Gleichung vom Grade n durch das allgemeine 



Stkeffitr: teter die Qtiaitralur tlfi tttkeh 



rt^Ana iu ERoi Faktoren vom tirade in um) m — n 


= r ^crlr 


'i, sn Hoa« man 




«•+A-.I— ' + .... + /<„ . . . 


. . (10] 


= (»- + B. _,^-" + .... + B,)(^ + &_vi— + . 


■ + C> 



•it es DnerlSsslich , dass die KuefTmenlen und C 
Wrrtb« aiincfiTacn, iveil »ich Hi* « Wurzeln in 

., - - = i versthicderier Weise so ^rupiiircn lassen, 

eralKii uijd r Wurzeln t» d«n /Hellen 



ilua m Worieln In 

Soll der «niv Faktor 
_ \.'l.X 

-I) 



ersten Grade sei»; so erhAlt man 

erschiedene (jruppirungen, d.h. in die< 

. nokhvr die Form (:r — £) Iml. kann B fiberhattfit 

!i-ne Weillie annehmen, welche den n Wurzeln der 

■■'itsprochen. In jodein anderen Falle, «eiiti also der 

. 1 .^ii>K «0(1 einem li'iheren, als dem ersten (itade Ist. wird 

■ £ahl der Uru[ipirungen nicht kleiner, sondern grüsscr als n. 

Der iBcbrernüfante •S|ic&ialfall untcrscbeidel sich nun von die- 
ixllr-n dadurch, dsss die Kncniiienlen ft und 6' nicht 
,\%. sondern cinwvrthig uusTullen. Jene Vieliver- 
(«prlngt aber lediglich aus Wurzelausiiehungen : 
ribcn aiMo unxneideutig »erden, so niüssen sirh 
,u« den Koeraxienten Ä der Regehenen Uleichuni; ohne 
'iehiingcn oder auT rationalem Wec« ergeben, d. fa. 
rnltonalc Fanktionen der Koerfixienlen A sein. 

Uk Lststcrcs der Fall ist, ersieht sieh, wenn man die Maltl- 

r-.UlMn d«r beiden Faktoren Tom Urade m und i- ausrübri. die 
\ b»)iei) KnerUüenlen der linken und rechten Seite einander 
und aus den sich ergehenden n Gleichungen die 
T 17 uod C brsliniml. 

Hin Beiapicl dieser Art iat folgende kubische Gleichuni;: 

.I»_4,s_3.r+I3=a 

■so dieselbe gleich 

l»f pK*» + Ajf + <-) = x» + (a + 6).r» I (<r6 + c)j+«c, 

* «Ult »s« di« drei Uleichuugen : 



ri. 


Hlb-.D a 


W 


wrj.-^,l»l 




mil-rn 



ScHeffler: Vehtr flir (fanttrniiir ttes Zlrtflt. 

n + b=-i, 

a6 + c= -3. 

ae = 12. 

Hieraus ergiebt eich leicht A(6<^8Ail3) = 0. Dem hterai» 
gpnden und als xuläseig sieh erweisenden Werlhc ti — 
sprechen die Werthe a^ — 4 und r = — 3, welcbe »ich sftn 
lieh aar riilionalein Wege, also unE wei deutii; eri>eben. 
(lass sich die gegebene (jlleicftung nnr in der Form {x — i){j:*-4) 
und in keiner anderen Form in einen Faktor ersten und xvieiltx 
firades zerlegen iÖBst. 

Dte Rationalität der gesuchten KocriiKienten iat oicM 
das woranf es ankünimt, sondern die rationale Betlebaa| 
derselben zu <lcn Koefilizienlen der gegebenen (Gleichung. S« 
wQrde sich beispielsweise, wenn « die Lu dul jib'sche Znbl «ij 
t die Basis des natfirlicben Logarithmensystenis bezeichnet, die 
kubische Gleichung ,t> — rej* — ej + iJi = ganz ebenso nt» dl* 
vorhergehende in die Form (j7 — w)(:e* — r) = " zerlegen, ««in 
die Koefiizlenten n und e irralinnal sind, aber zu den KoefBiiK- 
len der gegebenen Gleichung in ralionaler Beziehung stehen. 

)4) Der Unterschied zwischen dem generellen VerUiriu 
behuf Absonderung eines Faktors mien (irades aus der Punkllo» 
nten Grades von (fem vorstehenden speziellen Falle ISsst skli 
auch dahin angeben, dass bei dem generellen Verfahren üicb jtili' 
mögliche Gruppe von m Wurzeln in den fraglichen Faktor st«lll 
in dem letzteren speziellen Falle dagegen nur eine einzig« bt- 
stimmte Gruppe. 

Uemzurolge erhält man durch das generelle Verfahren m 
ciel verschie<lene Gruppen Ton Werlhen für die Kneflizienlen fl 
(unrl auch für die Koeliizienleii C), als es verschiedene Gruppen 
von m Elementen aus n Elementen giebt, nämlich i. In dem be- 
zeichneten speziellen Falle ergiebt sich jedoch nur eine einzig* 
bestimmte Gruppe von KoeflizieFilen B and f'. 

Nur wenn sich aus der gegebenen Gleichung ein Faktor vtnn 
Itmile m in mehrfacher Weise durch ein rationales Verfnhii" 
absondern lässt, erhült man eben so viel verschiedene Gi 
von Koeffizienten ß und C 

16) Uass es sich bei dem in Rede stehenden speziellen P4 
nicht bloss darum handelt, dass die KiierSzienlen B und C ■ 
■eist eines endlichen, sondern auch darum, dass sie mlU 
eines rationalen Verfahrens aas den Koeflizienlen A dsr i 



ippi'i. 



^H schtfflet: Vtber dU (fiindrahtr iti-t 7irktlt. \s\\ 

^^Kbcn Gl^Scbung )>enoniien seien, ist iwar nach Vurslehniiilcui 
^^Hcb blar; zur Auriclfirun;; der Sach« dient aber nocli die Ue* 
^^BUDg, dans trenn sich ein Fnlilnr durch ein endlii:lies, aber 
^^HiDnaies Verfabren ubaondern Hesse, wenn als« die Koerß- 
^^Ln B und 6' irrstiniialc WurKelffrUsaen eiithiellan, sieb 
^^hr Fall suTort auf den vorhergehenden zurdckraliruii liissl, 
^^Bn ninr) den Faktor .r"> -f^ A«— i:t:'"~' + "-- = ^<^ noironnl. 
^^B aus Beinen KoelTizienlen alte WurKcIgrÜsscn verBchntndeu. 
^^Uiach meinem Artikel über das Rationatniacheii der Funk- 
^^Ben In Grunert'8 Aruhiv Tbl. 13. stets durch ein endticties 
^^mbren geschehen knnn, Hicrdurrh erhSlI man eine neue (ilel- 
^Blg ;r''+^„-t^/'-i-t-....= 0. welche allerdinc;s von einem h«- 
^Bb Grad« als m ist, auch müt^tic her»' eise l'reiude Wurzeln 
^B»llen luinti, aber doch der Bedin^un);, auf welche re hier 
^^■«IdI, eiil8[i riebt, dass sie aul' endlichem Wege aus der ^e- 
^^Bncn Gleichung gewonnen ist und liass ihre Kueriizienlen zu 
^^K KaefSaienten A der (gegebenen Gleichung in rationaler 
^^Hehang stehen. 

^^B3S) Wenn sich die nllgemeine Gleichung nten Gtaiks (also 
^^Bh da« generelle VeTfahren) nat'b Gleichung (10) in irgend 
^K fsittoTen vom Grade m und r zerlegen Ifisst; so srhiiesst 
^^Bs Verrabreii die vollständige AuflSsang der Gleichnii- 
^Hrrom ulen Graitc und demzufolge auch aller niedrigeren 
^^Brbnitgea ii) sich, indem zur Vollendung der AuTlosuTigcn nur 
^^Bl rallOBale Ojierationen, näniiich nur noch die U|)eralJnneii 
^^BAnftucbong des gemeinschaftlichen Maasses zn ei»r 
^^Bssn Funktionen anzutienden sind. 

^^Bpmn das generelle Vcriabren lieTert oo viel verschiedene 
^^Hpren mit den Koellizienlen B und auch mit den KoefK- 
^^■ia C, als CS mögliche Gruppen von in und r Elementen aus 
^^b Wurzeln giehl, Man erhält also, nenn <ii , a^....n^ diese 
^^KmIii sind, so viel verschiedene Faktoren von der Form 

^Bf**^>^«^'+— + *■. = (*■ — ''i)(«—''5)----(j;- "«)■ 

^■♦C-iar-' -F.... + r„ = (x-B«+iKa:-<.«+.). ...{«-«-). 

^^ntek ^ Wurzeln «,, u^....aa in zwei Komplexen von m unil 
^^Clt^effl anders gruppircn tasseil. 

Man lindet leicht, d.ies nuler der Gesamratbelt »lief dieser 
ÜaltMTea solche sind, welche nur je eine Wurzel, z. B. «,, oder 
lotsprecbenden Grundfaklor {x — a^) mit eingiDder gemein 
lodere, welche je zwei Wurzeln wie u, und a,. andere 



■■ ■# 



100 Sehet fl er: üeber die Quadratur des Zirkels, 

welche je drei Wurzeln a|, n^, a^ u. s. w, bis schliesslich solche, 
welche je m — 1 oder je r — 1 Wurzeln (jenachdem m oder r die 
grossere Zahl ist) mit einander gemein haben. DemBufolgt 
läset sich durch Ansstreichung des gemeinschaftlichen Maasses 
zwischen den Faktoren vom Grade m und r jeder Faktor toi 
niedrigerem Grade, also jede Funktion darstellen, «reiche nur 
eine oder nur zwei oder nur drei s. s. w. bis m — 1> resp. r— I 
Wurzeln euthSit. 

Durch Multiplikation der letzteren Funktionen mit den durck 
das generelle Verfahren direkt gefundenen lassen sich also alle 
Faktoren mit mit je einer, je zwei bis je n — 1 Wurzeln da^ 
stellen. 

Die Darstellung der Faktoren mit je einer Wurzel bildet 
die vollständige Auflösung der Gleichung. Demzufolge fährt 
irgend eine generelle Zerlegung der Gleichung ttteo 
Grades zur vollständigen Auflösung dieser Gleicbong . 
und aller niedrigeren Gleichungen. Ausserdem ist klar, 
weil zu der Vollendung der Auflösung nur noch rationale Open* 
tionen nöthig sind, dass die Wurzeln üi, a^.,,,au jeder 
Gleichung in einem rationalen Verhältnisse zu deo 
Koeffizienten B und C irgend zweier Faktoren stehen, 
in welche sich jene Gleichung zerlegen lässt. 

17) Kehren wir jetzt zu unserer Gleichung (7) zurück. An- 
genommen, es Hesse sich aus derselben durch ein endliches und 
rationales Verfahren (worunter wir ein endliches Verfahren ver- 
stehen, welches Grössen liefert, die zu den Koeffizienten der ^ 
gebenen Gleichung in rationalem Verbältnisse stehen) irgend ein 
Faktor vom Grade m absondern. Die kleinste in diesem Faktor 
enthaltene Wurzel sei pn^ und die grösste qTt^ man habe also: 

(11) 

a-" + Ä«-!«"^» + .... + Äo = [ar — p»«][a:— te«] .... [x— gn*] = 0. 

Substituirt man jetzt ar==^i^, so geht bei gehöriger Redaktion 
diese Funktion Ober in 

(12) 

Setzt man in dieser Formel das Zeichen x an die Steile von y; 
so hat man eine Gleichung, welche mit der Gleichung (11) eine 




Veier ilie Ouailraliir dn Zirkels. 

mI, nXiiillcb die Wuricd r/n*, aber auch nur diese eiiisi 
'i hat. tr«il alk ihre ilbrigen Wurzeln grosser eiiid, als 
) iler Gleiciitiiig (II). 



Sacht luau aUo Kwiiichen den beiden Fu 
I gvm ein» cfaaft lieh» Blaa^s, bo erhält ma 
Bfx* ■!«( Gleicliuni; (7)*). 



iktioiien (II) und (l'i) 
I die eine Auriiisung 



Da ille Kaeniztenlei) der Gleichung (7) ralionale Zahlen eiiid, 
^ nfliMte das ritllonale (und endliche) Verfuhren, »elclies naeb 
i«r VorkUHCtiUTift die tileichnng (II) erzeugen soll, eine Funlction 
aül ralionaleti Koeffizienten B hervurbringen. Wegen der raÜo- 
Mlan Subslilulion, uelclie die Funktion (l'J) aus (II) erzeugt. 
aiv«^lcn alsdann auch die Koefliiienlen D rationale Werllie nn« 
xhnieii und Bchliesslich mOssle aus der Berechnung des gemein- 
Kharilirh<;D niiuiHscs x — ija* zniscben (II) und (VI) nncb der 
Koelizirnl yn* dieses Maasses als rationale Grösse erscheinen. 

?ian i«t aber n' und mithin jedes Vielfache davon nacUweb- 

h eine I rrxlinnalxahl (vgl. SehlOmilch's nigebraiscbe 

' < alysis, Ka{i. W.): es ist also die Voraussulziing unmüglich, 

-^ sich die Gleichung (7) durch Irgend ein endliches 

rf fahren filr irgend eine ihrer Wurzeln auflösen oder 

^^s «Icli überhaupt daraus ein Faktor von irgend ei- 

■Mi (»rade »i mit rationalen Koeffizienleti B abson- 

Wir« in der Funktion (II) jeder der beiden Kakloren x—yn* 
' ') s— fK* mehr als einmal enthalten; so ergSbe sieb daa 



■ J" «llgr■l>(^;n 


.. Vprf«l.r«n > 


ur A«fiiucliong 


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folgend. 


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102 Sehetfler: Veber die Quadratur des Zirkeis. 

gemeinschaftliche Maass von (II) und (12) als eine Potem tob 
.r — ^75*. Mao erhielte also schliesslich (o? — ^jt*)*" = 0, »ras ebei- 
falls zu dem Resultate x — qn^=(i führte. 

18) Dass bei allen diesen Betrachtungen die eine Auflusang 
.r = 0, welche die Gleichung (6) ebenfalls besitxt, ausgeschlossen 
ist, versteht sich von selbst, indem der Nuliwerth zu keinem Zah- 
lenwerthe in einem endlichen« also überhaupt bestimmten, 
andererseits aber iviedcr zu jedem Zahlenwerthe in demselben 
Verhältnisse steht. Diese Eigenthiimlichkeit gibt dem Nulliverthe 
im ganzen Zahlengebiete eine exzeptionelle Stellung, befreit ihn 
von den meisten Schranken der Zahlengesetze, macht ihn daflfr 
aber auch ungeeignet zur Repräsentation solcher Gesetze, wets- 
halb denn auch der Nulliverth als Wurzel einer Gleichung Nicbts 
über die allgemeine Natur dieser Wurzeln aussagt. 

lU) Die vorstehende Beweisführung gipfelt in dem Umstandet 
dass siimmtliche Koelfizienten der Gleichung (7) rational sind 
und duss solche Koeffizienten durch ein rationales endliches Ver- 
fahren nicht irrationale Werthe liefern können. Wfiren jene KoelB* 
ztenten irrational; so fiele der bindende Schluss hinweg, da es 
sehr wohl niüglich ist, dass Irrationalzahlen durch ein rationales 
Verfahren rationale Werthe liefern (indem z. B. das Quadrat der 
Irrationalzahl V2 den rationalen Werth 2 ergiebt). 

Demzufolge ist die vorstehende Argumentation nicht auf die 
Gleichung (9) oder (8) anivendbar, indem diese Gleichung irra- 
tionale Koeffizienten und in der That lauter rationale 
Wurzeln hat. 

20) Da sich nach Nr. 17. und den früheren Nummern aus der 
Gleichung (7) kein Faktor irgend eines Grades m, also auch kein 
Faktor ersten Grades durch ein endliches Verfahren abson* 
dern lässt, so ist diese Gleichung nur durch das generelle 
Auflösungsverfahren, welches, weil der Grad ?« der Gleichung 
unendlich ist, selbst ein unendliches ist, aufzulösen: die Glei- 
chung (7) ist mithin unlösbar. Dieser Ausdruck involvirt 
übrigens keineswegs die Unmöglichkeit der Existenz von 
Wurzeln, sondern nur die Unberechenbarkeit derselben 
mit endlichem Verfahren, oder die Unerschöpflichkeit 
der Rechnung, also die Unerreichbarkeit eines genauen Wer* 
thes. 

Die Unberechen harkeit schliest auch die Unkonstruir- 
barkeit ein. Denn wäre eine Auflösung der Gleichung (7) und 
damit jede ihrer Auflösungen konstruirbar, so Hesse sich diese 



i 



m 



Vis 



I 



imvfriscliQ Optratiiiii , ivvlche aua lauler quiidraliaclie » 
Kfilakleri bcslelil, in eine enilliche uuil rallonale For- 
iiirl kk'iden {inileni jede aus <lcr geoinelriHchen Konstruktion ent- 
springende Furmol, da «ic eine algebraische iet, auch ratio- 
fikI geiiiBchl uerdeii kann. Vergl. das ubige 2itat in Nr. 13.) 
und diese Formel mUaste mindestens eine Wurzel pti^ der Ulei- 
ehnng (?) ebenfalls al« Wurxel enütalten. 

Uies« letztere Gleicliung iiiuss nun in Besiehung auf die 
iHi«rin «nlbalteiie Wurzel pn'' als lüsbar gedacht tverden, u-eil 
Id Bexiebung auf diesen Werlh ala konslruirbar vuraun- 
geacUI i»l uttii die W'ego, »eiche die KoHstruktion, um von jener 
(fleicbung auf diese Wunel xa gelangen, macht, durch arithme- 
((«che U^ierationen eraetit iverden kiiiinen. Allerdings brauchen 
tiiesa Ofietatiunea nicht in lauter rationalen Operationen zu 
beslebpn: es könne» vielmehr aucb Wurzelaiisiiehu tigcn 
dafunler mirkomjnen. Die Uarstellbarkeit einer Wurzel /jk' zieht 
die hnrMellbarkeit jeder anderen Wurzel ^n^ oder die AuflSs- 
l>aikeil der Gleichung (7) nach sich. Da diese Anfbiebarkeit aber 
ilä eine Uuniüglichkeil erkannt ist, so konnte autb die zuletzt 
rrwAbnle Gleichung mit der Wuriel pn^, »enn eine solche (ilei- 
chung Eberhaupt exisitrte, duch nicht fiir diese Wurzel lüshar. 
lue tirüAse f also nicht konslruirbar sein, 

21) Aus allen diesen üntersucliungen ergeben sich einige 
kte(eres»««te Eigenschaften der Ludol ph sehen Zahl. 



a) E« kann 
I K'tiefiQzienten gebe 
I Wurzel enihielte. 



endliche (ileichung mit rat 
Iche n Oller ein Vielfaches dui 



6} £s kann aber auch keine unlJisbaro eiidlicbe Uleicliung 
ftM rationalen Kocfiizienlen ^eben, nelcbe tt als Wurzel enl- 
iMiltc. Denn eine Gleichung, sei sie altcebraiscb udcr transzen- 
nl, i»t der Ausdruck für da^ Wesen der darin niit j: bezeich- 
Mlen (irSsse, d. h. fflr alle »esentliühen Ueziehungen, in »eichen 
! (ViSsse zu der (jesamintheit aller tiröasen steht. In jener 
Btfeicbnng it-t die Definitinn der lirösse s gegeben. 
Vlrifachheil der Wurzeln einer Gleichung drückt die irahre 
HilanK der Gleichung nicht volletündig ans. Die H'irkliche 
ler Gleichung ist die, duss sie eine Grosse j,- 
toll»llint)ig definire oder cha rakteri»>ire, indem «ie die 
angiebl , in » eichen diese Grüsse zu den Übrigen 
I steht. In der Auflösung der Gleichung stellt sich diese 
i; Wurcb eine einzige Formel dar, ivelche vermJige der 



104 Scheffler: Ueber die Quadralur des Zirkeis. 

darin vorkommenden Wurzeigrussen vieldeutig sein, d. h. eioe 
gewisse Anzahl von Grundwerthen annehmen kann. (Das* jede 
Gleichung, wenn auch nicht durch ein endliches Verfahres 
oder durch eine endliche Formel, so doch durch eine anend* 
liehe Formel auflüshar sei, muss anerkannt werden). 

Die Bestimmungstücke fiir die Grösse x in der Gleichng 
F{x) = sind die in der Funktion F{x) vorgeschriebenen Open- 
tionen, also die Koeffizienten, die Zeichen, die Expooenten ond 
sonstigen Beziehungen und VerknQpfungsweisen. Von diean 
8tGcken nennen wir diejenigen wesentliche oder charak- 
teristische, deren Aenderung mit einer Aenderung der Wand 
.T begleitet ist; die übrigen aber unwesentliche. So isti.B. 
iu einer Gleichung von ganzem Grade der absolute Vieti^ 
der Koeffizienten unwesentlich; ihr Verhältniss zu einander 
aber wesentlich, indem man statt aa7-|-A=:0 auch itci:r-|-R6=0 
schreiben kann. Wesentlich ist unter Anderm der Grad eiaer 
Gleichung. 

Jede wesentliche Aenderung der Funktion F{x) hat also eiae 
Aenderung der W^urzel x zur Folge; jede Gleichung von ape- 
ziellem Charakter stellt nur eine einzige Grösse x (welche viel- 
deutig sein kann) dar; eine Grösse x kann nicht zugleich die 
vollständige Wurzel mehrerer Gleichungen von: verschiedenem 
Charakter sein. 

Hiernach kann z. B. eine eindeutige Grösse nicht durch eine 
quadratische Gleichung dargestellt werden. Die Gleichung x — a 
= sagt etwas Anderes, als die Gleichung .r* — w* = 0, aoch 
etwas Anderes als dio Gleichung (.r — rt)2 = 0: denn die er«te 
Gleichung hat die eindeutige Wurzel a, die zweite hat die 
zweideutige W^urzel »1^1=4.« und die dritte hat die Wurzel 
a zweimal. 

Die Grösse n ist durch die Gleichung (7) oder eine durch 
Transformation daraus entstehende, also äquivalente Gleichung de* 
finirt. Durch diese Gleichung isst dio l^eziehung ausgedrückt, 
in welcher diese Grösse zum Zahlengeliietc stehen soll. Andere, 
charakteristisch verschiedene Bestimmungen für jene Grösse giebt 
es nicht; dio in (jleicbung (7) ausgedrückten sind die einzigen 
und allein maassgebonden. Jedes Gesetz, welches die Gru8se 
n mit anderen Grössen in Verbindung bringt, kann mithin nur 
ein Ausduss des in Gleichung (7) liegenden Gesetzes sein, und 
die Kombination mit andern, ausserhalli jenes Gesetzes liegenden, 
also unwesentlichen Beziehungen kann nur das Resultat der Ver- 
einigung solcher unwesentlichen Gesetze mit der Gleichung (7) 



^BmId. Alle wesentllclien Beziehung«!! tndesen eich ilafier nis 
^HpalUte der UiDformuri!; dieser Gleicbtini; ergeben und alle mDg- 
^^^■liea BeKieImngen kiinnen sieb nur als Resultate der Umfor- 
^^^Lg der lilcichnng (7) uiiil der gleichzeitigen Kanibination mit 
^^Woserwesentliclien (ieselzen ergvben. 

Uem Auesertvesentlichen hortet noihwetidig das Merk- 
innl i)«r Willkürlichkeil in irgend einer Beziehung un. Denn 
nüfp daran Nichts tvillktlrticb, ao stände daasellie ta dent Ge- 
genstarxle , aal' welchen sich die Begriffe des Wcsentiiclien und 
Unnesen Hieben beziehen, in einer durthaua outhivendigen und 
in allen Slückeu Iiestimmten Beziehung, trüge also den Cha- 
rakter de« Wesentlichen. 

In Betracht dieser WtllkQrlichkeit in irgend einer Beziehung 

Eusa man nun ticbliesaen, daas wenn die Gleichung 
(x-n)Fix)=Q 
m Fix) fremde Wurzeln enthält, es noch mehrere Gleichon. 
gen in der Form 

geben ranss, in «eichen die Wurzel n mit andern fremden Wnr- 
icin durch den Faktor F,(^) verknüpft ist. 

Sonderte man zwischen zuei (älcichungen das gemeinschaft- 
lA Mmu X— n ab, go fände man die Auflilaung x = sr, was 
Kr. 30. unmöglich ist. 

c) E» kann auch keine endliche Gleichung mit rationalen 
KoeOEzionten geben, Vielehe ein Vielfache* von « niehreremal 
udcr verschiedene Vielfache von jj mehrcremul aU Wur- 

enihlelle. also keine Gleichung lon der Form 

lx-'p7cy(x-g7t)'....F(x) = 0. 

DeBDan« dem eub t) entwickelten Grunde liesse sich abdaiin 
I Gleich an g 

ix-p7zy(x~-f,7r)'....=0 

nteJl«B und ^lua dieser Gleichung liesse (»ich nach dem in 
r. 17j angetrandten Vctfabren 

(j- — }i7t)' = und X — pn ^ 

Zahlen herateilen, was nicht mtiglich ist. 

Nach Vorstehendem kann keine algebraische Gleichung 



f^ 



I 
]()6 Schefflet: Leber die Quadratur des Zirkeis, 

die Zahl n als Wurzel enthalten. Denn jede algebraiflciie Glei- 
chung kann so umgeformt werden , dass x und jeder KoefBsient 
als rationale Grosse erscheint, worauf dann der letztere Satz An- 
wendung findet. 

e) Auch keine algebraische Funktion von n kann eioe 
Wurzel einer algebraischen Gleichung sein. Denn wena 
fXn) diese Funktion von n wäre, welche als x der Gleichuag 
F[^] =: genägen sollte; so konnte man die Gleichung ^I/)[*)]=0 
so umformen 9 dass sie in Beziehung zu n rational würde and 
nur rationale Koeffizienten enthielte» also sich in der Form 

darstellte. Da nun keine endliche rationale Gleichung mit ratio- 
nalen KoefBzienten die Wurzel n enthalten kann, so ist die leti- 
tere Gleichung und damit die Voraussetzung unmöglich. 

f) Jede Potenz von n, ja jede ganze endliche rt- 
tionale Funktion von n mit rationalen Koeffizientei 
ist irrational. Denn wäre in 

jeder Koeffizient und auch B rational; so wäre 

n^ + ^«-iÄ«-i + .... + ( Jo— Ä) = 

eine endliche ganze rationale Funktion mit rationalen Koeffizien« 
ten mit der Wurzel n, was nach Obigem unmöglich ist. 

g) Die Zahl n kann durch keine endliche algebrai- 
sche Funktion mit rationalen Zahlen ausgedruckt wer- 
den, ist also keine algebraische Zahl. Denn wäre die 
algebraische Funktion F= tt; so liesse sich diese Gleichung ra- 
tional machen, oder in eine völlig rationale Gleichung verwandeln, 
welche in Beziehung zu n eine ganze rationale Funktion mit ra- 
tionalen Koeffizienten darstellte, was nach dem vorstehenden Satze 
unmöglich ist. 

h) Hiernach ist die Zahl n iveder durch die Hülfsmittel der 
niedern Geometrie, welche in gerader Linie und Kreis be- 
stehen, noch durch die Zuhiilfenahme algebraischer Kurren, 
wie Kegelschnitte u. dergl. konstruirbar. 

22) Von allen unendlichen Gleichungen, deren Wurzeln die 
Vielfachen einer Grundgrösse «sind, hat nur die Gleichung (1), 
fUr welche diese Grundgrusse a gleich n ist oder zu n in einem 



l'ebtr die Qiiaäiatur ilea '/Aihelt 



.rmaxlen V»rbHllniuD elcbt, lauter 
L'hl ili« Grundarr>a»e tu n in eine 
> itlaa rin« rHlional« Zahl a 



rationale Koeni zl enten. 
irraliDnalen Verhältnisse, ist 
Jer eine irralionalfl Wur- 



> l^rAnac Va, so ««rden aSnimtllchfl Koefriiienten der 

ijilichen Gleiohang itrnlionxl, wfil sie, ähnlich tvie in der 

■ . I- ■"■7 VA), dl« froduklu einer rulionalen Zahl und einer Po- 

-: otier die Proilukte einer raliunalen Zahl und einer 

• leibenden Potenz des Prudukles *o» Ji und einer irra- 

I I /..ilil darstellen. 

33) l>«r geoni«(rtschc Ursprung der Zahl n lief;t in der Ro- 

.rinn einer knnslan teti Figur. Die Ueslimmung aller hiorftus 

- *' _ -irilon Cietiildc ial zwar lekhl auf die der Zahl n zurück- 

no Zusammenstellung der (^rundglclchungen fiir die 

Hiiuptßille mag Judoch tur Uehcrsichtltclikeit nicht gaui 

Dl« GIdcbung, welche die sukteasiven pTiBiliven und nega* 
'■-■a Vi^lfaciieii ton - also die Grüaseii 0, +- > + — .... + — 
■1 Wurzeln hal, iat Tulgenile: 



->•->■ 



B tileirhuii<{ Linii III.1 



(•■' 

/l.S.3... niP'V 



"'-S'*)!'- 



^1(1- 



»«■ 



:'),... (1- 



_^,j«)=«iii;.x = 



Dir CIvtclitinK (13), .vckh« von der hiichsteti Potenz von j 
'-ib.[«;^t. hui ßr n=X Uuter unenilliche Koerßr.leiili.'n, Hie 

l '.-1 ' z ^14) ilagngeii, welche vuri der niedrigsten Poleni »on 

1 i j^itairijtl, bat hiuler eudliche Kocnir.ienlen und etelll anMet- 
^ ' r di« Predultle cnlitlckell »erden, immer eine Itonver* 






lUr, 



ltaa««rgeiile Weihe, «eiche 
iel die he]iAinttp Iriijnnnmc 



i bnhriciielung von <U) 
diu Formel fär Binp,r. 



1 



108 Seheffler: (Jeder die Quadratur des ZirMt, 

"'[i-^'+'O^— = 0. .-..(W) 

Hieraus folgt, dass man näherungsweise tt* aus den Glei- 
chungen 

1 — Ja: = oder x — 6 := ; 
1 — 1 + ^ = oder ar«— 20a:+ 120 = 0; 

l-| + ^ + g^ = oder .T»-42:r« + 840ar— 5040 = 

u. s. w. bestimmen kann. Die erste liefert für n den Werth 2,45, 
die zweite 3,23 ±0.69 V^ =3,31. c9>V^, die dritte 3,08. 

Der Kreisumfang 2m ^ welcher durch die Umdrehung des 
Endpunktes des Radius r entsteht, ist durch Gleichung (15) dar- 

1 

gestellt, wenn man darin - =: 2r setzt. Nimmt man den Radin 

r=l; so wird p = i. Die Rektifikation des Kreises f&iirt 
also bei Ausscheidung der Wurzel Null zu der Grundgleicjiiog 

* 2.3.2*^2.3.4.5.2* "' 

Die Kreisfläche r%, welche durch die Umdrehung des 

Radius r entsteht, erfordert - = r*. Nimmt man das Quadrat 

P 
r*=1, so wird/i:=l. Die Quadratur des Kreises giebt also 

die Gleichung 

* 2.3^2.3.4.5 • "• 

4r^jr 
Die Kugel -0— > welche durch die Umdrehung der Fläche 

1 4r» 
des Halbkreises entsteht , verlangt - == -^^ Nimmt man den 

P o 

Würfel r^=z 1, so ist p = i; die Kubatur der Kugel liefert 
daher die Gleichung: 

3«xa 3*3^ 
2.3.42'*^2.3.4.5.4*'~' ^' 

Die Kugel fläche 4r%, welche durch die Umdrehung des 

Halbkreises entsteht, bedingt - = 4r' oder wenn das Quadrat 



r' ^ I genommen nirdi 

■j.r\ fflhrt mitbin au der Gleichung: 



Die Komplanatiun der Kti 



1 — 



t ja ^ 



-....=:0. 



I> 



bet Zylinder /ir^a, nelcher durch die Umdrehong der 

Fläche des Keclilecbes hr enlslelil, etfordert - ^ Ar*, also, «renn 

iler Küfper Ar'' := I genommen wird. /) = I. Die Kubatur des 
Zylinder» Cflhrt hiernach za derselben Gleichung wie die Qua- 
dratur des Kreises, nämlich xu der Gleichung; 



>-o^ + 



2.3^2.3.4.5"" 



.=0. 



Die ZyllnderfUche 2Ar;r, uelcbe durc-h die Umdrehung 
der einen Seile dieses Rechleckes entsteht, verlangt - =:2Ai', also 
wenn die Flüche Ar = I genommen nird.p = J. Die Kompla- 



Zylinders I 
Rekliäfcation de« Kreises, ■ 



eferl aU( 
dich 



dieselbe Glelehung me die 



2.3. 2« "^2.3.4.5.2* 
clchei 



»er Kegel -g-i 
etkaÜicht ij enistehl. erfordert - 



■\i die tlmilrehung der Ürei- 
= -^, also, wenn man den 



Kürper Ar< = l nimmt, p = 3. Für die Kubatur des Kegels 
hat man biernacfa 



•~ 2.3^2.3.4.5 "■ 

Der Kegelmantel rV^r'+A».«. welcher durch die Um- 
drebnng der eine» DreiecUsseite Vr''+ A' entsteht, verlangt 
- = rV r* + A*, oder wenn man die Fläche rV^r* + A'= 1 setzt, 
p = 1. Die KumpIanatioD des Kegels führt mithin zu der- 
mIIkd Gleichung nie die Quadratur des Kreises und die Kuba- 
I des Zylinders, Indem man hierfür hat: 



' q ;i +9 2 j s" 



110 Sckeftier: Veber die Quadratur des Zirkeii. 

24) Die vorstehende Behandlung der Gleichnng, weiche die 
sukzessiven Vielfachen von n zu Wurzeln hat, führt lo der nicht 
ganz uninteressanten Betrachtung des allgemeineren Falles, wo 
die Aufstellung der Gleichung verlangt wird, derea 
Wurzeln die verschiedenen Werthe sind, welche eine 
Funktion F(it) annimmt, wenn darin ffir n alle positiveo 
und negativen ganzen Zahlen gesetzt werden. Diessge- 
schieht folgendermassen : 

Wenn sich die Auflösung der Gleichung 

F(n) = X 
in der Form 

vollzieht, so ist die gesuchte Gleichung 

sin [jc/][ar)] = (18) 

Diese Gleichung hat die Wurzeln: 

....F(-2), F(-1),F(0), F(l), F(2)...., 

ist also auch gleich der Gleichung: 

(17) 

[X- F(0)] t [x-F(\)][x-F(2)] .... 1 1 [x-F(- l)J[;c-F(-2)] .... | = 0. 

Dividirt man die letzte Gleichung durch 

(- 1)"F(0)[F(I)F(2) . . . .][F(- 1)F(- 2) . . . . J 

und bezeichnet mit C eine konstante Grosse, so muss man fo\* 
gende Entwicklung haben: 

8in[7cf(x)] 

Setzt man a;==0, so k5mmt 

C = sin[n/](0)], 
folglich : 

(18) 
sint»/"(«)] = 8ln[«/l(0)J 



Schetfier: Veöer die Quadratur de$ Zirkeis. \\ y 

Im Folgenden sind einige spezielle Fälle zusammeogestellt. 



Wunel 




Gleichung, 
welche jene Wurzeln enth&lt. 


Fin) = X, 


n = f(x), . 


sin [nf(x)] = 0, 


nn = X, 


n r= - , 

n 


sino: ss 0, 


2nn = x, 


X 


Binix = 0, 


n = x, 


?i = a* , 


sin jco: = 0, 


na = X, 


0: 
n = -f 

Cl 


sin — =0, 
a 


na+b =^ X, 


0: — 6 
n — , 
a 


. ^(0: — 6) 
Nin ±= 0, 


a" = 07, 


logo; 
loga 


. ^rlogo; g. 
"•" log« = 0. 


«■ = o:, 


71 = Ingo:, 


8in(9rlog07) = 0, 


6a" = Xy 


loga 


wlog| 

sin -j = 0, 

loga 


e*" = ar. 


log or 


. »loga: 
sin ^ = 0, 


^» =:x. 


\osx 

n ° , 

TT 


sin loga; = 0, 


e-V-i = a:, 


logo: 

" v-r 


. »log 07 ^ 


* 


loga: 
2jrV^— 1 


- . logor ^ 
sin — ^ — = 0, 

2V-I 


«« = or. 


n — V^x, 


a 

sin »Vor = 0, 


«* = or. 


n r= Vo:, 


sin nVx =: 0, 


-=1.-^-0:, 


1 


X ' 


(««)« = X, 


9t 


a 

sin Vor = 0, 


a 

Vn = x. 


n = ar«. 


sin nx* = 0, 


Vn = X, 


M = Ä*, 


sin ;ror**= 0, 


yfnn = 0:, 




sin 07* = 0, 



n 



llffi 



112 



Sckeffler: üeber die Quadratur des ZirkeU. 



Woracl 



Gleieliiuig» 
welche jene Wimelii ent 



(na + A)« = ar, n = 

c 

Vna + A = ar, « = 



a 
x^ — b 



-6+V4q(jr~c)-f6« 
2a ' 

(x — a)* — c 






logn = :r» n = e*, 

TT 

arcsino;, 
arccosd:, 
8in;r, 
cos^r, 

— I + VSF+I 



sinn 

COSft 

arcsinn 
arccosn 



x, 

X, 
X, 

ar. 



n 
ft 
n 
n 



l+2+3+...+n.= X, n = 



. n(Vx-b ) 

sin 

a 

Sin 

a 

. -A+V4a(x-c)+S 
g,„^ ^ 

(ar— a)*— c 
sinfK T 

siDffe' 



sinf* 

6in(?carcsiD:r) 

8in(ffarcco8a:) 

sin(7r8inj:) 

sin(7EC084;) 

sin Ä H 



1 r. Pfeil: C'rifr WatifrAfi»fH ti'iit ilbfr fHiflitnhnng u. Hagel. HiJ 



IV. 

per WasRerboeen und nhcr Duflaobang und Hagel. 



dem Herrn Grafen L. v. Pfeil 
f Uaiiidnff bei Ncarode ia Scbleaii 



I. Wasserhoiteii. 

Gegen Ende Septenilier des Jabree 1820 beranden eich mehrere 
Uesivr. unter deaen der Unterzeichnete, to einem Gurten bei 
Tfovi, sSdOsIlich foi) Genua, um die reuende Meerfahrt, die schS- 
n«n Trauben, und die herrliche Laadschaft za genieesen. Die 
ßelitenilen h&lten dort einen Anblick, der an sich ziemlich Hellen, 
unfer den besonderen Umständen meines Wissens noch nicht 
beobachtet ivorden Ist. 

SGdUch von Novi tritt ein steiles Vorgebirge, det Apenni- 
~ Hikelt« aRß«hürend, schroff ins Meer. Hinter dem Kamm dea 
RvüeUigex betrachlelen wir, tvohl länger als eine halbe Stunde, 
% WasMrhoae, (reiche, den Berg um das Dreifache überragend, 
I 4ii>iliUn Geiviltenvolken herabstieg, und ^ich sehr langsam 
IWifl* zu beKegcn schien*). Die Wasserhose stellte sich dar 



•) Ww die Stellung der WaMcrhoie, witr ich fermutlie, *ua S.W. 

k S.O. ftrnchtel. an iniiiste Act obere, entferolsre Theil, vun unten 

■rer Ealfernanf; gesehen, nnii tFrhälliii««inH«Hig liefer er- 

ra. Ut« Wuierbnae hnlle alio mulhmBiiÜEli In ollen ilircn Tiiei- 

■ ■!■« foitnn den Ilorttonl genaigle RiehlanK, nbuchun ein Theil ili-r- 

n an* faat horitonlal er«chlen. 



114 r. Pfeil: üeber Wasserhosen und 

als eine lange , gekrümmte» cylindrische ROhre. Die Hitie dei 
sichtbaren Tbeils hatte eine fast horizontale Richtong^). Kt 
einem guten Fernrohr**) sahen wir deutlich die grSssere Dqd* 
kelheit der Ränder. Auch die wirbelnde Windung der RSbre 
liess sich an dunkleren und helleren Querstreifen derselben deot- 
lich erkennen. Die Wasserhose war also in der Mitte doieh- 
scheinend. Ich gebe das Bild, wie es mir in der Erinnemig 
geblieben ist, auf Taf. I. 

Schätze ich den Berg, hinter welchem sich die WasserboN 
befand, nur zu 500 Fuss, und wie ich glaube, nicht zu hoch, lo 
muss die Hohe der Wasserhose, welche ohne Unterbrechung bis 
an die Wolken reichte, mehr als 2000 Fuss betragen haben, h 
einer gedruckten Büschreibung der Reise, von meinem Vtter 
herrührend, Breslau bei Aderholz 1830, ist S. 130 die Hübet 
ich weiss nicht aus welchen Gründen, sogar auf 3000 Fuss g«* 
schätzt. 

Das von mir Angeführte enthält meine ganz bestimmte Er 
innerung. Ich weiss in*s Besondere, dass ich mich in dem Ve^ 
hältniss der scheinbaren Hohe der Wasserhose zur Höhe des 
Berges, hinter welchem sie sich befand, nicht wesentlich tftoscbte. 

Wasserhosen werden ziemlich oft von Seefahrern erwähnt 
Sie scheinen aus dem Meere zu entstehen, und nach und Dieb 
huber zu werden. Häufig senkt sich aus den Wolken einecor- 
respondirende Rubre herab, welche sich mit der scheinbar anf- 
steigenden bisweilen vereinigt. Auch nach diesen Berichten rei- 
chen also die Wasserhosen häufig bis an die Wolken, oder stebes 
doch mit diesen im Zusammenhang. 

Das scheinbare Aufsteigen der Wasserhosen aus dem Meere 
beweist nicht ein Entstehen aus dem Meere, sondern nur eine, 
vielleicht zufällige Bildung der Wasserhose von unten nach oben. 
Es sind wohl alle Gelehrten darüber einig, dass die Wasserhosen 
durch Wirbelwinde entstehen. Nun ist es zwar möglich, and 
kommt erweislich auch vor, dass heftige Winde ein wenig Was- 
serschaum in die Höhe treiben, ebenso wie sie auf dem Lande 
den Staub aufwirbeln. Vergebens aber würden wir uns nach ei- 
ner bewegenden Kraft umsehen, welche es vermochte, Wasser- 
massen, wie eine Wasserhose sie ausgiesst, aus dem Meer bis 



*) Wahrscheinlich war die Bewegung nordosCwärU. 

**) Einem ächten Ramsden von 19^ ObjectiT und 21 maliger Ver- 
grösserung. 



ifil/r DufUnihisitg und Ihigrl. 



115 






die Wftllcen bluauJ' su »irbela. Wäre ein solcbes Vorkomni«[i 
i-rltaiipt mCglicb, bo mfiBstflii die lietvegcmleii 8l(jriiie Alisa 
ihnr >Klie seralüren, nährend sie oft bm ziemlich ruhigem 
liirotinclitot norden ainri. 

UelrarUieas Itoinmen Wasserhosen auch auf dem Lande vor, 
Me«re aufd Land, ihre Oatio durch Vertvlglung 
Mnichnend. Schon ilanim ItHnnen sie nicht aus dem Meere ent- 
indcii sein, oder entstehen. 

Die lichligc Erlclärun); ist also noh) die, das« Wasserhit- 
lR*||eiigtisee sind, welche von Wirbolninden erfasst 
jvdaii. 

\ Irh g«bo als Beispiel noch den Berlclit Ober eine Wasser- 

, wslcbe den 10. Juli l»fiO das Dorf Schlegel bei Neurode 

pjtolvle. Das Wasser strümte mit solcher Getvall in dem 

I de« anbedeulcndun Jahrnasserhaches, dass es, nach (Iber- 

niaeaden Berichten aller Zeugen, erst „mannshoch", ireller 

„wie ein Wullsack" gerollt kam. li^in Herr, der sich in 

MB GXrtclieti, elna 30 Schritt vom Hause entfernt befand, 

ladete auf der eiligen Rückkehr bis an die Kniee im Strome 

• alen. In etwa einer halben Stunde naren 36 GebHude ond 

Hntlich« Brücken ganx oder theilweise zerstört, und 9 Perso- 

^•rtriakt norden. 

Uausdorf aus, l} Meile entfernt, wurde die nach unten 

^Wolke, welche sich ergoss, deutlich tvahr»enamnien. 

Mnng erschien nur unvollkommen, dagegen halle der 

an dem hau|itsHchlich«len Ort des Ergusses die 

I nach allen liichlungen durch einander gennrfen. 

Beb gohe den Bericht meines Sohnes Bbethard. z, Z. Kefo- 
I b«i der Regierung iu lircalau: 

I«Vb« der am 19. Juli IMiO übet Schlegel sich ergiesscnden 
wft halle ich (jelegenhoU. in einer Entfernung voii otnu 
I Zeuge au aein. 

U>d mich bei vollkommen schünem Weiler und leicht 
\ Binunol seit einer halben Stunde auf einem S]>azier- 
I d#r Försterei im Trünkongrund, im Thal vor dem 
aU sich pltiulich ein seilen henigor Sturm erhob, 
Riebtun): nach allen Seilen sich änderte. Am Himmel 
I «icb die Wolken schnell xusammen, nnd nach Verlauf von 
«twa 10 Uinulcn erblickte ich in südlicher Richtung, von Haus- 
i >f nach Schlegel lu. eine Welke van so tiefer SchwSrse und ao 



116 9. Pfeilx Veber Woiier hosen und 

scharfen Umrissen, wie ich mich noch nicht erinnere» gesehen sa 
haben. Diese Wolke senkte sich in der auf der Zeichnoog (i, 
Taf. 1.) angegebenen Weise durch zwei Säulen von yerschiedeMr 
Stärke auf den« aus Hohenzfigen bestehenden Horisont, und vsr- 
schwamm mit dem letzteren dergestalt, dass man seine Umriue 
nicht mehr erblicken konnte. Dabei schwankten die beiden doik- 
len Säulen rechts und links« so dass man die Einwirkung des befr 
tigsten Sturm- und Wirbelwindes deutlich wahrnehmen konofft 
Kaum 5 Minuten hielt jedoch diese Erscheinung an, und alfaniBg 
vereinigten sich beide Säulen, während die darüber schwebeodb 
dunkle Wolke sich Immer mehr verkleinerte» bis sie« gänzlich aif 
den Horizont gesenkt« sich auflöste. Der Sturmwind dauerte f«rt'' 



IL UaftaMhang and HageL 

Jeder Winter fuhrt in den Waldungen« zumal in denen te 
Gebirges ein physikalisches Phänomen herbei« welches eb Ge- 
nuss für den Landschafter, und ein Schrecken fOr den Fent- 
mann ist. 

Kalte und trockene Nordostwinde erstarren die Zweige und 
Nadein der Bäume mehrere Grade unter den Gefrierpunkt. Draht 
sich dann der Wind« verbreiten sich Nebel durch den Wald« I9 
schiessen Eisnadein um die erkälteten Zweige an« und umgebes 
sie« oft mehrere Zoll dick, mit einem regelmässigen Mantel aw 
lockeren Krystalien. Der Wald blüht und strahlt in weissen 
Juvrelenschmuck von ungewohntem Glänze. Dieses ist der Daft- 
anhang, der den Landschafter mit Recht entzückt. 

Bisweilen fallt auf den Duftanhang Schnee, der Wind schüt- 
telt die Bäume, und die schone Erscheinung geht ohne Nachtheil 
vorüber. 

Oftmals aber ist der Verlauf ein anderer. Ein Thanwind 
folgt dem Nebel. Die wärmeren und feuchteren Dünste bilden 
Ihren Niederschlag als Glatteis auf und zwischen den Eisoadeln, 
welche die Zweige umgeben« auf und in dem darauf niedergefalle- 
nen Schnee. Nun belasten centnerschwere Eismassen die Aeste 
und die Bäume, und zahlreiche Wipfel, selbst niannsdicke Stämme, 
zerbrechen unter der gewaltigen Last. 

Das ist der Duftanhang, welcher den Forstmann in Schrecken 
setzt. 



tter Dupanhang tinil HagH. 
gteichsa 



117 



bkbvn bier gleichsam eine Uag^lbildung Iti bori- 
Kalei llichtung, nur sini) ilie HagelbDrticr bis lur Lut 
(< CentDero gevacb«eD, well sie unter alunden- uod tagelangor 
'Tliifrlrlning anistuiden sind. 

KOnUrauchro wir dl« Bildung des eigentlichen sogenanuten 
eis. *o finden wir, dasa dieselbe In ganz Ubniicher Weise, 
In «etlikaler Rii-htiing. und in kürzerer Zeit Statt findet. Wir 
MB ans dorn Anblick derjeiii|^en Cehirge, welche der Schnee- 
\ aich nHbi^ni, oder sie überschreiten, daas in allen KllraatAn. 
aus tu jeder JabresKell in den hSberen Schichten der Atransphäre 
ni««len Schnee ((ilK. Berührt derselbe nach und nach tierere 
wKnnere Schichten, so wird er entweder ausbauen und als 
: R^eik berabslürxen, oder aber, er wird einen Theil »einer 
ttecbildong behaupten. Ist letzteres der Fall, so wird er bei 
n Utrafefallen, indem er wfirniere und feuchtere Lullficbichlen 
, die DDnijte dieser Schichten in und an den Schneeflocken 
lerschlagcn, die terdichtelen Dilnate werden den Schnee Ibeils 
tbellä seine Zwischenräume ausrüllcn, Das Produkt wird 
Fnovoltkommenos, mehr oder minder mit Schneeresten durch- 
''••isle* Eis «ein. Wir sehen dasselbe als Ua gel kürner in allen 
ftrea veracbiedenen, inneren und äusseren Strukturen berabstfirzen. 
Un Usgcl xa bilden, ist nur titithig, duss ein sehr kaller 
ki*r)icT durcb wdroiere Subichlen fällt. So hat mau auf Ulund 
Uajal beobacblet. dessen Kern vulkanische Asche war. 

I kammeD häufig verwüstende Hugelllille vor, wobei viele 

I K<'"8sfiren Massen sasammeu gefioren sind. Ja 

ä «in llai;eirulle beobachtet haben, sie sind im Kosmos ango> 

I fallende Eiüstücke die Liin^*' *"■> ^ '^''"' j'' *''b UrOssc 

ihlensteineu, von Elepbaoten gehabt haben sollen. Nimmt 

I «aeb «D, di« Phantasie, der Indior zumal, habe bedeutend 

tben. so scheint gleichwohl so viel festzustehen, dass Ha- 

kU« Torkonimon. bei denen die Grösse der einzelnen Cisstilclto 

üinliicben Herabfallen von SchneeÜockcn durch wSr- 

tfe LMfUchichlen nicht fainreicbeud erklärt wird. 

ir uns jedoch, was in dem vorher(;ehenden Aufsätze 

■ bcT Wansethusen gesaitt wurde, so dürfen wir wühl 

daas solche ausser ordentliche Ha;;ell&lle entstehen, 

■ GaHnider Hai;el v»ii Wirbelwinden ergriffen wird. 

» i*t «ine noch hier und da auftauchuDdo Meinung'}, Hagel 

: im Winter, oder nicht den Nachts. Ich selbst habe 

vtUgi >le in auincr Thj^iik- 




118 9, Pfeil: Veber Wasserhosen und über Duftanhang undHagei, 

Hagel im Winter und in der Nacht sehr oft beobachtet Dage- 
gen habe ich allerdings noch niemals Hagel bei einer Tempera- 
tur unter dem Gefrierpunkt wahrgenommen. Sollte dergleicbea 
in seltenen Fällen vielleicht beobachtet worden sein, was ick 
nicht weiss 9 so würde das Vorkommen auf wärmere Luftstrume 
in der oberen Atmosphäre über kälteren in der tieferen scblieseea 
lassen *). 

Man hat bemerkt, dass grössere Hagelkörner nur in den ge* 
mässigten Klimaten vorzukommen pflegen. In höheren Breitet 
treten nur ganz kleine auf, sogenannte Graupeln, und in den Tco- 
pengegenden verschwindet der Hagel, sehr seltene Fälle vielldclit 
ausgenommen, gänzlich. 

Die Erklärung hiervon hat keine Schwierigkeiten, wenn mao 
erwägt, dass die Schneewolken in den höheren ßreiten za tief 
ziehen, als dass fallender Schnee sich in grössere Hagelkuner 
verwandeln könnte, während in den niederen Breiten der fallende 
Schnee in der Regel gänzlich aufthaut, ehe er den Boden erreicht. 
Nur in den gemässigten Klimaten können grössere Schneeflocken, 
ohne als Schnee herabzukommen, und ohne gänzlich aufzuthueo, 
durch wärmere Luftschichten von grösserer Tiefe fallen. 

Bei fallendem Hagel nimmt man stets wahr, dass, wie oatäh 
lieh, das Thermometer rasch fällt, ludess hatte ich nur ein eil* 
ziges Mal Gelegenheit, das Fallen bis unte^den Gefrierpunkt in 
beobachten. In dem Augenblick, wo das Thermometer 0^ zeigte» 
war der Hagelfall in einen Schneefall verwandelt. Die Beobach- 
tung wurde in einer Meeresböhe von 1570' Rbl. gemacht. Dai 
Datum habe ich leider nicht aufgeschrieben. 

Es ist merkwürdig, dass die Erklärung eines so hänflgen 
Vorkommens wie der Hagel ist, so lange den Scharfsinn der 
Gelehrten vergeblich in Atheni halten konnte. Schon der Um- 
stand allein, dass die Hagelkörner unregelmh'ssig sind, hätte aof 
den Gedanken führen müssen, dass man nicht mit einer primairen, 
sondern mit einer secundairen Erscheinung zu thun hatte. 



*) Dergleichen durfte wohl vornohinlich des XacliU Torkoinmeii, 
wenn die am Roden erwärmte Luft in die Höhe steigt, und dorch kalte 
Luftströme aus der leeren Atmosphäre ersetzt wird. Steigt man in Ge> 
birgen des Nachts bergan, so empfindet man deutlich die wärmere 
Temperatur der höheren Lagen. So ergreifen auch die ersten Fröste 
stets zuvörderst die Pilanzen in der Tiefe (etwa das Kartoffelkraut) und 
später erst die höher liegendeo. 



•ruvt: BntcUa.lttT.XlJLs.SS4.mitffflHrlll. Bellrammh.Sai%.\\y 




^Vcis lies in Tbl. XLII. S. 354. mitgelheilten Bel- 
t r a m i ' sehen Salzes. 



Herrn C. Slrtive, 
^rdeaüirbi^in l.rhr«r nn ilvr krluigl. tli'ahrhule in Fri 



Lthrtalt. In jedem Dreiecke ABC (Taf. 11. Pig.3.) isi 
der Millelpunkt O des umscbriebenen Kreises der 
Scbwerpnnbl der vier Mittelpunkte K, L. M, N der die 
dr«i Seiten des Dreieck» berührenden Kreise. 

Beiteig. Denkt man sieb die Aussenninkel des Dreiecks 
1i r"" balblrt, uo bilden die Halbirungslinien ein Dreieck KLM. 
^■■•seB Eckpunkte die drei Mittelpunkte der das Dreieck von aussen 
HpkrMirMiden Kreise sind. Verbindet man K, L, M respective 
■»ft A. B, C, 50 ist Dreieck ABC für KLM das durch Verbin- 
dung der Fusspunkte der HTihen entstandene Dreieck, demnach 
fchnetdeo sich AK, BL, CM in einem Punkte N und derselbe 
ist Xllltelpunkt des in das Dreieck ABC beschriebenen Kreises, 
indem die Winkel von ABC durch die genannten Geraden bal- 
b\ii werden. Nun liegt aber in jedem Dreiecke KLM der Mit- 
tclpunlit des durch die Fusspunkte der flöhen gehenden Kreises 
<) mit dem Schniltimnkt der Millellinien P und dem der tJühen 
^ uuf derselben (icraden, und zwar so, dass O zwischen beiden 
unil OP'. 0N= 1:3. Es ist aber P Schwerpunkt von K, L, jV, 
Acb O Schiverpunkt von H. L. M, N, w. z. b. w. 



120 Schmidt: Ein anderer rein geometrücher BeweU 



VI. 

Ein anderer rein geometrischer Beweis des Beltrami- 
schen Satzes vom Schwerpunkte der Centra der Be- 

ruhrongskreise eines Dreiecks. 

Von 

Herrn Carl Schmidt 

in Spremberg. 



Der Sati: 

Der Mittelpunkt des um ein ebenes Dreieck 
beschriebenen Kreises ist der Schvrerpaokt 
der Mittelpunkte seiner vier Berührungskreise, 
wenn man sich dieselben mit gleichen Gewich* 
ten beschwert denkt, 

tritt im Archiv zuerst ThI. 42. S. 354. auf. Ausser dem dort 
gegebenen analytisch -geometrischen Beweise des Herrn Heraai* 
gebers theilt das Archiv noch eine Zahl anderer Beweise mit, 
von denen die beiden ersten sich trigonometrischer HQlfsmittd 
bedienen, wShrend die folgenden vier rein geometrisch gefastt 
sind, sich aber sSmmtlich auf HfilfssStze aus der Lehre von den 
merkwQrdigen Punkten am Dreieck stfltzen, die den Elementen 
nicht beigegeben zu werden pflegen. Es beruhen nSmIich diese 
Beweise — explicite oder implicite — auf dem eigenthClmlichen 
Verhältnisse des ursprünglichen Dreiecks zu dem Dreieck der 
Mittelpunkte seiner äusseren Berfihrungskreise und dem Dreieck 
der Seitenmitten des letzteren in Absicht auf zwei merkwürdige 
Punkte des ursprfinglichen Dreiecks und je drei merkwürdige 
Punkte der beiden letzteren Dreiecke, -^ ein eigenthümliches Ver- 
hältniss, sofern diese Punkte nicht als acht, sondern als nur 
vier verschiedene erscheinen, — indem jeder derselben je zweien 



I BtHramf'tchen sniieg rom Schtterpiinkl tier Ceiifii 



■ \-l\ 



-iecken lEUpIctch in verschiedener EigenKchaft arüeliürl, — die 
:i<i-i in gernder Linie liegen unil eine bestimmte Relation ilirer 
irciiiaugen von «Inauiler innehalten- So inleresnaiil diee« uail 
ilirlie, nitmenllich hei liein dritten der rein geoineltischen Be- 
'l>e beuulxlen and in Helrachl gezogenen merkivilrdiiien Be- 
ichungen nn sich und in ihrer Folgerung auf den Uellrami- 
I Salx, sowie in ihrem Zusammenhange mit demselben auch 
lögen, ao scheint doch ein noch elivait cinfacliercr ßoneis 
innotcn Salxes, der sich nur anf die nItergeläuGgstcn Sätze 
meiile elät/l, nicht geradezu ilüerfiassig zu sein. 

P«r füllende Beweis muss natürlich vorauseelzen , dnsft die 
'Hittelpunkto der Benibrungskreise sich ergeben als die Durch- 
ytlspunbte der sechs Halbirungslinien der Dreieck««' inkel und 
ISeben« tnkel derselben ; im Uebrißen elülit er sich » esenl- 
ur aur den Satz von der Gleichheit der zu gleichen Peri- 
tvmkcin gehurenden Bogen und Sehnen und die Umkehrung 
n. Zogl«ich erscheint durch denselben der Bellrami'sche 
kis eine unmittelbare Folge einer noch ein wenig nlli^cmei- 
1 «ind dabei noch sinneDliiHigeren Dreieckaeigensehal'l- 

We »ier Mittelpunkte der vier Berti hntiigskreise eines Drei- 
nügen ■/, A, . .4^, A3 heiesen, wobei mit J der Millelpnnkt 
I Berührungskrcise» bezeichnet sein troll. Diese vier 
bpanhl« bilden die sechs Paare JA,, JA,, JA3, A,A,t, AiA^, 
Wc e(»tcren drei Paare miigen die ungleichartigeu. 
« drei die gleichartigen Paare heissen. Alle vier 
e lassen sich nun auf dreirache Weise zu je zweien 
ibI|Cen Paare zusammenstellen, nämlich entweder nU die bei- 
piUiTe 

JA, und A^/l^. <I) 



JA. 



A^Af 



zusammen gehörige Paare, die 1 



[hltbQii also dreimal 
ax«iide Paare ner 

Ncnnra wir den ., Punkt der mittleren Entfernungen" Je zweier 
I ohne Beziehung auf statische Begriffe der Kürze wegen 
krpaakl. so gilt der Satz: 

IMe sechs Schwerpunkte der sechs Punkten- 
|)aiire (1), die die vier Mittelpunkte der Be- 



rfibrungskreiso eines 
aSinintlich auf der Pe 



ipherie de 



Stkmidl: Ein aniierer rein ytinnflritehtr BtwtU 

eck beschriebenen Kreises, und zwar )[«)[«» i 
Schnerpuiikle je zweier ergänxendeD Pll 
einander üianietrul gegcnflber. 

Also bnben Hte Schwerpunkte je xtreier 
gSiizPiiden Paare ihren 8chiverpunk( im lUitt 
[xinkides um dasDreierkbest^hriebeneiiKre 
Id diesem lefzleren Ausdrucke liegt der Bellrarol'scliB 

Beweis. In 'toX.\\.T\s,.\. sei ABC das der Bi 
KD Grunde liegende Dreieck. (I>ie Selten desselben, sowie ix 
Verlängerungen sind stärker gezeiebtiel.) Der )in) das Ürtlc 
beschriebene Kreis hübe seinen MiItel|>unI(I in G. Die sj 
liehen sechs Halhirungslinien der Dreiecks« inket und der 
senH'inkel sind im Allgemeinen Sccanleti des Krei» 
beu sind minder stark geseichuel.) 

Im Falle eines gleichschenkligen Dreieckn ist die durtk 
S)ii(ze gehende üiissere Halbirungslinie eine Tangente; im Fl 
eines gleichseitigen Dreiecks sind alle drei Süsseren Halbinn 
linien Tangenten, Diese SpeclalRille ordnen sich dem kIIj^ 
nen Falle eines ungleichseitigen Dreiecks nachgehend* tfai 
Weiteres unter. 

Die sechs HalbirungNÜnlen schneiden als Secanten (Jen 
ausser in den Ecken A, B. C noch in je einem Punkte. 
Punkte sind mit den Ziffern I liis 6 bezeichnet. 

Zuerst tässt sich erkennen, dass die Pnnkla I bis n 
zweien einaniler diametral gegenüber liegen. Ks Ist nSmlin 
Winkel 1.-16 ein Rechter, da er durch die llalbirung der M 
Nebenwinkel an A entstanden ist, und dieserhalb ist die U 
16 ein Durchmesser. 

Analog ergiebl sich wegen des Hechten bei B, Aa9B 3S, i 
wegen des Rechten bei C, dass 34 ein Durchmesser Ist 

Demnach liegen die Punkte I und 6, 'i und 5, 3 unil 4 
Kreif^perigiherie uro G einander diametral gegenüber, der t 
]iunkt jedes Paares ist also G. 

Demnilcbsl ist zu zeigen, da^s die Punkte 1 , 3, 3 die 8(1^ 
punkte der ungleichartigen Punklenpnare JAt . JA^. JA^' t 
Es werde dies für den Punkt I beiichlich seines ztigeliM| 
Paares JA^ gezeigt. Die (punklirten) Hüirslinlen 10 und IC» 
gleich als Sehnen der beiden Hälften a des Dreieckswinkels 
A. Nun ist das Dreieck JB\ gleichschenklig, denu der I 
Winkel bei J ist als Auseeuwlukel des Dreiecks JAB = > 



mtl Bfllramtieäen Satzes rom Scliatipinikt dei Ctnlra i 



: I2;J 



^|d«r KasiswiKkel bei B ist =^lBCt ß. aU» aiivh =a-iß. 
u^lBC uiil dem itreitcii Winkel a niif demselben Bogen IC 
Ebenso ist dna Itrdeclc A^Bl jHeichscheiiklij;. denn der 
äuUwtobel bei J, iai >m Dreieck AiAB = iR — a ~ (R^^ß) 
^ti~ti-ß.und derBnsisivtnke! bei B lat =^A,BJ~^lBC~ß, 
^Iso Buch = H — u ~ ß. 

llirrnuM crgiobt sich, dass \J=\Ai, also I der Schvierpunkl 
: .; und .4, ist- 
^^ Ucberhaujit etgiebt sich aber hieraus, dasn die Punkte J, B, 
^^kV in der Perigiherie eines Kreises rini 1 liegen. 
^HCanz analog lässt sich zeigen, dass 2 der Schwerpunkt fflr 
^^nd A^ und 3 der iüt J und A, ist. 

Clteiiso erglvbl sich äberhanpt, dafs die Punkte J, V, A^, A 
lu der Peripherie eines Kreises um 2, und J, A, Af, B in der 
taiN Kreise» um 3 liegen, 
I NuDmchr ist 7n xeigen, daes die Puiikle 4, 5, 6 die Schwer- 
ikte ilet g I eich artig en Punklenpaare A,A^, Ä,Af; A^Ag aind. 

Es werde dies Tlir den Pnnittfi Jieiieblieh seines zugehörigen 
:: ktenpaares A^A^ gezeigt. Uie puaktirlen Ualfslinien 6B und 
' ' sind tjleicb als Sehnen zweier Bogen, die die gleichen Bogen 
Ih und iC zu Halbkreisen ergänzen. Nun ist das Dreieck A,BQ 
gleichschenklig, denn der ftasisninkel bei <4, ist im Dreieck 
A^AB = 2«-(IR-to)-^=ß-o-(J, und der Basiswinkel bei 
B Ul =^6BC-ß, also auch =R — <.~ß. da ^6BC mit 
^\HC(=a) auf dem Halbkreise ICti sieht. Ebenso ist das 
Oretecic AfCfi gleichacUenklls, denn der Basiswinkel bei A^ ist 
im Dreieck A3AC = W - (B + o)~y = li-^-y. und der Ba- 
üawiBkel hei C IM =.^öCfi — y. also auch =« — n — y, da 
^6CB mit ^ICB (=t.) auf dem Halbkreise Iß6 steht. 

yHleraoR Kgiebl sich, dass 6il, = 6Jj. also der Schuer- 
t tBr A, und .4, ist. 
leberhanpl ergiebt eich ober hierau 
, A) in der Peri|iheiie um 6 liegen. 
b&nt analog liisal sich zeiger 
■d A,. und 4 der für A, und A^ ist. 

ibensfl ergiebt sich liberhati|il, dnss die Punkte Ai. C, A, Ag 

r Pfiri|ihetie eines Kreises um 5, und Ai, B, A, A^ in der 

1 um 4 liegen, 

I wir nun endlich zusammen, daas der Schwerpunkt 

■ an gleich artigen Puiiklenpaare«, elna der Schwerpunkt 



, dass die Punkte A^, 
i 5 der Schwerpunkt für 



124 Grelschei: Vebtr ein System paraUelachsIger RoMlomßäck€n 

1 des Paares JA\ und der des ergänzenden Paares , also der 
Schiverpunkt 6 des Paares A^A^ in den Endpunkteo des Diame- 
ters, I69 liegen, also hinviiederuni ihren Schwerpunkt im Mittel- 
punkt G des um das Dreieck beschriebenen Kreises haben, so 
ist der Satz beiviesen. 

Es hat sich aber überhaupt der Satz ergeben, dass die bei- 
den Punkte jedes der sechs Paare, zu denen die Mittelpunkte der 
Berührungskreise zusammentreten können, wie mit je einer Eckt 
des Dreiecks in gerader Linie, so zusammen mit den beidei 
anderen Eckpunkten auf dem Umfange eines Kreises liegen, dass 
diese sechs Kreise, die jede der drei Ecken des Dreiecks vier- 
fach und jeden der vier Mittelpunkte der BerObrungskreise dr«- 
fach schneideil, sich als einen Kranz darstellen, indem sie nte- 
lich ihre Mittelpunkte auf der Peripherie des um das Dreieck 
beschriebenen Kreises haben, und dass je zwei dieser Mittelpankte 
in Beziehung auf den umschriebenen Kreis einander diametrtl 
gegenüberliegen. 

Von diesem Satze ist der Beltrami'sche Satz eine anmit- 
telbare Folge, wo nicht eine durch Benutzung des statischen Be-: 
griffes Schwerpunkt vermittelte elegante Fassung einer Seite 
desselben. 



Vif. 

Ueber ein System parallelacbsiger Rotationsflächen 
zweiter Ordnung, welche eine gemeinschaftliche Schnitt' 

curve besitzen. 

Von 

Herrn Heinrich Greischel, 

Lehrer der Muthenialik nii der Ilandeltlehranstalt in Lfiptig. 



Das Folgi'iHlt* bildet einen kleinen Nachtrag zu dem, was 
ich im dritten Hefte des 43sten Theils des Archivs (Nr. XXI.) 
über den Ort der IVlitteipunkte der Flächen zweiter Ordnung, 
welche eine gemeinschaftliche Schnittcurve besitzen, mitgetheilt 
habe. Ich habe daselbst schon einen Fall behandelt, in welchem 
dieser Ort, welcher im Allgemeinen eine Raumcurve dritter Ord- 
nung ist, in einen Kegelschnitt degencrirt; im Nachstehenden soll 
o\n anderer derartiger Fall besprochen werden. 



Vttittt Ordn , leelcir eine e"»i^l"*t'nifll. ScAniUeuree besilitD \2't 

Den Aiiftt:au|ift{i«Mhl iiit drc folitvnde» ErStleruDgen bildal 
r lN)kuii»t«i Hatzt 

Per »arcliachullt xweier Flüchen ineiler Ord- 
nnnft )b1 intner und iiur dann eine Bphätiscfae 
Curve. Kenn die Kr eiHschnil le der einen Flüche 
denen der xndcrcfi i>arallel tuid. 

t.Danbt mnn sich ins Besondere znei RolalionsÜächeu mit 

D Achsen, so ('all«n hui jedur derselben die Kreisechnille 

MOien in ein« lur Achse seiikrechle Ebene; der Uurchschnill 

en ivird ulsu eiiiu ^phärifuche Cnrve r* sein, und 

I FlScIien zweiten (irndcs, nelche «ich durch dieic Curve r* 

I \tk»HKn, niÜDoen xnei zasBrnmenfallende KreisBchnilte hnben, 

beiden ersten Flächen j)arullel gc^hen, d.h. es 

.A ItolationBlISchen sein, deren Achsen sänimtlicb niil denen 

f bellen eisten FlScheii (»arallel laufen. 

y- An* der tiynimelrie der beiden ersten Flfic-hen gegen die 
■s ibier Urftiungsuvhseii folgt, duss mich r* gegen diese Ebene 
._. Btriscb liegt, und damus ergiebt sich weiter, dass überhaupt 
) dnrcb r* eu Ieg4-nde KotationsIlKciie zu dieser Ehene syin- 
iseh »ein. d. h. ihre Drebuns»uchse in dieser Ebotiu butieti 
Dies znsnmniengefiiaat giebt den Sulz ; 

die Schnitlcurve ziveicr Rotalionsflli. 

ineiler Ordnung mit parallelen Acbaen 

I sich un;eShli^ viele andere Kotutions- 

^Jlcfaeii meiler Ordnung legen, deren Achsen 

gtl denen der Leiden ursprünglicheii in einer 

Jbane liegen und mit iliiien parallel laufen. 

Pater diesen Kn tntionsriUchen befindet sich 

ner eine Kugel. 

r der Achsen schneidet sänimlliche lintalinnsMchcn 

Itten *■> nciche vier Punkte A. B, C, D ecmein- 

I und deren Achsen sSinmtlich parallel sind; der eine 

iCefjelachnille ist ein Kreis. 

• aoll jelit (iinllchst der spezielle Fall Ins Auge gefassl 

«, (laa* die tteiden ursprdnglioheu Flüehen ein l'nar Itnta- 

' ' ' ' cind. Diese schneiden die Ebene der Achsen in 

»Farabeln, deren Athsen parallel liegen ; ein Paar s<dche 

■«ei in endlicher Entfernung Itecfnile Punkt« 

im haben, und berühren sich nueserdem in dem 

i'ii tjchnittpiinkle ihrer Achsen, uell eine l'ara- 

intfernte <>crade der Ebene herdhrt. Hieraus 

iMi'li all: anderen t'urven A' sieh in demselben 

1 II Punkli^ berühren, also Parabeln mit puralle- 

. üinen Hie Kntationsllfichen sind aUo slimutl- 

l>ie Knitel lerner, welche durch die gemein- 

ijtver*altorllotatinnsllJlchen geht, musä unendlich 

>iir den unendlich entfernten Schnittpunkt der 

I entballen niitaa, Ihr in enilliibcr Entferuung gelegener 

~^tbe eine Ebene und die Itaunicurve r* besteht aus 

ldHcb«T Entfernung liegenden Curve i»eilen Gradca. 



ISAereltcItel: Ceöer ein Suslem paiti/MiicAtti/er /li/iaUans/UcJt*M 

die natürlich eine Ellipse ist, und aus eineiu uneuillwli «nlf« 
ton Punkte (oder einer unendlic-h eiitferntun vorschnilMUiiil kl 
neu EMipae). Man erhält also das Uesultal: 

Der Durchschnitt zweier Kötutionsnaisbolftti 

mit parallelen Achsen ist eine Ellipse; dun 

dieselbe lagseit sich noch unzählig viele R 

tationsparaho leide legen, deren Achsen saun 

lieh mit deueti der beiden ersten parallel lau r* 

Die frage nach dcnt Orle der iMitlelpunkte der ehen faetni 

teten Rotationsll liehen hat keine lledeutung, da diese Mitlelpnnl 

iiSnimtiich in unenrlljcher Ferne liegen. 

Hiermit mag dieser sneslelle Pull erledigt sein, und es t 
nun ZOT Erörterung des allgemeinen Falles geschrilten ivcrden. 
Da unter den ■Schniltcurren k* in der Fbene der Drehun 
achaen sich im All|iemctnen ein Kreis befindet, so sind die C 
Ten k* nicht sämmtlicb Hyperbeln, sondern es giebt unter ibl 
nnEShlig viele Ellipsen und znei Pambeln. Von den letzt« 
hat die eine ihr« Achse parallel au der Kichtung der Achten 4 
ürehungeOfichen, die andere hat aber eine zu dieser Ricültt 
senkrechte Achse. Ea widerspricht dieses dem oben an« 
nen Satze, das» die Achsen aller Kesehchnitte X* parall« 
mdssen, insofern nicht, sl» ja die im Unenitlichen gelegene 
dieser Parabel glelchralls der angegebenen Richtung uarolle) i 
Die erste Purabel gehurt, wie man sofort bemerkt, ernenn Rot 
tionsnaraholoid an, dessen Drehiincsnchse den Achsen der Ski 
gen Drehun gsllächen parallel ist; die ztieile Purabel aber e«bB 
einem parabolischen Cyllnder an, dessen Eneugende senkr«C 
zur Ebene der Achüen der Rotatinnsfiachen stehen. Eine suis 
parabolische CylinderflSche kann als ein abgeplattetes Drehm 
cllipsoirl betrachtet nerden, dessen Mittelpunkt in unendUd 
Ferne liegt- 

Zu den Kegelschnitten, »eiche sich durch die vier Schi 
pnnkle A. B, C. D der Kegelschnitte Ifl lege« lass« 
ancb die Paare gerader Linien 

AB und CÜ, Aü und BC, AC und JSO. 
Aus dem Vorstehenden erbellt, dass die HnlbinmgHlinlen ( 
Winkel, »eiche diese Paare bilden, uiiler sich parallel fm 
senkrecht zu einander) sein mässon. Uebrigens iüt eines i\m 
Paare stets reell. Mährend die beiden anderen reell oder ipi« 
ntr «ein künnen. Wir »chliessen daraus, Ansu es unter den B 
talionsONchen , welche sich durch r* legen lassen, immer wenig 
einen und böchslens drei Rnlationskegcl giebt. 

Das Ergebniss dieser Bcirachlungen tat nun fotgendea: 
Unter den Rotutionsriäcben zweiter Ordniin 
deren Achsen parallel utid in einer Ebene j 
legen sind, und welche sieh in einer sphSriaci 
Curve vierler Urdniing schneiden, bsrind^ 
sich im Allgemeinen unziihllg viele Ellipaftii 
und Hyperboloide, ein Paraboloid. anUftd 
ein oder drei RolatiuMskegel und ein pirsb 



siefller Ordn.. ire/e/te rine gfmetntehefil. Srhnliieurre iieaUten. 127 



liscbtr Cyliniler. dessc 



Aebu 



nelienv senkrocht stehen. 



eiie:enilen auf der 



Kaa dem zuleUt ertvätuiten Umstände \'o\^i ßbrigen» 



die senkrechte Projei 

corve auf die Ebene der Achs 

mcbr ein .StO<?k einer solchen ist. 

^ _^ Als eine betuerkensnertho, pi 

HjuMbüiige rnlg«riing aue dem \ n 

I 



chen' Schnitt, 
rabel gder viel- 



nz der Elei 
stelienilen e 



^eineinschaniii 
lionekcRel mit 



l«S« 



I Durchschiiilt 
ailelen Auhsen 
lUlatii'nskegel 
desii«n Achse in der Ebene der Achnen 
ideti ersten Kegel liegt und ihnen iiaral- 
lel ist: ferner l.nssl sich durch diesen Üurch- 
schnitt eine Kugel legen. 
Projicirl man den gemcinscha Fl liehen Uurchschnilt zireier sol- 
chen K'rgc) auf eine xu den Achsen senkrechte Ebene, so ist 
"1b»o Prnjedion eine aplanetische Curve. Uenn sind S und 
'die SpiUen beider KegeinSchen. Tund 6' die Punkte, in denen 
"' Acb»en die Projectiiinseliene schneiden, a und ß die Cotan- 
len der Winkel, welche ihre Erreupendin mit den Achsen 
o , bt ferner M ein Punkt der Schnitlcurve und sind MIS und 
die von ihm aus auf die Achsen gefällten Senkrecbleo, so ist 
S1S = «.MN und TO = ß.JUO. 
Ferner ist entweder SK+TO oder SJS—TO eine conslante 
le, je nachdem die Punkte S und T auf enigegengeseixten 
Itcn Oller auf derselben Seite einer durch 3t senkrecht zur 
icnilehlang gelegten Ebene sich befinden. Nennt man nun P 
Pr*jection von JH und bezeichnet jene (.'onslnnte mit c, sn 
cgen PF=ßtI>i und PG=JHO Ifir die Projecllon der 
die Gleichung a.PF±ß.PG^c, durch »eiche Ulei- 
_ _ .planetische Linie mit den Brennpunkten F und G 

eliarablerislrt ist. Aus der oben bemerkten Existenz eines dritten 
ilurch dieselbe Schnitlcurve gehenden Hotaünnskegels lulgl sofort, 
Jass die aplanetische Curve noch einen dritten Brennpunkt he- 
sitxt, nämlich den Schnittpunkt H der Achse dieses dritten Kegels 
mit der Projectionsebene. Durch den vorstehenden stereometri- 
■eben Sa(s ist sonach ein recht passender Ausgangspunkt für eine 
reiofjeoaielriscbe Theorie der apianetischen Linien geHonuen. Indes- 
8«n soll anrdieflen Gegenstand hier nicht imter eingegangen werden. 
Die DurchsL'hnittacurve r^ zweier solchen Kegelflächen besteht 
in Allffemetnen aus »wei gesonderten Theilen. Sind beide Ke- 
gel03cben gleich, so ffillt der eine Tbeil in unendliche Ferne, denn 
»nn den vier in der Ebene der Achsen liegenden Punkten A, B. 
€, O, in denen Ktch die Seiten der beiden Kegel schneiden, fal- 
len zwei wegen des Parallelismus der Seiten des einen und des 
atiiteren Kegel in's Unendliche; die KugelflSche, »eiche sieb durch 
r* legen läesi, degenerirt also in eine Ebene und auch der dritte 
Kegei milt mit dieser Ebene zunantmett. Der Dnrchachnitt 
xwvier gleichen Rotalionskegei mil parallelen Achsen 
■ •t daher ein Kegelschnitt. 



128 Wsceiien. 

Der Ort der Mittelpunkte aller derjeoigen Re- 
tationsflächen zweiten Grades, welche paral- 
lele Achsen und eine gemeinschaftliche Schnitt- 
curve haben, ist eine in der Ebene ihrer Achsen 
liegende gleichseitige Hyperbel, deren Asym- 
ptoten parallel und resp. senkrecht zur Rich- 
tung der Rotationsachsen liegen. 
Da nämlich sfimmtliche Rotationsachsen in einer Ebene lie^eo, 
so liegen auch die Mittelpunkte in dieser Ebene und sind identiseb 
mit den Mittelpunkten der' Curven k*. Weil nun unter letstereo 
sich zwei Parabeln befinden, so hat der Ort dieser Mittelpunkte 
zwei unendlich entfernte Punkte, ist also (da er im AllgemeiDeii 
ein Kegelschnitt sein muss) eine Hyperbel , deren Asymptoten dl« 
Achsen jener Parabeln sind, und da letztere senkrecht zu eio* 
ander sind, so ist diese Hyperbel gleichseitig. 



M i 8 c e 1 1 e n. 



X 

Ueber die durch y=Vx dargestellte Curve mit zwei er- 
läuternden Zeichnungen auf Taf. f. 

Von Herrn Hubert Müller, Lebranits-Candidatcn der MathemRtik in 

Freiburg i. B. 

X 

Die CuTve y=zVx hat ein Maximum filr den gleichen Werth 

Ix -^ 
von a: wie die Curve von der Gleichung y=~' Für die letztere 

ist J^ = -Tr— » welcher Werth wird für /j:=1 oder ar = e. 
dx x* 

1 ix 

Der Grenz werth von — s— för a:=Qo ist 0. Desshalb hat die 

zweite Curve die Abscissenachse zur Asymptote, weil zugleich 
auch y = — Null wird. Weil aber zu gleichen Logarithmen auch 

X 

gleiche Zahlen gehören , so muss die Curve y=zVx ebenfalls 
zuletzt parallel der jr- Achse verlaufen. Da zugleich der Grenz* 

werth von V^ f(1r 2:= od Eins ist, so kann man sagen, die Cunre 

X 

y = Vx bat zur Asymptote eine Linie, welche in der Entfernung 
1 von der :r- Achse mit letzterer parallel Iftuft. 

X 

In Taf. L Fig. L ist die Curve y^^Vx bis zur Abscisse j;=s% 
in Taf. I. Fig. 2. ist sie in kleinerem Maassstabe bis zur Abscisse 
a: = 16 dargestellt. 



Ker%: üek. ä. Beurtk, d, H'irrs. e. vorgeL cub. GiHckung, 129 



IX. 

Heber die BeurtbeilaDg der Wurzeln einer vorgeleg- 
ten cubischen Gleichung. 

Vierte Abtheümig, als Fortsetzung der Abhandlung Tbl. XUV., No. I. 

Von 

lUeTTfr Ferdinand Kerz, 
ijor io dem Grotehenogl. Hessischen Gendarnierie-Gorpe in Darmstadt 



111. 
Ist: 

1) = a + 6y -f c^* f iy' 

% e< > 36, also auch : 3c* > 96, 

80 geheo die Formeln [93. 3) 4) 5) 6)] Ober in: 

3) 27(Tr) = ±(3c«-9Ä)pTp', 

27r r p T r ^ T 

^^ 'F(3c*-96)l — * L(3c«-96)»J''' L(3c« - 96)i J ' 

27r 

^^ (3c«-96)i'='*' 

6) p = P.(3c*-96)», 

oad M folgt: 

Weno p negativ ist, so erhalten auch die Glieder in P vor- 
«tdiender Gleichung das entgegengesetzte Vorzeichen und es er- 
geben sidi somit vier Fälle der verschiedenen Zeichenwechsel 
fBr Gleicbiing 7). 

Th«!! XUY. 9 



* t" 



130 Ker%: Leber die Beurtheilung der Wurzein 

8) Es Ifisst sich indessen leicht nachweisen, dass sich die« 
vier Fälle auf folgende zwei Fälle zurGckfahreo bssen: 

IV. ^R=±P^P^, 

welcher Gleichung entweder drei reelle Wurzeln oder eiM 
reelle und zwei imaginäre Wurzeln entsprechen. 

112. 

Sttbstituirt man in diese Gleichung, zur Bildung einer Ta- 
belle, rar P 

1) mit Berücksichtigung der oberen Vorzeichen, 

analog dem Vorhergehenden, nach und nach die Wertbe: 

0} 0,001; 0,002; 0,003; u. s. w.; 

so werden die Werthe von R von Null an anfangs bit ta 
einer gewissen Grösse zunehmen, dann wieder abnehmen bis 
R (mit dem Werthe von P=]) wieder gleich Null wird. 

Substituirt man dann weiter für P 

2) mit Beriicksichtiguug der unteren Vorzeichen, 
die Werthe: 

1,001; 1,002; 1,003; u. s. w.; 

so werden die Werthe von R von Null an wieder zunebneii 
und zwar beständig mit dem Werthe von P wachsen. 

113. 

Die Frage, bis zu welcher Grösse R anfangs mit dem WerAe 
von P zunehme, beantwortet sich leicht, wenn man in ErwfigoBg 
zieht, dass der Gleichung [111. IV.] mit diesem grOssten Wertbe 
von R zwei vollkommen gleiche Wurzeln entsprechen, und wir 
erhalten aus [33. 4) und 6)] alsbald: 

1) Ä = S V3 =0,384900179459750. . . . 

2) P = \ V3 =0,5773502691 89625 .... (zweimal) 

3) P = ; V3= 1, 154700538379251 . . . . , 

wenn wir daselbst 12 för a, I filr 6, und P für y schreiben. 

Es folgt hieraus: 
Es gehSren 

4) zu jedem Werthe von : 



eIntT vorgtltgltn cubitchen lUeithuug. 

i roelle und verschiedene VVerIhe TEir P\ 
■ jedem Werlhe von r 

A=SV3 
i reelle VVerlbe fär P, untet ivelchen > 



>i eiaander gleich 



kti> «I jedem Werlbe ren: 
■ ß> ; v3 

■ ein reeller unil stvei imnginäre Werthe fSr Z'. 
KKadi Formel [III. IV.] haben ivir in der [112.] angedeuteten 
^'-ise eine Tabelle enttvorfen, irelcher »vir »ieder die verschie- 
ii-n FornielD bezüglich der Vnrzeichen der Glieder einer ge- 
-Irenen Gleichung vorausschicken. 

Znsamrocnstellung der verschiedene« Fälle, »reiche sich zur 
aniiähcradeo Beslimmang der reellen Wurieln einer vorgelegten 
i^jfcchen Gleichung; 

\ Torausgesetst, ergeben. 

114. 



±979=+!IAc— 2c». 



+»<+? 


<l—a—r 


— »< + ? 


,+« = , 


+«>+? 


fl — 7 = r 


+«>-» 


« + »=r 


r— i-» 


'-1=' 


-•>-, 


«-<i=r 




0=±«— % + cj(» + j'. 
— 27^=— 9fic — 2c». 



+ o>-, 


« + « = r 


(3j)=-c-p 


_.>_, 


«-ii=r 


— — 


— ■<-» 


.-,=r 


- + 



' -iT 



132 lCer%: Veber die Beurtheilung der Wurxein 



116. 



0=±« + %-cy« + y». 



12 = 



27r 



(3c*- 96).*. 



1) 


— «>— 7 


^•a = r 


(3,)= + c-p 


2) 


+ a>-^ 


^ + a = »- 


+ - 


3) 


— a< — ^ 


fl-y— »• 


+ + 


4) 


-fl< + ^ 


a+q^r 


+ + 


5) 


+ a>+g 


a — q — r 


+ - 


6) 


+ a< + ^ 


^ — a^^r 


+ + 



117. 



+ 27y = +96c+2c» 



" — 19..* 



27r 



(3t* + 96)J. 



1) 
2) 
3) 



-«< + » 
+ «>+9 



fl' + ossr 
g — a=r 
a — q = r 



(3y)= + c+p 
+ + 

+ — 



Anmerkung. Hat die vorgelegte Gleichung drei reelle Wu 
zeln, so ist [120. 4}] zu berficksichtigen. 



tiufT roraeleßUK (uHicnen eietchting. 

118 
Tabelle IV. 



.(JtiUOOOOOO 

^ooomiiem 
i,aoi!ig<)9« 

,0029999?3 

fßmmafi 
faaamnx 

fsvxaasm 

,0Il(KISä72 
,012»97t!lB 
|DI>W72ü6 

AltMSOST 



iXtiU'MTM 



9SWI 
(1963 
9939 
9909 
9S73 
9Sil 
97S3 
9729 
9609 
9003 
9M1 
9453 
9369 
9-279 
91M 
90t<l 
t?973 
HH59 
8739 
8Ü13 
8481 
8343 
S199 
8949 
7893 
7731 
7563 
73S9 



0,030 
0,031 
0,032 
0,033 
0,034 
0,035 
0,030 
9,037 
0,038 
0,039 
0,040 
0,041 
0,042 
0,043 
0,044 
0,045 
0,040 
0,047 
0,048 
0,049 
0,050 
0,051 
0,052 
0,053 
0,054 
0,055 
0,056 
0,057 
9.058 



0,029973 
0,030970209 
0,O31%7232 
9,0329()4003 
0,033900696 
0,034957125 
0,035953344 
0,036949347 
0,037945128 
0,038940681 
0,039936 
0,040931079 
0,041925912 
0,042920493 
0,043914810 
0,044908875 
0,045902664 
0,040890177 
0,047889408 
0,048882351 
0,049875 
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0,051859392 
0,052851123 
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0,055824384 
0.056814807 
0,057804888 
0,059 1 0,058794621 
0,060 1 0,05 9784 
ti 



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0,059784 

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0,069657 

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0,071626752 

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0,073594776 

0,074578125 

0,075561024 

0,076543467 

0,0V75S5448 

0,078506961 

0,079488 

0,08O4085:i9 

0,081448032' 

0,08242821 3 1 

0,0834072961 

0,084385875 [ 

0,085363944] 

0,086341467 i 

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0.097 

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0,101 

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0,103 

0,104 

0,105 

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0,107 

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,089271 

.090246429 

,091221312 

,092105643 

,093169416 

,094142625 

,095115264 

,090087327 

,097058808 

,098029701 



,100938792 
,101907273 
,102875130 
,103842375 
,104808984 
,105774957 
,106740288 
,107704971 
,108609 
,109032,369 
,110595072 
111557103 
112518450 
1I,W79125 
114439104 
115.198387 
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II 



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5716 



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Tabelle IT. 



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3473 
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3205 



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0,151 
0,152 
0.1.53 
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0,1.56 
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0,158 
0,159 
0,160 
0,161 
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l),164 
0,165 
0,166 
0,107 
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0,169 
0,170 
0,171 
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0,173 
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0,176 
0,177 
0,178 
0,179 
0,180 



0,146025 

0,147557049 

0,148488102 

0,149418423 

0,1.50347736 

0,151270125 

0,152203584 

0,153130107 

0,154055688 

0,154980321 

0,155904 

0,156826719 

0,157748472 

0,158669253 

0,159589050 

0,160.507875 

0,161425704 

0,1623425.37 

0,16.3258368 

0,164173191 

0,165087 

0,165999789 

0,166911552 

0,167822283 

0,168731976 

0,109640625 

0,170548224 

0,171454767 

0,172360248 

0,173*64661 

0.174168 



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3114 

3023 

2931 

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Ken: Ceöer die Beurtheiluns der WuraelH 







Tabelle IT 






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0,183 


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0,213 ' 0,203339403 


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0,185 
0,186 


0,178668375 
0,179565144 


9677 
9565 


0,215 
0,216 


0,205061625 
0,205922304 


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5938 


0,187 


0,180460797 


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0,217 


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5808 


0,188 


0,181355328 


9340 


0,218 


0,207639768 


5677 


0,189 


0,182248731 


9227 


0,219 


0,208496541 


5546 


0,190 


0,183141 


9113 


0,220 


0,209352 


5414 


0,191 


0,184032129 


8998 


0,221 


0,210206139 


5281 .' 


0,192 


0,184922112 


8883 


0,222 


0,211058952 


5148 


0,193 
0,194 


0,185810943 
0,186698616 


8707 
8651 


0,223 
0,224 


0211910433 
0,212760576 


5014 

4880 


0,195 


0,187585125 


8534 


0,225 


0,213609375 


4745 
4609 


0,196 


0,188470464 


8416 


0,226 


0,214450824 


0,197 


0,189354627 


8298 


0,227 


0,215302917 


4473 


0,198 


0,190237608 


8179 


0,228 


0,216147648 


4336 


0,199 


0,191119401 


8U60 


0,229 


0,216991011 


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0,200 


0,192 


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0,230 


0,217833 


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0,231 


0,218673609 


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0,202 


0,10.3757592 


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0,232 


0,219512832 


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0,203 


0,194634573 


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0,233 


0,220350663 


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0,204 


0,195510,3.36 


7454 


0,234 


0,221 187090 


3503 


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0,196384875 


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0,235 i 0,222022125 


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0,206 
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0,236! 0,222855744 
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0,208 


0,199001088 


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0,209 


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2006 


0,274 


0,253429176 


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0,275 


0,2.54203125 


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0,270 


0.254975424 


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1623 


0,277 


0,255746007 


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1474 


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0.259574232 


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0,283 


0,260334813 


5888 


854 0,237012930 


0569 


0,284 


0,261093606 


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tsas 0,23841 W25 


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0,257 0,24002,1407 


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0.287 1 0.263,360097 
0,288 0,264112128 


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1,25^ 0.2408264H8 


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0,290 0,265611 


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1^2 0,244015272 


9328 


0,292 


0,267102912 


4333 


0,203 0,2440O«553 


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0,293 


0,267846243 


4157 


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0,245000256 


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0,294 


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0,248390375 


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0,24717H904 


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0,273 




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Tabelle IT. 



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2729 


0,331 


0,294735309 


7032 


U,302 


0,274456392 


2548 


0,332 


0,295405032 


6833 


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203 
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5752 
5415 
5078 
4740 
4402 
4063 
3723 
3383 
3042 
2701 



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0,571 
0,572 
0,573 
0,574 
0,575 
0,57« 
0,577 
0,578 
0,579 
0,580 
0,581 
0,582 
0,583 



0,384807 
0,384830489 
0,384850751 
0,384867483 
0,384880771 
0,384890625 
0,384897024 
0,384899967 
0,384899448 
0,384895461 
0,384888 
0,384877059 
0,384862632 
0,384844713 
0,584 j 0,384823296 
0,585 0,384798375 
0,586 ! 0,384769944 



0,384737997 
0,384702528 
0,384663531 
0,384621 
0,384574929 
0,384525312 
0,384472143 
0,384415416 
0,384355125 
0,596 0,384291264 
0.597 ' 0,384223827 
0,598 j 0,384152808 
0,599 0,384078201 
0.600 1 0.384 



0,587 
0,588 
0,589 
0,590 
0,591 
0,592 
ü,.593 
0,594 
0,.'i95 



2359 
2016 
167S 



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02943 

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03987 

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2116 


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0,3*3918199 


8541 


11,631 


0,.379760409 


11,602 


0,383832792 


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0,632 


0,379564032 


11.003 0,3f 3743773 


0,033 


0,379363863 


,904 


0,383051136 


11,634 


0,379159896 


105 


0,383554875 


0,635 


0,378952125 




0,3»3454984 


0,636 


0,378740544 


MIO 


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072 
108 
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181 
218 
255 
291 
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305 
4112 
439 


2154 
2192 
2230 
2269 
2307 
2346 


«07 


0,38.3351*57 


0,637 


0,378525147 


Boe 


0,383244288 


0,6,18 


0,.3783Ü5928 


m 


0,383133471 


0,639 


0,378082881 


HO 


0,383019 


0,640 


0,377856 


11 1 


0,382900809 


0,641 


0,377625279 


112 


0.S82779U72 


11,642 


0,377390712 


«19 


11,38265.3603 


0,643 


0,3771.52293 


2384 


tu 


0,382.5244.56 


0,644 


0,37091ml6 


2423 


n.i|0,38ä30162i 


0,6i5 


0,376663875 


2401 


nü;o,38ääoalM 


0,646 


0,370413864 


2.500 


J17 


0,382114887 


0,647 


0,376159977 


:j530 


BIS 


0,381970968 


0,648 


0,37.5902208 


2578 


»0 


0,381823341 


476 
513 
551 
588 
625 
663 
700 
738 
775 
813 
850 
888 


0,649 


0,375640551 


2617 
■2656 


EO 


0,381672 


0,650 


0,375375 


121 


0,381516930 


0,651 


0,375105549 


2695 


122 


0,381358152 


0,052 


ll,374»32192 


2734 
2773 
2812 
2851 
2890 
2930 
2969 
3009 
3048 


BSl 0,381195033 


0,653 


0,374554923 


SA 


(MI61029376 


0,054 


0,374273736 


12.') 


0,380859375 


0,655 


0,373988625 


nn 


0,380685624 


0,0.50 


0,373699584 


m 


0,380508117 


0,657 


0,373406607 


ES 


0,380326848 


0,658 


0,373109688 


S9 


0,380141811 


0,650 


0,372808821 


630 0.379953 


0,660 


0,372504 


P R 


Z) = 0,0001 


P 


R 


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0,372195219 


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0,691 


0,361060629 


0,6152 


0,371882472 


1672 


0,692 


0,360626112 


38Ö7 


0,663 


0,371565753 


2070 


0,693 


0,360187443 


4283 


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0,371245056 


2468 


0,694 


0,359744616 


«MB 

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0,665 


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0,695 


0,359297625 


0,066 


0,370591704 


3267 


0,696 


0,358846464 


0,667 


0,370259037 


3667 


0,697 


0,358391127 


&M2 


0,668 


0,369922368 


4068 


0,698 


0,357931608 


8371 


0,669 


0,369581691 


4469 


0,699 


0,357467901 


7210 


0,670 


0,369237 


4871 


0,700 


0,357 


0,071 


0,368888289 


5274 


0,701 


0,35652789» 


7(151 
8052 


0,672 


0,368535552 


5677 


0,702 


0,356051592 


0,673 


0,368178783 


6081 


0,703 


0,355571073 


8474 
B89I 


0,674 


0,367817976 


6485 


0,704 


0,355086336 


0,675 


0,3874.53125 


6890 


0,705 


0,354597375 


0,676 
0,677 


0,367084224 
0,,?66711267 


7296 


0,706 
0,707 


0,354104184 
0,353606757 


7702 




0,678 


0,366334248 


8109 


0,708 


0,353105088 


0,679 


0,365953161 


8516 


0,70910,352599171 


1017 


0,080 


0,365568 


8924 


0,710 10,352089 


IMS 


0,681 


0,365178759 


9333 


0,711 


0,351574569 


1870 


_ 0,682 


0,364785432 


9742 


0,712 


0,351055872 


23S7 


■ 0,083 


0,364388013 


0152 


0,713 


0,350532903 


3191. 
358» 
401S 


H^ 0,684 


0,363986496 


0562 


0,714 


0,350005656 


^B 0,685 


0,363580875 


0973 


0,715 


0,349474125 


^M 0,6«6 


0,363171144 


1385 


0,716 


0,348938304 


B 0,667 


0,362757297 


1797 


0,717 


0,348398187 


44« 

4871 
5901 


V 0,688 


0,362339328 


2210 


0,718 


0,347853768 


H 0,689 


0,301917231 


2623 ' 


0,719 


0,347305041 


H 0,690 


0,301491 




0,720 


0,346752 




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R 


ii = ü,(J004 


P 


R 


D = 0.<1M 





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Tabelle IV. 



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0,722 1 0,345632952 
<Q,'23 1 O,34.'iOö0933 
0.724 [ 0,34+49(1570 
11,725 1 0,34.3921875 
11,720 1 0,343J42'<ä4 

t «,727] 0,342759417 
0,72»>j 0,34217164^ 
•,729 0,341579011 
",730 0,3409M 
i,7äl| 0,340382109 
0.7.12 0,339770832 
u,733 0,339167103 
CJ,734 0,338553096 
1),73J 0,337934625 
0,73« 0,337311744 
«,737 i 0,33«{i84447 
U,73t*) 0,330052728 
0,739; 0.335416581 
0,740 1 0334776 
0.741 1 0,334I30»79 
O.742J 0,333481512 
0,743 , 0,332827593 



0.744 
0,745 
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0,747 
0,748 
0.749 



0,332169216 
0,331506.375 
0,330839064 
0,330167277 
0,329491008 
0,328810251 
0.328125 



5736 
6169 
6602 
7036 
7470 
7905 
8341 
»777 
9214 
9651 



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0528 
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1847 
2288 
2730 
3172 
3615 
4058 
4502 
4947 
.5392 
5838 
6284 
6731 
7179 
7627 
8076 
8525 



0,750 
0,751 
0,752 
0,753 
0,754 
0,755 
0,756 
0,757 
0,758 
0,759 
0,760 
0,761 
0,762 
0,763 
0,764 
0,705 
0,766 
0,767 
0,768 
0,769 
0,770 
0,771 
0,772 
0,773 
0,774 
0,775 
0,776 
0,777 
0,778 
0,779 
0,780 



0,328125 

0,327435249 

0,326740992 

0,326042223 

0,325338936 

0,324631125 

0,.323918784 

0,323201907 

0,322480488 

0,321754521 

0,321024 

0,320288919 

0,319549272 

0,318805053 

0,318056256 

0,317302675 

0,316544904 

0,315782337 

0,315015168 

0,314243391 

0,313467 

0,312685989 

0,311900352 

0,311110083 

0,310315170 

0,309515625 

0,308711424 

0,307902567 

0,307089048 

0,306270861 

0,305448 



i> = o,«po 

68975 
69426 
69877 
70329 
70781 
71234 
71688 
7-2142 
72599 
73052 
73508 
73965 
74422 
74880 
75338 
75797 
76257 
76717 
77178 
77639 
78101 
78.564 
79027 
79491 
79955 
80420 
80886 
81352 
81819 
82286 



= o,oe 



146 K,ri: 


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R 


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R 


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0,781 
0,782 


0,305448 

0,304620459 

0,303788232 


2754 
3223 
3692 


0,810 
0,811 
0,812 


0,2785.59 

0,277588269 

0,276612672 


9707i 
975« 
980<i 
98M 
990! 
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0,783 
0,784 
0,785 
0,786 


0,302951313 
0,302109696 
0,301263375 
0,300412344 


4162 
4632 
5103 


0,813 
0,814 
0,815 
0,816 


0,2756322113 
0,274646856 
0,273656625 
0,272661504 


,5575 


0000 


0,787 


0,299556597 


6047 


0,817 


0,271661487 


0O4O 


0,788 


0,298696128 


6520 


0,818 


0,270656568 


oote 

0147 


0,789 


0,207830931 


6993 


0,819 


0,269646741 


0,790 


0,206961 


7467 


0,820 


0,268632 


Oi» 
OäOi 
OMS' 
09M 
OW 
04« 
034S; 
05« 
064i 


0,791 


0,296086329 


7942 


0,821 


0,267612339 


0,792 


0,205206912 


8417 


0,822 


0,206,587752 


0,793 


0,294322743 


8893 


0,823 


0,2655,18233 


0,794 


0,293433816 


9369 


0,824 


0,264523776 


0,795 


0,292540125 


9846 


0,825 


0,263484375 


0,706 


0,291641664 


0324 


0,820 


0,262440024 


0,797 


0,290738427 


0802 


0,827 


0,201390717 


0,798 
0,799 


0,289830408 
0,288917601 


läSl 
1760 


0,828 
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Tabelle IT. 



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1,141 
1,142 
1,143 
1,144 
1,145 
1,146 
1,147 
1,148 
1,149 
1,150 
1,151 
1,152 
1,153 
1,154 
1,155 
1,150 
1,157 
1,156 
1,159 
1,160 
1,161 
1,162 
1,163 
1,164 
1,165 
1,166 
1,167 
1,168 
1.169 
1,170 



fl 



0,341544 

0,344440221 

0,347355288 

0,350271207 

0,353193084 

0,356123625 

0,359060136 

0,362003523 

0,364953792 

0,367910949 

0,370875 

0,373846951 

0,376823808 

0,379808577 

0,382800264 

0,385798875 

0,388804410 

0,391816893 

0,394836312 

0,397862679 

0,400896 

0,403936281 

0,406983528 

0,410037747 

0,413098944 

0,416107125 

0,419242296 

0,422324463 

0,425413632 

0,428509809 

0,431613 



909 
916 
923 
930 
937 
943 
950 
957 
964 
971 
978 
985 
992 
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019 
026 
033 
040 
047 
054 
061 
068 
075 
082 
089 
090 
103 



1,170 
1,171 
1,172 
1,173 
1,174 
1,175 
1,176 
1,177 
1,178 
1,179 
1,180 
1,181 
1,182 
1,183 
1,184 
1,185 
1,180 
1,187 
1,188 
1,189 
1,190 
1,191 
1,192 
1,193 
1,194 
1,195 
1,196 
1,197 
1,193 
1,199 
1,200 



0,431613 

0,434723211 

0,487840448 

0,440964717 

0,444096024 

0,447234375 

0,450379776 

0,453532233 

0,456691752 

0,459858339 

0,463032 

0,466212741 

0,469400568, 

0,472595437 

0,475797504 

0,479006025 

0,482222856 

0,485446203 

0,488076672 

0,491914269 

0,495159 

0,498410871 

0,50166988» 

O,,-|04936057 

0,508209384 

0,511489875 

0,514777536 

0,518072373 

0,521374392 

0,524883599 

0.528 



110 
117 
124 
131 
138 
145 
152 
160 
167 

m 

181 



219 
223 

230 
238 
245 
252 
259 



288 
295 
302 
309 
316 



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0,561561 

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1,110,175 

1,155456 

1,201353 

1,248072 

1,29561!) 

1,344 

1,303221 

1,443288 

1,494207 

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1,598625 

1,652136 

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1.761792 

1,817949 

1,875 



1,875 

1,932951 

1,991808 

2,051577 

2,112204 

2,173875 

2,230416 

2.299893 

2,304312 

2,4-.'9ö79 

2,496 

2,563281 

2,631528 

2,700747 

2,770944 

2,842125 

2,914296 

2,987463 

3,001632 

3,136809 

3,213 

3,290211 

3,368448 

3,447717 

3,528024 

3,609375 

3,691776 

3,775233 

3,839752 

3,945339 

4,032 



D = 0,0 



5795 
5886 
5977 
6069 
6161 
0234 
6.348 
6442 
6,537 
0632 
6728 
6825 
6922 
7020 
7118 
7217 
7317 
7417 
7518 
7619 
7721 
7824 
7927 
8031 
8135 
8240 
8346 
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8539 
8666 



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D = 0,ü 



.- Veber ille Bturtheilung der Wuneln 







Tabelle IV 






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R 


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J- 


R 


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1,82 


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4,208368 


8883 
8992 


2,U 
2,12 


7,283931 
7,408128 


242 
255 


1,83 
1,84 


4,298487 
4,389504 


9102 
9212 
9323 
9435 
9547 
9660 
9773 
9887 

oou 

012 
023 
035 
047 
038 
070 
082 
094 
100 


2,13 
2,14 


7,533597 
7,660344 


287 
280 


1,85 


4,481625 


2,15 


7,788375 


293 


1,86 

1,87 


4,574836 
4,669203 


2,16 
2,17 


7,817696 
8,048313 


30« 
319 


1,88 


4,764672 


2,18 


8,180232 


332 
345 


1,89 


4,861269 


2,19 


8,313439 


1,90 
1,91 
1,92 


4,939 

5,057871 

5,157888 


2,20 
2,21 
2,22 


8,448 

8,583861 

8,721048 


35« 
372 
385 


1,93 


5,259057 


2,23 


8,839367 


399 


1,94 


5,361384 


2,24 


8,999424 


412 


1,95 


3,464875 


2,25 


9,140625 


426 
439 
453 
466 


1,90 


3,569536 


2,26 


9,283176 


1,97 


5,075373 


2,27 


9,427083 


1,98 


5,782392 


2,28 


9,572352 


1,99 


5,890399 


2,29 


9,718989 


480 


2,00 


6. 


2,30 


9,867 


494 


2,01 


6,110601 


118 
130 
142 
155 
167 
179 


2,31 


10,016391 


508 


2,02 


6,222408 


2,32 


10,167168 


522 


2,03 


6,335427 


2,33 


10,319337 


53Ö 


2,04 


6,449604 


2,34 


10,472904 


550 
564 
578 


2,05 
2,06 


6,565125 
6,681810 


2,35 
2,36 


10,627875 
10,784256 


2,07 


6,799743 


192 
204 
217 


2,37 


10,942053 


592 
606 
621 


2,08 
2,09 
2,10 


6,918912 
7,039329 
7,161 


2,38 
2,39 
2,40 


1 1,101272 
11,261919 
11,424 


P 


R 


D = it,l 


P 


R 


= 0,1 



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12,5911223 

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12.94S249 

13,125 

13.303251 

13,4.<<3I108 

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13,847l)«4 

14,031375 

14.217216 

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14.593512 

14,7e.^y7« 

14.970 

15.109581 

15.3(1472» 

15,501447 

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15,959025 

10,101090 

10,364103 

I0,56»«32 

16,775109 I 

10.9».^ 



035 
050 
004 
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093 
70« 
723 
737 
753 
707 
782 
79» 
813 
»28 
843 
»58 
874 
889 
005 
920 
9358 
9515 
9672 
9830 
9988 
^0147^ 
0307 
0467 
0028 
0789 

-0 = 0.8 



2,71 
2.72 
2,73 
2,74 
2,75 
2,76 
2,77 
2.78 
2,79 
2,80 
2,81 
2,82 
2,83 
2,84 
2,85 
2,80 
2,87 
2,88 
2,89 
2,90 
2,91 
2,92 
2,93 
2,94 
2,95 
2,90 
2,97 
2,98 



It 

10.983 

17.192511 

17,40364» 

17,616417 

17,830824 

18,048875 

18,204570 { 

18.483933 J 

18.7CJ4952 ! 

18,927039 

19,152 

19,378041 

19,005708 

19.835187 

20.006304 

20,299125 

20,-533056 

20,709903 

21,007872 

21,247.509 

21,489 

21,732171 

21,97708» 

22,223757 

22,472184 

22,722375 

22,974330 

23,228073 

23,483592 

23,740899 

24. 



0951 
1114 
1277 
1441 
1005 
1770 
1936 
2102 
2269 
2436 
2604 
2773 
2942 
3112 
3282 
3453 
3624 
3797 
3970 
4143 
4317 
4492 
4667 
4843 
5019 
5196 
5374 
5552 
5731 
5910 

D = a8 



Ker%: Cetrr tUe BtHriAetlHng der WtinelH 







Tabelle IT 






P R 


n=o,i 


' 


R 


z>=o,s 


3.00 24. 

3.01 24,200901 


6090 
6271 


3,30 
3,31 


32,673 
32,954091 


1769 

1968 


3,02 


24,523608 


6452 


3,32 


,33,27436» 


2167 


3,03 


24,788127 


6634 


3,33 


33,590037 


2368 


3,04 


25,054464 


6810 


3,34 


33,919704 


2567 


3,05 


25,322625 


6999 


3,35 


34,245375 


2768 


3,06 


25,592616 


7183 


3,30 


,14,573056 


2970 


3,07 
3,08 
3,01) 


25,804443 
26,138112 
26,413629 


7307 
7552 
7737 


3,37 
3,38 
3,39 


34,902733 
35,234472 
35,568219 


3172 
3375 
3578 


3,10 


26,091 


7923 


3,40 


35,904 


3782 


3,11 


28,970231 


8110 


3,41 


36,241821 


3987 
4192 


3,12 


27,251328 


8297 


3,42 


36,58168» 


3,13 


27,534297 


8485 


3,43 


36,923607 


439» 
4604 


3,14 


27,819144 


8073 


3,44 


37,207584 


3,lö 
3,10 
3,17 
3,18 


28,105875 
28,394490 
28,685013 
28,977432 


8862 
9062 
9242 
9433 


3,45 
3,40 
3,47 
3,48 


37,613625 
37,061736 
38,311923 
38,064192 


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■ 


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■ 


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■ 


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4,62 


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■ 


76,852737 


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5 38 


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5,39 



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128,322831 

129,097728 

129,875697 

130,6.56744 

131,440875 

132,228096 

1.5.3,018413 

133,811832 

134,608359 

135,408 

136,210761 

137,016648 

137,825667 

1.18.637824 

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140,271576 

141,093183 

141,917952 

142,745889 

143,577 

144,411291 

145,248768 

146,089437 

146,933304 

147,780375 

148,630656 

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249,097875 

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253,314072 

254,527119 

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260,649984 

261,886125 

263,1261.36 

264,370023 

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260,869449 

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0,384900179295744 


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0.384900178785447 


0,57738 


0,384900177928728 


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0,384900176725.581 


0,5774 


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0,5775 


0,384900140625 


0,5776 


0,384900071424 


0,5777 


0,384899967507 


0,5778 


0,384890829048 


0,5779 


0,384899655861 


0,578 


0,384899448 



Die Einrichtung der Tabelle IV., so wie des Anhang«' 
selben, ist im Allgemeinen der der früheren Tabellen gleich. 

Um alsbald, auch ohne den Anhang der Tabelle nachinNl 
gen, sehen aa ItGnnen, auf wie viele Deciroal stellen alck ti 
Division der Differenz D in die Zahl R der Wertb von P M 
bestimmen lasse, ist 



Hn*r Torgrügir» in/iurlien i:trf(httiig. 

1} die Uiff«»n>, von <Iem Werihe: P=:<^im nr>. je<Ie« 
BuF eine bedeullichu Ziffer nielir Bugegeben, nli« die iSpal 
C deft AnhAiig«s ÜcciDinUtollen uufneUt. 

Die Zalil dieser l>ecimal»(t-llf-n ist also, von /'=U,0 
an, stets um 1 klpi<icr, tvic die Zuhl der Uudeullicbeii ! 
fcTD des W«rtheii vüu I). 

üarivischcnden Werlheiivoii P= 0,577, and P = 0,!n 
nach [i i:i. 2)] sich ein niaximiim Air den Werlh von R ( 
Riebt, ein Werth fflr Z> zivi§c)ien diesen beiden Werthtj 
von P deninnch nicht Htaliriiidet, so haber 

J)ii>[lHl,] zivisrben dies» Werlbe von P wtxWje Werth< 
laterfinlirt und dii; zugehnngen VVerthe von R daneb«n 
aufgafuhn, um nir Werihe vo« R. »eich« dem \V«rtbB 
vnn I t/3 [II-}. I)] sehr nahe kommen, die sugehOrig«!] 
Werihe von /-* noch nnnäbertid hestiiniiien xu können. 

Was A\^ Formeln [T14. — 117.] anhii><>l. sn ist bei ihn 
A«i««ndung eu bemerken, dass 

I) wetiit die vorgelegte Gleichung nur eine reelle Wurzel hat, 
iHe Werihe von p ia der Kedenlung ym nehmen seien, wie 
aio diese Formeln angehen. Hut aber die vorgelegt« 
(ileichung drei reelle Wurzeln, ko ist 

l) mr Rlr Hsn Werlh von PyX <kr Werlb vo 
B«<leuliini; zit nehmen, »ie Ihn die Formeln s 
dj« beiden anilern Werihe von P (<I) aber, ii 
geiig«8 etilen Bedeutung. 

Diese Verruhrungsiveise gründet sieb auf die in der Tftg 
brti* stets positiv sngenomineiien Wertbfc von R [Il'J. 
und 1)]. 

1-21. 

Wir wollen nun das in dieser Ablheilunu' Abgehandelle \ 
mt einige Zahle nbeisiiiele anwenden, «nd hierzu vorzugswi 
e wählea, welche hercils in der ~2. Abtheilung zur Anwen- 
kamen, um beide Verrahraagsweisen speciellcr mit einander 
eteben sa künnen. 



igeben. fflr 
der entge- 



1 dia reellen Wurzeln lier (jleichui 
0= 120 -f- S% 4 löy» +*' 



[83.] 



s dies die Einrichtung der Tabelle IV. 



176 



Ker%: üeber die Beurtheilung der Wur%elm 



Der Vorzeichen der Glieder wegen ist nach [114.] aofzoISsea 
und man erhält: 

(3c«— 96)» = 4 V3=6,92820323 ; (3c«— 96)1 = 192 V3 =332,5537550 



27a =3240 
279=3328 



daher ist + « < -|- 7 und Fall 1) vorliegend. 
27(9— a) =88; '»■ti'in •»» Ä = 88:332,5537550 = 0,2646188734.-. 

Es ist also iZ<; V3 [113. 1)]; daher hat die vorgelegte Gl«- 
chong drei reelle W^rzeln [113. 4)]. 



Man erhält weiter: 

/»'=0,288 

R =0,2646188734 

iZ'=0,264ll2128 



/>*= 0,823 
£'=0.265558233 
R =0.2646188734 



P' = l,112 

R =0.2646188734 

/2'= 0,263036928 



daher ist: 



R-R' 0,0005067454 



D 



~ 0,00075030 

= 0,6753 

C= -0,0002 

0,6751 

/> =0,288 

P = 0,2886751 

/».4V3=|>=1,999999; 

(3y)=- 16-1,999999 

=-17,999999 

. y = - 5,999999 



R'—R 0.0009393596 



D 



C = 



0.0010345 

= 0,9081 
+ 0.0003 



/> = 
~P^ 

P = 

(3^)=- 

»=- 



0,9084 
0,823 



0,8239084 

5,708204; 

16-5,708204 

21,708204 

7,236068 



D 



R-R' 0.0015819454 
0.0027130 

= 0.5831 
4-0.0003 



C = 



0.5834 
f*' = 1.112 
P = 1,1125834 

p = 7,7082039 ; 

(3y) = -16+7,708203» 

= -8,2917961 

y = -2,7639320 



122. 
Es seien die Wurzeln der Gleichung 



1) 



= + 136+%+21^2+y» 



[86] 



80 genau zu bestimmeo, aU dies die Einrichtung der Tabelle IV. 
gestattet. 

Der Vorzeichen der Glieder wegen ist nach [114] aufzuloseD. 
Man erhält: 



(3c*- 9b)h = 20,7846097 ; (3c» - 96)1 = 8978,951385 






einer vorgelegten cubtschen Gleichung. 177 



+ 27fl = 3672 
+ 27y= 189 



also ist: 4^>-f9» und Fall 3) vorliegend. 



daher : 

R = 3483:8978,951385.... = 0,3879072122, 

also: i2>iV3 [113. 1)]; claher hat die vorgelegte Gleichung nur 
eine reelle Warsei [113. 6)]. 

Nun ist: ^"** 

ß' == 0,385798875 und P' = 1,155, 
also: 

R^R' _ 0002108337 _ 

P= 1,1557017 

daher: . 

P.20,78iß097 == p = 24,0208087. 

(3y) = - 21 —24,0208087 == —45,0208087 

= — 15,0069362 

bis einschliesslich der 6. Decimalstelle richtig. 

Es sei die gegebene Gleichung: 

2) = « 120 + 9% + 21y« + y». [87.] 

a b e 

Der Vorzeichen der Glieder wegen ist nach [114.] aufzulösen. 
Man erhält: 



-27« =-3240 
+ 27^ = + 189 



mithin: —a< +7, daher Fall 2) vorliegend. 



^. , < 3429 



daher 

3429 
^ "= 8978,951385.... = 0,3818931468 .... 

Es Ist also: 12<$v3 [113. 1)]; daher hat die vorgelegte 
Gleichung drei reelle Wurieln [113. 4)] und man erhfilt weiter: 

Thtll XLIV. 12 



178 



/ferz: üeber die Beurtheiluno der Wurzeln 



f = 0,535 


P' = 0.618 


/* = 1,153 


R = 0.3818931468 


R' = 0,381970968 


R = 0.3818931468 


ß' = 0,381869625 


R = 0,3818931468 


R' = 0.379808677 


daher ist: 






R—R' 0,00002352181 


R'—R 0,0000778212 


R-R' 0,0020845698 


D ~ 0,0001397 


D ~ 0.0001476 


D ~ 0,00299-2 


= 0,168 


= 0,527 


= 0,6967 


C= -0,000 


C = +0,004 


C = + 0,0003 


0,168 


0,531 


0,6970 


P» = 0,535 


P' = 0,618 


/" = 1,153 


/» = 0,535168 


/» = 0.618531 


f =1,1536970 


/>.V43-2=p= 11,1232. 


p = 12,8559. 


p =z 23,979142. 


(3y) =-21-11,1232 


(3y)=— 21— 12.8559 


(3y) = -21+23,979148 


=-32,1232. 


= - 33.8559. 


=+2,979142. 


y = - 10,7077. 


y =-11.2853. 


y = +0,993047. 



123. 
Es sei die gegebene Gleichung: 



1) 



= —269 - 68y + 2ya+y». 

a b o 



[8&J 



Der Vorzeichen der Glieder wegen ist nach [115.] aufsulSaen, 
Man erhält: 

(3c* + 96)* = V624 = 24,97999199 ; (Sc« + 96)1 = 15587,51501 . . . , 



— 27a = —7263 
— 279=-1240 



also — rt<— y und Fall 3) vorliegend. 
27(a— ^)= 6023; 

mithin 

R = 6023 : 15587,51501 . . . . = 0,3863989865. 

[Es ist also i2>|V3 [113. 1)], daher hat die vorgelegte Glei- 
chung nur eine reelle Wurzel] [113. 4)]. Es ist weiter: 

R' = 0,385798875 
R-R* 0.0006001115 



P' = 1,165 und 



I) ■" 0,003006 

= 0,1996 

C = 4- 0,0002 
0,1998 

P' = 1,155 
P = 1,1551998. 



^ ^ 









bt aber die gegefceat Glckfcvif 



4) 
tirti 



— 27a=— 
-Vq =— lälO 

liher: 



0= — Ä^— «, 4^ v-fy*' 



abo: — «< — 4 v»i Fifl 3 v 



A = 5M6: 1538741301 . . . . = 0^>>l«aS!3ia 

«IVSi dakcr hat die gegebene Gleicbuiie drei reelle Winels. 
El ergiebt «ich non freiter : 



R = 0.38466683J0 
V = a3S1637875 



P'^O.SSS 
J2' = 0,381702338 
R = 0,38166^310 



P* = 1,IS1 
R = 0,38l66e83I0 
R' = 0.3S^2SOO-2&1 
A-A' 0JXi0038»5Gü|A'— A 0,0000336{COil2— A* 0.00IS6A3670 



D ~0,000O1063 

= 0,712 

Cs— 0009 

070:} 

i> = 0,565 

P= 0463703 

P.V'föi=p= 14,1313 
(^)=_2« 14,1313 

=-16.1313; 
j =-3,3771. 



5 



= 0.V13 
C= +0,005 

o,y20 

P' = 0.588 

P ="5^5081«) 

pz=zU,7\\2 
(3y) =-2-14,7112 
= ^10,7112; 
y = — 5,5704, 



D ""ü,üOÄ«9d 

= 0,6224 

C = + qX)003 

0,6227 

fy = 1.154 

P = 1,1546*227 

p = 28,842466 
(3y) =-2 + 28,842466 
= + 26,842466; 
.y = + 8,947488. 



124. 



E« sei die gegebene Gleichung: 



= -30-31y-10y« + y>. 



[90.J 



i 



*» «bSIt nach [117.] 



13 



180 Ker%: Veöer die DeurlheHiuig der \\'ui%ein 



-27a=- 810 
+ 2717 = + 4790 



daher — a< +9 und Fall 1) vorliegend. 
27(^ + oy=r~5600 , " 

(3c« + 96)1 = 24,06241883, (= VöTO) 



(3c« +96)1 = 13932,14050. 

Ä = 5600: 13932,1405 = 0,40194828 

R' = 0,400896 

/^ - I.IWI, ^ —0,003040 "" "' 

C = + 0,0003 
0.3464 
P = 1,160 
P= 1,1603464. 

p . V579 = p = 27,92074a 

(3^) = + 10+27,920740 = 37,920740 

ff = 12,640246. 

125. 
Es soien die reellen Wurzeln der Gleichung: 
I) 0=-30+% + 9y« + 2^» 

ab c 

80 genau zu bestimmen, als dies die Einrichtung der Tabelle IV. 

gestattet. 

Der Vorzeichen der Glieder wegen ist nach [114.] aufzalä- 
sen, und man erhält: 

(3c« — 96)1 =^ V"i62 = 1 2,7-27922 . . . . ; (3c« - 96)1 = 2061 ,9233 .... 



— 27a = — 810 
— 27y=-— 729 



daher ist — «< — 7 und Fall 5) vorliegend. 



27(a-9)= 81; mithin Ä = 81: 2061, 9233.... = 0,039283710... 

Es ist also /2<|V3 [113. 1)]; daher hat die vorgelegte Glei 
chung drei reelle Wurzeln [113. 4)]. IVIan erhält weiter: 



* 

i 



ffc'SJ L€9 1. letW'ikr'i. 



1. • 



P=rOiK» 

=—9^500773. 
5=— 



= l.is:.: 

5 i-J^L* 



r = ^ i. jiw* 



j.: 



i' = /.-- 



^ = 1 j:- 






I 

r 
I 



9 = tl •"'Ä?:: 



5=— rosri. I ,=+i-sta:4. 



btabcr die 



o = +a)+^+9:«^^5^. 



i) 



io ict, det Vorzeichen der Glieder wee 
aJuset, ead e« ergiebt sich: 






+ »« = 



> 810 daher ist -f a > — 9 . «ed 
— 729 aUo ist: 



«1 4 «oKie^entl 



"1539 und: R= 1 539: 3061 . W33... .== a74ÖÄMvl... 



Cf ist also R>IV^ [113. 1)]; daher hat die vorgelegte tilei. 
cho; nur eine reelle Wanel [113. 6)J, und es eiglebt sich: 



P- = 1/26; 



Ä = 0,74639491..,. 
R' = 0.740376 

R^R' 0.00601891 



D 0,03801 



=: 0.158 

C=+0,00;2 

0,160 
/>= 1.26 



P. V 162 = /; = 16.0575. 

(3y) =-9- 16,0575 =-25,0571). 

^=-.8,;i525. 



182 



Ker%: Veber die Benrthetlung der }\'ur%etH 



^ 



126. 
Es sei die gegebene Gieicliang: 

a b e 

Der Vorzeichen der Glieder wegen ist nach [li4.] aafzuliiseD und 
man erhält: 

(2c« — 96)* = 4 V3 ; (3c« — 96)1 = 192 V3. 



—27a =-243 
—27^ =-115 



also — a<~^ und daher Fall 5) vorliegend. 



27(a— ^)= 128, 
mithin : 






und es bestehen daher zwei gleiche reelle Werthe IHr P [113. 5)J 
nämlich : 



P=iV3, 
pssjVS.iVS« 
(3y)=-5-4 = 
y = — 3. 



—9. 



P=4V3, 
p=:iV3.4V3 = 4. 

(3i,)=-5-4=-9. 



P=»V3 [113.2)3)J 
p = «V3.4v3=8. 
(3y)=-5+8=+3. 

y=+l. 



127. 
Es sei die gegebene Gleichung: 

= + 182 + T2y - 21 .y« + yK 

a b c * 

Der Vorzeichen der Glieder wegen ist nach [116.] aufzulösen. 
Man erhält: 



(3c»- 96)i = 15^/3; (3c« - %)\ = 10125va 



+ 27a 
+ 27^ 



+ 4914 
4-4914 



daher +a==+y, und Fall 5) oder 6) rorlie- 
gend. 



27(a— 9) = 0, also Ä = 0, mithin : 



P = 0, 
;? = 0.15v/3 = 0. 

(3y) = + 21, 



P=i, 

p = 1 . 15 V3. 

(3iy)= + 21-15v3, 

2r= + 7— 5V3. 



P = l, 

p = 1 . 15 V3. 

(3y)=+21+15v3, 

y = +7+6v3. 



1. . A ^ I 



einer vorgelegten cubtschen Gleichung. 



183 



Die Formeln, welche sich zur annähernden Bestimmung der 
reellen Wurzeln eineV unvollständigen cubischen Gleichung aus 
[114. — 117.] leicht ableiten lassen, sollen nachstehend zusam- 
mengestellt werden. 

128. 



0=±a— 6y+y». 



" -61- 



Tab. IV. 



y = + P.6». 



129. 



- 279 = —2c» 



Ä = 



27r 



^27. c» 



—a<,—q 



q±a = r 
a — 9=r 



Tab. IV. 



y = -lc(l + P.V3) 

y=-ic(l-P.V3) 



130. 



= ±a— C2^»+»». 

+ 27flr= +2c» 



R = 



27r 



V27.C» 






q + a = r 
a—q = r 



Tab. IV. ;»-+4«'a + ''V3). 

y=+ic(l-P.V3). 



(^Die fOnfte und letzte Abtheilnng dieser Abhandlung folgt im Werten Hefte.) 



184 Grunert: Veöer die Polhenorsche Aufgabe. 



R 



X. 



Ueber die Pothenot'schc Aufgabe. 



Von 

dem Herausgeber. 



So oft auch (las Pothcnot'sche Problem 8choii behandelt 
worden ist, auch in diesem Archiv, mochten doch die im Folgen- 
den entwickelten ganz allgemeinen Formeln einiger Beachtung 
nicht ganz unwerth sein, u-eil mittelst derselben alle unhekanDten 
Grössen durch die gegebenen Grössen völlig entwickelt darge- 
stellt werden. 

.Die drei gegebeneu Punkte seien A, ß, C und JU sei der 
gesuchte vierte Punkt; weil die Punkte A, B, C gegeben sind, 
so sind die Seiten a, ö, c und die Winkel A, B, C des Dreiecks 
ABCf so wie auch der Halbmesser R des um dieses Dreieck be- 
schriebenen Kreises bekannt. Wir wollen nun den Punkt A ab 
Anfang und die Gerade AB als den positiven Theii der Aze der 
X eines rechtwinkligen Coordinatensystenus der xi/ annehmen^ io 
welchem die positiven y auf derselben Seite von AB genommen 
werden, auf welcher der Punkt C liegt. In diesem Systeme be- 
zeichnen wir die Coordinaten der Punkte A, B, C respective 
durch :ca, ya\ ^b, yb\ Xc, yc\ die Coordinaten des zu bestimmen- 
den Punkts M durch x, y; die von JU nach den Punkten A, B^ 
C gezogenen Geraden MA, MB, MC sollen respective durch Va^ 
j.b9 Tc bezeichnet werden. Denken wir uns nun durch den Punkt 
M ein dem primitiven Systeme der xy paralleles Coordinaten- 
system der x'y' gelegt, so sollen die von den Geraden MA^ MB^ 
MC, die sämmtlich als von M ausgehend gedacht werden, mit 



-.1 



GruHtri: l'eber die Po/Ae/wrm/n» \ufijubi\ \h'\ 

positiven Theile der Axc der 3c* eingeäclilodäeneii, von dem 
positiven Theile der Axe der x* an nach dem positiven Theile 
der Axe der y' hin von bis *KiO^ gezählten Winkel respective 
durch 9« 9 9>6« 7« i>ezeichnet werden. Diese Winkel selbst kon- 
ueo freilich nicht gemessen %verden^ aber ihre Differenzen mit 
dem Theodoliten zu messen , ist ji^derzeit niöglirh , weshalb wir 
berechtigt sind, im Folgenden die Differenzen 

9fl""Vft> g)A — <;pf, ^0 — 9a 

als darch Messung mit dem Theodoliten oder einem anderen geeig- 
neteo Instrumente bekannt gewordene Grossen zu betraehten. 

Nach Thl. XXXVI. S. 326. ist nun : 

1) 
jra = 0, Vo=0, 

Xh = '2Äsin C, .y& = 0, 

Je =^ 2Acosi48in^, //c = ^R^\\\A^\\\B. 

Ferner ist nach der Lehre von der Verwandlung der Coordinaten: 

•i) 
Xm = a? + raCosya, ^o = ^ + ro8ing)a, 
x%^z x\ rftcos 96 , yh^^ y\rb sin 9» , 
jTc ^ ^ + rc cos 9^1 ^c = y + re8in<pr; 

«onws lieh die folgenden (illeichungen ergeben: 

3) 

r«coo9« — r» cos 9* = .r« — a*» , xa «in q>a — r* sin tpt ~ jy«, — 1/4 ; 

ri cos 9» — recos <jpc == j-a — .rc , r* «i n <pA — r^ sin gpr =^ f/6 — ^t ; 

rrcos^r—^racosqpa = ^c — X«, ri-sin^c — rasin^a = yt —ya- 

\m diesen Gleichungen ergiebt sich aber ferner das folgende 
Sniem von Gleichungen: 

r«sin(9«— 9») = (.Va — y»)cos9*— (j-«— jr»)sin96, 
nsio(9«— 7») = (.V«— ^ft)cos9a — (x« — X6)sin9a: 

n sin (91 — 9c) = (5f* — y c) cos 9c — (xb — Xc) sin 9^ . 
resin(96 — 9r) = (y» — jfr)cos96 — (j-*— ;rc)8in 9*; 



186 Grunert: Ceber die PolhenoVBCke Aufgabe, 

rc sin (<pe — (pa) = (ye —• i/a) COS ^ a — (^Tc — Ofa) Sin ifa , 

ra sin (^0 — 9a) = (^^c — ya)co8g>c — (;rc — a:a)siii9c- 

Fuhrt man aber in diese Gleichungen die Werthe der Coordlni 
ten Xa, ya\ Xb, yb\ Xc, yc aus 1) ein; so werden dieselben oac 
leichter Rechnung: 

5) 
rasin {((fa — q>b) = ^IR sin Csin q>b , 

r6sin(9a-^96) = 2ßsinCsin9)a; 

vbsuiispb — 9o) = — 2ßsini4sin(-ß + 9o), 
TcS\Ti{q>b — 9>c) = — 2ßsin/l6in(Ä + q>b)\ 

rcsin {cpe — tpa) = " 2Ä8in -ßsin {A — q>a) , 

rasiu(9c — 9a) = 2ßsinÄsin(24 — ^c); 

bei deren Eutwickelung man sich zu erinnern hat, dass A-\-B\{ 
= 1800 ist. 

Aus diesen Gieichuogen ergiebt sieb durch Division : 

6) 

sin {(pb — 9c) sin^ sin {B + tpb) 

sin (9c — 9a) sin B sin {A — 9a) ' 

sin (90 — 9a) sinÄ sin {A — 9 c) 

sin (9a — 96) sinC' sin 9» 

sin (9a — 9ä) sin C sin 9a 

sio(9A — 9c) sin/1 '8in(iEf+9c) 

welche Gleichungen man auch unter der folgenden Form schrei 
ben kann : 

7) 

sin(i4 — 9a) sin A sin (9c — 9a) 

sin {B + 9ä) sin B ' sin (96 — 9c) * 

sin 96 sin^ sin (9a — 9&) 

si n (2I — 9c) sin C * sin (9c — 9a) ' 

s in (^ -fr 9c) sinC sin (9» — 9c) . 

sin 9a sin^l * sin(9a — 9ft)' 

woraus sich durch Muitiplication die Relation: 



Grüner i: Ueber die PothenoVscUe Aufgabe. IÖ7 

g 8in(^— ya)8iD y68in(ig 4- yc) __ , 

6in9csio(i?-f 96)610(2! — 9c) 

oder : 

9) 
610 9a8in (^-|-7ft)siD(^ -"^e) = sin (/l — 90)8*10 9^810 (^+9«) 
ergiebt. 

Setzt man der Kfirze wegen: 

10) 

. «inCyt— g )e) „ _ 8in(ye— yo) „ 8iD(9>a— «pt) 

8in2l 8in^ sin 6 

so kann mao die Gleichangen 7) unter der folgenden Form dar- 
stellen : 

8in(^ — 9a) B 



11) 



sin (Ä + 94) A ' 

sin 9» C 

sin {A — 9c) "" B * 

sin (B + 9c) __ A 

sin 9a C * 



Die letzte dieser drei Gleichungen kann man auf folgende 
Art schreiben: 



also: 



sin { B + (90— 9a) 4- 9a I _ __A 
sin 9a ""* C ' 



sin{Ä+(9c — 9a)lcot9a+cost Ä + (9e— 9«)1 = — "g > 



woraus man zur Bestimmung von 9a die folgende Formel erhält: 

12) 

C0t9a = — C0t|Ä+(9c — 9a)} — ^C0Sec{Ä + (9c — 9a)l' 

Weil man nur weiss, dass 9a zwischen und 360^ liegt« so wird 
darcb diese Formel 9a nicht vollkommen bestimmt; nach der 
zweiten der Gleichungen 5) hat aber sin 9a mit 

8in(9a— '9ft) 
sin C 



1 

188 G runer I: ieber die PothenoTsche. Aufgabe. 

daher mit C, einerlei Vnrzeichei), 80 dass man also das Vorzei- 
chen von sintjPa kennt, und folglich, in Verbindung mit der Glei* 
cbung 12), nie ein Zueifel hei der Hestimniung von tpa bleibei 
kann; ist nämlich: 



sin 9a 


cot 9a 


positiv 


positiv 


positiv 


negativ 


negativ 


positiv 


negativ 


negativ 



so ist beziehungsweise: 

0<9a<900 

9ü^<9a<180« 
I80"<9a<270« 
270^ < cpa < 360«. 

Hat man auf diese Weise ^a ohne Zweideutigkeit bestinmty 
so findet man ^a, 9c leicht mittelst dec Formeln: 

iqPÄ = 9a — (9a — 9ft) y 
9c =r 9a 4- (^o — 9a)- 

Nach 5) und 10) ibt, wie man sogleich tibersieht: 

14) 

212 sin (/4 — 9c) 2/2sin96 



Ta = 



Tb = 



B "" C ' 

2/2 sin 9a 212 sin (i? -|- 9c) 



__ 2/ 2sin(ig-f 96) _ 2/2 sin(i4 — 9a) 
**"-"" A "" B ' 

mittelst welcher Formeln die Entfernungen ta^ rt, Ve leicht be- 
rechnet werden können. 

Hat man aber diese Entfernungen gefunden, so ergeben sich 
die Coordinaten or, y des zu bestimmenden Punktes Üf nach 1) 
und 2) mittelst der Formeln: « 



4 



15) . . 



Cninerl: Veber die Polheiwt'sc/te Avfijabe. \^^ 

X '=l^'Ta cos tpa 

= 2/?8inC — täcos^ä 

y = — fasinqpa 
= — rftSinqpÄ 
= 2/2 sin /i sin ^ — rc Single; 

wodurch die Lage des Punktes M vollkommen bestimmt ist. 

Zur Ucstininiung der im Obigen eingeführten Hiiir^grr>8sc R 
hat man bekanntlich die Formeln: 

Iß) 

a = 2A! sin A , 2Ä = n coscc A , 
h^'ll^shiB, 2Rz=iöcosecB, 
c = 2/i^sin C '2R = ccosec C; 

niiUelst welcher man im Obigen auch leicht R ganz eliminiren, 
und statt desselben die Seiten des gegebenen Dreiecks einfuhren 
kfinnte, was wir jedoch hier der Kiirze wegen nntcrLisson; na- 
türlich gilt auch die Relation: 

17) a:6:c = sin/f :8in ß:sin C 

Vollständig entwickelte Ausdrücke für die Entfernungen rat 
rö, Tc i^ann man auf folgende Art erhalten. 

Mach 5) ist: 

ra sin (<pa — ^>b) = 2Asin Csin (pb, 

rasin(^c — ^o) = 2ßsin ßsin(/4— 9>c); 
also: 

rasin((pa — g>6) == 2Äsin Csin tpb , 

rasiii (9© — g^a) = 2/iJ8in B%\i\\A \ {fpb — <pc) — 96 j. 



Tie iHreite dieser beiden Gleichungen bringt man leicht auf die 
Form: 

r0 8in(7e — 9a) = 212 sin A sin t A -h(9ft — 9e))cos(pft 

— 2/2sinßcost2l-f (96 — 9c)lsin96, 
ibo^ iregen der ersten Gleichung: 



190 Grunert: Veber die Pothemtscke Aufgabe. 

ra sin Csin {<pc — g)o) 

— Tasm B cos I A + {tph — q>t) 1 sin {q>a — ^6) ; 
und hat daher jetzt die beiden folgenden Gleichungen: 

2R sin B sin Csin { il -f (9>6 — ^e) ) sin fph 
= Ta sin Äsin { 2I + (g?* — 9c) 1 sin (^a — g?*) , 

2ß8in B sin Csin { A + (9fr ~ 9>c) ) cos g?» 
= ra[sin C sin (q)c — q>a) + sin i5 cos { A + (9)* — tpe) I sin (^a — ^h)\ 

Quadrirt man diese Gleichangeo, addirt sie zu einander, onJ 
setzt dann: 

cos M + {q)b — 9)e) ( == cds i t ^ + (g>* — 9>c) 1*— sin i U + (9»— 9«)ft 

80 erhält man die Gleichung: 

4Ä«sinB«sinCasin{^+(9>6-9c)|« 
f { sin ß sin (^a— 9*)+sin Csin(9c- q>a) l*cos \ {A-\-{q>h^tpi^f\ 
"" " \ + [sinÄsin((pa— 9>6)— sinCsin(g?c— ^a)l*siniM+(^»-9e)f J 



oder: 



= (B+C)«coseci(2l+(96-^c)}H(B-C)«seciM+(95-9e)|*- 



Auf ähnliche Art ist nach 5) : 

nsin((}pa — 96)= 2Äsin Csingja, 

Tb sin (g)6 — 9>o) = — 2/^ sin /4 sin (Ä+ 9>c) ; 
also: 

TÄsio (9a — <Pft) = 2ßsin Csin 90, 

r6sin(96 — 9c) =— 2Äsin2lsintÄ + (9« — 9ö) + 9«|« 

Die zweite dieser beiden Gleichungen bringt man sogleich auf die 
Form: 

Tb sin (96 — 9c) = — 2/? sin As\ik{B-\- (90 — 9«) ) €089^ 

— 2l2sin2lG0sti?-|-(9e — 9o))sin9a9 

also, wegen der ersten Gleichung: 



Crunert: Veber die PothenoVsche Aufgabe. 191 

Th sin Cöln {<cph — g?c) 
= — 2ff6in Csi n ^4 sin t i5 + (g>c — 9a) I cos tpa 
— rjsin A cos I B \ ((pc — (pa) 1 sin (tpa — q>h), 
und hat daher jetzt die beiden folgenden Gleichungen: 

2l2sinC6in/lsint B + (q>e — 9^a))sin9o 
= n sin A sin | B + (q>c — (fa) ] sin (q>a — q>b) • 

2/^ sin Csin A sin t B H- (gjc — 9a) j cos (pa 
= --r6[8 in Csin (96 — q>c) +sin i^ cos t iEf -f (9c — 9o)|8in(9a — 96)]; 

vroraiis sich nach einem ganz ähnlichen Verfahren vi-ie vorher 
die Gltii€huag: 

4ß«8in C^sin A^8\n{B + (9c — 9a) I* 
( {6inC8in(96-9c)+sini46in(9a— 9Ä)|*co84t^+(9c— 9a)|*| 
I +|siii6'sin(9*-9c)— sin/l8in(9a— 96)|Vin4tß+(9c— 9a)Pj' 

cder: 

— ^ = (C+A)«co8eci| B+iVo-Va) |*+(C-A)>8ec4t B-K<pc~Va) I« 

ergtebt. 

Endlich ist nach 5): 

rc8in(94 — 9c) = — 2Äsin/lsin(ß + 96), 

rc sin (9c — 9a) = 2/;? sin B8in(A — 9a); 
also: 

r«»in(96 — 9c) = — 2f?8ini4sin(ß + 9*). 

rcsin (9c — 9a) = 2Äsin iSsin | A + B'-(ipa — q>h)'—{B + 96) | 

= 2ÄsinB6in | C + (9« — 9*) + (Ä + q>b) |. 

Die zweite dieser beiden Gleichungen bringt noan sogleich auf 
die Form: 

r«8in(9c— 9a)= 2Ä8inÄ8in(C + (9a — 9*)) «08(^^ + 9*) 

+ 2ß8inBco8{C+(9o — 96)}8in(Ä+96), 

J0O wegen der ersten Gleichung: 



192 Grüne rt: Veber die Pothenot*sche Aufgabe. 

rcsin -4 sin (^c — (pd) 
= ^Rsxn Äsin B s\w\C -{^ {(pa — ^6)lcos(Ä + ^») 
— rcSin i^Gos | C -f (g?a — ^h) 1 sin {q>b — 9f) , 

und hat daher jetzt die beiden folgenden Gleichungen: 

2/?sini4sinÄ8int C + (9o — 9>ft)l8in(ß + ^*) 
= —rc 81" B ein | C + (9« — 94) I sin {q>h — 9«) > 

2/2sin ylsin Bsxxi { C+ (g?o — q>h) Icos (iß + q>%) 
= rr[sin i4 sin (ipc — q>a) + sin Ä cos | C+ (<pa — 9»6) ) sin {q>b — ^c)] ; 

aus denen sich auf ganz ähnliche Art wie vorher die Glfichun|: 

4Ä*8in ^«sinB^sin ( C + (9)«— ^h) 1* 

{t sinJ sin(()t)c— g>a)+sinÄsin (9)*— g)c) l*co84 1 C\{fpa—q>h) )• J 
+ 1 sin^^ 8in(^c-g)a)— sinÄsin {q>b—<p^ l^sinjt C+(g>p— 9»)\* J * 

oder : 

16/^* 

— ä- = (A+B)«cosec4t^+(9)a-9^&)lH(A-B)«8ec4l C+(g>a-v») ;« 

• c 

ergiebt. 

Man hat daher jetzt für die Entfernungen Va^ rt, re die fol- 
genden bemerkenswerthen, vollständig entwickelten Ausdrücke: 

18) 
iR 



ra= rri^ 



V'(BTC)2cosec4M+(9)6--9)c) IH(B--C)2sec4{ ^+(g)4--«pe) ^*' 

4ß 



n = 



./■; 



Tf = 



V(C+A)«co8ecitß+(9c-9a)lH(C-A)2sec4{/^+(g,o-g>«)|« 

4Ä 

V"(Ä+B)«^sec4{ C+((pa-g)Ä) l*+(A-B)«"8^1"C+"(9>«--9)*)i« * 
wo fltir i2 auch die Ausdrücke in 16) eingeführt werden kunnen^. 
Nach 15) ist: 

j? = — raCOBfpat y = — VaSlfKpa; 

und weil nun nach 5) 



V *v 



Grünen: Ceöer die Poikenotscäe Aufgabe. 



193 



ist; so ist: 



ar = — 






Tatb ^ . 






also nach 12): 



19) 



Tan 



^= ^^[A'co8ec{B + (9c — qpa)l + Ccot{Ä + (9«;— 9«)|]. 



.V 5]^i>; 

welche Formeln, mit ROcksicht auf die Formeln 18), auch als 
vollständig entwickelt betrachtet werden können. 

Endlich iSsst sich noch ein System bemerkenswertber For- 
meln sur Bestimmung der Summen 

entwickeln, welche -dann, in Verbindung mit den bekannten Dif- 
ferenzen 

g>a — g>b, q>b'-g>9, (Pe — ^Pa, 

zu den Winkeln (fat g>ft, (pe selbst fuhren. 

Nach 7) hat man die folgenden Gleichungen: 

B\n(A — <pa) »inA sin(9>e — ^^a) 

sin {B+(pb) sin JS' sin (95 — 9c) ' 

sin q>b sin B sin ((pa — (pb) 

sin(il — 9e) «in C* sifi(9c — 9?a)* 



sin{ß-{- (pc) 
sln^a 



sin C sin (g)b — <Pc) . 
sin /l * sin (cpa — cpb) 



also: 



»in (A — ya) -f sin (B -fr q> b) sin A sin (yc -- <Pa ) — sin B s 

s\n{A — y«)— sin(-ß+g)Ä) - - - ■ . . . ^ . 



sin A sin (y< 

sio g> b'\- sin(2l — tpc) sin ^sin (y< 

siuyi — sin(/l — q)c) 

sin (i? -fr 9c) -fr sin <pa 



fpa) + s'ioB8 
<pb) + sin C's 



sin^sin(9>a 
sin Csin(y6- 



• q>b) — sin Cs 
q)c) — sin/ls 



810 (B -fr 9c) — sin 9a 
TktU XUY. 



sin Csin (96 — y«) -fr sin A s 



n(96— 9g ) 



n(96- 
n(9c- 



■9c)' 
9a) 



n(9« 
n(9i 



9a)' 
■94). 



n (9a 

13 



—96)' 



194 dfunert: Oeöer die Poihenofseke im^^e. 

also nach bekannten Zerlegungen: 

tangjl (^ -1- g) - (y,— y>) I _ A — B 

taDgit(^-Ä)-(g»«+y»)l~ A + B' 

tangiM4-(yt— y.)| B+C 

tangiM -(?>» + 9.) I ~ B— C* 

tengi|g-f(y.— ya)| C + A. 

tang4tÄ + (<p«+9)«)| - C-A* 



oder; 



folglich: 



cot{|C+(y,— g»)! _ A— B 
tangiK^— Ä)-C9'. + 9>»)t~ A + B' 

tangil/<-f (yt-y e)> _ B + C 
tangii.4 — (g)» + y,)|— B— C 

tangil^+(y.-ya)t _ _ C+A . 
tang4{Ä+(g), + 9>.)J C-A' 



20) 



cot4|(^-fi)-(g,. + g>»)| = -^--^tangitC+ (9>«-9.»)) , 

C— A 

taDgJtÄ+(9e+g>a)l = — gqp^tang4lB+(g)c-9«)^• 
Wir wollen bloss zeigen, wie man sieb bei dem Gebrauch 
einer dieser drei Gleichoogeoy etwa der Gleicbaog 

B— C 

tang4|il+(g)» + g)e)l = g-q:^taog4l i4 + (g)A-g)c)|, 

» 

zu verhalten hat, da fiir die anderen Gleichungen etwas ganz Aebn- 
licbes gilt. 

Sei demnach fi ein dieser Gleichung genügender Werth von 
vt'^ — (^ft-F^c))» den man etwa zwischen — \n und -f i^ nebmeo 
kann; dann ist also: 

tanglM — (g?» + g)c)) = tangf*, 

und folglich bekanntlich, wenn n eine positive oder negative ganze 
Zahl bezeichnet: 



1 . . ^tf 



Grmn^ri: üeder die Poihenofseke Aufgabe. 195 

woraus 

K^ + 9c) = 4-4 - f*— IM» 

folgt Weil nun H(ph+q>e) immer zwischen und in liegt, seist: 

0<iil-fi— iMr<2w, 



also: 



und folglich: 



also: 



oder : 



^2ff<nff — ii4-ffi<0. 



iA — ft' — 29r <n9s<iil — fi, 



» ^ ^ JT 



il — 2tt - A — %a 



Weil 



-(^-») = 



^_r4;^-2U2 



ist, so kann n nur zwei um die Einheit verschiedene Werthe 
haben, welche mittelst des Vorhergehenden immer bestimmt wer- 
den können, und durch k, k+l bezeichnet werden sollen. Daher 
hat man nach dem Obigen: 

\iA — fi — (ä+ 1)« 
and folglich: 

_ ( 4-4— fA + Ky»— g>c)-Äw 

__ ( 4^— f*— 4(g>»— <Po)-*» 
\ 4ii-fi-4(<P6-"9c)-(Ä+l)«. 

Die Sinus der beiden vorstehenden Werthe von q>b haben offen- 
bar entgegengesetzte Vorzeichen; weil aber nach 5): 

ürt» fbl^cb sing» mit C einerlei Vorzeichen bat» man also das 
VoTEekAen tob sin 91 kennt, so lässt sich offenbar immer ganz 
mcher entscheiden, ob man 

13* 






196 StTuve: Der exceniriuke Kreis für die BfperbeL 

9» = 4^1 — f* + Kgoft— 9ü) — kny 

oder: 

qp» = i^ — f* + i(9& — 9c) — (* + l)»ip, 

g)c = 4-4— fA— 4(9>6-g>c)— (Ä+ l)» 

za setzen bat, weshalb also bei diesen Bestimmungen nie eine 
Zweideutigkeit bleiben kann. 



Der excentrische Kreis für die Hyperbel. 

Von 

Herrn C. Struvcy 

ordenllichetn Lehrer an der königl. Realscliule in Frau Stadt. 



In Salmon's Conic Sections (3. Aufl. S.200; Fiedlers 
U ober 6« S.257) ist als Analogon des excentrischen Winkels fir 
die Hyperbel der Winkel bezeicbnet> den man durch die Sob* 
stitutioQ 

x = asec9), ^ = 6tang97 

erhält. Die Wahl ist eine glückliche» da man in mehreren wich- 
tigen Fällen ziemlich einfache Ausdrücke dadurch erhält» wie i9 
Folgenden gezeigt werden soll. 

Anfjipabe 1* Die Secante durch die beiden Pnoktt 
a und ß (d.h. die beiden Punkte, für welche der Werth 
von 9 o resp. 'ß ist) zu finden. 



Sirupe: Der exenirische h'reis für die Hyperbel. 197 

Auflösung, Die Gleichung der Geraden durch die beiden 
Punkte {x' y% (ar", y") ist: 



(y-y')(a:"-a:0 = (x^x')(i/'^y'); 



demnach ; 



?[8ecj5 — seco — tana(secj? — seca)] 

= -[tan/3 — tana — seca(tan/3 — tana)], 

oder nach Einfuhrung der halben Winkel, nach einigen Transfor- 
mationen and der Multiplication der Gleichung mit q . ^.^ > : 

^ — ^ Min ■ -^- - = roA — TT-^. 



X 

- COS -7r"= X sin -ji - = cos ,» 

a 2 6 2 2 



Da.« Resultat ist eben so einfach, wie das entsprechende fSr die 
Ellipse. Setzt man a =z ß = <p, so erhält man die Gleichung 
der Hyperbeltangente im Punkte q>: 






cosg?« 



Von dieser Gleichung lassen sich leicht einige geometrische 
Anwendungen machen. Der Durchschnitt der Abscissenaxe mit 
der Tangente ist nSnilich x = acos^, d. h. nur abhängig von 
der Hauptaxe und der Abscisse des betreffenden Punktes; d.h.: 
Alle Tangenten an Hyperbeln mit denselben Scheitelpunkten und 
von demselben Punkt der Hauptaxe aus treffen die Curven in 
Punkten, welche gleiche Abscissen haben. Die in den Conic 
Sections erwähnte geometrische Bedeutung von q) führt ausser 
zu einer einfachen Constroction der Tangente bei gegebenem 
Berfihrungspunkte noch auf die Ltisung folgender Aufgaben hin. 

1) Von einer Hyperbel (Taf II. Fig. 8.) sind die Schei- 
telpunkte A, B und eine Tangente CD gegeben: den 
BerGhrungspankt von CD zu construiren. — Ich schlage 
einen Kreis über AB als Durchmesser, errichte in C ein Loth 
C£, ziehe in E eine Tangente an den Kreis und errichte in den 
Schnittpunkt mit AB ein Loth FG, dessen Schnittpunkt mit CD, 
G, der gesuchte Berührungspunkt ist. 

2) Gegeben dasselbe, die kleine Axe zu construi- 
ren. — Ffir den Schnittpunkt der Ordinatenaxe mit der Tangente 

folgt -"- r = cot fp oder 6 = — jf tan 9, was sich leicht construiren lässt. 



IT • 



'1 



196 Struve: Der excenirtscAe Kreis für die ByperkeL 



JLvlji^abe •• Den Inhalt des Dreiecks m bestimnisi 
zwischen den drei Hyperbelpankten a, ß^ y. 

Auflösung. In rechtwinkligen Coordinaten ist: 

wenn die drei Eckpunkte (x', y% {x'\ y"), (x^, y") sind. Da nun 
xf =: aseca, x!* = asecß, x^ = asec/; 
y' s= 6tana, y' = 6tan/?» y" ^= 6tany; 

so ist der gesuchte Inhalt (indem wir das Zeichen — beibehalteD}: 

2 J = ^ (sin (a— ß) + sin(/J— y) + sin (y — a)) 

cosacospcosy "^^ ' ^r // • ^/ // 

oder mit theilweiser Einfuhrung der halben Winkel, in detMlbeA 
Weise, wie Aufgabe 5. S. 199 bei Salmon (Fiedler's Deberi. 
S. 255) : 

. 2 ab sin i(a — ß) sin l(ß >- y) sin l(y — a) 

cosacos/Scosy 

Avlji^abe 3. Die Coordinaten p und 7 ffir den Hit- 
telpunkt des Kreises zu finden, der durch die drei 
Punkte a, ß, Y geht 

Auflösung. Für den Kreis durch die drei Punkte (x',/)* 
i^'f tf% {^^»yD h^t mau, wenn r der Radius des Kreises: 

x'^ +y'2 ='2px' +2^// +r«-;»^— V«. 

oder nach Ersetzung der rechtwinkligen Coordinaten durch a, §% V 

fl* + 6* sin *a 2pa + 2g6 sin a , _ 

cos^a cos« ^ ^ 

und noch zwei andere Gleichungen, in denen für a, ßy resp. T« 
steht. Durch Subtraction der ersten und zweiten und der ersten 
und dritten erhält man nach einigen Transformationen: 

a« (cos ^ß — cos «a) + 6« sin (a + ß) sin (a — ß) 

= 2pa cos a cos/3 (cos /3 — cos a) -f 2^6 cos a cos ß sin (a—ß), 

a* (cos *y — cos *a) + 6* sin (a + y) sin (a — y) 

= 2{pacosacosy(cosy— cosa) -f- 276cosacosysin(a— y). 



Struve: Der exeniHache KreU fUr die Hyperbel, 199 

Nach DiyLsiion mit dem CoefAzienten von p und tbeilweiser Eio- 
fahrung der halben Winkel erhält man: 

/-«_. A«x coso + cos^ C08i{a--^) 

^ ^ ^ 2co8acosy ^ "^^ 8ini(a+y) 

Durch Subtraction dieser Gleichungen erhält man fOr q den 
Werth: 

_ fl*+6» sin l(g + P) sin ^(g + y) sin i(y + g) 
^ 6 ' cosacosjScosy * 

woraus dann mit Benutzung einer der anfönglichen Gleichungen 
iur p M%U 

a*4-6^ cos \(cL — P) cos i(ff — y) cos \{y — a) 

'^ a ' cosacos/Scosy 

Zur PrGfung der Richtiglceit der Rechnung kann Folgendes die- 
nen. Ist a = /? = y=<)py so sind p und q die Coordinaten des 
KrQmmungscentrums für den Punkt fp\ in diesem Falle ist: 

^ = T — .tan'g). 

Die Elimination von ^ zwischen diesen beiden Gleichungen lie- 
fert die bekannte Evolutengleichung der Hyperbel; nämlich: 

folglich : 

/ «y V / bq \| _ 



,.j f; 



200 Dietrich: Analptisch-geometrltche Pandlelen. 



XI. 

Analytisch-geometrische Parallelen. 

V«n 

Herrn M. Dietrich^ 

PrnfpHtnr am llpalf^ymnatiiim in Re^entlmrf^. 



Einleitung. 

Wenn man von irgend einem Punkte im Raum nach allen Punkten, 
eines gegebenen Systems von Punkten Gerade xieht und senkrecht 
XU diesen Geraden Ebenen leet, deren Abstände von jenem will- 
kürlich angenommenen Punkte bei beliebig gewählter Einheit die 
Reciproken der Abstände der Punkte des Systems von demsetbcfl 
Punkte sind: oder uenn man von einem beliebigen Punkte » 
allen Ebenen eines gegebenen Ebonensystenis Senkrechte sidit 
und auf diesen letzteren Punkte annimmt, deren Abstände tw 
jenem willkiirlichen Punkte die reciproken der Abstände der 
Ebenen von demselben sind^ — eo besteben fiir die beiden Sy- 
steme von Punkten und Ebenen, welche man nach ihrer Erzeugung 
auseinander reciproke Systeme und den Punkt, bezöglieb 
welchen dieselben reciprok «ind, den Mittelpunkt ihrer Re- 
ciprocität nennen kann, folgende auf Elementar-Sätzen der Geo- 
metrie beruhende Beziehungen: Die Verbindungslinie ir- 
gend zweier Punkte des einen Systems ist der Schnitt- 
linie der entsprechenden Ebenen des andern Systems 
reciprok, d. h. die beiden Geraden sind senkrecht so 
einander und die vom Reciprocitäts-M i ttelpunkt an 
die eine von beiden gezogene Senkrechte schneidet 
auch die andere rechtwinklig und beide in Abständen 
von jenem Punkte, die einander reciprok sind. Die 



0/ttrteh : Atttt/yit-icA ■ geimf.lrUehe Fnrntlrira 



iu\ 



'i-ttxe irgend «freier Punkla lies einen Sycitem» isl 

• tu Kcbnittpunlile il er enlxprfrh enden FKient-n ilep an- 

M. ri^cipn.b. lt. Ii. ilie Fnni Mittelpunkt nocli jener 

' '-tne gexu^eiie Scnkreclile seilt durch den Schn'itt- 

i^ofcl der Alldem Ebenen und «s »inti die Alieliinde liel- 

- r vom Mittelpunkte eiminder reciprok, Liogen drei 

■ \p.t luebrete Funkte d«s einen Systeme in einer Ge- 

irlcD oder in eiiipr Bbene, so gehen die en taprechen- 

:. i> Ebenen de« andern Systemo durch die reciprake 

(.i^raile «der den reziproken Punkt; ilberdies» ist da» 

l>-ppol*erh8ltnifi6 von irgend -1 Punkten einer Gcta- 

[idjn il«iii OappclverbÜltnisRe der entsprechenden Ehe- 

■» des recl|ir»ken EbenenbüHchels Kleieb. 
Diese I!«-xiehun(;cn erlauben ganze Klassen von Eigenscbaf- 
sUiee gciiebenen Syntem» von Punkten otler Ebenen auf das 
— n'prokc System flbertiilraticn , oo daüo sieichfiani mit einer 
I h'-ntic Avv einen SysleniN zugleich auch eine »otche für das 
hindere gegeben iti. So erhjill niAn 7.. H., da, nie leicht einin- 

tn, der «benen Kurve ein Kegel reciprnk ist, dessen Spitze 
ler Ebene jener Kurvo reciproke Punkt Ist, aus dem Pae- 
eclien Soti vnn dem einer Kurve /.neiteu Grades eingefcfiric- 
■1 Secbr>eck sogleich ato reciproken Sntx: „Wenn man nn 
iiLi'n Kegel xiveilen Grndes irgend sechs Berührung8ebenen legt, 
I. durch auch von der einen zur andern sechs Schnitllinien enU 
sn schneiden fii'b die drei Ebenen, welche durch die 
nd ricrlo, die ziveÜe und filnTie, die dritte und «ecbsle 
ler Sdbultllinien gehen, in einer durch die Kegehpilze gehen- 
|(i#raiten." Der bekannte Sulz von Brinnchun isl dann eine 
) «Ileser EigenHehaft 

«gt man ferner durch den MiUelpunkl zweier reciproken 

tue Irgend drei zu einander senkrerhie Elienen als Conrdi- 

tu und nimmt nls C'mrdinalen eines Punktes dessen Ali- 

in diesen Tareln, und als Conrdlnalen einer Ebene die 

u ÄbMände ihrer Schnittpunkte mit den Cnordinaten- 

I Cuurdinalcnanrung. so sind die Cnordinulen eines 

■ und die der recijiroken Ebene, die Gleichun- 

ler Gerade» und die des reciproken Ebenen- 

pehele, die Gleichung eines Systems von Pnnklen 

I di» des reciproken Ebenensystems beziehungs- 

dieselben, so das« der analytische Ausdruck 

Fasd einer Beiiehung zwischen Tfaeileu des einen 

p Vir ei reciproken Systemen auch eine entsprechende 



•J^ 



202 



Dietrich: AnaiyUsch'geometnsche Parallelen, 



Besiebung der reciproken Tbeile des andern System 
darstellt. 

Man erkennt auch leicht, dass zwei reciproke Systeme zn 
einander polar sind bezüglich einer mit ihnen concentrischen Ku* 
gel, deren Halbmesser die Längeneinheit ist. Es lässt sich daher 
die Constroktion dieser beiden Systeme als besonderer Fall der 
Bildung zweier Systeme von Punkten und Ebenen mittelst einer 
Oberfläche zweiter Ordnung betrachten, bezilglich welcher jene 
einander polar sind. Bei zwei solchen mittelst einer beliebige 
Oberfläche zweiten Grades erzeugten Systemen besteht dasselbe 
Entsprechen von Punkten und Ebenen, von Geraden und Ebeneo- 
büschelny wie bei zwei reciproken ^»ystemen, dagegen fehlt bei 
ihnen die bei letzteren statthabende Reciprocität der Ricbtaogeo 
und Abstände entsprechender Theile. 

Die nachfolgenden Blätter haben nun die Bestimmmg, die 
geometrische Thatsache des oben angegebenen Zusammeohaips 
eines gegebenen Systems von Punkten oder Ebenen mit ooeiA- 
licb vielen durch Reciprocität ihm zugeordneten Systemes fM 
Ebenen oder Punkten durch eine getrennte Betrachtung des Paik- 
tes und der Ebene und eine nebeneinander gebende analytische 
Darstellung einiger wichtiger Eigenschaften von Punkt- oid 
Ebenensystemen in möglichster Kürze zu bestätigen. *) 

A. Der Punkt und die Ebene. 



Wählt man als Coordinatcn- 
basis drei gegen einander recht- 
winkelige Ebenen, deren gleich- 
falls zu einander senkrechte 
Schnittlinien die Coordinaten- 
axen und deren Schnittpunkt 
der Coordinatenanfang heissen, 
so versteht man unter den Coor- 
dinaten x, y, z eines Punktes 
p dessen Abstände von den 
Coordinatenebenen. Für diese 
Coordinaten und den Abstand d 
desselben Punktes vom Coordi- 



Wähit man als Caordinatei»- 
basis drei gegen einander recht- 
winkelige Ebenen, deren gleich- 
falls zu einander senkrecUe 
Schnittlinien die Coordinaten- 
axen und deren Schnittpaeht 
der Coordinatenanfang heisscBt 
so versteht man unter den Coor- 
dinaten X, y, z einer Ebene £ 
die reciproken Werthe der Ab- 
stände ihrer Schnittpunkte mit 
den Coordinatenaxen vom Coor- 
dinatenanfang. Für diese Coor- 



*) Eine eingehendere Betrachtung der Punlct-Sytteme oder Flaches 
höherer Ordnung findet man in meiner in der Zeitschrift für Ulathema- 
tik ond Physik, Jahrgang 1862 erschienenen Abhandlung. 



l 



PtelrleA: AnalyUselt-geometrHehe Parallelen 



iialeuanfaD); geltci 
liungMi: 



dinalen und den rectjirolieii Ab- 
stand -, derselben Ebene vom 
d 

Coordinaleiianfang gellen OieBe- 
ziebuiig«n: 



P) 



M:'. d)- 



s{y,d)~ 



is(.,«i) 



= V3r«+5* + »». 



i 



» der Coordiiialeii einee 
ntktes Mull , so liegt derselbe 
i d» bftreffeiidenOoordiimten- 
leae; «inil alle drei Courdina- 
» Null, SU fullUr in de» Coor- 
nienaiirang. Ist dagegen eine 
^Caardinaten unendlicb gross, 
liegl der Punkt unendlich 

I^AIIe Ponkte, welche eine ihrer 
itdinateu gleich haben, liegen 
in ein«r Ebene , welche in dem 
durch diese Coordinale gesehe- 
nen Abstand der betreffenden 
lordinatenebene |>aTallel ist. 



A\h Pankte, deren Cocrdi- 
iralea x, y, i durch die (ilei- 
chuiig -. 



Ist eine der Coordinalen einer 
Ebene Null, na ist dieselbe zur 
betreffenden Ooordinatenaxe pa- 
rallel; sind alle drei Coordinaten 
Null, so liegt sie unendlich fern. 
Ist dagenen eine der Cnordina- 
ten einer El>ene unendlich gross, 
SU gebt sie durch den Coordi- 
naten an Tang. 

Alle Ebenen, welche eine ih- 
rer Courdinalen gleich haben, 
gehen durch einen Punkt, wel- 
cher in dem durch diese Cour- 
diiiale t;egebenen Abstand vom 
Conrdinatenanfang auf der be- 
treffenden Coordinalenaxe liegt. 

Alle Ebenen, deren Coordinaten 
X, y, : durch die Gleichung: 



ax+Ay + ci-l =0 



niaaden sind, liegen in einer 
Mt«. deren Lage durch die 
k-ienten a, b, e bestimmt ist. 
iB nennt daher obige Gleichung 
I Gleichung der durch 
Ic bestimmten Ebene. 



verbundeo sind, gehen durch 
einen Punkt, dessen Lage durch 
die Coetlicienten a, b, c bestimmt 
ist. Man nennt daher obige 
Gleichung die Gleichung 
des durch sie bestimmten 
Punktes. 



Die Uleicbnngeii : 
nx+fi^+ci— 1 = 

a'a^+A's+c'i— 1 = 



204 



Dietrich: Analylisch^geometrische Parailelen 



oder die aus ihrer Verbindung oder die aus ihrer Vcrbiudang 
sich ergebenden: sich ergebenden: 



(4) 



X = 



y = 



ab' - a'b 
(ca''''c'a).z + (a—a') 



ab'-a'b 



gelten für alle Punkte, welche in 
den beiden durch die Gleichun- 
gen (3) einzeln ausgedruckten 
Ebenen zugleich, also in der 
Schnittlinie dieser Ebenen lie- 
gen. Die Gesammtheit jener 
Punkte kann man eine gerade 
Punkt folge, die sie enthal- 
tende Gerade die Gerade der 
Punktfolge nennen. Für ir- 
gend zwei Punkte p und p' die- 
ser Punktfolge geben die Glei- 
chungen (4) 



gelten für alle Ebenen, welche 
durch die beiden durch die Glei- 
chungen (3) einzeln aasgedrJSd- 
ten Punkte zugleich, also avcli 
durch deren Verbin du ngsgtmle 
geben. Die Gesanimtheitjeoef 
Ebenen nennt man eil Ebe- 
nen büscbel, die IhntB ge- 
meinschaftliche Gerade dieAxe 
des Büschels. Für ir^ 
zwei Ebenen E und E' diese« 
Ebenenhüschels geben dieGki' 
chungen (4) 



(5) 



X — X 



bd — b'c ca' — c'a ab' — a'b 

^ VC^ - ^THJ// -y'F Viz-zT 

V(6c' — ^"'c)« + (ca'^c'a)^ + {ab'^a'bj^' 

Nun sind einerseits dio Quo- Nun sind einer8cif.s die Quo- 
tienten : tienten : 

bc' - b'c 



\f(bc'^b'c)^ + (ca' --t'<i)2+ (flV/' — ab)^ "" " 



den Cosinus der Winkel gleich, 
die eine den beiden durch die 
Gleichungen (3) gegebenen Ebe- 
nen zugleich« also auch deren 
Schnittlinie paralleleGerade, oder 
jene, die Gerade der Punktfolge, 
selbst mit den Axen macht; an- 
derseits findet man, dass der 
Ausdruck 



den Cosinus der Winkel gleich* 
die eine zu den Verbindungs- 
linien der beiden durch die Glei- 
chungen (3) g(»gebenen Punkte 
niit dem Coordiiiatenanfang lu- 
gleich, also auch /u deren Ebene, 
wie zur Büschelaxe senkrechte 
Gerade mit den Axen macht; 
anderseits findet man, dass der 
Ausdruck : 



\r{x - a:')* + (y -y')« + (^ -*')* = 9 



Dittrtek: knalytttch-geometrhche Paraileien. 



205 



deo Abstand pp' der beiden 
Punkte p und p' darstellt* Hie- 
durch erscheint die Beziehung (5) 
in der Gestallt: 



gleich ist dem Abstand der 
Fusspunkte der vom Coordi- 
natenanfang auf die Ebenen E 
und E' gefönten Lothe« getbeilt 
durch das Produkt letzterer, und 
in der Form 



1 



sin (£, E') 



d's\n(E,ö),sin(E';d) 

dargestellt werden kann, wo Ö 
den Abstand der Buschelaxe 
vom Coordinatenanfang bezeich- 
net Hiedurch tritt die Bezie- 
hung (5) in die Form: 



(6) 



ar — .r' y— y' i — z' __ 



» 



ß 



wo die Zahlen a, ß, y, q die eben 
gegebene Bedeutung haben. Da 
durch die in dieser Beziehung 
enthaltenen Gleichungen offen- 
bar auch eine Verbindung zwi- 
schen einem beliebigen Punkt p, 
der durch den festen Punkt p' 
und die Richtung (a, ß, y) ge- 
gebenen Geraden und diesen 
Bestimmungsstücken hergestellt 
ist, so nennt man sie die Glei- 
ehongen dieser Geraden. 
Nimmt man zur Bestimmung 
einer Geraden zwei Punkte p' 
und p" an, durch die dieselbe 
gehen soll, so findet man aus 
(6) fSr irgend einen andern 
Punkt p dieser Geraden : 



wo die Zahlen a, ß^ y, q die eben 
gegebene Bedeutung haben. Da 
durch die Gleichungen, in welche 
diese Beziehung zerföllt, offen- 
bar auch eine Verbindung zwi- 
schen einer beliebigen Ebene E 
des durch die feste Ebene E' 
und die Richtung (a, ß, y) der 
Bü'schelnormalen, wie eine Nor- 
male der durch den Coordinaten- 
anfang gehenden Ebene des 
Büschels heissen mag, bestimm- 
ten Ebenenbüschels und diesen 
Bestimmungsstücken hergestellt 
ist, so nennt man sie die Glei- 
chungen dieses Ebenen- 
büschels. Wählt man zur Be- 
stimmung eines Ebenenbüschels 
zwei Ebenen E' und E"y welche 
dasselbe enthalten soll, so gibt 
(6) für irgend eine andere 
Ebene E dieses Büschels: 



0) 



x — x' _ y—y' _ t—t' _ q_ 
x-x^'- y-y'- *-»"~-p,' 



■rw 



206 



Dietrteh: AnaIvtliek-gemnetrUehe ParaUeleu. 



wo hier 

9 ^PP' _PJ^ .Pp' 
9\ PP PP ^P 

d. i. dem Doppehrerhältniss des 
Punktes p und des unendlich 
fernen Punktes P der Geraden 
zu den gegebenen Punkten p' 
und p" gleich ist. 

Zu zwei gegebenen Punkten 
Pi und pa einer Geraden lassen 
sich die übrigen Punkte in lau- 
ter Paare abordnen» deren Ab- 
stände von deil gegebenen Punk- 
ten gleiches Verhältniss haben, 
wobei immer der eine p ausser- 
halb» der andere p' zwischen 
den Punkten Pi und p^ liegt 
Zwei derartig zusammenhän- 
gende Punkte nennt man einan- 
der bezüglich der Punkte 
Pi undp% harmonisch zuge- 
ordnet. Aus.der solche Punkte 
verbindenden Gleichung 

PP% P'P% V'P% 



folgt alsbald 

VPy ^PPi 
wofür auch wegen 

P'P=PP — PP' 

geschrieben werden kann: 



- = /- 

PP' \pr 



VPi'^PP%y 



wo hier 

g^ _ sin (E, E ) , sin {E\ S) 
Qi "" sin (£, £7') • sin (E', 6) * 

d. i. dem Doppelverhältniss 
der Ebene E und der durch dm 
Coordinaten - Anfang gehenden 
£bene des Büschels zu den ge- 
gebenen Ebenen E' and P 
gleich ist. 

Zu zwei gegebenen Eben« 
El und £2 eines Ebenenbüscbeb 
ordnen sich die übrigen Ebeoea 
in lauter Paare ab, deren dutA 
die Neigungssinus gemesiMMi 
Absfände von den gegel^eati 
Ebenen gleiches Verhältniss kf 
ben, wobei immer die eineEbcM 
<E ausserhalb, die andere € 
zwischen den Ebenen E* vai 
E2 liegt. Zwei derartig verb» 
dene Ebenen heissen einander 
bezüglich der Ebenen Eg 
und £^ harmonisch zuge- 
ordnet. Aus der ffir solche 
Ebenen bestehenden Gleichm^ 

sin(( g, Et) _ sin(g,, CO 
sin («,£2) — sin («',£,) 

_ Bi n((t',Ei) 
"" 8in(«', E^ 



folgt alsbald 

sin((g\£ s\n((B\E^) _ ^ 
sin («, El) ■*■ sin («. ^j) - "' 

wofür auch wegen 

sich schreiben lässt: 
l 

tg(«, «') 



1 



tg(«,JEy 



) 



1- 



^B ' Dtftriek: .tna/ifUxcIl-ffeimetrtscIie Parnitelen. ^07 ^| 


rieidoCIelcbuncarormen gebon 

. 1 mehroren Piinkl»i» pi.Pt 

, wo «btxe Ueli&ttlon harmo- 

'rh 2iii;eori)iieter Pankle »f- 
■,l'*r mchl mehr angewendet 
"titen kann, «ororl: 


Seid« Gleichungsformen gehen 

bei mehreren Ebenen £,,£». 

K„, wo obij(e Keiinition harmn- 
ni»ch zugeordneter Ebenen ot- 
fenhar nicht mehr ausreicht, so- 
fort: 




«ln{«'.fi,) «nt«'. £J 
sin(«r£j'*' »iu(e, ÄJ 


irr Idcatiftcb mit dieitcr: 

1 


oder hiemit identisch ; 
1 ) / 1 


PP' 


igce,«) «Aig(«.£,) 


fe';(Ä+pk+- +pi)- 


+ t6(«,£J+-+.g(I,f.))- 


^KirM wekbvr Rleidtuiig der 
■Kakt p' Blich ili'v Iximo- 
■bck Milllore rfor Punkte 

Krw p. be.ÜRlich Oe» 

^^Uakt«* P gfnniiiit werden 
^^M. Au diesen liletchun^cen 
Wmft, wesB 9 di« vor (6) ange- 
■>*MC Bede^ll>n^rü^ die l'unkte 
T f>U v^. 9, für p und f'x. *«' 
r p' ofld j>. hat. 


weg«n welcher Gleichung die 
Bheoee'auch dio harmoniHch 
Mittlere der Ebenen £,. 

£, £b hexfiglich der 

Ebene IE genannt vcerdeti kann. 
Aus diesen Gleichungen fotgt, 
wenn p die vor (fi) angegebene 
Bedeutung Iflr die Ebenen H 
und (£', «j, fär e und £.. p,' fSr 
e' and £, hat. 


^*i^' 


...^=0, 


l:-i 


und 


hia-k- -!;> ^ 


■■4 Unit lOt dio Conrdinalon 


und hieoiit für die Coerdinaten ^M 


tri , '■-'*+. 


^i^:- J 


"ia 


^^fl 


f^=i(}-^,*.- 


1^1 



208 



Dietrich: Anaiptisch-geametrische ParaiMmt. 



Da letztere Gleichungen die 
Coordioaten von p' im ersten, die 
des Punktes p aber im (/t— l)ten 
Grade enthalten , so lässt sich 
leicht schliessen,das6 während 
einem Fuukt p nur ein ein- 
zigerals harmoni seh Mitt- 
lerer von mehreren (n) ge- 
gebenen derselben Gera- 
den entspr ich t, ein Punkt p' 
harmonisch Mittlerer der 
gegebenen Punkte beziig- 
lichn— l anderer sein kann. 



Da letztere Gleichungen die 
Coordinaten von C Im erstes, 
die der Ebene (B aber im (n — J)tei 
Grade enthalten, so lässt sieb 
leicht schliessen, das« wäh- 
rend einer Ebene C nor 
eine einzige als harmo- 
nisch Mittlere von mehre* 
ren (71) gegebenen dessef- 
ben Büschels entsprichti 
eine Ebene (£' harmoDi«cli 
Mittlere der gegebeoen 
Ebenen bezüglich n^l ai- 
derer sein kann. 



B. Die algebraische Fläche, bestimmt durch du 
Gesetz ihrer Punkte und Berührungsebenen. 



I. 



Wie die Gleichung des ersten 
Grades zvrischen den drei Coor- 
dinaten eines Punktes allen Punk- 
ten gemein ist, welche in der- 
selben durch die Coefficienten 
der Gleichung bestimmten Ebene 
sich beßnden, so wird durch eine 
Gleichung höheren, etwa nten 
Grades zwischen drei Punkt- 
coordinaten eine Fläche be- 
stimmt, auf welcher alle Punkte 
liegen, deren Coordinaten jener 
Gleichung genügen, und welche 
nach dem Grade der Gleichung 
eine Fläche nter Ordnung 
genannt wird. Die Gleichung 
selbst hcisst die Gleichung 
dieser Fläche. Sei nun als 
Gleichung einer Fläche nter 
Ordnung: 



Wie die Gleichung desentei 
Grades zwischen den dreiCoor 
dinaten einer Ebene allen Ebe 
nen gemein ist, welche dorek 
denselben durch die Coeffieic*' 
ten der Gleichung bestimmte! 
Punkt gehen, feto wird durch di^ 
Gleichung höheren, etwa »tei 
Grades zwischen drei Ebeoef 
coordinaten eine Fläche b^ 
stimmt, welche von allen Eb^ 
nen umhüllt oder berührt vf'vi 
deren Coordinaten jener GW' 
chung genügen, und welche nacb 
dem Grade der Gleichung ei>9 
Fläche Ttter Klasse genanVt 
wird; die Gleichung selW 
heisst die Gleichung dieser 
Fläche. Sei n un als GleicboBg 
einer Fläche nter Klasse: 



10) A*.y.«) = A(^*y.O+/»-i+A-*+ • • «7i+/« =0 



Dietrich: Analytisch' geometrische Parallelen. 



'im 



gegeben« wo die Fanktionen fn. 
Vi 9 /n-S'*-*- heziiglicb der Coor- 
iinalen x^ jy, : homogen und von 
len Graden w, n — J, w — 2, . . . . 
»ind, and «^eien 



n» 



gegeben, wo die Funktionen ft 
fu—i.fn-2"' bezüglich der Coor- 
dinaten x, y, z homogen und von 
den (iraden 71, n — 1, m — 2, . . . . 
sind, und soien 



(11) 



s — x _ !LU/ — ? — g _ 



a 



ß 



die Gleichungen einer Geraden^ 
nrelche durch den festm Punkt p 
»der Or, », }) seht und gegen 
lie Coordinatonaxcn Winkel 
inai'ht, deren Cosinus durch die 
Zahlen a, ß, y ausgerlriickt sind; 
^ ist dann der Abstand ^p des 
letlcn Punktes p von einem an- 
dem Punkte p oder (x, y, z) 
der Geraden, p in der Richtung 
ler Geraden vor p liegend an- 
zenommen. Filr die Punkte, 
nrelcbe diente Gerade mit der 
Fläche (10) gemein hat, also für 
lie Schnittpunkte der Geraden 
mit der FiSche, für uclche die 
lileichangen (10) und (II) zu- 
Hiiamen beliehen , erhält man 
dorch Einsetzen der aus (11) ge- 
sogene« Werlhausdrücke : 



= Q 
r 

die Gleichungen eines Khenen« 
biischels, welches die feste 
Ebene (El oder {x, t), }) enthält 
und dessen Normale gegen die 
Axen Winkel macht, deren Co- 
sinus durch die Zahlen a, ß, y 
ausgedrückt sind; 9 hat dann 
den Wcrth 



1 



sin («, K) 



d'sinlig,a).8in(i;;d)* 

die Ebene (E des Büschels in 
der Richtung jener Normalen 
oberhalb der andern Büschel- 
ebene £ angenommen, während 
d den Abstand der Schnittlinie 
beider Ebenen, also der Büschel- 
axe vom Coordinatenanfang be- 
deutet. Für die Ebenen, welche 
dieses Büschel mit der Fläche 
(10) gemein hat, also für die 
durch die Büschelaxe gehenden 
Berührungsebenen der Fläche, 
für welche die Gleichungen (10) 
und (II) zusammenbestehen, cr- 
h;ilt man durch Einsetzen der 
' aus (II) gezogenen Werthe: 

x — x - «0. y^t} — ßg, z = } - Y9 

in fie Gleichung (10): in die Gleichung (10): 

(H) fix, y, 1) = Ar — «p, t) - ßg, } — yg) 

(d d d\ 

Ikiil XLIV- 14 



t- 



210 Dietrich: Analytisch- geometrische Parallelen. 

wo fär die Coefficienten der Po- wo für die CoeiTicienfen der ve 
tenzeii von g die Beziehungen schiedencn Potenzen von q d 
bestehen: Beziehungen bestehen: 

1 ^ d , .tl d \»-» ., 

2! • ('Äi + • • •) ^- + (^5S + • • • )A-i +/«-»' 



*) Ans der für die homogene F*unktion /rtcii Cirades fk bestsbnio 
Identität: 

folgt nftmlich darch beiderseitige Enlwiciciang sofort: 

und dadurch für Coefficienten gleicher Potenzen von qi 
\ ( d \ \ / d \*-« 

Folge hicTüQ ist für /= Ai+A-i + . . . .+A +/;, die (Jlcichnnff: 
\ ( d \» \ / d \n-*' X 

I 1 / d \«-i-i 

welche der allgemeine Ausdruck obiger Beziehungen ist. 



Dietrich: Analytisch - geometrische Fora Helen, 



211 



leichuiig (12) bcziig- 
ntcn Grade ist, also 
t>;> durch ^ie n La^cii 
H p als der Geraden 
iclio zugleich angc- 
niint sind, ^>o zoigt 
, dass eine Fl ä c h e 
iiing dnrch eine 
n Älli;eineinon in 
iirorcn) I^nu kten, 
ü l'Jienc ;il so nacli 
■VC ;/ (ci () rd n iing 
cri wird. Die ein- 

Glciclniiii; {VI) gc- 
Weil he \ r»n o oder 
der Sclirii(([MiTi!;te p 
von den in d(;n Coel- 
twv.T lileirliuntr vor- 

Zahlen r, n. } und 
i. von der L tgo der 
estininitcii (»oraden; 
Bcacfihmg vordienen 
le, wo <i(*r erste <»di*r 
f ersten , der letzte 
»re der letzten (\)er- 
1r geuisse NVerthe 
> lind ö, p, )' Nnll 



Da die Gleichung (12) heziig- 
lieh Q vom ntcn Grade ist, also 
wegen 

_1 sin (g, E) 

^ "" d* sin(€, 6).5*in"(7L', d) 



=i( 



1 



tg(/i. d) 



♦s («. «JV 



durch sie t? Lagen der K!>enc tl 
als dem Büschel und der Fläche 
zugleich angehurig bestimmt 
sind, so zeigt sich sogleich, dass 
eine Fläche ntcr Klasse 
durch ein K b e n e n b Ci s c h e I 
mit n (nie mehreren) Ebe- 
ne n , c i n e h e n c r S c h n i 1 1 d e r 
Fläche in n Geraden be- 
rührt wird, letzterer also 
eine Kurve »ter Klasse ist. 
Uie einzelnen der Gleichung (12) 
genügenden Werthe von q oder 
die Lagen der Herührungsebenen 
K bansen ab von den in den 
Coeflicienten jener Gleichung vor- 
kommenden Zahlen r. t), l und 
a, j^,y, d. i. von der Lage des 
hiedurch bestimmten Kbeuen- 
büschels; besondere Heachtung 
verdienen hier die Fälle, wo der 
erste oder mehrere der ersten, 
der letzte oder mehrere der letz- 
ten Coefficienten für gewisse 
Werthe von jr, t), } und «, /3, y 
Null werden. 

Der Fall 



/ (r. n. :.) = 



enn der U'.sti» INiokt p 
iche selbst lieat; es 
einci der Wert Im» von 
,, zu Null, wodurch 
rerschwindet. also ein 
kt //| mit p znsani- 



tritt ein. uenn die loste tlbene 
g selbst eine Berührangsebene 
der Fläche ist: es ^vird dann 
einer der Worthe von (i, etiva 
pi zu Null, wodurch tg(/Ji,6) 
= tg((P, 6) wird, also eine Be- 

14* 



212 Dietrich: Analytisch- geometrische Parallelen, 

menfallt. Die übrigen Schnitt- ruhrungsebcne £| mit C zusam- 

punkte> also die durch p in der menfallt. Die übrigen zum Bff- 

Richtung (er, j3, y) gehenden Seh- schel gehörigen Berührung«* 

nen der Fläche bestimmen sich ebenen der Fläche beatimmeo 

aus der Gleichung: sich aus der Gleichung: 

— ( «2^+ .... )/(y* ••••^"'■2!' V cS^"* V ^^^^ — ^ — "*' 

FQr diejenigen Werthe von a, Fiir diejenigen Werthe roo u, ' 
ß, y, welche im gegebenen Falle ß, y, welche im gegebenen Falle 
auch noch die Gleichung auch noch die Gleichung 

erfallen, rückt noch ein zweiter erfüllen, fallt noch eine iwAe 

Schnittpunkt p^ auf p herein und Berührungsebene E^ mit 9 n* 

die Gerade wird dann eine Tan- sanimen und die BfiscUai« 

gente der Fläche in p. Da für selbst wird dann auch dieFBeb« 

irgend einen Punkt ar^ y, z die- berühren. Da für irgend äse 

ser Geraden Ebene a:, y, z dieses BOwlicb 

a ß 'y 

ist, wird obige Bedingung auch ist, wird obige BedinguDj| auch 
in der Form in der Form 

r 

geschrieben werden können, geschrieben werden kunoCB, 
welche sich, da für e = 1 welche sich, da für e=:l 

/'(r, M. I) = fn(X, t), }) + sfn-i(x, t), j) + f%-2 + .... + e"-^A+«"./o. ^ 
sonach homogen und dadurch sonach homogen und dadofcb 

wird, vereinfacht in: wird, vereinfacht in: ; 

4 

Es ist diese Gleichung be- Es ist diese Gleichung ^ | 



i 



D ie trich : Analytisch -geometrische Parallelen. 



21;^ 






iflglich j:, y^ z vom ersten Grado 
und zeigt dadurch, dass alle 
Geraden» welche in dem Punkte 
p der Fläche dieselbe berühren, 
in einer Ebene liegen, deren 
Coordinaten die Werthe 



dt * lU 

haben; diese Ebene heisst die 
dem Punkte p entsprechende R e - 
rfihrnngsehene der Fläche. 

Bei besonderen Flächengattun- 
^n jeder Ordnung gibt es ein- 
lelae Punkte, für ivelche mit 
der Gleichung (13) unabhängig 
vnn den Zahlen or, ß, y zugleich 
auch der Gleichung (14) Genöge 
gMchieht. Sodann fallen in je- 
der Richtung der durchgehen- 
den Geraden zwei Schnittpunkte 
sugleich mit p zusammen und 
die Gerade wird erst eine Tan- 
gente der Fläche in 4>, wenn fiir 
gewisse Rich(uni;en noch ein 
dritter Schnittpunkt aufp hcrein- 
Tückt welche Richtungen durch 
die Gleichung: 



ziiglich Xf y, i vom ersten Grade 
und zeigt dadurch , dass alle 
Geraden, welche in der Beruh- 
rungsebene ^ der Fläche die- 
selbe berühren , sich in einem 
Punkte schneiden, dessen Coor- 
dinaten die Werthe 



ilf,df 
dt) ' dE ' 



d} ' dB 



haben; dieser Pui^kt heisst der 
der Ebene (E entsprochende 
Punkt der Fläche. 

Bei besondern Flächengattun- 
gen jeder Klasse gibt es ein- 
zelne Ebenen, für welehe mit 
der Gleichung (13) unabhängig 
von den Zahlen er, ß, y zugleich 
auch der Gleichung (1-1) genügt 
wird. Sodann fallen für jede 
Lage des eine solche Ebene ^ 
enthaltenden Büschels zwei Be- 
rührungsebenen zugleich mit die- 
ser Ebene zusammen und die 
Büschelaxe wird erst selbst auch 
die Fläche berühren, wenn für 
gewisse fjngen noch eine dritto 
Berührungsebene mit i^ zusaui- 
menHillt, was durch die Glei- 
chung: 



(16) 



(^fr + ^7n^4)V(^•^.?) = « 



tnfr^eigt werden. Aus dieser 
Clckbung erhält man für die 
Coordinaten o*, ^, : eines bclie- 
kigen Punktes einer solchen 
Tatgente in p sogleich 



angezeigt wird. Aus dieser Glei- 
chuns; erhfilt man für die Coor- 
di unten .r, //, 2 einer beliebigen 
Ebene durch eine solche Tan- 
gente in (E sogleich: 



((j:-r)^^^ + (//-t))^^^f(:-?)^^^) Ar, D, I) = 0, 

aw welcher Gleichung erficht- aus welcher Gleichung ersieht* 
^ ist, dass diese Tangenten lieh ist, dass diese Tangenton 



214 



Dietrich: Analytisc/i-veomelrische Parallelen. 



einen Kegel zweiter Ord- 
nung beschreiben, dessen 
Spitze der Punkt p ist. 

Sollte für einzelne Punkte sol- 
cher besondern Flächengattun- 
gon luit der Gleichung (13) un- 
abhängig von den Zahlen a, ß, 
y, sowohl der Gleichung (14), 
als auch der Gleichung (15) noch 
genügt werden, so würde erst 
die Gleichung 



eine ebene Curve zu'eit 
Klasse umhüllen, den 
Ebene ® ist. 

Sollte für einzelne EbeD( 
solcher besonderen Flächenga 
tungen mit der Gleichung (11 
unabhänirior von den Zahlen < 
ß, y, sowohl der Gleichung (14 
als auch der Gleichung (15) Doci 
genügt werden, so würde ers 
die Gleichung 



( 



d ^d 



dO f^'' "' 



j) = 



die Kichtungen bestimmen, in 
welchen eine durch einen solchen 
Punkt V gehende Gerade die 
Fläche berührt, letztere würde 
also im Punkte v von einem 
durch denselben gehenden Ke- 
gel dritter Ordnung berührt wer- 
den. Und ebenso weiter. 



die Richtungen bestirameB) in 
welchen eine in einer solckfi 
Ebene (El liegende Gerade fc 
Fläche berührt, letztere würde 
also durch die Ebene ^ in ei* 
ner in letzterer liogendeD Cnrre 
dritter Klasse berührt werden. 
Und ebenso weiter. 



Wird für besondere VVerthe ^ Wird für besondere Werthc 
von a, ß, y von a, (3, y 



(16) 



fnW» /3, y) = 0, 



so wird einer der Werthe von 
Qy etwa ^1 unendlich gross, da- 
her in der durch jene Werthe an- 
gezeigten Richtung gemäss der 
Bedeutung von ^| der Schnitt- 
punkt 2)1 ins Unendliche fällt. 
Für einzelne Lagen der in ei- 
ner solchen Richtung; uehendcn 
Geraden wird noch ein zweiter 
W'erth von q, also p., unendlich 
gross, also noch ein zweiter 
Schnitlpuiik} mit der Flache in's 
Unendliche TalltMi und die Ge- 
rade dann eine Asymptote dt^r 
Fläche sein. Diese Lageit sind 
bedingt durch die (üleichun! 



'S 



so wird einer der Werthe vor 
Q, etwa ^1 unendlich gross. <ia 
her in der durch jene Werth( 
angezeigten Richtung der Bö« 
schelnormale gemäss der Be 
deutung von ^| und wegei 
tg(£,,d) = die lieriilirungs 
ebene Ei durch den Coordioa 
tcnanfang gehen. Für einzeln 
Lagen der durch eine solch 
Normale hestimmfen Büsch( 
wird noch ein zweiter Wert 
von Q, also ^^ unendlich, als 
noch eine zweite Dcrührung! 
ebene der Fläche durch den Coo 
dinatenanfang gehen und d! 



Dicirich: AnalyliBch • geomelrische Far aHelen, 



215 



Huscbelaxe dann die Fläche 
gleichfalls berühren. Diese La- 
gen sind bedingt durch die Glei- 
chung 



<''^ ('rfä + V^ + ^^yy«^''' ^' y) + ^-^(«' ^' y> = °' 



felehe zeigt, dass a 1 1 e i n gl e i - 
:b«r Richtung gehenden 
ksymptoten einer Fläche 
A einer Ebene liegen. In 
lesooderen Fällen kann sich als 
3rt der Asymptoten gleicher 
SicbtoDg auch ein Cylinderzwei- 
ifli oder höheren Grades ergeben. 



welche zeigt, das>» auch die Bii- 
schelaxen, welche in einer durch 
den Coordinatenanfang gehen- 
den ßeruhrungsebene der Fläche 
dieselbe berühren, sich in einem 
Punkt, dem Berührungspunkt 
jener Ebene mit der Fläche 
schneiden. 



II. 



Als Diehste der Beziehungen 
ler Punkte pi, />2> ••••»/'n, in 
»eichen die Gerade (11) die 
liehe (10) schneidet, zu dem 
esten Punkte dieser Geraden 
»det man aus der Gleichung 
\% alsbald: 



Als nächste der Beziehungen 
der Ebenen 1^|, £2» ... • , £n, mit 
welchen das Büschel (11) die 
Fläche (10) berührt, zu der festen 
Ebene (£ dieses Büschels findet 
man aus der Gleichung (12) 
alsbald : 



Vi • ^2 — (?« — /*i 



/Ä«. i?» y) 



P/'l • VPi • • • VPn 



I 



rednrch ein Werthaus druck für 
lu Produkt der Abstände jener 
Ichuttpunkte vom festen Punkt 

^ 8*1*''^" >^^' 1^^ V i^^^*l) ein 
«•teer Punkt der Geraden (1 1), 

•^1^ obige Beziehung ferner: 



(dsince,^))'' 
siii((g, li;|).Kin (( g.£a)..8in(g ,/J,) 
sin ( Ex fi) sin (£«,6) ..sin (Enfi) ' 

wodurch ein Werthausdruck für 
das Produkt der Neigungsv'er- 
hältnisse jener Berührungsebe- 
nen gegen die feste Ebene (^ 
und die Ebene durch den Coor- 
dinatenanfang gegeben ist. Ist 
(E' noch eine weitere Ebene des 
Büschels (11), so gibt obige Be- 
ziehung forner: 



21 ö 



Dietrich: Anati/liscii-geotnelrische Parallelen, 



(18) 



VpiV'V^'-V'pn 



fix, Ih I) 

/(f, t)', I') 

sin(g,£| ).sin((g,£^..8iii(<g,£;) 
8in((g',£;i) j' 



N 



woraus man vorerst leicht fol* 
gern kann, dass je nachdem 
die Zahlen jf[x, t), ?) und f[x\ t}\ f) 
gleiche oder entgegengesetzte 
Vorzeichen haben, von den 
Schnittpunkten p in der Rich- 
tung der Geraden gleichzeitig 
eine gerade oder ungerade An- 
zahl vor p und p' sich befindet 
oder nicht. 



Werden drei beliebige nicht in 
einer Geraden liegende Punkte 
Vy V*9 P'* paarweise durch Ge- 
rade verbunden und sind pi, 

p2t • • • • > pn'i p\, P'q,j . . . . , p*n ; 

p'\, p\ p"„ die Schnitt- 
punkte der Geraden p\>', p'p*\ 
p''p mit der Fache (10), so er- 
hält man aus (18) nacheinander: 



X Xsin ((g', £y ... sin («', &) ) 

wo J und ^' die Lothe vom 
Coordinatenanfang auf die Ebe* 
nen (E und S' bedeuten und ans 
welcher vorerst folgt, dass, je 
nachdem die Zahlen /)[r,9>?} 
und fix', I?', ?') gleiche Vorici- 
chen haben oder nicht, M 
gleichzeitig eine gerade oder im« 
gerade Anzahl der Berubmp- 
ebenen E in der Richtoog^ 
BOschelnorroale ober tf on^ V 
sich befindet oder nicht. 



Werden durch die Scboilt- 
linien von drei beliebigen Ebe- 
nen (£, S', e" ßüschel gelegt, 
welche die Fläche (10) bezüg- 
lich mit den Ebenen Ei, £{».•••> 

£n; E\y U'j» . . . , i^^'n ; ^"i. £"•• 
. . . . , E''n berühren, so gibt obige 
Beziehung nacheinander: 

fix, t h ?)_ 
fix'^itf'W) 



VPl'PP2''PPn 
P'Pl'P'P2 "-V'pn* 



= (0 



8iii(g,£\).sin(e,Ea). 8in( g^ 
^' sin ((£'.£,) l' 

Xsin («', Ej) .... sin («', £.) i 






»'*»' 



_ V ;> I • P P2 ' > » y ;> "f» 



i'/*^« 



V'TiPPs-.PV» 



= (sy 



X 



< sin(«'.£'i) 1 . 

< xsin (C, E'j) ... sin («'. ft)! 



Xsin 



sin («",£',) i' 

in(e",£'a)..8io(«",£'t)> 



I. 



Dietrich: Analtf/iach-geomeirische Paraiieien. 



217 









Durch Multiplikation dieser 
Bldchangen winl dann sogleich : 

(19) 



W - PP% "' VPn ' V P\ « P> 2 " • V 'P'n 

^ rp^i'rp \''-py"n _ , 



«dche Gleichung fol^ondG Ver- 
illgemeiBening de« lickannten 
Siltti vom Dreieck, dessen 
Seiten von einer Geraden gc- 
•cknitten werden, ausspricht : 

Wenn tuan iri^end drei 
■ichl iu derselben Geraden 
liegende Punkt« durch Ge- 
fade verbindet, ucicho 
tine algebraisrhe Fläche 
!■ der ihrer Ordnung ent- 
■prechenden Anzahl von 
'■>kten schneiden, und 
■iB ron einer Geraden /.u r 
tidtrn gehend die Ab- 
AtlidedieserSchnitt punkte 
**■ dem der entsprechen- 



= (#-)■ 



8in(<^', £;"i) > 

lXs\n((B'\E\) .. s\u(V\E"n)^ 

^Xsin («, £%) ...sin (C, £"„)[ 

Durch Muliiplikation dieser 
Gleichungen wird dann sogleich : 

(19) 

sin ((g, £| ).8in ( (g, E^) ... sin ( (g, En) 
8in(«,f;",).8in(«,£;"2).sin((g,/;"„) 

^ sm(iB',E\) ^ 

)xsin(e , E'^ ...sin (€^_^'^)^ 

^s 8i"n"(«',X)"" " } 

> Xsiii («', Ea) .... sin («', E„) ^ 

< X 8in(«", E\) ... sinCC", JE'„)S 
= 1, 

ivelche Gleichung folgende Ver- 
allgemeinerung des bokannten 
Satzes vom Dreieck, dessen 
Ecken mit einen! beliebigen 
Punkte durch Gerade verbun- 
den werden, ausspricht: 

Wenn man durch die 
Schnittlinien von irgend 
drei Ebenen, die nicht 
durch dieselbe Gerade ge- 
hen, E b e n n b n s c ii e I legt, 
welche eine algebraische 
Fläche mit der ihrer Klasse 
entsprechenden Anzahl 
von Ebenen berühren, und 
man von BCischcl zu ß fi- 
sche I die Neigungen die- 
ser BerQhrungsebenon ge- 



21 H 



Dietrich: A uaiyliach • ycometriscfte l'arnlielen. 



den Geraden und der vor- 
ausgegangenen, wie von 
dem der erstem und der 
nachfolgenden Geraden 
gemeinschaftlichen Punkte 
misst,sosind dieProduktc 
der beiderseits gefunde- 
nen Abstände einander 
gleich. 

Es braucht bloss erwähnt zu 
werden, dass in derselben Weise 
das Bestehen dieses Satzes be- 
wiesen wird, wenn eine Fläche 
durch beliebig viele Gerade, diu 
auf einander folgend paarweise 
einen Punkt gemein haben, ge- 
schnitten wird. 

Von den Anwendungen obigen 

Satzes möge die Bestimmung 

der ßeriihrungsebenc einer al* 

gebraischen Fluche für einen 

gegebenen Punkt derselben hier 

Platz fmden. Um nämlich die 

Ebene zu linden, welche eine 

gegebene Fläche in dem Punkte 

p derselben berührt, sei vorerst 

der Punkt \> dem gegebenen sehr 

nahe und ausserdem noch zwei 

Punkte p' und p" angenommen, 

die mit p und untereinander 

durch die Geraden g', ^** und 

^*" verbunden seien. 

Sind nun p\ und p'\ die 
Punkte, in wolchon die Geraden 
j5' und 9" die Fläche dem Punkte 
V am nächsten treffen, so gibt 
die Gleichung (10) sofort den 

Werth des Verhall nisses ^'^/ 
oder des ihm gleichen -—, wo 



gen die dem entspreche 
den mit dem vorausgega 
gangenen, wie gegen d 
dem ersteren mit dem nac 
folgenden Büschel gerne! 
schaftliche Ebene min 
so sind die Produkte d 
Sinus der beiderseits g 
fundenen Neigungen ei 
ander gleich. 

Es braucht bloss erwähnt \ 
werden, dass dieser Sati aoc 
besteht und in gleicher Weifi 
bewiesen wird, wenn eineFttcfr' 
durch beliebig viele BüMliel 
die auf einander folgend piif 
weise eine Ebene gemein baki, 
berührt wird. 

Von den Anwendungea obi- 
gen Satzes verdient die Besfun 
mung des Punktes, in welcbem 
eine algebraische Fläche vor 
einer gegebenen ihr zngehurigei 
Ebene berührt wird, ErwäbnoDg 
Um nämlich den Punkt zu fin 
den, in welchem die Ebene! 
eine gegebene Fläche, der sk 
angehört, berührt, sei vorewi 
die Ebene ^ der E sehr Dah( 
und ausserdem noch zwei Ebe 
ncn (£' und iE'' angenonimeD 
w*elchc die ^ und sich selbst 
in den Geraden ß', jj" und jS* 
schneiden. Sind nun E\ und 
E'\, deren Schnitflinie,^ sei, <i»* 
der E nächsten Berülirung^eli^ 
neu der Fläche in den Büscbfln 
durch (j' und ^'\ so gibt J»* 
Gleichung (10) sofort den Werft 

sinCig.ffi) 



des Veihältnisses 



sm 



(«,£"!) 



P7' 



oder des ihm gleichen — 7 -rx' 



Dietrich: Anali/ tisch -gcom e/n'srh c /'arn/lrie/i. 



219 



■od q** die Schnittpunkte ei- 
r zur Geraden p\p'\ Paral- 
sn mit 0' und f^'* sind. 
8nt raan nun p mit dem ge- 
iieiien Punkte p zusamnien- 
len, so wird das i^leicho mit 
tilen n?ichüten Schnittpunkten 
and p*\, sowie mit der Ge- 
len p'\p'\ geschehen und 
itere die Fläche in p beruh- 
1. Die Richtung dieser Tan- 
nie ist bestimmt durch die 
eichung : 



(M) 



e?l — 



pn 



n 



!■• •«*' ••''•l"' tl"!»'" WW" ) 



£« ist sonach die Hcstininiung 
eier Tangente auf die Con- 
roction einer Gorudeii zjiriick- 
!lSbr^ welche zwei «regohone 
ende in Pufikt«Mi schnüidcl, 
dche Vfim Schnitfpunkt dieser 
enden Abstände von gei;el>e- 
tt TerhältniMis haben. Fk lic- 
rl die Losung dieser Aul'iiabe 
rä Kichtunisen der gesuchten 
cndeBp also auch der Taiii^cnfe. 
Hcchen welch rn man jo nach 
ND Vorzeichen oben ^eüobenen 
ohUtDiss Y^ crtlies, oder nach 
V Aazahl der vor den Punk- 
ift^t^'und p" liegenden Si-hnitt- 
■■bte mit der riäche /u wub- 
• fcit — Durch eine ?.wcilc in 
ivttcllicn Weise bestinimte Tan- 



Lässt man dann die ® mit der 
gegebenen Ebene E zusammen- 
fallen, so wird das gleiche mit 
den nächsten Berührungsebenen 
(^', ^" und der Geraden g ge- 
schehen und letztere eine Tan- 
gente der Fläche in E werden. 
Die Lage dieser Tangente zwi- 
schen ^* und ^*' ist bestimmt 
durch die Gleichung: 



m 



t^i" ig* d') 

< sin (iS, U'y .... sin (£, E'\) ^ 
\ X(€",£'",).... < 



\ ü\t\{E,E'Q),,,.s\\\\EjE*n) > 
) Xsin(if ",/;).... < 

S sin («",7::"'«) } 

^ X sin (€', /::) .... sin (€', E„) ^ 
^5 " sin((f ",£"„)"■■ / 

ix sin («', E'", ) .. sin(«', fJ'^«) C 

l£s ist sonach die Bestimmun<r 
dieser Tangente zurückgeführt 
auf die Construktion einer durch 
den Schnittpunkt zweier gege- 
benem (aeraden gehenden dritten 
G«*raden, welche mit erstoren 
Winkel von gegebenem Sinw.^v- 
verhältniss bildet. Es ergeben 
ftiich dadurch zwei Kirhtnn:;en 
der gesuchten Geraden, zwi- 
schen welchen man nach dem 
Vorzeirbrn de.*» oben gegebenen 
Verbältiiisswertbcs, oder nach 
der .\nzahl der oberhalb der 
Ebenen E, v£' und \t" befindli- 
chen Herübruns^sebenen der 
riäcbc zu wählen hat. — Durch 
eine /.weite in gleicher Weise 
bestinimte Gerade oder Tangente 



\i 



220 Dietrichi i\nalythch -geometrische Parallelen, 

gente ist dann auch die gesuchte ist dann auch der gesuchte 
Beruhrungsehene gegeben. rübrungspunkt gegeben. 



HI. 

Der harmonisch mittlere Punkt Die harmonisch mittlere Eb« 

p' der Schnittpunkte der Gera- ®' der zum Bäschel (11) 

den (11) mit der Fläche (10) in hörigen Berührungsebenen 

Bezug auf den Punkt p dieser Fläche (10) in Bezug anf 

Geraden ergibt sich nach (9), Ebene (B dieses Büschels erg 

da wegen der Gleichung (12) sich nach (9), da die 61 

chung (12) 

ist, mittelst der Gleichung liefert, durch die Gleicboflg 

/ d ^d d\^, 

l^ (%Tr+^rf«^-^y.T?y»>^-^) 

woraus sogleich für die Coor- aus welcher für die Coordinte 
dinaten x\ t)', }' desselben wegen jr', t)', f derselben wegen 

_ jr— ir^ _ n—n' _ } —}' 

^ a ß y 

und durch Einführung der die und durch Einführung der ve 

Homogcneität von /l[jr, t), j) her- scbiedenen f(T, t),}) homog« 

stellenden Potenzen von f = 1 machenden Potenzen von «s 

folgt: folgt: 

((ir-y')^ + («?-t)')^ + (? - J')|)/lr, t), }) = w/(r, I?, }) 

/ d d d d\.^ 

also auch also auch 

(d d il d\^ 

Es ist diese Gleichung unab- Es ist diese Gleichung ona 

hfingig von einer besonderen hängig von einer besondei 

Richtung (a, j3, y) der Geraden Richtung (o, ß, y) der Busch 

und für die Coordinaten des normalen und enthält die Co 



Dietrich: Anqlylisch -geometrische Parallelen. 



221 



es ))' vom ersten, für die 
von n — 1 ten Grade, wo- 
f'olgender Satz gegeben 
Venn sich cincGcrade 
einen festen Punkt 
, welche eine Fläche 
Ordnung i ii j e d e r R i c h • 
in der ihrer Ordnung 
mm enden Anzahl von 
;ten schneidet, so be- 
gibt der harmonisch 
lere dieser Schnitt- 
te bezüglich des 
nPunktes eine Ebene, 
der Punkt, bezüglich 
her letzterer selbst 
oniscb Mittlerer der 
ittpunkte mit der 
he ist, eine F!«'iche 
ter Ordnung. 

I festen Punkt, die ihm als 
[1er harmonisch mittleren 
e entsprechende Ebene 
lie Fläche, bezüglich wel- 
er selbst harmoniscli Mitt- 
ist, nennt man Pol, Polar- 
6 und Polfläche. Lctz- 
ist oflfenbar auch der Ort 
'ole, deren Polarebenen 
den festen Punkt gehen. 

gt der Punkt auf der Fläche, 
rd wegen 



dinaten der Ebene (El' im ersten, 
die der (g im n — Iten Grade, 
wodurch man bat: Wennsich 
ein Büschel durch eine 
iesie Ebene bewegt, weU 
cbcs eine Fläche nter 
Klasse in jeder Lage mit 
der dieser Klasse zukom- 
menden Anzahl von Ebe- 
nen berührt, so geht die 
harmonische Mittlere die« 
ser Berührungsebenen be- 
züglich der festen Ebene 
durch einen festen Punkt, 
und umhüllt die Ebene, be- 
züglich welcher letztere 
selbst harmonisch Mitt- 
lere der Berührungsebenen 
der Fläche ist, eine Flache 
n — 1 1 e r Klasse. 

Die feste Ebene, der ihr als 
Schnittpunkt der hnrnionisch 
mittleren Ebenen entsprechende 
Punkt und die Flficho, bezüg- 
lich welcher sie selbst harmo- 
nisch Mittlere ist, heissen Pol- 
eben e, Pol und Polfläche. 
Letztere wird offenbar auch von 
den Ebenen eingehüllt, deren 
Pole auf der festen Ebene liegen. 

Ist die Ebene (E eine Beruh- 
rungsebene der Fläche, so wird 
wegen 



P = 



nf{t, t), j) 



M + '^S^ + >'|)^(^^'^'?> 



la dann /l[jr, t), }) zu Null 
Q für alle Richtungen der 
ien, bei welchen nicht auch 
ienner des Ausdrucks für 
I ist und welche also nicht 



und da dann f{Xi ti, i) zu Null 
wird, Q für alle Richtungen der 
ßüschelnormalen, bei welchen 
nicht auch der Nenner obigen 
Ausdrucks Null ist und also die 



22'2 



DielrU'h: AnalyUsck- geometrische ParaHelen, 



in die Berührangebone der Fläche 
für den Punkt p fallen, gleich- 
falls verschwinden, folglich p' 
mit ).i zusammenfallen. Es wird 
daher die Pal a rebene eines 
Flächenpunktes zugleich 
die Beriihrungsebene der 
Fl.äche in diesem Punkte 
8 ein, was schon aus der in die- 
sem Fall eintretenden Ucber- 
einstimmung der Gleichung (21) 
mit (15) geschlossen werden 
kann. Für die harmonisch Mitt- 
leren der übrigen Flüchenpunktc 
auf jeder durch p gehenden 
Geraden bezüglich p fmdet man 
aus (12) 



Buschelaxe nicht selbst Ta 
gente der Fläche wird, gleic 
falls verschwinden, folglich < 
mit (^ zusammenfallen. Es wii 
demnach der Pol einer Fli 
chenebene zugleich der B< 
rührungspunkt der Fläeb 
und dieser Ebene sein, iri 
schon aus der in diesem Fall 
eintretenden Uebereinstimroan 
der Gleichung (21) mit (15)'^ 
schlössen werden kann. FA 
die harmonisch Mittleren dei 
übrigen BerührungsebeiKo der 
Fläche in jedem durch C ge- 
henden Büschel bezüglich dib* 
det man aus (12) 



(''-•>(«^r+^|+4>'''«' 



also auch 



also auch 



(•23) 



i • ((» - r') ^ 1 (D - V') J^ + (j - ?') ,f j) V(^. «). ?) 

= (« -J) . ((r_,')^- +(,_„') -|+(?-i'),Q/a, .». J) 



woraus folgt : Drchtsicheine 
Gerade um einen Punkt 
einerFlächewterOrdnung, 
80 beschreibt der harmo- 
nisch Mittlere der übrigen 
Schnittpunkte der Gera- 
den mit der Fläche bezüg- 
lich jenes Flächen Punktes 
eine Fläche zweiter Ord- 
nung, und ist er selbst har- 
monisch Mittlerer jener 
Schnittpunkte bezüglich 
der Schnittpunkte derGe- 



woraus folgt: Bewegt sich eil 
B ü s c h e I d u r c h e i n e B e ruh 
rungsebenc einer Fläch 
7iter Klasse, so umhüllt di 
harmonisch Mittlere de 
übrigen zum Büschel g< 
hörigen Berühr ungsebi 
nen der Fläche bezüirlic 
jener Ebene eine Fläcl 
zweiter Klasse und ist s 
selbt harmonisch Mittle 
jener Ber ührungsebeni 
bezüglich der dem Busch 



Dietrich: Analylhrfi - tjeomctrischt Pur all den. 



22a 



iden mit einer Fläche angehorij^en Beriihrungs- 
-^2ter Ordnung. ebenen einer Fläche n — 2- 

tcr Klasse. 



Jeder der Sclini(f|)iinktc einer 
sgebenen Flüche mit der einoni 
»^ebenen Punkte p be/iiirlich 
uer eutsprcchondcn PoKläclic 
il Minen harmonisch mitdercii 
mkt bezüglich «Icr gogchen*^n 
liehe nach Obigem in der ihm 
itopreckeudcn lleriibriin2;s- 
bene letzterer, aber auch in p. 
Is folgt daraus so^iloicb, dass 
ie Scbnittkiirve einer gc- 
;cWiieD Flüche mit der 
»ioem gegebenen Punklo 
lezüglich ihrer zugehüri- 
lenPolflÜchc zugleich auch 
lie Berti hruncTükurvc des 
on jenem Punkt der ge- 
gegebenen Flüolie um- 
(cbriehenen Kegels ist. 
$iod ferner /^'sirO und /'' = 
lie Gleichungen der zwei Punk- 
en ^ und p" in Uezug auf die 
gegebene Fläche entsprechen- 
len PolflSchen, so int If'^i^r' 
= die Gleichung der irgend 
iiDca andern Punkte der Ver- 
liadangslinie von v' und p" cnt- 
prechenden Polfläche, welche 
Ceabar durch die den beiden 
Mm Polflächen gemoinschrift- 
ichen Punkte gicichtalis erfüllt 
nrd. Man ersieht hieraus ein- 
■alf dasis dies :i \\\ m tue h «* n 
rinkteu einer (icraden 
^liglick einer gegebe- 
Ma Fläche entsprechen- 
■•• P u I f I n c h e u d i c s c I b e 
ScbiiKkurve haben: ferner 
gebet die li e r \\ h r u n 1; s k u r • 
Vit ti n ni 1 1 i c h e r v d n P u n k 



Jede der Ebenen, welche ei- 
ner gegebenen Fläche und der 
einer gegebenen Ebene ® bezüg- 
lich ihrer entsprechenden Pol- 
(läche gcnioinschaftlich sind, hat 
ihre harmonit$ch mittlere Ebene 
bezüglich der gegebenen Fläche 
nach Oliigom durch den Punkt 
gebend, in welchem sie letztere 
berührt, aber auch in \t selbst. 
.Man siebt hieraus, dass die 
Ucrührungskurveeincr se- 
gebe n e n V lache und d c r a b • 
u i c k e li> a r e n F I ä c h c , w e i c h e 
durch die der gegebenen 
Flüche und der einer so- 
gcbenen Ebene bezüglich 
ihrer zugehörigen P 1 - 
f 1 ü c h e g e m e i n s c h a f 1 1 i c h e n 
Ebenen bestimmt ist, zu- 
gleich die ^>chnittkurve der 
gegebenen Fläche und 
Ebene ist. Sind ferner f = 
und /'" = die Gleichungen der 
zwei Ebenen (E' und (£" in Be- 
zug auf die gegebene Fbäche 
entsprechenden Polflächen, so 
ist kf + !»/•" -^ die Gleichung 
der irgend einer andern Ebene 
durch die Schnittlinie von \t' 
und iB" entsprechenden PoHI.'iche, 
weiche ofFenlMr durch die den 
beiden ersten PolÜächen gemein- 
Michaftlicbcn l'.benen auch erfüllt 
wird. Hieraus ersieht man ein- 
mal, dass die summt liehen 
Ebenen eines itüscbels be- 
z ü glich ei I» e r gegebene n 
I ' I a che e i> t s p r e c b ende u 

P(»l flächen von derselben 



224 



Dietrich: Analptiscn-geometriache Parallelen. 



ten einer Geraden aus ei- 
ner Fläche nter Ordnung 
umscIiriebenenKegeldurcJi 
dieselben n{n — 1)* Punkte. 



Ist der Punkt v im Unendli- 
chen, also wenigstens eine sei- 
ner Coordinaten und hiemit q 
unendlich gross, so haben in 
der Gleichung (21) bloss mehr 
die mit der höchsten Dimension 
dieser Coordinaten versehenen 
Glieder Bedeutung und dieselbe 
reduzirt sich dadurch, wenn die 
Zahlen A> jit, v die Verhältnisse 
der Coordinaten von |l zu dessen 
Abstand vom Coordinatenanfang, 
also die Cosinus der Winkel 
der diesem unendlich fernen 
Punkt zustrebenden Geraden ge- 
gen die Axen ausdrücken, auf 



abwickelbaren Fläche b 
rührt werden; ferner habi 
die Schnittkurven sämn 
lieber demselben Busch 
angehörigenEbenen mite 
ner Fläche nter Klasse 
n{n — 1)2 Punkte an dense 
ben BerübrungsebeneD di 
Fläche. 

Geht die Ebene S durch d< 
Coordinatenanfang und ist ab 
wenigstens eine ihrer Coordlw 
ten unendlich gross, so habe 
in (21) bloss mehr die mit de 
höchsten Dimension dieser Co«' 
dinaten versehenen Glied« Be* 
deutung und dieselbe rthurt 
sich daher, wenn die Zahl« ^ 
jii, V die Verhältnisse der Coir- 
dinaten von (E %um recipreto 
Abstand dieser Ebene vomCitr' 
dinafenanfang, also die Coshni 
der Winkel der Normalen tm 
S gegen die Axen ausdrilcfctt 
auf 



als die Gleichung der Polarebcne als die Gleichung des Poles ei 
eines in der Richtung {k, ft, v) ner durch den Coordinatenao 



liegenden unendlich fernen Punk 
tes. Für die Schnittpunkte p' 
dieser Ebene mit den letzterem 
Punkte zu strebenden parallelen 
Geraden gibt die Gleichung: 

?>JL + £>?+....+ £>-"==o 

wegen ppi = Vp« =.... = x die 
besondere Beziehung: 

V'Pi + P'P2 + • '+P'pn = 0, 
wonach p' so zwischen den Punk- 



fang gehenden Ebene. 



^^P DinrUA- ItialffUicä- 


geomeiTHche Patalltlen. 225 


■■• Pn P%< pm Hegt, dass 




iHQ Abatkud« von den 




(»einer einen S«ile lie- 




<>d«i> dieser Punkte die- 




Ibc .Sammu fanbtiD. nie 




■ •iDC Abalündevandcnauf 




^^ftandern Seile lle^en- 




^^K Nacb iltrser Eigcnscball 




^^■t BMn die ElMüie (.!4) atitli 




^■ivr RicIXiins (k. f.. v) xu- 




^^^Bllge üi ante Ira leben« 




^■riivhe. 




^^M( (M (22) gegebeuc AuH' 


Uv%\ die Ebene C nnendlieb 


^^^Bt Ar ^ »Irdouch noch un- 


fem, sind also ihre Cuordinalen 


^^■Rgtg Ton der Ricbluni; (n. 


Null, M erhall die (ilcichung 


^^B ■nendlicli fi!r ntle Lage» 


C-M) die Geslall: 


^^^Kil welche den (ileicbttngen 




■^=0. «=0, %=0. 


('■* + "-^+4,> +'■"="• 


,i<ri:liw!iliB Reniigwi. Hiodurch 


welche den Coordinnten des Po- 


1 im Allgemeinen (n— !)• 


les von <e die Werthe gibt: 


.'.vltminl, rar »eiche In 


''/■. - rf/i , df, , 


iiung der »lurcfigcbcn- 


-^■■fo-—k--^^--^'-r^' 


^^K 1 


die unabfaAiigig sind von der 


«t+i^+.... + -^ = o. 


KiL-hInng der Normalen der un- 


^^P Vi Vpn 


endlich Vemen Ebene, also Tdr 


^H( rilB Sttiuine der reci- 




f>*«hci> AbaUndeelueit Bül- 


liererii. Ua die Axe jedes durch 


l-an Pankirs »un den ei- 


eino unendlich ferne Ebene ge- 


1 «crieilc ton Him bclind- 


legten Büschels gleichfalls im 


^^■ita Scbnlttpunkten der 


Unendlichen liegl, ao siiid die 


^B beliebiger KichtutiK 


)iinerhall> irgend nelcberUrenien 


^^■^gflhenden (Bernde» 


liegenden Ebenen eines eolchon 


^^■jb|Mtcfae dieoelbe it>t. 


ftüoL-hels |<nrallel und gehl fflr 


^^^^^^M 1 D e I 


xiu diu ße/iebung (8) über in: 


^^^^■äl >en den eufder 


\ 1 fl, I .... + a„=:0. 


^HAien. Nach dieoer Eige... 


no ä,, St die Abelfinde der 


^^Wl acnnl man die durch die 


pAnitldebenen fJ,. £« von 


^^^BHK^)boa(iiumten (n-lj* 


(C Kuedfflciten. Der durch obige 


^^^■b« 


(ileichuBgen beetiniinte allen un- 


^^^^Kftle der 


eudlicb fern gelegenen Ebenen 



226 Dietrich: AnalytUclt- geometrische Paiallelen, 



gemeinBchaftllche Pol liesfiglkl 
einer gegebenen Fläche hat da- 
her für letztere die Eigenachafl; 
dass seine Abatftnde ▼•> 
den einerseits von ihniiie- 
genden irgend einer Ebcie 
parallelen BerOhrungtabe- 
nen der Fläche dieselbe 
Summe haben, wie neiie 
Abstände von den aafiler 
andern Seite befindliebep 
dieser Ebenen. Er ist alM 
ein Mittelpunkt derFllcbe. 
Diese von Chasles ueai er- 
kannte Eigenschaft seifet» diu 
alle Systeme von paraiJr 
len BerGhrungsehentifi* 
ner durch Ebenen bescline- 
benen Fläche, so wie alle 
einer solchen umscbrWt 
benen Cyiinder einei g«' 
roeinschaft liehen Mittel- 
punkt haben. 



Durch Erweiterung des Begriffes vom harmonisch reittlerefl i 
Punkte oder der harmonisch mittleren Ebene eines Systems vo* 
Punkten oder Ebenen bezüglich eines gegebenen Punktes eto 

Ebene gelangt man zu einer Theorie der höheren PolarflidMi} j 

als deren Gleichung nach der für einen harmonisch mittleNi ^ 

Punkt der Ebene angenommenen Bedingung: j 

''o "T ^i l — + 1- . . . . Ir 0ft * I r • • • • T r • • • • I 



\ QiQ2Qa ß 



oder mit dieser identisch: 



WO die Coefficienten gewisse Funktionen der Zahlen a sind, ikh 
mittelst der Beziehung (12) ergibt: 



7.fl\»ehf lUfTTAohedtmnmtmegtTnähnnt.eu Prlwt.u.Pt/fBm.'^il 

+ l<-.(<'-'')s + ("-»'ls I (i->'),^,)V+.... = 0. 

Eilt« UnlersaehuD^ dieser Flflchen, von Mekhen dieS«)- 
noB'Bchen Poiaten, ho wie eine anticre liir die Theorie derKrO'ni' 
ODOX der Fluchet) tvichligc Klasse Specialilälen sind, niiiss hier 
il«» beschritiikten Raumes ncgen unterbleiben und bleibt einer 
■üdco Gelegenheit vorliehallen. 



tMe Trägfacitsmomente geradkantiger, krummkantiger 
und gewundener Prismen und Pyramiden. 

Vnn 

Herrtl Dr. Eduard ZeUsche, 
l,*hmr nn der Un\]-\. bülirrn Gcwtrtiichiilr in Chemnid. 



^Smi 



g. I. Begrtl'fsbcslimmungen. 

W»nn man das Gesolz, nach welthem die Prismen nnd Pyr«- 
len gebildet sind, erweitert, so (iährt es zu einer Klasse von 
eiche in der verallgemeinerten Bedeutung des Wortes 
meti oder Pyramiden genannt werden mögen, je nachdem 
ihnen die in einer gewissen Hichlung pHratlcl gelegten 
ichnitle BÜnimllich conurnent oder blos ähnlich sind. 
Im Volumen dieser K<ir|ier wird stets Gbersirichen *), wenn sich 
hblcher Querschnilt Q von ver&ndirlicber oder unveränderli- 
' Gnlsse Tortacb reitend bewegt und nach Bedarf zugleich in 
Ebene dreht. Nehmen wir an, dass ein Punkt (der Axial- 
kt) des Querschnittes sich blns Tortschreilend bewegt, so ist 
Weg eine gerade oder hrumnie Linie, welche Axiale 

wri Dd<'r mehr Mal 



1 



228 Zetzscke: Die Trägheitsmomente germdkantiger, 

L Dreht sich der Querschnitt bei seiner Bevregnng nicU, 
sondern haben alle Querschnitte dieselbe Lage gegen ihren Aiial- 
punkt, so entsteht: 

1) bei unveränderlicher Grosse der Qoerschnitte 
ein gewöhnliches gerad kantig es oder ein krammkantigef 
Prisma, je nachdem die Axiale gerade oder krumm ist; 

2) bei veränderlicher Grosse der Querschnitte eise 
geradkantige oder krummkantige Pyramide*), je bmI 
der Beschaffenheit der Axiale und dem Gesetz des Wachsen« im 
Querschnitte. Dabei sind die Querschnitte unter einander ihnndi; 
vergl. dagegen §. 17. 

II. Drehen sich dagegen die congruenten oder ähnlichen Qocr- 
schnitte beim Fortschreiten auch gleichzeitig um ihren Axialpookt* 
so entsteht ein gewundenes Prisma oder eine gen-vadese 
Pyramide **). 

Die Masse dieser Körper ist nach einer einfachen Foraeifl 

ermitteln, da das Volumendifferenzial ein Prisma Ober Q zsJfJJi^ 

und von der Höhe dh ist. Ist (i' die Masse des Raumelemcifcf 

d^t'dy'dhj so ist 

dhffii'dx'dy' = tiQdh 

die Masse des Volumendifferenzials dV^zQd/i, und die MuM 
des ganzen Körpers beträgt: 

I) M=f(iQdh, 

wobei ^ und Q Functionen der Coordinaten des Axialpunktessisil« 

§. 2. Einige allgemeine Formeln für das Trägheils- 

m o m e n t. 

Bei Benutzung eines dreimal rechtwinkeligen Coordinaten- 
Systems findet man fCir eine durch den Coordinatenanfaig 
O gelegte Drehaxe D, welche mit den drei Coordinatenaxen die 
Winkel a, ß und y macht, das Trägheitsmoment nach der ForoMl 

^' =jQ(/"f*f^* + »y*+2* — (a:cos« + yco8/3 + 2COsy)*]«?jrrfyrf2, 
wobei fi die Masse im Punkte P=(x,y,2) bedeutet. 



*) Eine elementare Behandhinf; einEelner dieser Körper findet 
in: Martns, kegelt chnittkanCige Pyramiden und korvei' 
kantige Priimen; Berlin 1863. Ons TrägheiUmomenC für eilige 
solche Körper babe ich bereits früher (im 5. Jahrg. der ZeUschclft 
für Mathematik und Physik S. 2<U— 206.) mitgetheilt 

*^) Das Beiwort ., gewunden'' braucht anch Matika fär äholld» 
Körper; vf^\. Archiv für Mathcm. u. Physik. 37. Theil. S. 164» 



krummkatiUger und gewundener Prismen und Pyramiden, 229 

Errichtet man nuo in O eine Normale OiV=v= V^a*+b* + c* 
aaf der Drehaxe D^ wobei a« b und c die Goordinaten des End- 
punkte« iV sind, so hat man: 

3) . . . SS PC0S(P, />) = acOSO-f ^C0S/} + CC08)'. 

Da nun IGr ein dorcb N gelei^ttfs paralleles Coordinatensysteni 
die Coordinaten von P 

^1=^—«. y, =y— 0, 21 = 1 — c 

sind 9 so erhält man als Trägheitsmoment desselben Körpers für 
eine durch N parallel zu D gelegte Drehaxe />': 

^i =jQ!r^[*i* + 3^i* + *i'-(^i cosa+yi cos/3+ZiCosy)«]Arrfyrfz, 
und hieraus wegen 3): 

T^ = T-2/(aa? + B.v + tt)^^/ + («•+B«+ c*)fdM\ 

bat aber der Schwerpunkt des Körpers in Bezug auf O die 
Coordinaten |, 17 und ^, so ergiebt sich : 

4). . . Ti = T-2(aM-B»; + cDAf + p«;il 

= 3r-[aC2J-a) + a(2iy-li) + c(2f-c)]Af. 

Bezeichnet man mit r» t} und ; die Coordinaten eines andern 
Punktes O' der Geraden D' , so wäre: 

= p.O'iV.cos(p, Z>') = a()r-a) + a(t?— 6) + c(j-c), 

p« = a*+ 6« + c« = ajr + 61) + cj ; 
ferner ist: 

ÖTV* = (r-a)a + (t?-a)« + (}-c)», 

O'N = (jr — «)cosa + (D-- ^)cos/J+ (j — Ocosy 
= jrcoso -f t)cosß-f ?cosy, 

und daher endlich: 

« = jr — (yco8« + t)cos/3+jcosy)cosa, 
b = I) — ()rco8a + t;cos/3+|cosy)cos/J, 
c =>*— (rco8a+t)cos/3+}cosy)cosy; 

ö). . . Ti = r-[r(2S-jr) + D(2i?-D)+|(2J:-j)]Af 
+Dfco8«+t;cos/J+jco8y][(2g-jr)cosa+(2i?-t;)cos/J+(2t-j)cosy]ilf. 

In dieser Formel, welche sich auch unmittelbar aus 2) ent- 
frickeln lässt, sind also T| und T die Trägheitsmomente dessel- 



230 Zei%sche: Die Trägheitsmomente geradkaniiger, 

ben Körpers für zwei parallele Drehaxen />' und D, von deoti 
D durch den Coordinatenanfang, D' durch den Punkt jr»9rl6dit. 

Unter den Vereinfachungen der Formeln 4) und 5) sind beaoi- 
ders zwei bemerkenswerth » zu denen man u. A. auf folgende Weite 
gelangen kann: Fällt man von dem Schwerpunkte iS des KSrpcn 
ein Perpendikel auf p herab und subtrahirt man p von dem Stflete 
von p , welches zwischen O und dem Fusspunkte des Perpeodikdi 
liegt, so bleibt die Entfernung k des Schwerpunktes des Kurpen 
von einer durch N gelegten, auf ON senkrechten Ebene übrif; 
nun ist k= OS.coa(p, 05)— v» 

a^+bri + et =zp. OS, cos {p, OS)^p{p + k), 

folglich wird : 

6) Ti = T'^p(2k + p)M. 

Liegt nun der Schwerpunkt 5 des Körpers in der dsfch D 
gelegten und auf OJS senkrechten Ebene, so wird k^i—P^äi 

7) 71 = T + p^M; 

liegt dagegen der Schwerpunkt des Körpers in der durch 19 oJer 
/>' gelegten und auf OiV senkrechten Ebene ^), so wird 
k=:0 und 

8) Ti = T^p^M. 

Aus 6) erkennt man zugleich, dass die Differenz 7\— f nn- 
verändert bleibt, so lange p und k dieselben sind; man kasn 
also D oder den Körper um Oj/V drehen, ohne dass sich Ti-T 
ändert. 

Die Punkte a, \>, c, f(ir welche die Formel 8) gilt, liegfQ 
zugleich auf der Ebene acoso-f l^cosj?-{-ccosy = 0, welche darcb 
O geht und auf Z> senkrecht steht, und auf der Fläche a^ + h^-^tl 
= p* = a* + l^*+ c*; verrückt man den Coordinatenanfang von 
nach der Mitte von OS, so werden die Coordinaten von N: 

t| = c ^4f, 

und die Gleichung der erwähnten Fläche a^ + htf + cj^ = p^ wird 
nun ai* + l^i* + c,«=i(J« + i^« + J«), woraus man erkennt, dM« 



*) Die Gleichung dieser Ebene lautet bekanntlich : 

xa-i- yh + zt = p*; 
liegt nnn der Schwerpankt in dieser Ebene , so ist auch : 

SÄ+i7b + {r = p» = ft« + b« + c«. 



/tnttuiuHnuiffffr um/ i/firiiiitliriier FrUmeit \iiiii Pyriunlden. 23) 

r Flicb« eine Kugelflnche um die i\lilt« der Ceraden OS Ut. 
r lieieoTi die Punkte Ti . für «reiche die Pflrmel 8) gilt, auf 
I Krrisc, der diiTch i) geht und deaseii Ehetie eii D senk- 

"Fgl; oder dit Urehajen />", ffir «eiche 7', = 7'-v'itf iet. 
I die MartlciriJJcho eines ceradeii K reiscylinders, 

1 E(KPii[;en(lä die Drvhaxe /> ieil, desaeii geometrische Axe 
iernile t}is lialliirl und deasen GrundJliiche den Halbmesser 



r l' + '^' + E*— (5cn»o + ')CosjS + fcos)-)» bat. 

I daiiei v conslant sein, so tduss Vi im Durchschnitte 
IbridMi Etieiien den«« + ltcnii|J+ tco8j'=0 und o| + l»i?+fJ=p' 
b der Kusellläche «* + 6» + £«=p« liegen: also giefat es nur 
Alcbe l'uiikte. Die Verbindungslinie beider Punkte sieht 
ikreclil BuF der Ebene />O.S. 

I,ä«tl «lagpgen allgemeiner die UilTerenK 'jf', — 7' vonslant, 
I =C*.I/ -wi. so miis» fl(-2£-«) + D(a,;-b)H(2f-t)=— r« 
dn <lie«N die (•leichung einer KugeKIfiche um ■!> näl deiu 
= V> + jj' "+"£= + (-•» ittt und da gleichzeitig 
n-f licuiij!^' rrosy^ti noch errCillt sein niuss, so liegen alle 
\ D' , rOr «clehe 7', - 7" toostniit ist, in gleicher Ent- 
buitg füll ili-r -IM D und D' |iarallelen Schtreraxe; diese En(- 
; i-C «her 

i'C'+S»i i/'fr'^dtosK+jjcos^+Icös^» = VT^H e», 
I lile Enirernung des Schwerpunklvd von der Drebue /> 

lUi man voi> iV ein Perpendikel auf die Ebene DOS unit 
t irafe «n O aus nach irgend einem Pnnkte iV„ = (flu. Sq, („) 
» PeqwidikeU die <>crnde Vn< so ergiebt sich leicht: 

cJVA„.OScos(i\'ff„, OS) = (o-Bo)H (t-6o)») + U-'o)£. 

( hl daher das Trügheitsmoinent 7'(, für eine parallele Ureh- 
■rcb den atidern Endpunkt von p,,: 

: , . . 7;= 7-, H-(Vo*-V')M 



Fffrme 


1 lü 


da> 


T 


ägüeil.n 


omu 


,1 B, 


adka 


liR 


mLam 


ger 


iiud 


B« 


niiiiileije 
mlilen. 


Pr 


siBen 


und 


Py 



t Hilfe der in §. '2. entivickelten Pornicln lügst sich leicht 
■quvme «llgcmcinc Formel ßfr das Trägbeitsmimenl der in 



232 Zetzsche: Die Tulgheitsmumenle geradkanti§€r, 

§. 1. charakferisirten Körper in Bezug auf eine anter den Winkeh 
a, ß, y gegen die Coordinatenaxen OX, OV, OZ geneigte, durcfc 
den CoordinatenanTang O gelegte Drehaxe D entwickeli. 
Bezeichnet man nämlich mit v den Abstand des Raumelementet 
dV=dx'dy'dli von der Drehaxe, so ist das TrägheitsnionieRt 
eines zu der in Rede stehenden Klasse gehörigen Körpers: 

T=:fdhJfv^(i'da^'dy'=frdA, 

wobei T* genau so zu entwickeln ist, wie das auf die Drehan 
D bezogene Trägheitsmoment der in dem Querschnitte Q ver- 
theilten Masse 

^.Q^ff^'ilx'dy'. 

Anstatt nun aber das Trägheitsmoment T' in Bezug Bof D od- 
mittelbar zu entwickeln, bestimmt man besser zuerst das Träg- 
heitsmoment T" derselben Masse jttQ für eine durch den Aiid- 
punkt 0'(=r>t), ;) gelegte Drehaxe D' , welche zu D parallel iff* 
Man hat dabei den Vorthcil, dass man bei der EntH-ickeiang m 
T" ein ("oordinatensyslem benutzen kann, bei welchem die Eit- 
wickelung selbst möglichst bequem wird, z. B. ein System XTt^ 
bei welchem 0*Z' in O' auf Q senkrecht steht, währeod tue 
O'X' und 0*Y' in Q selbst liegen; ist die Drehaxe ff f^ 
die Axen O'A', OT und O'Z' unter den Winkeln o*, ff wAi 
geneigt, so ist: 

T" =Lff^' [^" + y'*- (^' cos a' + xj cos /?')«] dx' dy' = ^«^. 

Da nun alle Qucrscbnitto hbnlich sind, so findet man nicht allein 
Qy sondern auch den Trägheitshalbniesser q eines jeden Quer- 
schnittes nach derselben Formel und zwar q als Function ▼on 
r, t), } und von «*, /3', y' . Die Winkel «', /3', / aber lassen 
sich durch a, ß, y und r, t), } ausdrücken, und dann kann man 
T' nach 5) aus T" entwickeln; setzt man endlich T' in T=fT'dk 
ein, so erhält man: 

10) T = /(iQdh [pM- jr (21, - r) + I? (2i7, - 1?) + ? (2fi - j) 
-trcosa+iKos|3+}co8yll(2|,-y)cosa+(2??i-D)cosj8+(2f,— j)cosy|]. 

Auch die in dieser Formel enthaltenen, auf O sich beziehen- 
den Coordinaten || , 17, , ^, des Schwerpunktes S* des Querschnit- 
tes Q wird man in den meisten Fällen nicht unmittelbar, sondern 
bequemer aus den auf O'X' und O' ¥' bezogenen Coordinaten f 
und fi' desselben Schwerpunktes S' bestimmen. 

Machen nun O'X', OT und O'Z' 



krummkan/iffer tmd gewundener Prismen umi Pyramiden. 235 

weldie mit der -|- Seite von OY ebetifalls den ^9 einschliesst, 
ale positiv, so wird ^y^\n-{'(p, Xv = 9'> X' = "~ (i^ ~" 9) » «iaher: 

cos a! = cos a cos <p + cos /? sin g? = sin / cos ((Pq — g>) , 
cosjS'= — coscr8in9>-|-cosj3coB9>=sinysin(9>o — 9)), 
; cos/ =cosy. 



($1 -Jf)sin9+(iyi -t;)cosg) = V 
(ii - Jf) cos 9) + (lyi -I)) sin 9) = J' 



5i =y +|'co8 9> — 1/' siny, 
^^i = t) + 4' »in 9 + ^' cos gj, 



dabei ist 90 «'^^ Winkel zwischen OX und der Projection der 
Drehaxe aof die Ebene OXV. 



1. Das Trägkfitsmoineiit einiger Linien und Flächen* 

§. 4. Homogene Gerade und Kreisbogen. 

Den Ausgangspunkt für die nachfolgenden Hetrachfiingen 
bUden die Gerade und der Kreis. Bei beiden ist der Querschnitt 
ein Punkt« daher ist in 11) p = 0, ^i=^X, ^i=t) und 2 = zu 
setzen, wenn die Gerade oder der Kreis in der AK*Ebene liegt; 
die Masse in der Länge I der Linie sei ft. 

A. Läuft die Gerade parallel zu OF durch einen Punkt 
der X'Axe, welcher um a: von O absteht, so ergiebt sich: 

13) T=Jlf[Ä«sin«a+i2^^^^sin«/5-a:ä^^^^=^^cosacosi3], 

Vi^yo yi"".yo 

wenn die Endpunkte der Geraden um ^| und y^ von OX ent- 
fernt sind. 

ß. Aus dieser Formel lässt sich leicht das Trägheitsmoment 
des Umfangs eines regelmässigen Vielecks von 71 Seiten 
ableiten. Macht nämlich die Projection der durch den Mittel- 
punkt des Vieleckes gehenden Drehaxe D auf die Vielecks- 
ebene mit den von dem Mittelpunkte des Vielecks nach den Sei- 
tenmltteln gezogenen Geraden r die Winkel Uj , %, U9,..*.tfn, 
mit den Seiten selbst aber die Winkel tOi, w^y tc^.... tOn, so ist: 

«» = «1 + —, W| = 2+tti» 

!%*=«»+—* fot ÄS ^ -f fi, etc. , 



2w ^ . 2» 



n ' ' n 



1 

236 Zetzsc/te: Die Trdgheidunomeme gei udkanliger, 

daher macht die Drehaxe ü mit jenen Perpendikeln r die WiB- 
kei ay, Og» as....crfi und mit den »Seiten die Winkel j^i, /^i> /la *•*• 1^ 
für welche 

co$0| = sin^'costci, cosj3| =8inycostO|= — sioi^siniti, 
coscr^ = 6in}'cosu2» cos/S^^ — sinysintis etc. 
ist, und man findet bei der Seitenlange / nach 13): 

T=fi/r»(8in«a, +sin««2+...+sin«a„) + i'sfi /8(sin«ft +8in%+...+sinW 

!r^sin ^y 
r^ + A/* ^(cos*ii| + cos^i/a + .... co6%Im) 
9t 

/'^sin^v 
— A ^(sin^iii -f sin^-f • •• -f sin^ij] 



9t 

— 4(r*— 1 1/*) sin *y (cos 






Da nun die Winkel 2u| , 2i£2 •••• 2t<n eine arithmetische Reihe biliei^ 

47C ll**l 

deren Differenz — und deren letztes Glied 2ufi = 2ti| -f-4ii ---~ 
ist, so wird cos2tt| -|'C0s2u2 + ..**-f cos2ttn=0 und man erUH*< 

14) 7'=V«Ä(P+12r«)(2— 8in«y) 

= l MR^ (sin ^ + 3cos»-) (2 - sln«y) = \MR^ (2 + cos — ) (2-sra«y). 

W 7* 91 

wobei R den Halbmesser des umbeschriebenen Kreises bedeutet*, 
das Trägheitsmoment dieses Kreises müsste also sein : 

15) 7' = iyifÄ2(2— sin«y). 

C. Bei einem in der J^K-Ebene mit dem Halbmesser R um 
O beschriebenen Kreisbogen kann man 

jrs=:l2cosu, t)=:Asinf/, dh = ^ c&r«+rft^* = — Rdu 
setzen und findet dann: 

7'=— ^Ä»[sin«a / "*cos«Mi£t« + 8in»j3 / "'sin^tic^tf 



»o 



— 2 cos a cos ß I sin tf cos McbiJ, 



und hieraus nach Einführung von 2tf durch Integration: 



krftmmkaniiger und gewundener Prismen und Pt/ramiden, 237 

10) 

. sin'cK — 8111*0 Rin2/i] — sin2f/o ^eo82M, — cos'Jmo, 
' fcosttcosp ], 



2 «1— «o Ml— Wo 

wobei Vi und u^ die Winkel sind, \Telche ein nach dem Bogen- 
anCing und dem Ko^enendc gezogener Halbmesser mit OX ein- 
•cUiesst. Ffir n^^rzui -|- ^ crgielit sich daraus uicderum 15). 



§. 5. Homogene ebene Figuren. 

Ut die in der AT- Ebene liegende Figur durch die ßcvre- 
gmu; einer zur OY parnllelcn (veraden entstanden, so nimmt man 
för diese aus 13) am kürzesten gleich: 

^^9^ (jf,-WC^*sin««-^ ^-^J^cos«cosß H.yL_r:.J>_8in2^j 

aoil erhXlt dann, weil dh = dx zu setzen ist, sofort : 

17) 
r=|i/rf4(^i— yü)a:«sin2ß-(/^,« -^o*).icosf.cos/3 | \(yi^—Ho^)s\\\^ß\, 

eine Formel, welche man auch unmittelbar aus 2) herleiten kann. 

Der spätem Kenutzung wogen mögen einige l^eispicle folgen : 

K, Parallelogramm; Drohaxe duich die in O liegende 
Ecke; die Seite h liege in OK, die Höhe h sei parallel OX und 
^ie Seite a mache mit OX den Winkel J. 

yf^=zx\vi\\Ay ^1=6 + .rtan .-1, 

18) 
'=:J*[26«8in«/3 + 3 (tan Jsin«|3-cos«coÄ/i)6/i 

+ 2(sin««— 2tan .-IcosacosjS + tan*^sin*/?)Ä*J. 

Bezeichnet man den Winkel zwischen D und n mit a,, so ist 
c*ei| = cos« cos ^ -f cos/3 sin /l und desshalb: 

») r= J .H [26« sin«/J + 3 (sin.4 - cos cfi cos /3) ab + 2a* sin«a, ]. 

B. Dreieck; Drehaxe durch Spitze in O; die Höhe h liege 
^01, die Gmndlinie 6=6i-6,, sei parallel OY, 

yo = J ^. .yi = If ^' 



1 



238 Zet%sche: Die Trägheitsmomente geradkantiper, 

20) 
y = 4 Af [A«8iii*a — h (6i + 6o) cosacosi? + K6i« + Äi^o + 6o*)«"n*ft 

Bezeichnet man dagegen die Winkel, welche die Drehain 
mit den Seiten a und c des Dreiecks einschliesst mit tf| und 7^, 
so findet sich (vergl. 8. 203. des 7. Jahrg. der Zeitschr. f. Mathea. 
und Physik): 

21). . . r=:ii!l[a«sin%+cVm*yi — i&*««n«/J]. 

Bei entsprechender Aenderung der Integrationsgreoxeo ge- 
langt man leicht zu einer Formel filr das Trapez. 

C. Ellipsenquadrant; ^vählt man die Ellipsenasn all 
Coordinateuaxen und setzt man: 

;r = €1 cos Ut d:r= — a sin uduy yo^^O» ^1 = 6 sini^ 

80 wird: 

/<> 
du [a* sin *a sin ^u cos ^t — ab cos o cos ß sio '■cosi 

^'^ I i6«sin«|JAH 

4 

22). . . . T=:iM[a^s\n^a+b^8\n^ß---abcosacosß]. 

D. Halbe Parabelfläche; Scheitel in O, Parabelaxe in 
OX, also für die Fläche von a: = bis a;=a, 

23). . . 5r=Af[?a«8m«a+S6«sin«j3-4a6co8aco8/3]. 

E. Regelmässiges Vieleck s. §.7., 28., 

F. Kreisringfactor. s. §.8., 30., 



§.6. 

Homogene Mantelfläche geradkantiger Prismen. 

Liegt die Grundfläche des n-seitigen Prisma parallel zur JCF- 
Ebene und ist O der Schwerpunkt des in der AF-Ebene liege«- 
den Querschnittes^ dessen Seiten li, l^,».** U sein mögen; macht 
ferner die den Seiten parallele Schweraxe s des Mantels mit dea 
Coordinateuaxen die Winkel ai, ßuYu und ist demnach : 



krummkantiger und thtniiu!ener Pr/smeu und Pinnwiden :;HVI 

jr=|] = aco9a| , D = 9/i r= öco8/?i , 2=:acosyi, 
C08^ = COB(^,cj)=:cosa€08aj ^- cosj3co8/5i +cosycosy,, 

M-eiin der Punkt jrt^; um a von O entfernt ist: bezeichnet man 
endlich mit ^ den Trfigheitslialhiuesser eines Querschnittsum- 
faugs für eine parallele Drehaxe durch deti^en Schwerpunkt und 
führt man noch in II): 

QrM=:c20[/i6in(0»/i) | /«sin (a,/^) H .... f /«sin (ö, /»)] = ÄV/<y, 






ein^ 80 findet sich sehr leicht: 

•24) r = » [p„« + i -^^^\\u^»]. 

wobei die Schwerpunkte der beiden Grundflächen um a| und tfo 
von O entfernt sind, 

WSre s. B. die Cirundfiäche re^cininssig, so würde man für 
eine durch den Schwerpunkt des Prismenmantels i^clegte Drehaxe 
erhalten : 

25) T= « WJ^««(2 + cos^)C2 -Mn2y) + ij«8in«^ j. 



Homogene MnntelflSche geradkantiger Pyramiden. 

Die Spitze der Pyramide legt man nach O und die Grund- 
fläche derselben parallel zur AK- Ebene; sind ii, l^,,,, U die 
n-Seiten der Grundfläche und A| , A«.... hn die Hohen der ti- 
Dreiecke, welche den Mantel bilden, so ist; 

Bezeichnet man die Hohe der Pyramide mit h, die Seiten des 

Scbniites in der Hohe z mit li',l%...lm' und mit dhx,dh% dhn 

die ib entsprechenden Stflcke von hi,h^..,. hu, dann bat man: 

^- h~U~ k T.' 

dhi _hi ^Äj_ Aa dhn hn 

dt ~ h' dt~ h'"" dt — h' 



240 Zel%$che: Die Trägheitsmomente geradkantiger, 

I 

Sind ferner q und qq die Trägheitshalbmesser des Sdnüttw 
in der Höhe z'und der Grundfläche und zwar fthr eine DrebixB 
durch den Schwerpunkt des Umfangs des Schnittes und der Gr«d- 
fläche; ist endlich der Schwerpunkt des Schnittes uro c and der 
Schwerpunkt der Grundfläche um s von der Spitze entfernt, m 

ergiebt sich, weil ^= t^z und« =-7:, ähnlich wie io {.6. 



T=^[9.^^i^siii^]f' 



t^dz. 



26) r=4il/[eü* + f«sin«^] 

Wäre z« B. die Grundfläche regelmässig, so wfirde vegeiU) 

27) T = i /W [ J R^ ^1 + cos ~) (2 - sin «y) + ** «in VJ. 

Hieraus ergiebt sich aber sofort auch das TrägbeitsOMMit 
eines regelmässigen Vielecks von n-Seiten fCir eioe bcb- 
bige Drehaxe durch den Schwerpunkt des Vielecks, sofern 
nur « = setzt; man erhält dann: 

28). . . . 5r = i'«y!//2«^2+cos ^^V2-sin«y). 

Für krummkantige und gewundene Prismen- und Pyramiden- 
Mäntel werden die Formeln verwickelt, weil man anstatt iC einen 
längeren, nicht constanten Ausdruck erhält. 



§. 8. Homogene Rotationsilächen. 

Wählt man die Rotationsaze als Z-Aze, so wird xszzy^fi. 
Da die Querschnitte Kreisbogen sind, so ist q aus 16) xu ent- 
nehmen, und zwar kann man, sofern von einem Rotations« 
fläch ensector die Rede ist und daher tri und Uq constaot sind, 
p = iCV** setzen, wobei 

r> • 9 ■ • «/> ■ sin*«— sin*/J sin 2ti|-— sin2tfo 



tll-Wo 



•fCOSttCOS/} 



cos2«| — co s2t<o 
«1— tio ' 



-•» m 



krummkanUger ufui gewundener Prismen und Pyramiden. 241 

9ie Coordinaten des Schwerpunktes eines Kreisbogens ergeben 
lieb als 

V r P^i , sintci^sinti^ 

§1 = / cosifati=: -r=zAr, 

tto 

r /*"*.. costtj— costto „ 

^^ M sintiati= -^r=:-Br, 

«o 

Isteodlich r=:zf{z) die Gleichung eines Meridians der Rota- 
tionsfläche and setzt man zur Abkürzung noch 

N= (Acoaa — Bco8ß)co8y, 

so erhält man QrfA= — r(Mi —tio) V^c/r^+rfz*, und deshalb : 

29) 



«o 



■o 

A. Beim Kreisring-Sector, dessen innerer und äusserer 
Halbmesser Tq und r| sind, ist 2=0, wenn der Mittelpunkt in O 
liegt; daher ist: 

Qdh = — r («1 — iio) rfr, 
30) . . r=-^(i«,-.iio)4Cy"r»rfr=4^f(ri»+ro»)C. 



ro 



B. Jiei der Kreiscylinderfläche ist r = i2 constant, dh = dz, 
31). . . r=ilf[iC/2« + t-^>%in«y+iV?^H 

C. Bei der Kreiskegelfläche liege die Spitze in O, sei 
die Höbe =h, der Halbmesser der Grundfläche s=:R; dann wird: 

'=?-.v^T(g--=v'r;?=r, 

Jir=-i^(u,-«o)Fi?A. 

33) r = iJ#[lCÄ« + Ä»«in«y— 2ÄÄiV]. 

TheU XLIV. 16 



^ 



*\ 



242 Zetzscäe: Die Trägheitsmomenie geradhatUiffer, 

D. Bei der Kugel fläche vom Halbmesser R aus O \bU 



.2 



;!# = - (t (m, — «o) /? (xi — *«)• 



33) rsWliCßa + i^L £Q_(g5„,y_,^ 



+ S7V L--— r=^J 

E. Bei der Rotationsparaboloidfiache sei 1** = ^; 
dann ergiebt sich: 

AI = — ft («i — t/o)y rfi V^i»2 + 2/7X 

o 

= - |i f («|-«o) [ V p» + 2;,*» - p»], 

T= — (i (Ui — «o) Z' dx Srp»r2pi [Cp*+i«8iii«y-2iVi VVl 
3p AI ,^1 






-2A^ \^-2;> (^^! yfpH + 2;>Ä**- ip «A + 1;j) Vp'ÄT'Ilä* 

. ^'^^-r, 4A+P + 2 V2pA+4*»V 

Ist die letzleParabolordinale V 2/>A=6iitKlset2tman V7»*-i-2»A 
= H', fr» ersrieltt sich: 

34) 



T = 



- 6iVfÄ If' » - i(pH + ip») F ) - ,', /^oMognat^^"*"^^^' "*'^. 



krummkanüger und geunrndetier Prismen und Pyramiden. 243 

§. 9. Homogene CyiinderfiSchen. 

Nimmt man die erzeugende Gerade von der Länge ^j — ^^^ 
irallei zu OY, als Leitcur?e den Durchschnitt der Cylinderfläche 
it der Ebene XOY und die O' in der Leitcurve, so hat man 
IS 13): 



Q^ 



35) 

4 Jf* sin *o + X* sin *y— 2jr2 cos a cos y — (r cos a + z cos y) (yj + y^) cos/3]. 
A. Bei einem parabolischen Cy linder sei z^iAx^, da- 

jr Y ^ +Gjr) = ^^ + ^*^*' ^'S**'* "*»" """ yo=0 und 



■9 so erhält man: 



Vi +.4«r* 

M=zfil dx=:fiX, 

**• ^ , rco8a+i/4jr«cosy ^T 

-Ax^co^ct cosy- yi^^a^ ^^^'^J- 

36) 
= « [*^"-*^|^^-LV -^^ +iT*sioa« + ,i,.4%*sin«y~i^X^cos«cosy 

I I ~| 

^-^^cosycosßiAVl +^«jr«— jlognat(/4jr + Vl + A^x^) J- 
B. Bei einem Kreiscylinder, dessen Leitlinie durch die 

16* 



244 Zetzsche: Die Trägheüsmomente peratf kantiger^ 

Gleichung |r* + 2*=Ä* gegeben ist, sei yo=0 und 91=1; dawi 
ist: 

T = iiKpdx [(tßin«/3 + sin «y— cos y cos /3) (Ä*-jr«) 

+jr*8in*a — (2cosacosy + co8acos/J)3r V~Ä*— i*}. 

37) 
r=^/[(j8in«i5 + sin«y-co8yco8/?)(ß« — ijr«) + tjr*Bin«« 

+ i cos a (2 cosy + cos ß) J. 



IL Die Trägheitsmomente prismatischer Kdrpfrt 

§. 10. Homogene geradkantige Prismen. 

Am einfachsten gestalten sich die Formeln für eine Dreb- 
axe durch den Schwerpunkt des Prismas; wShIt naid** 
her diesen als Coordinatenanfang O und zugleich die den bnicn 
parallele Schvcerlinie s als Axiale, so wird: 

jr^li = ffcos€r2, t)rsrii=^öcosß2, ? = tfcosya, 

(Ih == dz = cos y^ da^ 

wenn die Gerade 00^=^a mit den Coordinatenaxen die Winkel 
a^t ß%» Y2 einschliesst; da nun der Winkel d' zwischen D uni 9 
durch die Gleichung 

cos ^ = cos (Z>, 0) =z cos CK cos «2 -f cos ß cos ß^ -f cos y cos fm 

gegeben ist, so erhalt man aus 11): 

T =i fiQ cos ya / ' ds [^«+ (cos^a^+cos^ + cos^y,) a«~ o^cos^l 
Die Masse M des Prismas findet man nach 1): 



/ + !• 
ds = fi Q« cos y2 9 



da endlich alle Querschnitte nicht allein congruent und partM 
sind, sondern auch sämmtlich die nämliche Lage gegen die dnrck 



kl ummkanttger und geicundener Prismen und Pyramiden, 245 

ihren Axialpunkt O' gelegte Drehaxe D* haben, so muss der 
TrSgheitAhalbmesser ^ für alle Querschnitte derselbe sein und 
man kann daliir den Trfigheitshalbmesser pi des mittelsten Quer- 
schnittes iiir die Drehaxe D in obige Formel einsetzen; man er- 
hält dadurch als Trägheitsmoment des Prismas 

38) ■ 7'=ilf[pi«+i',««sin«^]. 

Gans die nämliche Form hat die Formel aber auch dann noch, 
irenn die Drehaxe den mittelsten Querschnitt nicht gerade in dessen 
Schwerpunkte trifft. Vergl. 7) und 8). 

A. Parallel epiped; das Trägheitsmoment für eine durch 
eine Ecke des mittelsten Querschnitts gelegte Drehaxe findet man 
sofort aus 19), nämlich: 

39) 

T^^ ^[4a«sin«ai + 46*sin2/3+3a6(sini4 — cosaiCOS/3)+««sin«d]. 

Hieraus aber findet man leicht als Trägheitsmoment för eine 
durch den Schwerpunkt des Parallelepipeds gehende Drehaxe c 

40). . . . rrsAiffCaVm^-f^'sin^/J + Ä^sin^d]. 

B. Dreiseitiges Prisma; geht die Drehaxe durch die 
der Seite h gegenOberliegcnde Ecke des mittelsten Querschnitts, 
so ist nach 21): 

41) Tssr'i ilf [3<i*sin««i — 6«sin«l3 + 3c«sinayi +««sin«^] ; 

geht dagegen die Drehaxe durch den Schwerpunkt des Prismas, 
so findet man hieraas: 

42) r= ,*6 M [a* sin ««j + 6« sin «jJ + c*sin Vi + 3Ä*sin ^\ 

C. Prisma mit regelmässiger Grundfläche; ffir eine 
iUe durch den Schwerpunkt des Prismas ist nach 28): 

43) T = A itf [Ä* (2 + cos'^) (2 - sin *y) + **8in«^]. 

D. Prisma mit Kreisringsector als Grundfläche; 
i>ach 30) hat man für eine durch den Mittelpunkt des mittelsten 
'^ngsectors : 

44) r=4üf[(ßi«—Äo«)C+t««8in«^]. 

E. Prisma mit elliptischer Grundfläche; geht die 
■^rebaze dqrch den Mittelpunkt der mittelsten Ellipse, so erhält 
^n ans 22): 



24() 



Zet%sche: Die fräglieits^nomente geradkanliffer. 



4 

45) 7'=iiyLa«sin«a + 6«a.in*j3 a6co8acos/J + if«8in«^], 

wenn die Querschnitte Ellipsenquadranten sind; wenn Bit 
dagegen halbe oder ganze Ellipsen sind, wird: 

46) . . . . 7'=iif/[a2sin2a + 6«sin«i3 + t««sin«^]. 

F. Besteht die Grunrlflflche des Prismas (Balancier) aos 
2 congruenten ParabeH'lächen, welche zu beiden Seiten der 
Parabelaxe liegen und mit ihren letzten Ordinaten Eusammei- 
stossen» und geht die Drehaxe durch den Schwerpunkt dw 
PrismcVs, so findet man aus 23) mit Benutzung von 7) ond 8): 

47). . . 7'=ilf[Aa*8ino + i62sin«/? + A««sin*^]. 

§. 11. Homogene knimmkantige Prismen. 

Da sämmtlicbe Querschnitte congruent und auch in gldcter 
Lage gegen die durch ihren Axialpunkt gelegte Drehaxe ly fM? 
so ist auch hier p = ^i constant. Am bequemsten wählt man den 
Weg des Querschnittschwerpunktes als Axiale and et- 
hält dann: 

;if=fiO(z,— zo)- 

48) 
T=^ --_ / "'' f/s[^,*ifjr2H)« f 2« — (rrosa + t)cos|3+rcos7?l. 

A. DicQu^^rscImittc seien Rechtecke, deren Schwerpunkte \ 
auf eineiu aus O in AZ mit dorn Halbmesser R geschlagenen 
Halbkreise liegen; hier ist: 

t)=zO, r=V^/ü^^2^ pi2=i'.(ö2sin«ö+/>*»in«/J), 

49) 
T= ^J[(Ji^ + n^(\ —i cos*^«-i cos«y)]=^V[(?i*+4 /e«(28in«« + sin«/)]. 

B. Die Querschnitte seien regelmässige Figuren nod 
der geometrische Ort ihrer !\1ittelpunkte sei der Durchschnitt 
eines parabolischen und eines semicubisch*paraboli- 
schen Cy linders, deren Gleichungen: 



r* _ z __ Arn 



8 



I» 



hnimmhanliger und gewundener Prismen und Pyramiden. 247 
sein mflgeti. Aus 28) hat man: 

\ 

ninirnt man nun Zo=0, Zi=A, dann wird M^z^nQh und: 

7"= * /* * dt [#!« + a^sin «« ^ + 6« sin »l» V J 

+ 2* sin *y -T 2ci COS ö COS y V 

— 26 cos |3 cos y V 12 — 2a4cosacosjS V r 1* 

50) 
7*= il7[ft« + ia«sin«a+ ?6«sin«/3+iA«sinay-.|flAcos«cosy 

— ibh cos j3 cos y — f S «6 cos a cos jS j. 

§. 12. Homogene gewundene Prismen. 

Bei der Entwickelung des Trägheitsmomentes gc\iundener 
Prismen sind die Werthe von $| und ^i, af, ß* und y' aus 12) in 
11) einzusetzen. 

RQcksichtlich der Werthe von u* und ß' wird es oft von Vor- 
theil seiOj auF den Winkel 2(gpo — <p) iiberzugehen. In 11) sind 
ferner fA und Q constant, für dh aber ist dz zu schreiben. 

A. Die Querschnitte seien gleichschenklige Dreiecke, 
die Axiale gehe durch die der Seite b gegenüberliegende Ecke 
und falle mit der Z-Axe zusammen, also sei jr = 0=t); vollendet 
noo das Dreieck bei gleichförmiger Drehung eine Umdrehung, 
während die Spitze in der OZ um JA emporsteigt, so entspricht 
der Höhe z der Drehwinkel 

9 

weoD nan die Dreiecke die Hcihe, Ai haben, also nach 20): 

p« = i(Äi«8in V + A6*sin«/30 
isiß »o fiodet man weiter: 






<5 



248 Zet%sche: Die TrägheiUmomente geradkanllger. 



sin V= 1 — 8in«ycos«(9o— Ai)=^— 1^ -ico8C2g>o— iiVi)«««/, 

8ln«/J'=) - 6in«y 8ing(yo— iVO = ^ "^ 2 "^ +ico8(2g)o-2^«)8»n'r' 
j«= ~^'° ^ {hi* f ,V6«)-i(Ai«-t^6«)8in«ycos:C2vo— 2M); 

ausserdem ist hf=^\hi und V±=0, daher: 

li = } Ai Gos iVzf 1^, r=| A| sin Nz ; 
iiimmt man endlich Z|=iA= — Zq, so ergiebt sich: 



r= ^y ** dz[i(2-sinay)(Äi* + h 6«) 



"" ** - J ( Ai* - tV ft*) sin *y cos (2 ^o - 2iVz) + Ain ^ 

— f Ai z cos y (cos a cos Nz -|- cos /)tiB V:)). 

I 

51) r=^[i(2-sin«y)(*iH Aä«)+ ,UVm«y + ^ hh^tfiEfk^ 

B. Ist jeder Querschnitt eine Parabelfläche z« beifo 
Seiten der Parabclaxc, dann ist l'=zla, ri*=-Q und nach S3): 

schreitet nun der Scheitel der Parabel auf einer in der AZ- Ebene 
liegenden cu bischen Parabel fort, deren Gleichung t^i^ 
lautet, und dreht sich die Parabelfläche beim Fortschreiteo ti^ 
dass: 

sin9= ^ 

ist, dann wird: 

.2 2j .« 

sin*«' = sin ^ct \- C^ cos *« — t* V^ä^ — «^ cos «cos ß — iä cosV» 
in */3' = sin ^ß — 1^ ^^^^ *« + X ▼ A^— ** c«« « cos /3 + Wccs^pJ 



sin 



nimmt man nun 2q=0 und Zi=/<. so ergiebt sich durch Ei^ 
Setzung dieser Werthe in 11): ' 

&2) 
7'=^i[?a«sin^«+ i6«sin^/3 + (} a*-TV6^)(cos2a-.cos«/3— 2cosaca«ll) 
+ A /4aÄ«(2sin«a -3cos«cos|3) + iA«8in«y + \A^hH\A^ 

— |i4Ä*co8aco8y — f oAcosy(co8a-|-co8^]* 



krvmmkttniiger und gewundener Prismen und Pyramiden, 249 

Ui. Die TrägheitsmomeBte pyramidaler Körper. 

§. 13. Homogene geradkantige Pyramiden. 

Bei diesen Pyramiden laufen sämmtliche Kanten in eine 

Spitze zusammen; diese wähle man als Coordinatenanfang O und 

le^e die (>rundflftche Qi parallel zur A^F- Ebene; die Axiale \^\. 

Ana eine Gerade durch O; mit den Coordinatenaxen mache die 

Axiale die Winkel og, j?«. y2* ^^^ durch die Spitze gehende 

Schweraxe i aber die Winkel ffi» A.yi; man hat dann: 

cos ^2 ^os ^% 

t = 2 > I) = 2 » 

COS 72 cos ^2 

. COS tti COS jSfl 

'* COS y, ' " COS yi 

Die Querschnitte Q wachsen proportional den Quadraten ihrer 
AktiBde z von der Spitze, die Trägheitshalbmesser dagegen 
€iihdi proportional diesen Abständen; ist nun die Hohe der 
IpazM Pyramide = h und der Trägheitshalbmesser der Grund- 
ttcke Qx ^' ^>nc durch deren Axialpunkt 0| gelegte parallele 
Dnhaxe = pi , so erhält man : 

p=^,, «^=p2S M^-^J 2V2, 

«s 






/ 



»1 

2«rf2 

Sa 



«_„C08«i 00802 + COsßi COS fa ,___ 008*02 + 008*^2 
^ C0^y|C0S}'2 cos*y2 



^ gUC08 «2 + COS ff C OS 

COS 



osß^-\^QOs y QOBy^ r /2co8 o, ^ co8^a,\ 
^J^ LV cos/i cos y2/ 

, /2cosffi cos/32\ ^ , "1 

+ 1 -■- — — --jcosp + cosy |. 

^ \cosy, cosyt/ '^ 'J 

Ihcht aber die Drehaxe mit der Schweraxe und mit der 
^^ die Winkel d| und ^2' ^^^ Axiale mit der Schweraxe 
^ fca Winkel ^t , dann wird : 



;" 



:>r)0 Ze tische: Die TiüghoU^momeulc gemdhaNiiffer, 

_. 2 cos ^8 l cos ^4/2 cos ^ cos ^a \ 

~cos yi cos/jj cos^yj cos y^V cosyi cosy^ / 

2008-^5 — 2cosOi cos «^2 s'*^ *^2 

cos yi cos y2 cos ^/^ 

Wählt man die Scbiveraxe .f als Axiale, so hat man 

^3 = 0, 'Ö'i='^.2, yi =y'2> cosyi = zu setzen, folglich: 

cos *yi cos *yi A* 

wählt man dagegen die Drehaxc seihst als Axiale, daoa , 
wird djj = , -^3=0,, y2 =y und : 

Ar=:0. 

Als TrägheitsmoDient fiir die eanzo Pyramide aber «rhlU 
nmn (hei io=0 und 2i=Ä): 

54) r=M/(p,«+A'Ä2) = i;)7?o^ 

wobei ^0 <^^'* Träghcitshaihmcsser der Grundfläche fiir die Dreh- 
axe D bedeutet. 



§. 14. Homogene krnminkantige Pyramiden mit gerader 

Axiale. 

Am einfachsten legt man hier die Drehaxe D durch den PoiAl 
der zu den Querschnitten parallel« n A'F- Ebene, in welchem die 
Axiale diese Ebene schneidet, uahlt also diesen Punkt als Coec* 
natenanlang: macht nun die Axiale mit den (.'oordinatenaxen 
und der Drehaxe wieder die Winkel a^, ß^, ys. ^2, ist ako 
wieder : 

cos «2 . , cos/3« ^ 

r= - —: = .!: und 11 = --2 = Äi, 

cos y2 ros y2 

1 u«u 1- o 2COSO2C««/ sin*^2 

dann erhält man, wenn A = 2 — '- — — ;.— • sesetzt wird. 

cosy2 COS *y2 *"^**«^ ♦»"»» 



«="/■■ 



Qdz, 



%. 



55) 



T-^f Qth |e*+ A'i« + -— — I ?| (cos «2 — cos {^2 cos a) 

rns}2 

+ lyi (cos/Ss— cosO,co8/])(J. 



■_ t .\ 



hruminhaniiger und gewundener Prismen mid Pyiamiden 251 

Wesentlich einfacher gestaltet sich die vorsteheDcle Formel, ueim 
die Schwerpunkte der Querschnitte sSmmtlich in der Axiale lie- 
gen, dann ergiebt sich nämlich wieder: 



56) ^='»/"'«''*[^' + Si^'^*J- 



A. Sind die Querschnitte Rechtecke, deren Eckpunkt A 
in der Z-Axe liegt, während die Enden der in A zusammenstos- 
seodeii Seiten o und b auf semicubischen Parabeln liegen, deren 
Gleichungen 

sind, wobei Qx ""^ ^1 ^''^ Seiten des Rechtecks in der Höhe k 
liedeoten. Hier ist /«^O, a^^=s, p^-=.\n^ d'^^^y^ 

Q = «^ = ''i^p, ^~^ Ä»" / i^d2 = ifAaihik, 



z» 



p« = } (2o« sin «a + 26« sin «/J — 3aÄ cos « cos ß) 
= iC-Ai^ii^^a +26isin*j3 — 3ffi6iCosacos/J)T8> 

57) r = 4ill[}pi«+ iÄ«sin«y- AÄcosy(a, cosa + 61 C08j3)]. 

B. Die Querschnitte seien regelmässige Vielecke; der 
Halbmesser des umschriebenen Kreises in der Hohe h &ei R, in 

1er Hohe 2 aber r=^R\ -r, dann flndet man nach 28) und 56): 

p«=j^(2 + cos~)(2-sin«y)Ä«^ = Pi«|. 
JIf=lnsin(|)^/* zc/, = J«sin(?p)^Ä*A, 



o 



S8) T^m\9^-^W'^-l 

I. 16. Homogene krummkantige Pyramiden mit krum- 
mer Axiale. 

m 

Für diese hat man In der allgemeinen Formel 11) dh = dz 
B sretsen und jia als constant vor das Integralzeichen zu nehmen. 



252 Z einsehe: Die TrätjkeUsmomenle gei udkaniigtr, 

A. Die Querschnitte seieu Vollkreii$e, deren Haibroe«se 

T Z 

r nie beim Kreiskegel nach dem Gcf^etze ^ = 7 ivuchsen, derei 
Mittelpunkte aber auf dem Durchschnitt ziveier paraboÜAcherCyliodei 

liegen, «o dass -2 = t = t§; da ausserdem £i=)r und 171 =9 i«( 
so ergiebt sich : 

o 

T=^ I z^di [Pi * ^ + ^ ^2 + 2«sin«y— 2a6co8«(«^ 

— 2(acostt + 6cüs/3)2 Y tfCm/I 

59) r= yli [!p,* + i/t«6in«a + }6«sin«j3 + äÄ«sin^y - inbcosaco^ 

'—l{aQosa |- 6 cos /})&€<»;]• 

B. Sind die Querschnitte gleichschenklige Dreiecke, 
deren Grundlinie g parallel OY, deren Hohe k in O.Y' liegt und 
deren Spitzen sich auf dem Durchschnitte eines parabolischen und 
eines cubisch- parabolischen Cylinders beGnden, so dass 

J^ _^ £ 2* 

und wachsen die Querschnitte nach dem (lesetze — = j-=V7i 
dann erhält man : 



+ ^6*sin«/3+2*8in«y — «Y Ti^^^^\S ^^cos/J + rcoty] 
— y j6co8i3|(ay l^ + JÄ, Y |^)cofl« + zco«y^ 



krummhanUger und geuundmer Prismen und Pyramiden, 253 
60) 7'= i!/r«p,« + (Jfl* + j?iiAr,)»in2a-f |6«sin«i3 

— s6X'iC08crco8/7— f Acosy(26cos/?-f jAr|C08a)]. 

§. 16. Homogene geuundene Pyramiden. 

Auch hier (nie in §. 12.) sind die Werthe von || und 17,, 
o', /}' nnd Y'f <^"s I-) <" Formel ]]) einzusetzen, z. B.: 

A. WhhK 'iiian Ellipsen als Querschnitte, In88t man die 
Halbaxen a und b derselben so wachsen , dass 

ist, oncf bestimmt man, dass die Mittelpunkte der Ellipsen auf 
der OZ liegen, so erhält man einen gewundenen Körper, wel- 
cher dem dreiaxigen Ellipsoid entspricht, und es wird : 



— Ci 



Vollendet nun die Ellipse eine Umdrehung, wfthrend sie «ich auf 
OZ am Cx fortbewegt, so enti*pricbt der Hohe z der Drehungs- 
winkel 

2« 
und es ist Ähnlich wie in §. 12. A.: 

_ cjf— ^j.^ - B cos (2^70 - iVi)] , 



— Ci 



61) r= ilf [Ä(öi*+*i*) (2-sin«y) f ici«sin«y 

9 
+ 5|2^K*— 6i*)8«n*rcos29o]. 

B. Sind die Querschnitte regelroSssige Figuren, deren 



•2,b'^Zet%sche: MeTrfigheftsmomentefferadhantelc Pfism.u.P9ram. 

Mittelpunkte sämmtlioh in der OZ und deren Eckpunkte auf der 
Kus^elfläche r^=R^ — 2* liegen, so ist: 

da mm nach 28) 

ist, so hat die Drehung auf g keinen Einfluss; es ergiebt neb 
demnach für irgend welches Gesetz der Drehung 
Querschnitte: 

T- fiA f^ rUz [ Bt'^ + z^sin «y] = 5 ^^R^ [^B V sin *y]- 



-n 



§. 17. Schlusswort. 

Ausser den bisher betrachteten Körpern (Prismen aad l^ 
nnden) giebt es noch viele andere^ bei denen sich dorch üt 
Anwendung der Formel 10) oder 11) die Crmitteinng des Trtg- 
heitsnionients wesentlich vereinfacht. Einige Andeutungea A» 
dieselben rnugen hier genügen; zu einer weiteren Betrtdklm? 
derselben bietet sich vielleicht später eine Gelegenheit. Die Ai- 
wendung der Formel 10) oder 11) setzt voraus, das« sich ^ 
darin vorkommenden Grossen fi, Q, r//i, q^ || , rii, ^| durch & 
Coordinafen r, t), | des Axialpunktes ausdrücken lassen. Dien 
ist nun unter Andern auch noch der Fall, wenn die QaerschnWi 
zwar nicht congruent oder ähnlich, aber doch Figuren dersel« 
bcn Art, z. U. lauter Rechtecke, sind. Diese Körper wurdeB 
bei parallelen Querschnitten als drittes Glied zu den eben be- 
trachteten Prismen und Pyramiden kommen und etwa Pyiani* 
doidc genannt werden können. Es gehören zu ihnen z. ß. g^ 
wisse Rotationskörper, welche den Raum zwischen x^ 
verschiedenen Rotationsfläclien ausCülien und bei denen also dit 
Querschnitte senkrecht zur Rotatioiisaxe ringförmige Kreil' 
sectoren oder volle Kreise sein können; sonst lassen sich A 
Rotationskörper zu den in §. 14. betrachteten Körpern zählen. " 
Andere grosse Gruppen von Körpern erscheinen bei congmeDtA 
ähnlichen oder wenigstens gleichartigen Querschnitten, wens 'i' 
Querschnitte z. B. sich sämmtlich in einer Geraden scho^^' i 
den oder sämmtlich auf der Axiale senkrecht stehen«* \ 
dergleichen mehr. Als besondere Unterarten der eben genanntü j 
beiden Klassen können die schraubenförmig gewundene* 
Körper und auch wieder die Rotationskörper angesehen werdet* 



Kokides: F€hi,brid.§e9t§khi.ßer€Chm dfrAmfu Cnterpfinf^^ c 'yy,^ 

(«sondere Aufmerksamkeit erfordert dabei zum Theil die Fitfiatl 
Ir das V^olumendilFerenzial dV=Qdk; mitunter kann man It'M 
irer Aufstellung mit Vortheil von der (luldin'e^chen Reut*! He- 
raach roachen. 

leiiclitisaiis. S. 240 Z. 7. v. u. lies r=.n=0 statt j*— #/—(!. 



law. 

leber die Bcrücksichligung des Fehlers, welcher bei 
Berechnung der Auf und Untergänge der Sonne und 
es Mondes dadurch entsteht, dass der zuerst auf- oder 
Dtergehcnde Punkt des Randes des Gesiirns nicht 
enau die in den Kphemeriden angegebene Drolina- 
tion des 3iittelpunkts desselben hat. 

Vim 

Herrn Doctor D. K. Kokides ^ 

Adjnnrt Iiei dt-r Stfinv. nrtc in Atlieii. 



Bei der Berechnung von Auf- und Untergängen der 8oniie 
od des Mondes, wobei man Refraction und Halbmesser berü'ck- 
Iditigty darf man, besonders an etwas weit vom Aequator eut- 
^nrten Orten, eigentlicb aucb nicht unberücksichtigt lassen, dass 
1^ Punkt des Ramles des Gestirnes, der zuerst aufgeht, nicht 
^^selbe Declination wie der Mittelpunkt hat, welche letztere in 
Bn astronomischen Cphemeriden angegeben wird, und aus der 
^^B mit einem angenommenen genäherten Momente des Auf- oder 
^*^tefgaoges die Declination des Mittelpunkts für die Zeit des 
'^f* oder Unterganges mit hinreichender Schärfe bestimmen kann. 
"^ oben bezeiebneten Fehler kann man aber durch folgendes 
^HMireD beseitigen, welches ich anderswo nicht angegeben ge- 
(Qdsibabe. 

b iftchstebender Figur 



256 



ho kl des: Ueber einen Fehler bei der gev>öhnHchen 



H 




H 



seien UH der Horizont, ^P der fol der täglichen Umdrehmg, Z 
das Zenith des Ortes, also PZ der Meridian, 5 der Mlttelp«U 
des Gestirnes and D der'jPunkt des^Gestirns, der znerst u^ 
i;eht. Ferner sei 9 die Polhuhe des Ortes, d die Deelinati« tob 
5, gegeben in den Ephemeriden , also 90<>— d der Abstand foni 
Pole, 6 der Betrag der Refraction im Horizonte, R der Uiib- 
messer des Gestirns und n seine Parallaxe, welches sSmmtliel 
bekannte Grossen sind. In dem Dreiecke PZS sind bienad 
die drei Seiten bekannt, nämlich: 

PZ=90o— cp, PÄ=90*>— d, Z5=90o+(d+Ä-»). 

Durch diese Grossen wollen wir nun den Stundenwinkel ZPDszTt 
d. h. die Zeit des ersten Erscheinens der Sonne, bestimmeik 
Dazu nennen wir A den Winkel PZS im Dreiecke PZS. Um 
denselben zu bestimmen, haben wir in diesem Dreiecke: 

sin d = — sin (ö + Ä — «) .sin tp + cos (ö + 1^— tc). cos q>,co8A, 

woraus sich 

sind 



coaA = 



:« + *8(ö + ^-^)^9> 



cos(6 + R — 7r).cos9 
ergiebt. 

Indem nun im zweiten Gliede dieser Gleichung nor sind 
änderlich ist (wenn man die kleinen Aenderungen von R, n^ wie 
auch die Veränderungen von 6, welche sich vorher nicht besfiit« 
men lassen, unberOcksichtigt lässt), kann man A, besonders nrit 



HerechniiMg der Auf- und i'ulergänge der Sonne und des Mondes, 257 

Hfllfe der Gauss 'sehen Logarithmeo^ sehr schnell berechnen. 
Weiter sind nan in dem Dreiecke PDZ bekannt die Seiten 
PZ = 90«— 9, Z/> = 900 + und der Winkel PZD-A. Um 
BHD den Winkel T zu bestimmen, hat man mit Anwendung der 
Me per 'sehen Analogien, wenn TL den Winkel PDZ bezeichnet: 

tiri(r+ JI) - ctg4 i 5?^II9?!±^-(?0^Z^1 

lg 4( 1 + Ü; _ ctg iA . ^^^ , ^^yy^, ^ ^^ ^ ^y(jO^ ^)] 



ud 



fuKT m^rt.iA gSni[CJ 0O|-^)- (90o-y)] 
fg4Q/ -^^^-<5^8ii^-,.ini[(yöHö)+ (90^-ip)]' 



Horaiui nan T schnell berechnen kann, indem in den zweiten 
Gliedern dieser Gleichungen tiir denselben Ort nur ctgi^ verän- 
^friieh ist. 

Dm.den Fehler zu bestimmen, welchen man begeht, wenn man 
ta Dnterschied der Declination des zuerst aufgehenden Rand- 
pssktes and des Mittelpunktes vernachlässigt, hat man aus dem 
Didecke SZP: 

— M\n(R + 6'^n) = sin9).sind-|-Gos9.cosd.cos7^, 

mi dirch Differeiiziirung dieser Formel, indem man ö und T als 
fuiihd aosiebt: 

Os(siB9.co8tf— cos9).8ind.cosT).rfd — cos^.cosd.sin 7^.<2T 

ofar, weil 

^9. cos d — cos 9). sind. cos r=:cosi7.cos(6-|-/2— :r) 

cos(d + Ä — ») 



= 1 ist: 



.^ cos n.di 

dT= — 



cos 9>. cos d. sin T 

man ^ieht, dass fiir den Polen nahe Gegenden und id der 
Ittke der Solstitien, wo T betrSchtlich von \XP abweicht, der 
Fehler bedeutend werden kann. 

Db das Gesagte auf ein Beispiel anzuwenden, sei der Auf- 
üatergmng der Sonne fiir Athen. 1866. Januar 1 zu berechnen. 

Ob Euerst den genäherten Moment des Auf- und Unterganges 
SoBDe IQ bestimmen, um dadurch die Declination scharf 
flir die genauen Momente dieser Erscheinungen zu erhal- 
le •• 



258 Kokides: Fehl bei d, gewöhnt. Berechn, derAitf- v. Vniernänge etc, 

teoy berechnet man diese MomeDte mit dem in den Tafeln flir 
jeden Mittag gegebenen d> den Stundenwinkel T ohne Berück» | 
sichtigung von B , R und n und des Unterschiedes von 6 zwlscbet 
Mittag und den Momenten des Auf- und Unterganges. Dater 
dieser Voraussetzung ist ZiS= 90^, folglich: 

cos Ts:— tg^.tgd. 

Fflr unser Beispiel haben wir aus dem Nautical Almaiie 
f&r 1866 für Greenwicher wahren Mittag 9= -23^0'^ oder Ir 
den wahren Mittag in Athen (1* 34"*»9 östlich von Greenwich) alt j 
der im N. A. für Januar gegebenen stüiulJichen Aenderung \ft 
von d, d= — 23«0',6. 

Mit Hülfe dieses Wertbes haben wir ffir das geniberto T% 
des Aufgangs und Tu des Untergangs : 

r«= 12» + 4*43« d«= - 22« Wfi 
woraus f&r = 34S9, A=rl6',0, n — V,\\ 

Äa = 118« 69',6, iltt = 1 180 67^,0 

die genauen 

Ta = 4* 47«,9, Tu = 4* 48«,1 

folgen, und sich ergiebt, dass die Sonne in wahrer Zeit 

aufgeht uro 7* 12^,1 , 
untergeht um 4* 48»»,1. 

Will man diese Momente in mittlerer Zeit haben» so fiigt nai 
die Zeitgleichung 3^,9 för Januar I hinzu und erhSIt dadurch 

für den Aufgang 7* 16"* ,0, 
für den Untergang 4» 52">,0. 

Hat man mehrere Werthe zu berechnen, so muss man scblifli^ 
lieh die Rechnung tabellarisch zusammenstellen. * 



C. 



Mr;.- jreu* SnUticktl. tter ürundformelH dfr iphär. Attron. 259 



B Eotwickelung der Grundformeln der Bphärischen 
waiic mit rülUger Beseitigung jeder eigeottichen 
• Rechnung and mit verschiedenen Anwen- 
dungen. 

V..I1 
dem il ein US gell er. 



E i 



I I G 



I l u n g. 



Sei dwr Entnickelrini! iler Griiiidrormeln der sphfirischen Astro- 

■ we-rJeii nach der seit aelir aller Zeit jet«t allgemein übll- 
'V uIInnguneisG die tJimrnBmiien der Erd« gegen die Ent- 

'.•I abrlgen Weitkörjier von dcrselbeD als verscbivindend 

-rlien, »dor die Erde wird als ein blosser Punkt Im 

Mclttcl, ivaM allerdings für die Fixsterne mit einer 

-iiUlssig lind veratallet ist, »eich« eo gross ia(, dasa 

Lis die jiiaklieche Anwendung betrifft, nis vüllige Ge- 

ii^ebcn kann. Fflr die übrigen Wetikürpor ist jedoch 

vlbnle Vurau^setiung beknnnllkh nicht mehr zulüsisig, viel- 

I für diese \Vellkür|>er die Dimensionen der Erde 

I Entfernungen der Wcllkürfier von derselben in Betraeht 

I In Kechnung geriomnien werden, wodurch, wie Jeder 

•cbon seil sehr aller Zeil die f<ehre von der Psrntlaxa 

■ Astronomie cingelührt norden iM. welch« den Zneck hat, 

Wrgang toD dem ersten der beiden vorher genannten Fällo 
I iweilen iti vermilleln. 

I diesen einleitenden Bemerkungen noch einen anderen 

i EU gvhen, kann man auch sagen, diiss jeder Ueobacti- 

I GroDdrormeln der Astrontimie nur fßr und in Bcxug auf 

ideren Stand|>unl((, den er auf der Oberfläche der 



260 Grüner/: Neue Efitwickeiung 

Erde einnimmt^ also in Bezug auf seinen besonderen Beobadi* 
tungsort entwickelt, und sich dann der Lehre von der Parallaxe 
bedient, um seine Beobachtungen und Rechnungen auf den Mit- 
telpunkt der Erde, gewissermassen als einen allgemeinen Stand* 
punkt oder Beobachtungsort aller Beobachter zuruckzufuhreoi 
wodurch denn in der That auch die astronomischen BeobacbtoR- 
gen und Rechnungen, ja die ganze astronomische Wisscnscbaft, 
erst zu einem wahren Gemeingut, und die Vergleichong und Cm* 
binirung der Beobachtungen verschiedener Beobachter unter fit- 
ander ermüglicht wird, woraus die grosse Wichtigkeit der I^Jire 
von der Parallaxe für unsere ganze Wissenschaft deutlich erhellet 

Ich weiss sehr wohl, d«iss es — um so zu sagen — miteiBef 
gewissen wissenschaftlichen Gefahr verbunden ist, an solches seit 
Jahrhunderten in der Wissenschaft eingebürgerten Lehren und 
Methoden, namentlich dann, wenn dieselben, ^^ie es hier in iler 
That der Fall ist, sich im Ganzen und im Allgemeinen fOrfie 
Praxis als genügend und ausreichend , ja selbst vielfach als beqoea 
erwiesen und bewährt haben, in irgend einer Weise zu rfiüela 
und etwas ändern zu wollen. Diese Ueberlegung kann micli je- 
doch nicht abhalten, hier meine Ueberzeugung dahin aumispre- 
eben, dass ich die vorher in der Kurze charakterisirte, seit vn* 
denklicher Zeit allgemein übliche Methode, und mit derselben ilw 
natürlich auch die ganze Lehre von der Parallaxe, so \\\^ dif« 
selbe jetzt in die Wissenschaft eingeführt ist, keineswegs riie' 
wirklich strengen Wissenschaft entsprechend, sondern geivisser' 
massen nur für einen Nothbehelf halten kann, indem man nick 
meiner Meinung vielmehr die Erde gleich von vorn herein ik 
einen Körper von bestimmter Gestalt und Ausdehnung betrachtest 
und für diesen der Natur allein entsprechenden und in derselleo 
wirklich Statt findenden Fall, natürlich zugleich mit geburiger 
Berücksichtigung der Entfernungen der WeltkUrper von der Erde» 
die astronomischen Grundformeln entwickeln muss, wenn di6 
Astronomie auch in diesem ihrer Theilc eine wirklich wisse** 
schaftliche Gestalt erhalten soll, und wenn alle Aufgaben der 
sphärischen Astronomie mit wirklicher wissenschaftlicher Stresge 
und Allgemeinheit aufgelöst werden sollen. Schlägt man aber 
einen solchen, nach meiner Ueberzeugung, wie gesagt, allein 
streng wissenschaftlichen Weg gleich vom Anfange an ein, nrf 
bestimmt dann, als eine natürliche, noth wendige und onabwös- 
bare Folge hieraus, auch die astronomischen Grundbegriffe i> 
entsprechender, von der gewuhnÜchen, wie es nicht anders seb 
kann, hin und wieder etwas abweichender Weise; so braoebt ma* 
die eigentliche Lehre von der Parallaxe gar nicht mehr, und die 



tltr lirtindfi>rmetn der tphdilac&en Asfrotioinle. 2öl 

?<1ua(alU s«hr ISatIg«n Unterscheidungen zTrtschen wahrem und 
-i-heinbafttn Aiimulfa. wahrer und scheinbarer Hübe, wahrer und 
•«hofliMier Kedaüceosion und Declinatioii, u. s. w., welche durch 
Ce Lehre von der Parallmo in die Wlesciiochaft gebracht wur- 
Am Mnd, fallen dann gunx neg. 

Wenn irh bl8 jetit lediglich die rein nisfsenachaftliche Keile. 

im reia tvIiM«nBchar(lichen Slandpunkl restgehdlen, und dem 

Kulirf. der Lehre von der ParnJInxe Tür die Praxis sein allerdings 

'<'! Rücksicht nicht beslreiltiares Recht gelasaen habe; 

i< li doch nicht an, eelbol in dieser Beziehung noch einen 

i'cr an gehen, indem ich glaube befiauplen 7U dtlrren 

ir Kichliglett dieser Behauptung durch das Folgend» 

I' livn Iteiveis zu l'uhren versuchen tverde, dass ich es 

I' halte, die Formeln, durch ivelche die Hauplaufftaben 

: -.eben Asfruiinmic geir.st werden, mit Hülfe der im Fol- 

I fntwickelrideti neuen jiaiij allgemeinen Grundrormeln 

Strenge su zu gealalteii und darzustellen, dass man 

Anwendung besonderer Pnrallaxen -Formeln oder 

■ „iulLitn-Rjwhnungen gar nicht mehr bedarf, ohne dass — we- 

: rden« fGr den Hisseiifichaniicbcn, mit dem allgemeinen und 

uomtrisdtcn Caicul gehiirlg vertrauten Astronomen — an Bequem- 

Odriitat «twu verloren geht, iiisurern er sich nicht mit blossen 

^■k««Bg«ii begnügen, sondern vollkommene Scb-Irfe erreichen w ill. 

^^L-AUw. wns ich jetzt im Allgenicini-n angedeutet habe, irijl 
^^pla Taigenden auf annlyliscliem Wege vollslündig enlvrickeln 
^BAja^fnnn , indem diese Abh.indlung, um dies noch besonders 
^^^^^^^^|U. den Zweck bat, die Lehre von der ParalUie aua 
^^^^^^^^^■If r «ro möglich . ganz su entfernen, und KunachBl 
^^^^^^^^■•Ise die wichtigsten Aufgaben der sphärischen Asiro- 
^^^^^^^^Hftiiltlaen , dass eigentlit^lie, sogenannte Parallaxen- 
^^^^HHpl dabei gar nicht mehr nüthig sind, was ich selbst an 
^^^EnrnrOhnllchstcn Praxis fiist täglich zur Anwendung kom- 
^^^|E[ Avl^hen, wie der itcsllmmung der Zeit aus einielnen 
^^paiJAfibSD und hhnlichen Aufgaben, zu zeigen hoffe. 

^P^'Ob olebt missierstanden lu »erden, gliiuhe ich noch bemer- 
^^B tt mfiseen, dass es nicht meine Meinung sein kann, die 
^^HfeekBlebtlgung der Parallaxe sei nicht ti>>lhig nder üherllüssig; 
^^Hb das (iegentbeil Ist ineine Meinung, denn die Entfernung 
^^Bwel1kar|>er von der Erde tvird, soll nnd muss in allen zn 
^Hpttelnden Formeln vorkommen, und unter dieser Form 
^Hk Ueh die «ogenanntc Parallachse; aher eigentliche Pa- 
^B|AX*arochnnngen als Correclionsrechnungen In slleo 

^B IT- 



262 Crnntrt: Seue ICn/wkkelung 

solchen Fällen, wo man die Parallaxe ursprünglich der Kurze aod 
Leichtigkeit wegen vorläufig vernachlässigte, sollen ganz wegfal- 
len, die Parallaxe soll in allen Formeln schon selbst enthalten 
und diese Formeln sollen demnach ganz genau und vcillig streng 
sein; nur Dieses ist meine Meinung und kann nur meine Hei- 
mnv' sein. 



§. 1. 

Wir betrachten die Erde als ein Rotations- EHi|isoid, weldie« j 
durch Umdrehung einer Ellipse, deren grosse und kleine Htlb- 
axe a und b sein mögen, um ihre kleine Axe entstanden ist. Die 
Drehungsaxc» also die kleine Axe 26 der erzeugenden Ellipse» 
heisist die Erdaxe; der Mittelpunkt der erzeugenden EllipM oder 
des EUipsoids, welcher durch O bezeichnet werden mag, bM 
der Mittelpunkt der Erde; und die im Mittelpunkte auf hi 
Erdaxe senkrecht stehende Ebene wird der Aequator genannt 
Der Aequator theilt die Erde und ihre Oberfläche in avvei WS- 
ten, welche wir die positive Erdhälftc und die nej^atrve 
Erdhnlfte nennen werden; von der Erdaxe wird die OboBache 
der Erde in zwei Punkten geschnitten, welcho die Pole heiases, 
und der positive Pol und der negative Pol genannt vierdeu 
sollen, jenachdem sie in der positiven und negativen Erdhilfle 
liegen. 

Denken wir uns nun auf der Erdoberfläche einen beliebigH 
Punkt Af welcher der Beobachtungsort genannt werden ina|;t 
und lassen von der Erdaxe eine durch diesen Punkt gehende 
Ebene ausgehen, so hcisst diese Ebene dfir terrestrische 
Meridian des Beobnchtungsorts. Die im Heobachtungsorte auf 
der Erdolierfläche, nämlich auf der dieselbe im Reobachtungsorte 
berührenden Ebene, senkrecht stehende Gerade wird die Nor- 
male oder auch die V'ertikale des ßeobachtungsorts genannt. 
Der 90^ nicht übersteigende Neigungswinkel dieser Normale odei 
Vertikale gegen die Ebene des Aequntors, indem man dieaea 
Winkel, jenachdem der Heobachtungsort in der positiven oder ne* 
gativen Erdhälfte liegt, als positiv oder negativ betrachtet, heiaat 
die Polhöho des üeobachtungsorts und soll im Folgenden durch 
ö) bezeichnet werden. Die von dem Mittelpunkte O der Erde 
nach dem Beobachtungsorte A gezogene Gerade OA heisst dei 
dem Beobachtungsorte entsprechende Erdhalbmester 
und wird im Folgenden durch q bezeichnet werden. Der 90*^ nicU 
übersteigende Neigungswinkel dieses dem Beobachtungsorte eat- 



der Crifwff'onnein der sphärischen Asirotwuiie. *2J6'^ 

sprechenden Erdhalbniessers [;cgeii die Kbene dei« Aeqiiat(»)\<, 
indem «vir auch diesen Winkel als positiv oder negativ lietrarli- 
ten. jenaclidem der Bcobachtungsort in der po«:itivcn oder nega- 
tiren Erdlialflte liegt, wird die Breite des Beohachtungsorts 
genannt und <>oll im Folgenden durch q> bezeichnet werden. Pol- 
hwbe und iJreite des Beohachtungsorts, deren absolute Werthe 
W nicht lihcrsteigen , haben hiernach immer gleiche Vorzciclien. 

Die Ebene, welche im Beobachtungsorte auf dessen Normale 
oder Vertiknie senkrecht steht, und folglich die Erdoberfläche im 
Beflbachtungsorte berührt, wird der Horizont des Beobach- 
tangiorts genannt, und die durch die Normale und die Erdaxe 
gelegte, überhaupt also durch diese beiden Geraden bestimmte 
Ebene in ihrer ganzen Ausdebnung nnrh allen Seiten hin, welche 
jedocft von der Normale nach zwei cntgegengesct/ten Seiten hin 
mgehend gedacht und dem/.ulolgc von der Normale in zwei, im 
Ff^deri bestimmt von einander zu unfcrscheidende Theilc 
jsetheiit wird, hois^t der astronomische iMeridian des l!ooh- 
MhtHng*«orts. In die Ebene desselben fällt natürlich auch der 
terrtetriiiche I\leridian ; dessenungeachtet sind beide Meridiane 
«ob! fon einander zu unterscheiden. Die Durchschnittslinie des 
istrooomischen Meridians mit dem Horizont wird die Mittags- 
linie des Beohachtungsorts genannt und von diesem letzteren 
ia iwei nach entgegengesetzten Seiten hin liegende Theile gc 
tb«lt, die wir, so wie die beiden vorher näher bezeichneten 
Tbttle des aBtronomischon Meridians, im folgenden Paiagraphen 
Bocb näher und bestimmter unterscheiden werden. 



Durch den Mittelpunkt O der Erde und den Bcohachtuiigsort 
^di Anfangspunkte legen wir nun zwei rechtwinklige Coordina- 
9Mme der xyx und x^y'z' , deren Ebenen und Axen wir auf 
Mpade Art bestimmen. 

Die Ebene der o'y sei die Ebene des Aequators der Erde: 
'iriNwitive Theil der Axe der .r sei der Halbmesser des Acqua- 
hi, h welchem derselbe von dem terrestrischen Meridiane des 
■Nbichtungsorts geschnitten wird; den positiven Theil der Axe 
HVi nehmen wir so an, dass man sich, um von dem positiven 
Ade der Axe der ar. durch den rechten Winkel (ary) liiti- 
Ank la dem positiven Theile der Axe der y zu gelangen, im 
n^egengefletzten Sinne von der Drehung der Erde um ihre 



1 



264 Grüner l: Seue EiUttickeiuHff 



Axe *) bewegen muss ; der positive Tbeil der Axe der x sei vw 
dem Mittelpunkte der Erde nach dem positiven Erdpole hin ge- 
richtet. 

Die Ebene der ac'y' sei die Ebene des Horizonts des Beob- - 
achtungsorts ; der positive Tbeil der Axe der x' sei derjenige der 
beiden Tbeile» in welche die Mittagslinie von dem Beobachtongi- 
orte getheilt wird, von dem der positive Theil der Axe der x 
geschnitten oder nicht geschnitten wird, jenachdero der Beob- 
achtungsort in der positiven oder negativen Erdhälße liegt; kt 
positive Theil der Axe der y' werde so angenommen, dass v 
mit dem positiven Theile der Axe' der y auf derselben Seite der 
Ebene des astronomischen oder terrestrischen Meridians des Be- 
obachtungsorts liegt; der positive Theil der Axe der i' seider 
ausserhalb des Erdellipsoids liegende Theil der Normale oder 
Vertikale des ßeobachtungsorts. 

Die beiden Theile, in welche die Mittagslinie des Beobub- 
tungsorts durch diesen letzteren getheilt wird, sollen, jenaclidtfi 
sie mit dem positiven oder negativen Theile der Axe der a' vt 
sammenfallen, der positive oder negative Theil der Mit- 
tagslinie genannt werden; auf ähnliche Weise heissen die 
beiden Theile, in welche der astronomische Meridian des Beoftacfc- 
tungsorts durch dessen Normale oder Vertikale getheilt wird, 
jenachdem in ihnen der positive oder negative Theil der Axe der 
x' liegt, der positive oder negative Theil des astreeo- 
mischen Meridians. 

S. 3. 

Zun.'ichst wollen wir nun die Coordinaten x,y,i und x\ff,i 
eines ganz beliebigen Punkts im Räume, naturlich unter ZogrvA' 
delegung der beiden im vorhergehenden Paragf%iphen genau cht* 
rakterisirtcn Cuordinatensysteme, im Allgemeinen mit einander 
vergleichen. 

Wenn der Beobachtungsort in der positiven ErdhSlfte llegif 
welchem Falle Fig. I. entspricht, wo die Ebene des Papiers die 
Ebene des astronomischen oder terrestrischen Meridians ist; lo 
ist offenbar: 

(arx')=W*— ö), {xy')=iW^, (a-x')=ö; 
i^x') =90^, iyy') =0, (yt') =90«; 

(W) =1800-0, (1^0=90^. (mO =90O-ö; 

*) Data eine solche Drehung Statt finde, nehmen wir hier, wo vil 
kein Lehrbach der Aatronorote echreiben, uhne Weiteree an. 



der Grundfbrmein der sphärischen Astronomie. 265 

wenn dagegen der Beobaebtungsort in der negativen Erdbälfte 
liegt, ivelehem Falle Fig. 2. entspricht, wo wiederam die Ebene 
des Papiers die Ebene des astronomischen oder terrestrischen 
Meridians ist; so ist oifenbar: 

(yjr')=W)o, (yyO=0, (yxO = «>^; 

{za^) =180» + 0, (zyO =90«, (2x0 =90o-S; 

miso ist, wie sogleich erhellet, in beiden Fällen, und folglich in 
völliger Allgemeinheit: 

cos {pcx^) = sin c3 , cos (jry') = , cos (ori') = cos €5 ; 

cos(^ar') = 0, cos(yy')==^> cos(y20=0; 

cos(xj:') =^ — cosS, cos(2y') =0, cos («') = *'** ö« 

Bezeichnen wir jetzt die Coordinaten des Beobachtnngsorts 
in Systeme der xyz durch fjO^gt so ist nach deA bekannten 
allgemeinen Formeln der Coordinaten Verwandlung: 

X = f-i- X* cos {xx^ + y ' cos {xy') + 1' cos {pcx') , 

y = o:' cos (yarO + V' co« (»yO + *' cos (y«0 . 
2 = y + j?'cos(2a:^) + y'cos(2yO +2'cos(22') ; 

also, weil oifenbar in völliger Allgemeinheit: 

1) /*= pcosqp, y = rsin^ 

ist, nach dem Vorhergehenden: 

IX = pcos^-h^sincS -h^'cosS, 
2 =^sin9) — or'GosS-l- ''slnS; 

woraus durch gewöhnliche algebraische Elimination sogleich um- 
gekehrt erhalten wird: 

|:r'=: — ^sin(c5— 9>)-f^sioo — xcosS, 
%* = —^cosCcd — 9>)-f :rcosc5-f'fllnc5. 
Weil die Gleichung der Ellipse 

(Ö'+(0'='- 

«nd folglich: 



266 Gruneri: Neue Entwickelung 

ist; so ist die Gleichung der Normale des Beobachtnngsorts: 

und nach den Lehren der analytischen Geometrie ist folglicft i 
dem in Fig. 1. dargestellten Falle: 

tang ö = gäj? = ^ tang 9 , 

in dem in Fig. 2. dargestellten Falle: 

tang(180«+ ö) = tangö =p^ = ptang^; 

also völlig allgemein : 

^) tango=^ = gjtangip, 

woraus, in Verbindung mit der Gleichung 

(9' + (9'='- 



liBicbt folgt: 



/ = 



a^cosG) 



5) 



Vö^cosö^ + Ä^sinö« 



V^fl*cos ö^ -|- 6* sin ö* 



wobei man nicht zu übersehen hat, dass /und cosg) beide ^ 
positiv sind; oder: 

^^ ^ acoso 6sinö3 



1 ^-sino« Y 1+ -^'a~co«ö 

oder auch: 

acoso 6*sinö 



1 ^ — smo* a^ 1 -ä-sinö* 



also, weil p = V^/^ + #^* ist: 



der Crundfifrmein der spAärfscAen Agronomie, 267 

4/7 a*-6* . .. 

7). p = ^ ■ r. = a — I- — ; 

V ^ — ;it--«»"«* 

U^kh nach 5): 

(^ g^pcosS 
V a*co« ö" + A*aiii ö* ' 

VSn • 

I ^ . pcoscS psinc3 

I y 1 ^4— sinö« Y 1 + — ^4-cö««^* 

•Uten wird. 

Hieb 1) und 8) ist : 

!a*co8c3 
cos W = ^ r ^ ' =^^ » 

V a*cos ö« + 6*810 ö« 
6^810 
sin q> := , '---_-- ==-r. ; 
V a*cos o* + 6* sin ö* 

Mkr nicb 1) und 9) : 

,.^ eoso . 8inc3 

n) COif=— ======^, 8in9 = -y=r--^r^=^; 

w 1 4— sino* % l + ~r4— COSÖ* 



leicbt : 

. _ ^ (o* — 6*) sin c5 cos c5 
sin (o — 9>) = r?^^ 



H) 



V^o^cösö* + 6* sin o)* 
,- V o* cos 5* + 6* sin 5* 

cos ( ö — ep) = , /. =rz . -rrT- v 



13) 



— =— sin o cos G) 



iii(B— 9) = M ■ ., , cos (5—9) = 



1 s— sin o* 






, «in ©• 

0^ 



268 Grüner l: Neue EnlwUkelung 

Nach 2)> II) und 3), 13) haben vrir also zuUcben den Coor* 
dinaten x^ y, z und x', y\ x* die folgenden Gleichungen: 

14) 

pcosö . _ _ 

X = — r- V.— ,, — + a?'fiin o + z'cos Q» 






y =y'' 



X === --p ======== — a:' cos ö + x' »In ö; 



tri j «*-** -1 



und: 



15) 
«'ss _ ^ + ^rsinö — zcoso, 



1 ^14- «">ö^ 



2' = ^ + j?cos(o + zsinS. 



\ri-?^%r„ö. 



Die Grosse nennt man die Abplattung der Erde, tn 

welcher man in den vorstehenden Formeln auch mehrfachen Ge- 
brauch machen konnte, was aber hier einer weiteren ErlSutenmg 
nicht bedarf. 



§.4. 

Der im vorhergehenden Paragraphen im Allgemeinen betracb- 
tete Punkt {xyx) oder (x'y'x*) im Räume sei jetzt ein beliebigtr 
Weltkorper, dessen Entfernung von dem Mittelpunkte der Eide 
und von dem Beobachtungsorte wir respective durch R und r 
bezeichnen wollen. 

Lassen wir von der Erdaxe eine durch diesen WeltkSrpcv 
gehende Ebene ausgehen , so heisst der Winkel» welchen db 
Durchschnittslinie dieser Ebene mit der Ebene des Aeqoatoni alt 
dem positiven Theile der Axe der x einschliesst, indem wit Ae- 



IWinbel von dem postüven Th«ile der Axe der x an durch 
T rechten Winke) (xy) hindurch nach dem pneiriven Theile der 
' r y hin von bis 300° zählen, der Stu n denwiiilc el des 
Bllt<tr(iers, und soll im Folgenden durch o bezeichnet werden; 
ms aher von dem Miltefpunkte der Erde nach dem 
RlkCrper eine (lerade f>eioßeM, so heiast d^r. alisolut fjenom- 
m, 90" nicht übcrElei^cnde Winkel, unter Helehem diese Gerade 
die Ebene dea Aeqcators geneigt itif, indem man diesen 
■ke! als (losÜiv oder ne{;aliv betrachtet, jenachdem aich der 
JlkÜriier auf der positiven oder negativen Seite des Aequalora 
kdet. die Declination deR Wellkr.r|iers. und WI im Fol- 
|den durch S he7;eichnct nerden. Unter diesen Voraussetzun- 
I bftben »ir offenbar die folgenden ganx allKemein gülligen 



c = ffc. 



lad. 



y := ßsincFcosd, 
: =Äsind. 

Lassen »ir ferner von der Normale oder Vertikale des Be- 

ohFtchtnngsotte eine dnrch den Wellkörper gehende Ebene aus- 

ugehen, so heisst der Winkel, iveli^hen die Durchschnittslinie die- 

Ipn Ebene mit der Ebene des Horizonta mit dem positiven Theile 

Wer Axe der x' ein('chlies8t , indem man diesen Winkel von dem 

rpwUiven Theile der Axe der x' an durch den rechten Winke) 

^i-'tf') hiiiilurch nach dem positiven Theile der Axe der y' hin von 

Ins STjO" zählt, das AEiniulh des Wellburpers, und soll im 

Fi^lEcnden durch to bezeichnet irerden; denken wir uns aber von 

Sr\n Ueobachlungsorle aus eine Gerade nach dem Weltkiirper 

-cKOgen, so heissl der, absolut penommen, !I0" nicht liberslet- 

^.'enrie Winkel, unter ivelcbem diese Gerade gegen die lübene des 

H-ritonls geneigt ist, indem man diesen Winkel als positiv oder 

necaliv belrnclitel. jenachdem der Weltkörper sich auf der posi- 

l'iren oder negativen Seite des Horizonts befindet, die Höhe des 

Weltkiirpers, und soll im Folgenden durch k bezeichnet werden. 

Unter diesen Voraussetzungen haben »Ir offenbar die folgenden 

g«nx allgemein gültigen Gleichungen: 

x' = rcoH(DC08A, 



' ^ rsin lacosA, 
' = r sin h- 



l 

^^P VwA den voratehenden Gleichungen 1) und 3) und nach den 
■■btekug«» f. 3. U). IS) haben wir also jetzt die folgenden Glei- 



VT 



270 Grunerl: Sette Etiiwickehmg 

3) 
/2co8<rcoso= — >- ir4-r(oo8a>cosA8incj-f glnAco» 



1 j4-8ino 

jß sin cosd = rsin co cos A, 



n . » psinö ^ , ...... 

/csino=: — ;^ = — r(co8(»cosAcosa>— sinAsiiK 



1 + ^4 COSto 



unil: 

4) 

— 2 — psino cosci) 

rco8MC08/4 = — — r- . ~ .. H' /i?(cos tfcos ^sinö — SID^COSS) 

w 1 ^^sinö* 

r8inoico8A=: Rsinacond, 

r sin A=. _j. /y (^^g crcosdcosCi) l-siodsiott); 

oder: 

8) 

^ p C08Ü .•',., - 1 . -% 

COS <ycosö=-5 • r- ~~ . ^ + ijfsinÄcoso+coswcosÄsino), 

Ä 4/ , o*— 6* . _„ '^ 
\ I ^;r-8ina>« 

sin <7 cos ^ = TT sin co cos A ^ 

P sin 5 T , , ^ 

8ind = 7;« — / » ^ ' . + «(sinAsinü — cosocosAcosc 

and: 

6) 

K-— 8in (d cos (d 

r - p a* * _ 

|^C08«C0SA=:- yr. - -==z=-.— ir ::.^^z:^ -f COS (fCOSO.sin ü 8indc08 

4/1 «*— ^* . -« 

l^sinocosA^: sinffcos^, 

r , - p a* _ 

jgsmtea— g— P ^|^3^7 ==-fcos<Tco8 6cQ8Q4-6fnJaiD 



dtT Grundform ein der sphäiischi'U Aafronomie- 271 

Nach §. 3. 7) ist : 

'V 1 i"— sind)* 



7x 9.^!L 






and setzt man nun, indem man zugleich überlegt, dass offenbar 



1 i -jfj^p- cos ö« 



a 

6* 



Ut: 



/ ^ coso 



8) 






6^ sin 6) 



r;a 



und 






ö — smocosd) 



i, « 



9) 



• • • 



Y 1 ,- sinw 



Aro'=Vl-^'85n5«; 



•o Ist nach B) und 6) : 

10) 

« 

008(^008^= ^ Gcj +^(8inAco8ö + cos CO cos A sin o), 

T 

sin tf cos ^ = ^ sin 00 cos h, 

sin d = -jg Crcs' + ß (sin Asin ö — cos » cos A cos w) 
unds 



I 



272 Crunerl: S'eue EnlwIekelHHf 

11) 

-pCosoD cosA=— -p Kq + costfcosdsincS — sin^coscS » 

I» 

^8ino)coaA= sintfcosd, 

^sin/i= — jFi Afo'-f cosacosdcoscd -f sindsioQ. 

Der Bruch ^ oder eigentlich der Winkel » dessen Slnw ifie- 

ser Bruch ist, ist die sogenannte Aequatorial-Horizontal-PartUu» 
des Weltkurpers zu der Zeit, wo R seine Entfernung vom Hit- 
telpunkte der Erde ist, und findet sich in Aer einen oder aoderei 
Form für jeden Weltkurper und die verschiedenen Zeiten ia dea 
astronomischen Tafeln oder Ephenieriden. FQr die Fizstema wM 
dieser Bruch seiner grossen Kleinheit wegen, weil die Entfem^ 
derselben von dem IVlittelpunkte der Erde im VerhSltniss lo te 
halben Hauptaxe der die sphäroidische Erde erzeugenden EllipM 
ungeheuer gross ist, meistens als verschwindend betraehtet, was 
aber immer nur als eine Näherung gelten kann. 

In diesem Falle nehmen die Fundamental- Gleichungen 10) md 
11) eine einfachere fiestalt an, wie in §.6. 15) und {.6. 16) ge* 
zeigt werden wird. 

§. 5. 

Die vorher durch 6*(3, 6q' und Kf^, Kq' bezeichneten Grös- 
sen sind für jeden bestimmten Beobachtungsort Constanteo, 
und (ur jeden Ort nach meiner Meinung von grosser Wichtigkeit, 
weshalb wir dieselben jetzt etwas nfiher betrachten, namentlich 
verschiedene zwischen ihnen Statt findende Relationen entwickeln 
wollen. Diese Constanten müssen für jeden Beobachtongsort zo 
weiterem Gebrauch ein für alle Mal berechnet werden « und rar 
Erleichterung dieser Rechnung werden auch die folgenden Rela- 
tionen dienen. 

Aus den in 8) und 9) des vorhergehenden Paragraphen gegt- 
benen Ausdrücken dieser Constanten erhellet %uv5rderet, da» 
dieselben sich auch auf folgende Art ausdrücken lassen : 

1) 
^^ _ ___jr^085___ ^, ,_ 6«8ing 

Vo"coaü« + 6«sinö«' ° a V a<co8c3»4^6«elnS^ 



!■ 2 



der CTHndformeln der $phfirtschen Asfronomif. 27S 

und : 

^ (g^ — 6*) 8in cd cos o 

a V a*co8 ü* + 6* sin ö* 

2) ; ^ 

„ , V o* CO» o* + />• »in M* 

Also ist offenbar: 

^ V Kq = 6o «in ö — Gß cos 6) , 

( Kq' = 6^Qro8 ö) + Gq sin 6) ; 

nnil fol{(lich umgekehrt: 

l Gö =/fo'co8Ö + Ä'o8inö, 
( Gö' = A'q' ^iii M — A^qco6c3 ; 

iroraas sich sogleich: 

5) Go« f Gö'« = A^o« + /To'« 

ergieht. 

Setzt man: 

so erhält man aus den Formeln 1^ und 2) ferner leicht 

7) 
Gö ö* *- cotö 

KiSiKa'= — 5 — sin o cos ü = e* sind) cos ö; 

Ga K(Bi'=scos^, 

G^'Kq' = -jsio 5 s= (I — e*)sin o ; 

Ka fl«-6« . « , . - 

Ifö o«-6« - , - 
■jjr^ss— p — coso = «*cosö. 



Drfickt man alle Constanten durch e aus, so erhält man ganz 
nDnittelbar aus den Formeln {. 4. 8), 9) : 

«. ^ cos 5 ^ . _ (1 — e*)sin5 



1 



r 



274 Grüner l: Neue Entwicheiung 

und : ^ 

/^v wj^ «•sinöcosö -- , ./•= ^ , ^^ 

9) . . . K^^-^:=====, lfo'=:Vl-6«8lnö«. 

V 1 — «'sino' 

Nach §.3.6"^) und §.4.8) ist: 

10) f=zaGfSf g^fiGQ*; 

also : 

Durch Einfuhrung eines zwischen —W^ und -f dO» li^m 
mittelst der Formel 

12) sintf; = esincS 

zu bestimmenden Hulfsivinkel ij> kann man die Constantei W 
berechnen. Weil nSmJich allgemein 

costp = Vi — e*sin5* 
ist, so ist nach dem Obigen offenbar: 

^ coso ^ , (I — e»)s ing 

und: 



t 



6*8ina>coscD 



14) Kq = 7—- , Kq' = cosif;. 

' costf; 

Auch ist, wie man leicht findet: 

^ ^_sin(o + t/06 in(c5- t/;) 
' ° sinocostf; 

und: 

16) /Tq = cotosintf/tangif;. 

Für a-=zb oder e=0, wenn man also die Erde als eine 8 
betrachtet, ist nach dem Vorhergehenden: 

17) Gq=:cosc5, (?o' = sinö 

und: 

18) A'o=0, Äo' = l. 

Zugleich wollen wir hier noch bemerken, dass man sv 
rochnung von 9 aus ^ nach §. 3. 10) die sehr bequeme Fo 

10) tang9 = -{tango 



der Gmndformein der sphärischen Astronomie, 275 

t. Also ist: _ _ ^ 

- . , „, co8(ü — op) 11* cos o* +6* sin Ci)* 

1 {- tanga)tanga) = = ^ = s ^^ » 

ö o^ cosocos^) a^cosö* 

glich : 

a/— 5 -o , i« > -g^ aTcOSÖCOsCÖ — 9) 

V a*cos Ci)* + 6* sin w* = « V ^ ^ ; 

d weil nun ferner nach 19): 



Va*cos w* + 6* sin ö« = a« 



cos CD 



cos 9 

y so hat man nach §. 3. 7) zur Berechnung von q offenhar die 
queme Formel: 



20) 



V coso 
cos €p COS (Ö — fp)* 



Auch für die Constanten Gq, Gq' und ü^q, ü^q' kann man 
rcb Einfuhrung der mittelst der Formel' 10) leicht aus der Pol- 
lie Q zu berechnenden Breite fp bemerkenswerthe Ausdrücke 
den. Weil nämlich nach 19): 

— ^* . -- — . tango) . __ 

cos d)* + -5 sm ö* = cos w* + 7 — ^^ sin ö* 
^ a* tango) 

-«/i . A -A X cos 5 cos (ö — 9) 
==cos(0*(l'|-tang(i)tang9)) = ^^ ^ 

1 ^ — 1 _ ^^"^y win(5 — y) 

rt* tangCD sin c5 cos 9 

y so ist nach 1): 

^ cosö A / cos 5 cos y^ 

° — / ^2 1""^^ COS(Ö-y)' 

Y cosw* + -^sinco* 






-jSind) 



1 nach 2) : 



a« 4/ cos CD cos y 

= **°S^\ cos(ö^<p1 



6« 

COSÖ* + -^s'"^* 



(l |)sino coso 



Y COSÖ* + -jsino* 



= sln(o-9>)\ cos9>cos(c5~9) 



— «'» (^ ^ y) 4/ CO* <«> C08 y 

cos y ^ cos (ö — y) 



rbflll XLIV. 18 



276 Grüner t: Neue EfUtpickeluug 

üfß'ssV coso2 + -«sino* = V ^ 

" If ' o* ^ cos^ 

co8(5— » y) tf ^08 ocosy 

CO89) l' C06(C5 — 9)' 

indem bei der absoluten Kleinheit von o — 9 jedenfalls €Os(S-f) 
eben so wie cos 9 eine positive Grosse ist. Hiernach hat aas 
also zur Berechnung der Constanten 

Co 9 G^' und Kq, Kq* 

ans der Polbuhe Q und der Breite 9 die folgenden» jedenfalls «ek 
bemerkenswerthen Ausdrficke: 



( 



21) 



' r ^ 4 A" w)8öcos5p^ 
^° "• ▼ cos (c5 - 9) ' 

^ / X 4rcos5co8g) 

Go'= tangg>V eos(o-y) = «-öt^ng^^; 

Ä« =sin(o — a>)V 7= V 

** V ^/ f cosycosCo — g)) 

_ ^ sin(5~y) _^ ^ sin(5--y) 
""^° cosip -^^ siny ' 

„ , 4 / cos 5 cos (5 — y) 



cos(g) — y)_^ ,cos (M~y) _y 



cosy sing) 



§. 6. 

Wir wollen jetzt mittelst der im Vorhergehenden entwid^el' 
teil Grundformeln zuvörderst einige Ausdrücke der Grtee 

^ entwickeln, auf welche, wie es mir scheint, in der Astrono- 
mie bisher nicht die ihnen gebührende Aufmerksamkeit geiichtel 
gewesen ist. 

Wenn man die Gleichungen §. 4. 10) auf folgende Art darstellt: 
cos tf cos ^ ---* » Ctq = -^ (sin h cos o -f cos a> cos A sin cS), 

X 

sin tf cos ^ = p sin o» cos A , 
sinJ— -gGQ*= ^(sinAsinS— cosocosAcoso); 



der Grundfbrmein der sphärischen Astronomie. 277 

ind sie dann quadrirt and zu einander addirt. so erhftit man auf 
ler Stelle die folgende Formel: 

1) ^=\ l-2^(GöC08<TcosÄ+6V8inÄ)+(^)\Cö*+Go'«), 

In welche man nun leicht noch alle ans dem vorhergehenden Pa- 
ragraphen bekannten Ausdrücke der Constanten Gq^ Gq* einRih- 
ren kdnnte. 

Ferner haben wir nach §. 4. 11) die folgenden Gleichungen : 
^ cos 09 cos A = — -j^ Kq -f cos tf cos dsin c5 — sin dcos o , 
j^sfncDCosA= sin (T cos d, 

l2sinA= — -j^ATq' -f cos (T cos 4 cos c5 -f sin^sino; 
lu« denen sich sogleich die beiden folgenden Gleichungen ergeben : 
^ I cos A* = cos 6* sin <i* + (sin d cos o + ^ if ö — cos i sin S costf)', 

-gl sinA* = (sindsincd — ^ Ä©' + cos d cos 5 cos er)*. 

Sliminirt man nun -ß aus diesen beiden Gleichungen, so erhUt 
oav die Gleichung: 



_ . a 



\ cosd^sin <^+ (sin dcos ö + t^ ISf© — cosdsln a> cos tf)* 1 sinA* 
= (sin jsin ö — ^ Ä©' + cosd cosö cos tf)* cosA*, 



sin A* cos dasind* 
cosA*(sin dsin 5 — ^ Afö'+ cos dcos 5 cos tf)* 

sinA*(sindcoso + ^ i^o — cosdsinocostf)*. 



278 Grüner l: Neue EfUwichelunff 

sin Ä* CO« d* 
= sin A«co8 6«co8 0« + cos A«(8in dsin ö — ^ ITcs' + cos d cos 5 coitf)* 

— siD /i* (sin d cos ö + ^- ff© — cos * sin ö cos tf)*. 

Cm nun diese Gleichung in Bezug auf cosa als unbeksBBte 
Grosse aufzulösen, entwickele man die Grösse auf der recblei 
Seite des Gleichheitszeichens nach den Potenzen der unbekaB0(w 
Grösse cos(r; so findet man als Factor oder Coedficieuten fM 
cosö* die Grösse: 

sin Ä^cos 6* + cosÄ^cos^cos ö* — sin A* cosd*sin ö* 
= sin Ä* cos d* cos ö* + cos h^ cos 6* cos ö* = cos 6* cos ö*, 

und die aufzulösende Gleichung wird also: 

cos A* cos ü (sind sin c5 — js^ü*) 
cosd*co8Ö*co8<y* + 2cosd { }cMtf 

•f sin A'sin c3 (sin d cosö -|- d ^s) 

=sinA2cos(J2 — co8Aa(sindsinö — ^ ATcjO* + 8inA«(sindcosö +-g*ö)*- 

Weil aber: 

sin A* cos d*-^ — cosA^sind^sin ö)* + sin Absind* cos ö* 
= sinA^co8d^ — cosA^sind^sinö* + sinA^sind^ -— sin A^ sin d^ sin 6* 

= sin A* — sin d^ sin ö^ 

ist, so kann man vorstehende Gleichung auch auf folgende Art: 

cos A*cos ö (vsin dsin ö — ni^o')] 
cosd^co8Ö*cosa* -#- 2cosd { / co8< 

+ sin A*sin ö (sin d cos (5 + -plfcj) J 

= sin A* — sin d*sin ö* + 2^ sin d(f^{3 sin A*cos ö + AT©' cos A'sio tt 



+ (■^J(^ö*8*»nA*-Äo'«co8A«] 



oder, wenn der Kürze wegen: 



der Grundformein der 9phäriscken Astronomie, 279 

= cos Ä* cos 5 (sin 6 sin o — -g '^ö') . 

+ sin Ä* sin c5 (sin d cos ö + -« Ä"©) 
::;^ sin dsin O cos ö -l- -^(Ä'osinÄ'sino — A^q'cosA^coscS), 



N = sioA*— sind*8in(.)* + 2^sin5(i5^osinÄ*co80+/^a'cosA*sinCi)) 



+ (s)" (^ö*8»n**-^ö''co8Ä«) 



gesetzt wird, auf folgende Art darstellen: 
3) . . . . (cosdco8ö)* + 2 =«cos<ycosö = - ==. 

' ^ ' COSÖ* cosu* 

Um diese quadratische Gleichung in Bezug auf die unbekannte 
Grösse cos d cos aufzulijsen, entwickeln wir zuerst die Grösse 

M« + Ncos5« 
= I sind sin c3 cos c5 -f T>(^c3 6inA*sinc3 — /^o'cosA'cosu))* 

l8iiiA*-8ind*sinöH2^8ind(ff|3slnÄ*cos5+/^C3'co8A*sinö)| 
+ cos5«{ ] 

"•"(ßj (^ö*8inA«-lfö'«cosAa) 



a 



nach Potenzen von p. Der von -n unabhängige Theil ist: 
8ind*sinQ*cosc5'-f cosc5*(sin A* — sind^sincS^) = 6inA*cosc5^. 

Der Factor oder Coefficient von 2 -^ ist : 

sin d sin c5 cos o (i^ßsin A*sin o — Afcs'cos A*cos c5) 
•f sId dcos c5^(£osin A^cos c5 -{- i^o' cos A*sin c5) = iSfcssin dsin A^coso. 



Der Factor oder Coefficient von 



(s)'"»' 



280 Grnnert: Neye EnMckehtng 

( ÄTösin Ä«8in 5 - /f q'cos A«cos o)«+(^o*«inA*- Äfö'^o«A«)co«ö« 
= /^C3* si n A* (cos 5* + sin A* sin ö*) 

— /ra'*siii A^cos Ä*co8 5* — 2/^0 A^o'sin A^cos A'sio c5 cos ö 
= /fg'sin A*(l — cos A*sin 5*) 

— iifo'*sin A* cos Ä* cos 5* — 2iifo A^o' sin A* cos A« sin cS cos 5 
s AroViDA>-8inA*co8A*(ArQ*sinc5H2^(3'^G'8inocosö+üro'^;o8€*! ' 
= sinA^t ITg*— cosA*(i^o6inG5 f ATocoscj)*} 
= 8lnA«(^a«— Ge5«cosA«). 

Also ist: 

M« + J^ cos 5« 

rs sin A« cos^^ +2^ir(ssindsinA«co80-|-^^ysinA^Aro>-.e;BViMr). 
und folglich fvlr: 

M=sindsinocosc3-|- -n(Xo8>nA'slno— i^cs'cosA^cosS)» 
H = cos5*+2 -^ /iTQSindcosS -I- f^J (*©•— <irc5»co8A»); 
oder auch: 

Mszsindsinocoso-f ^(Äfnsinö— 6acosA«), 

H = cos c5* + 2-^ 1^(3 sin äcos 5 + T^J (Ifo*— Cro*cos A«); 

nach 3) offenbar: 

, X . M ^^ HsinA« 

6) (c080COStf+- — =5)* = =T > 

-^ ^ cos CO*' COSCO^ 

also: 
^ ^ -MdbsinAvH 

7) COSOCOS0 = == > 

' COS o* 

oder: 

— M ± sin A VH 



8) cos a = 



COS ^ cos Cd* 



der Crutidfbrmein der sp/uhischen Astronomie, 2^1 

Nach §.4. 11) ist nun: 

^^(Gs' + 7/9SnA = coätfco5(dco8 -f sindsincj, 
also nach 7): 

R ^ R C08O 

_ sin 6 sin ö cos ö — M Jt fiin AvU 

cos ö 

folglich, wenn man för M seinen Werth aus 5) einfuhrt: 

i5(^ö^'">S— G'öCoeA*)! sinAvH 

Ä ^° + « «'«* = ^3^0 

Es ist aher nach den in §. 5. entwickelten Formeln und Relationen : 

_ . « ^, ,„ o* — 6*^ , . - - cosA*cosö 
JTQSin CD — Gqcos h^ = — rj — "ö' sin cd cos cd Y~t 

— p — Gfij'JTo'sinö — cosA^ 
= TT-, cos CD 

— = — Sin cd' — cos A* 



Kq 



cos CD 



COS A* — «"sin CD* _ 

= «.— ; cos CD 

and 

H =coscD* + 2^1:0 sin «cos CD -f ^^^ (ÄTcj*— Go«cosA*) 

a a*— 6* 
sscosS*+2-g. — p — Go'sindcoso* 



+(5)■K=^■<'='-T^^"- 



=:cosc5*ll + 2-g« — T5— Co'sino 






282 



Grüner t: Neue Entwichelung 



a^^b* 



= C08Ö*|l+2 



a- 



sin ö sin d) 



/«V (-^ysin5«-cosÄ« 

Hä; — 



"2 



= Cosopt 1+2^ 



a c^sindsinö . /«X* e*8ln5*— cosÄ* 



Ö) 






I 



a e^ sin sin 



sinu , /« \' 



g\* e*8inü* — cosÄ* /« \* c*sind*sinö* 



ax- 



-(5) 



ATo'« \RJ Ke'* 



a \* cosA*-e*co8d*siDS* 



-ÄTq' 



Also ist nach dem Obigen: 



^A'ö'+ j^sinÄ 



Ä 



^ö' 



4-8i 



.4/^1 . ft e^sindsinö^« /«\* 



COS Ä* — <?* COS d* sin ö" 



Ü^Q 



'2 



wobei man zu beachten hat, dass co8c5 stets positiv ist, und 
daher in der ganzen obigen Betrachtung überall die oberen ond 
unteren Vorzeichen in genauer Beziehung zu einander stehen. 
Aus dieser Gleichung ergiebt sich nun unmittelbar: 

r . . a cosA« — c«sinö« — iTcs'^ 



I • aI/ /i j^ ^ c«sinj5sinw /aV 



a \* cosA* — «*cosd*sinö* 



ATo' 



was, weil 



cosA*- e«sin5»-ij:a'a 
=:cosÄ« — e«sinö«— 1 + e2sinö« = — sinA« 

ist, endlich zu der folgenden, nach meiner Meinung sehr beroer- 
kensvv^erthen Formel führt: 



y 



y) 



der Grundformeln der spMrischen Astronomie. 283 

r a sinA 



R n Krs! 



C5 



. A/ ^, . a e*«in5sinG)^- /a\*cosA* — c* cos dasind)*-* 

darch welche das wichtige Verhältoiss -n bloss durch A, d, <d 

vnd andere als bekannt vorauszusetzende Grossen ausgedrückt wird. 

Bemerken wollen wir noch, dass sich aus den vorhergehen- 
den Entwickeln ngen für die beiden oben durch M, H bezeichne- 
ten Grttesen die folgenden Ausdrücke ergehen: 

10) 

-..•.- a cosÄ* — c^sinö*, 
M ^ coeü Ismo sin o — -h- trs }. 

a ß^sindsinc3^^ /«V cosÄ^— e*cos6*sinö* 

. 1^ 



m" -«./i . « ß*sinösintt_ /«V 



/^ö'* 



Hauptsächlich entsteht nun die Frage, wie in allen vorher- 
gehenden Formeln die Vorzeichen zu nehmen sind, in welcher 
Beiiefanng aich Folgendes mit aller Strenge beweisen lässt. 

Es int offenbar: 

b b 

a ^ b z= a 



J s I -f- « — 



oder: 



ab 


> 


b = 




6 
a 




n*~b* 


1 + 


2l 

1 


-6«' 



I 

l 



oder : 

b 

1 ^* = _ « 

n ~b^a> , oizA* 

Unserer ganzen folgenden Betrachtung legen wir die Voraus- 
notsong SU Grunde, dass immer 

b 
« ^ «_ 

18» 



284 Grunerl: Neue Enhtickelung 

Wenn nun 

/a\' e*8ind«8inS« ss, 

\r) TQi >' 

wäre^ so wäre: 

\r) > e*8in6«8inö«' V^/ > e* hin d« sin S«' 
Es ist aber : 

p*8ind*8inö'';7 e*, 

also: 

lj--£*8ino* =1 — «* sin ö' 
c*8in^sinö*> ? ' 

und folglich nach dem Vorhergehenden: 

/o\" r=s 1 — e*sinö** 





\RJ > ^ 


Weil ferner 






^*8lnö'^ e*. 


und folglich 






1 — e*sin5«^ 1 - e« 


ist, so ist: 






l — eVmö«- 1-«« 




e* > e* ' 



also nach dem Obigen :« 
folglich : 



a* a = a 



Ä > e« ' /i > a« — 6« ' Ä > a«— 6* 



a« a« 



oder: 



6 ■" a 



und daher, weil nach dem Obigen 



<hr Grnndfurmeln der sphdrischen Astronomie, 285 



i»t : 







b 


1 

n b 
h n 


> 


a 
b 


R ^ 




a 


I 


««-6«' 




+ a« 



gegen die obige, allem Folgenden zu Grunde liegende Vor« 
aiissetzuDg streitet. Daher kann nie 

»mUf und es ist folglich immer: 



/«V 6*8in6^sin5« , 

\rJ — h^^ — <*' 



aUo offenitar stets: 

. a p*6in6sinö 

1 H ß. K^r- >0, 

möge sindsiDcS eine positive oder eine negative Grosse «iein. 
Wenn nun 



ar 



1— c*co8d*8inü*= a g^sin^sin d) 

ATö'« > (' + R AV 



niCre, so wSre, eben weil nach dem so eben Bewiesenen die 
qaadrirte Grosse auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens 
eine nicht verschwindende positive Grosse ist: 

iL V^J — g^ cos ^ sin 5^ = I _|_ « g^sindsin « 

also: 

a V^l— c* cos Ä^ sin cS^ — g* sind sinö = - 

folglich : 

«= Ki^' _, 

^^ V^l— ß^cosd^sino^ — g* sind sin ö 

vreil^ wie aus der vorstehenden Ungleichung sich ganz von selbst 
•rgiebts 



' ■ * 



286 Grüner l: Nette Enlwickeiung 

Vi — e* cos d^ sin ö* — e*sin^sinö > 



ist. Wenn nun 



ist, 80 ist offenbar: 



sin^sino) ^ 



V^l — c^cosd^sinw* — e^sindsinco ^ 1, 
also: 



K 



I 






Vi — c^cosd*sinü* — e^sin^sino) ^ 
folglich nach dem Obigen: 

weil offenbar 

Vl-e»sinö* ^ VT— "e*. 
ist ; also : 

und folglich, vreil nach dem Obigen 









ö 




ö 


r= 




a 




a 


> 


1 + 




-b* 



ist: 



a z=z a 



■ 

was wieder gegen die obige Voraussetzung streitet. Wenn fers 

sind sin ö) < 
ist, so ist: 

^ — e^sindsinö "T e*, 
wo die Grosse auf der linken Seite positiv ist; also ist offenb 

r 

Vi — e* cos S* sin ö* — 6* sin d sin 5 "T 1 + c«. 



9 



• rf 



der Grundformehi der sphärischen Astronomie, 287 

Iglich : 



Vl-i-«*co8d*8in(0* — e^sindsino) ^ 1 +«** 
fid daher nach dem Obigen: 

il80 offenbar um so mehr: 

ß> 1+6« ' 
oder : 



g^ = 1[ fl« g = 

Ä > , . g«— Ä« • 7^>, g«-Ä«' 



g 



g« ' ^ «a 



was wiederum gegen die Voraussetzung streitet. Hiernach kann 
also nie 

(g\* 1 — e^cosJ^s inM« = ,^ a c*sin5sinö 

sein, und es ist also immer: 

/g\' 1 — e*cosö*sin5* ^ ^, g e^sindsinu^ 

(r) -—~k^*- — <(' + Ä -leö^-)"' 

oder : 

/g\* 1 — e*cos^^sinö« „ « ^^«'«"^sinö« 

Kr) • i^ö'^ ^^ Ä — K^' ^<**- 

Weil also: 

g e^sin^sinö,-, /g\' 1 — e*co8^sinö*^ ,, 
<^ + Ä K^-^ --Vr) K^ ^^ 

at, 80 ist: 

a ß*8in^sin ö / g V ^^os^^ain^ /a\* 1 

ibo um so mehr: 

^ g e*sindsinö « /o\* c*cosö*8in5* /ö\* cosA« 

•^+Ä- — äT""^ +W K^ — >W TV* 

Hier: 



y^^ 



290 Grunert: Neue Entwtckelung 

g < 0,9900 

sei, und dass sich dies in der Astronomie immer nird voni 
setzen lassen, ist klar. 

Für die Kugel ist a = 6, also 

6 

«« — 6« 

und daher die im Vorhergebenden immer zu Grunde gelegte 8t 
dingung 

Weil in diesem Falle bekanntlich e = und il^o' = I ist, so n 
nach 12*): 

13). ... . S=V '-G^^^O'"^*'"'^' 
oder: 



14) 



. . . -j^=:V (1 — »C0SA)(I -|- nCOsA) — Ö^*"^ 



T 

Aus den Ausdrücken 1) und 12*) von -p erhellet, dass ii 

il T 

= =U die Grosse p = l i^^» und da man nun für Fixstern 

wenigstens mit sehr grosser Annäherung -n = zu setzen ^ 

rechtigt ist; so nehmen für diese Weltkorper die Fundaroeofa 
Gleichungen §. 4. 10) und §. 4. 11) die folgende einfachere 6 
stalt an : 

Icos <T cos 6 = sin h cos c5 -f cos o> cos h sin c3 , 
sin a cos d = sin o> cos A, 
sin^ = sinAsinc5 — cos cd cos A cos c5 
und: 

cos CD cos A = cosacosdsincd — sindcoscS, 
16) . . . { sin (0 cos A = sine; cos ^, 

sinA = cosacos^coso -f sind sin o. 



der GnmdfbrmelH d$r sphtlrUchen AitrmomU. 291 

Qr Fixsterne bat man daher ancb immer: 



f_0 ü-l 



o setzen. 



§. 7. 

Wir wollen jetzt zeigen, wie man sieb die Berechnung von 
12 nach den vorhergehenden Formeln etwas erleichtern kann, 
and dabei lugleich auch den Stnndenwinkel a betrachten. 

Wenn wir der Kflrze wegen: 

-^ ^ iT,, . a e*8in^8io&«, . /fl\* c*co84*8inö2 

I) Q=Y(n.g. — jj^-,— )«+^^j — .^^ — 

V, ^a 6*8in^sin€5 /«V ^*«lnS* 
setsen , ao \nX nach §. 6. 12*) : 

und setzen wir also, indem wir den Hiilfswinkel tt zwischen 
oflil -f-90^ nehmen *) : 

a \ a 



») smtfr=- — g — cosA =: M, /q CosA, 



so ist: 



aUo, weil 



r ^ a Blüh 

-g=ÖCOStl-^.-j^,, 

a 1 ^ sintf 



^ Die Grösse aaf der rechten Seite des Gleichheitscelchf^ns in der 
■aefafolgeoden Gleichung 2) ist nämlich jedenfalls positiv : deslinll» kann 
aiaa ar zwischen and -fdO^» nehmen. 

TJieU XLIY. 19 



292 erunert: /ferne Bntmtekehmf 

ist: 

■od folgUeb: 

Nach der dritten der GleSchongen $. 4. II) ist: 

also nach 2) nnd 3): 

Äi,'«?^+CM(A+«)taiigA 
co.tf=Ö cosjcosg tangdtango 

(1 — «■«in 5*) -— T + CO« (Ä + ir) lang h 
= Q ^^ = taneatw^ 

«intf «hiti .,-.., - . ^-«in« 
^ COBh COBk I co«Ji 

co«dco«o 
— tangdtango, 

also: 

8in(A-|-ti) — e^BIDQ* r 

4) . . . co«tf=Q cos 4 CO« Q tangiJtangü. 



Weil nach {. 6. 



, (1 e'sindsino ^ 

*+Ä — i?ö' — >^ 



ist, so kann man nach 1) 



. J i ^ c'cosÄsino J* 

T ^*+Ä — Kö^ — ) 

setzen, ond berechnet man also den zwischen —90^ und 4-9 
genommenen Hfilfswinkel B mittelst der Formel: 



der Crundfonutn der nphilriteheti Aslronomie. 293 

^> *~«*=7--r?ssäriÄ5' 

M ist: 

^ a e^coB^sinS ,^ 
Q= Ä* i?""^ cotösecö» 

alfo: 
l A\ n — ^ c* cos 6 Bing r^ ^ #*co8^ain5co8(A-f «) 

Ntcb 4) und 6) ist: 

a e^cososlncD ^ ' ' €08 A » _ 

«=:-n • — V I * n 1 =r tang o taug (o, 

K Ka'ninS cos o cos «5 ^ ^ 



Ü^' 



li 2) und 8) Ist aber, wie man sogleich übersieht : 



cos A sind 
*""' = ««co.«»ln5' 

also nach VorstebeDdeni : 






Dater hat man zur Berechnung von a das folgende System von 

6*) 

a g*cos^sin5 

W Ka' cosAsinO 

tangÖ= ^"««sÄä^sinö' "'"•* — «• cos ^ sin ö' 

i 

ia e^ rsin(A-fM) sinü-| ^ ^i 

19* 



294 Grünen : Neue Eniwickelung 

Der Winkel 6 ist zwischen — 90^ and -f^^* der Winlu 
zwischen und -f 90^ za nehmen. 

Wegen der grossen Klehiheit der absoluten Werthe der Gro 

_a e*sinjsinc5 , /ö\* c*sinö* 

kann man nach 1) offenbar mit grosser AnnSherang Q=l u\ 
dadurch wird nach 2): 

7). . . slni« = -g.Ts-7COsA=gcosA(l— e*sin€D*)-l 

= -gcosA(l-|-|e*sinc5* +5^«*siuö* + g^j^6*8inö*+-J 

ferner nach 3): 

8) *" SS 22!!i*+^, 

' B cosA 

und nach 4): 

^. 8in(A -f ff) — sind sin o ,sin o tang c5 sin« 

Vf) cos c s: 5 = c' X "9 

' cos o cos o cosocosA 

also : 

COS COS CD COSOCMi 

- . _ - _ co8(j— ttl)— sin(A-fti) , .sinotaotSii 
2 8inio«=:l — cosa=: 'x^^„7^ +^* 3^ 

' C08 0C08CD COsdcMl 

folglich : 

10) 

. . co8|J(d + 5 — A-t«)+450|co8(i(a+ö + A+ii)— « 

cos 4Ö" = 5 = ' 

' COS O COS C^ 

_^. ^ sin 5 tang 5 sin« 
* cosdcosA ' 

. , . 8inti(d— 5-A— ti)+450)8in |i(d— c5-hA-|-i>)-4 

810 4ö* = 5 =^^ — ' 

" COS COS Cd 

^ sin 5 tang 5 Sinti 
"*"* cosdcosA 

Für die Kugel ist völlig genau: 
11) sintf =: j^cosA, 



ilfi Crutulfiirmeln ilft tphi^rttftien Ulfimmtr. 



1» 
13). 



C08Ä ' 



«in(A4-u) — ainflgina 



Hl 






cOBti(J + ö — A — n) + 45''|coB l 4( 3.f5 + A^-«)— 45»t 

COB d COS Ü ' 

swH(g— M-A— MJ + iS-ixinUca-ö+A + a)— 45"! 



8. K. 

lodvm Rir als eine unabhfiiif>i£;c veränderliche (irüeGe sich 

i[j{itivrti lauen, und ti ala eine davnn abhHngende veräniler- 

'ic Grüuc, als eine Function von a betrachten, «ollen ivir 

-ut DDtctsncbeti , fQr weklie Werthe des Sluiidenivinbels 4 die 

IfSbe A ein Maximum oder ein Minimum tvird, »oliet «vir d, ü 

unil d«t Kflne neifeii nurfa » als Gonstanl betrachten, itos ne- 

-ir>(ea» in kleinen Zeitinlervallen, die hier nur cur Betrachtung 
^iimeu. mit grosser Annäherung der Fall sein wird. Bevor ivir 
'iT an iliescr Untcrguchnng (ibcrgchcn, ist Fiili:endcB zu bemerken. 

Bei allen unseren vorhergehenden Enlwickeluii^en und in allen 

i dviaselbeii herforgeganLienen Formeln sind die Stundenninkel 

loa dem {losillven Theilo der Axc der x nn nach dem jmsiti' 

len Tlieile der Axe der ji hin von bis 3W ge«Shlt uorden, 

aoA ntnn kann nliio bei dieser AurTnüsiinpsweiAc a sich von an 

<lilie durch ISO" hindurch l/is »W» verändern lassen, wogegen 

riikf cteil<;e VerSndomni; von a durch hindurch bei dieser 

fraaBatHtttwciee nicht müslich ist. nesball* pflegt man die Stun- 

> t^bikcl auch noch auf eine andere Art zu sfihlen, indem man 

«-•«ttvn absolut von dem posHivon Tlieite der Axe der x an 

■ h dem jioaltlven Tbelle der Axo der ^ hin von bis 180", 

' ebat BO von dem poslliron Thoilc der Aze der x an nach 



296 Grüner l: Neue . ErUwickelung 

dem negativen Tbelle der Axe der y hio von bis 180^ : 
im ersten Falle aber als positiv, im zweiten als negativ bei 
tet, wo man also o sich von — 180** stetig durcb hin 
bis -f 180^ verändern lassen kann. Ein ganz fibolicbes Verfi 
was hier nicht weiter erläutert zu werden braucht, befolg 
bei den Azimuthen co. Bezeichnet man non Stundenwiokc 
Azimuth« bei der ersten Anffassungswelse wie bisher durch 
bei der zweiten Aoffassungsweise aber durch <fi , o^ ; so e 
auf der Stelle, dass, wenn 



ist, offenbar 



also 



0<o<180«, 0<a)<lW 

= 0| , 0) = 0>| , 

I 

cos = cos 0| , cos CD := cos 0| ; 

sin o s^ sin 0| , sin o = sin o>| ; 



wenn dagegen 



180O < <y < 360«, 180» < w < 36(>> 
ist, offenbar 

tf = 360«+öi, CO =5 3600+ 0)1, 
also wiederum 

COS0 = COSO| , cos CD =: COS CDi ; 

sin o := sin Oi , sin oo = sin coi ; 
und daher immer 

cos 6 = cos <T| , sin = sin 0| ; 
COS CD = cos 00| , sin co = sin coi 

ist; woraus sich also ganz unzweideutig ergiebt, dass die 
formein §. 4. 10) und §. 4. 11), und daher natürlich auch i 
raus abgeleiteten Formeln, ihre volle Gältigkeit behaltei 
mag die Stundenwinkel, und Azimuthe im ersten oder im : 
Sinne auffassen. Kommt es also darauf an, sich eine 
Veränderung der Stundenwinkel und Azimuthe durch 18 
durch zu denken, so wird man sich immer der ersten 
sungsweise bedienen, wogegen man sich der zweiten Auffa 
weise bedient, wenn es darauf ankommt, die Stunden winJ 
Azimuthe sich stetig durch hindurch verändern zu 
Diese Bemerkungen hat man im Folgeoden stets fests« 



ätT GruadformeiH der spfiiirfscAen Astronomie. 



2*»7 



tentlich bei der hier unmittelbar nach folgenden AaweiiduDg 
' Differentialrechnang zur Lüsung einer Aufgabe fiber die 
lÜma, und Minima nichl aus den Aage» xu lassen. In der 
Egel werden nlr übrigens im Folgenden die Ailmulhe und 
rinbel immer von bis 360^* zählen und bloss ponitiv 
sollen dieselben absolut nur von bis 180^ gezählt, 
I als positiv and negativ betrscblet werden, so werden ntr 
diw immer besonders anzeigen. 

Nach (.4. li) Ist, mit Kficicsicht auf die vorhergehen den ß«- 

Ka' + ■D*'nA = co8 0cosäcosÖ + sinAsinö, 

Mgfich, ivcnn msn unter den obigen Voraussetzungen nach 
itiirt : 

^ .»*. ■ /(*) . - 

"'s? + — si — i, + ""* Sit- +"'»8; ■ TT- 

= — cosscos^cosü. 
t wir nun der Kürze wegen: 




I) 



cosA'— **co«d'sinu' 



/.=,Hi.'-'^,.-(i)- 

« g'singslnS /a\' «^ain c5« /ay co»*« 
•^ kt Buch ^ & 12*) : 



8, - 



■Ko'"'8«~«' 



298 Grunert: Neue EfUwicHelung 

und: 

^ \r) ./« V 1_ 8(P-*aiii2A) 8A 










a coaA S'A 



dA 



Pflr s-^0 ist hienaeh auch 



^)=., 



d 

also nach dem Obigen: 

2) sintfcoeJeoeS =0. 

Ferner ist ofiter deraelben VoraoseetzuDg nach dem OUgen*« 

r .8«*^ . .Ki) . - 

g cosAg-^ + sinA — aV^ = — cos CJ cosocosq 

und 

^VSy _,/a\«^, sin2A 8% a cosÄ a«Ä 

r /^^* n_i siD**cosA fl sinÄco8Äi8*Ä 
-gco8A + ^^^ P-..— jj-75 ß- ifo' las* 

= — cos cos ^ cos S, 

and folglich, wenn man für -» seinen Werth aus dem Oiiige 
einführt : 

, ^a sinÄcosA /a\* 1 sinA^cosA^d'i 

= — eostfcosdcoso 
oder: 



also: 



iler Gnmdformeln der sphärischen Astrotwmle. 
= — coBdcosdcosÜ. 



p)». K^ = — COSOCOfiO 



I Die GIncbang 

sinacDsi!>co8Ü ^U 
1 «rfmil durcb 

ff =^ und = 1800. 

0^0 ist nach Vorstehendem: 

• , weil cosA, cosd, cosü stets positiv sind, der ztveite liii- 
kenti&lqnoScnl ö^ negativ, folglich k ein Maximum; TEIr ff=l80" 

co.*VP.{l-g.^p)».j^ = +co,Joo.a. 

alao, üUB demselben Grunde wie vorher, der zweite Differeiilial- 
<]U6tieiil g-j [rositiv, folglich h ein Miiiirauni. 

Für die grüaslo and klein-<le Höhe h seihst ist iiacli dem 
Dbigen retpoctive: 



t5Äo' + (Vr-^ .^^')sinA=— (costfcoscj— Bindsinö): 
, nenn man tiir die grüsste Hübe die oberen, ftlr die kleinste 
Rühe die nnteren Zeichen nimmt: 



lua n€lch«r Gleichung wir jetzt h bestimmen wollen. Nat-h I) 
1 Obigen und nach §.7. I) ist: 

/o\' cosA» 



300 Grüner i: Neue EnMckelung 

wo bek^natlicb Q eine positive GrOsse ist; also ist die O» 
chang 3)t 



oder: 



V 



\JU .. « siaA 



gÄb'+iQY »--^~«*"-|-:^»-»-* 



a 






=- i ' v=^&+^'J5r9~^*+-^* 



=sdbcos(dTS). 
Setsen wir oan wie in (.T.^: 



sin « s p-^ cos A, 
wo tf wie dort swiscben und -f 90^ liegend gedacht wird> m'^' 




a 

Ik sini 



und folglich nach dem Obigen: « 

^«' /A . \ ^ e^sinS" . /.-r-x 

Ösin(A + tt)— -g.-7========±co8(dTü). 

also : 

4) ... sin(A+ii) = ± ^ — +Ä-77I7T=f^=^' 

^ ^ ÖVl-e«sin(d* 

mittelst welcher Formel A -f tf gefunden wird. Nnn ist aber; 

sintt sin{(A + tt)^A| . ,. , x /l . \4 r ^ 

^5^ = Zi^ =sin(A + «)-cos(A + tt)tangA=^^. 





^TQ .... (angA 


1 


nültcliil iTdchct Formel ninn ilic grilaate oder kleinete Hübe h 1 
dUJl. Aber »eich« Aufltiaung nun aber noch die falgenilen ßr- H 
■ofaitigeti XU machen sinrj, fl 


|f W«il bekanntlich M 


■ 


-»0"<«<490». ^^H 


■ 


0<|>< + W ^^^H 


^.«i.. 


^^ 




- HO" < * 1 « < + 180». 1 


blur. »1,.(A + «) 


D Folge der Formel 4) negaliv, so Icann nur H 




-!«)»<4 + ..<0 1 


■OD, es bkiht also bei der Bestiinmung von k \ u niitleUt der 1 
FDtmel J), folKlich nuch bei der Restimniung von h mittelst dei fl 
rennet 5) kein Zweifel. Wenn aber «lnCA + «) sid. nülteUt der ■ 
Fonael 4) positiv orifiebl, so ist 1 




U < A 4^ u < 180°, ■ 


ntul usn «rhlll ftlr A -)- h >»ei sich bu 180» ergSnzende Werlbe. ■ 
«dche mittelst der Formel 5) offenbar znei dem Zeichen nach H 
ealceRngcseUte, naiarltcta sbsolril unischen U und 'AT' liegend« ■ 
Wcrlb« HU A liel'ern, so dnss aUn die Frage entsteht, welchen 1 
^^MT Mden Werihe man »u nehmen bat. Nun ist aber nach 3): ■ 


^B (V/'-J-^*)wnA = ±eos(aTö)-^Ä-6'. 1 


^ mA weil nach den 


^^H 






tel, BO Ul die Cr 


^^^^1 






'■lala iioültiv: aUo 


h>t nuch dem ^^^B 




IneKfü)-^«:»' ^^^^ 



302 Grüner l: Neue EnUDichelung 

stets mit sinA, folglich mit h gleiches Vorzeichen« woraas si 
ergieht» dass man fSr k immer den Werth nehmen raoss, wel- 
cher mit 

dbcosCdl^ö)— tjUd'* 

gleiches Vorzeichen bat» immer unter der Voraossetcang« da« 
im Vorhergehenden die oberen und unteren Vorseichen respe& 
ti?e bei der Bestimmung der grOssten und kleinsten Hohe geoMi' 
men werden müssen. 

Für die Kugel ist 6 = und JTq'^I^ Q = lf so dass m 
nach 4) und 6) fflr diesen Fall die Formeln: 



6) sin(A-f tf) = ±cos(^=F^) 

und 
7) tangA=rtang(A-|-K) — ^sec(A-f «) 

hat. 

Aus der wichtigen Gleichung 3), welche man, weil 

r .^ a suki 



ist, auch auf folgende Art schreiben kann : 

8) -nSinA=i:Cos(j=f 0)— -gJTcsS 

lassen sich verschiedene Folgerungen ziehen, von denen wir hier 
nur die folgende bemerken wollen. Ein Gestirn geht nie QBicf. 
wenn seine kleinste Höhe positiv, also nach 8), wenn die Be- 
dingung 



-cos(Ä + 5) — ■gjro'>0> 



oder 



n 



oder 



cos(a + ö) + ^Äb'<0, 



C0S(Ä + G))< —-giTcs', 



erfällt ist. Ein Gestirn geht nie auf, wenn seine qrüsste Hoh«'- 
negativ, also nach 8), wenn die Bedingang 



oder 



C08(d — ö)— ^iTo' <0, 





.W3 


<;os(d-ö)<-|Äo' 




criaill Ut Ein Gestirn geht auf and unter, wenn sein« 
Hrihe Mgativ und seine gnlsste Hnhe positiv ist, also 
xma die Bedingungen 


! kleinste 
nach 8), 


-c«8(3 + 5)-Jjro'<0, 








-c<,6(ä-fu)<^lf(a'. cos{3-ö)> ^ffo' 


^H 


'■rffilH «nd, ««nn folglich 


^^1 


-C0B(.5 + ß) s 7^ Ka- < + co8(a- w) 


^H 


l'ut <tic Ku^'ei ist in den vurtieigelienclen Hedin^n^er 


1 AV=I 1 


Far die Filelerne, wenn man fClr dieselben ]^ = < 


[l witzt, 1 


pkta dtMv Bedingungen in die folgenden fiber. Ein 
fdil nie itnter, wen« 


Fiiiletn 1 


co8{3+ü)<0 


1 


^ht; ein Fiulern gebt nie auf, wenn 


^^J 


H» cos(a-ü)<Ü 


^^^1 


^^k cte rixstorn geht auf und unter, wenn 


'^^^H 


^H -co8(a+6)<0< +co8{a-ö) 


^M 


^B 'Wenn man die Gleichungen §.4.ll) oul folgende Art 


. 1 


^H ^eos«<:o»H^'^a = co8(icoHasinÜ~Hindc.*8Ü 


1 


■ ^-ln»oo.* = sin«osa. 


^j 


^B JjBinA + ^AV-coaffcoadcosö f sindsinö 


d^H 


dMKtallt. dieMiben qnadrirl und dann tu einander additi; 

1. 


.0 I1..I V 

swurlhet H 



304 ' ffruneri: Neue Siumiekeimi§ 

T 

Auidnick too -g iJl»ieit6D, dM wir hier noch entvHckeh wollen 

sosIoImC weniger seiner eelbet wegen, nie nm eine gewieee Gn- 
trele für die RieiitigiLeit der früiieren £ntwiel[elungeo danoi« 
entodimen. Nach dem angegebenen Verfahren erhUt hmui 
lieh eogleicb die qnadratiaehe Gleidrang: 

1) 

Nach $.4.9) ist aber s 

ATacoe »cosA -f ITa'ein A 

ainA 3;^ainS(8inAehio — coawcoeAcosQ) 



V 



1 s— alnSP 



also nach $. 3. 7), wenn man der Kflrze wegen 

aittü 2 — sin c5 (sin A sin SS — cos o cos A cos Q ' 



2).. .2*=: ^--^ 



setzt: 






■hli 



ii 



• J 



Ko COS 10 COS A -|- ATQ'sin A = - J » 

■ 

folglich hiernach nnd nach §• 5. 11): 

') a)'+"* Hb)'-'- 

woraus sich auf gewohnliche Weise: 

ergiebt. Das Product dieser beiden Werthe von -^ ist 

ay-'- ■ 

und folglich , insofern nur 12 > ^ ist^ was sich naturlich Kw 
immer wird voraussetzen lassen, negativ, woraus sich ergldUf 

dass die beiden obigen Werthe toh -j^ entgegengesetzte Vonii- 
chen haben; nnd weil nnn 



der CrurulftnmetH der gplidrfschen Attronomle. 



> Differenz also poe'itiv ist, sa lierert das obere Zeicbeo d«» 
neu, folglich den positiven Werlh, und man muss nlso: 

.. J=VT-(,-..)(i)-.(Sj-.«.S 

Für die Kngel Ist nach dem Obigen vl=siDA und (/ = n. 

i=V"'-(B~"7-B"°»- 

B ganz mit der frflher gefondenen Formel $. C». 13) uhereioBtintmt. 
Für ffie Criiese ^ kann tnan noch ein Paar bemerkensnerlbe 

f'-~drQcke finden, wenn man ilie Breite ip einfuhrt. Nach 2) ist 
lieb: 



A = 



a*»m k — (n*-» t' j ain cj (sin A Bi n 5 - 
V"n*cösw«T"6*si'r 



mcosAcoau) 



also nach ^3. 10) ^ 

co«^ . /cosqj ein (p\ , ^, , , , _ , _, 

A= =smh— I =. r-^ IsinofsinAsmu — cosrocosAcosQ) 



\nhcoaip — 8iM(u — ^)(sinA8inu — cos w coa A cos u) 



oder; 

I Addirt und aubtrahirt man im Zähler dieses Bruchs das Prodnct: 

sin (5- ^)co8(A + ö), 
tcrliSlt man: 

L •w>Aco*y+sin(M^y)cos(A+ä )— 2Bi n(M— ffjeosAcQBMsin im*. 

■Ist aber: 

. aiiin(ö — 9))cus(A fü) = siii(A — 9) + 2ü) — 5in(A 4 y). 



der Grtmd/brmeln der sphärischen \slrnnomle. 



>Go*+ßCOs(fl'-ö) 



08 //' = 7> ^o + sio { ly + ö) , 

itn B' = — -ji äTq' — cos (ly + ö). 

I Die svreiteii Gieichnogen in den SyHleinen jj. 4. 10) und j.4, 
Kw«rdei] in den vorliegenden Fällen identisch. 

B Wenn man in jedem der vier vorfaergehenden (Systeme zweiiT 
Igen die Grüsse ^ eliminirt, so erfaält man dio vier Toi' 
I Gleichungen: 

5) 

»e(ff—ß+ä) r= ^IGEC08(fl+ü) + Ga'BlD(H-{ a)\. 

6) 

miW-iy - ö) = - ^1 Gocos(//' - (5) - Co' sin {//' -S) I . 



»»(»-/>+ ü) - 



^(ATo. 



-C— ö)=— ^(A'osinä'+Äo'cOBÖ'). 

ferner ergeben sicfi ans den in Rede siebenden vier Syste 
I roo Gieichnngen leicht durch Division die folgenden Formeln 



. tang/Z = 



cus(D — o) — ~R^^' 
!.in(0-ö)+ ^ffs 



308 Grunert: NeUe EnttDickelung 



cosZ>'+-gGcj 

11) . . . tang(fl' — ö)= p 

sin ^ — ö Gjj' 

cos(Z>' + 5) + ^Äö' 
12) tang£f'= 



sio (!>' + 5) 4- g AT© 

Für die Kugel ist bekanntlich: 

6ro^COS5, 6rQ' = 8iDÖ, G©«+Go'«=l; 
also nach §.6. 1): 

13) ... . J=:Y l-2~cos(Z>-5) + (~y 
und: 



14) 



R=V»+25~»(^+^>+(i7- 



Nach §. 9. 5) und §. 9. 6) Ut: 

15) . . . . A = ain(H — q)-i-ö)=8xa(H'+<p — ö), 

nnd nach §. 9. 4) ist also: 

16) 

= Y l-fjcos(Ä'+v-i5)r-^8iD(Ä' + 9-ö); 

setst man also: 

17) 

sino = ^cos(£f — 9) + ö) = ^ • -co8(£f — (p + ö) , 

sin»' = ^cos(Ä'+9)— 5) = ^ . -cos(Ä' + 9 — 5) ; 

und nimmt die Winkel 0, 0' immer zwischen — 90^ und -f 9(F, 
ist, wie man leicht findet: 



*• 



tier Crundformeln der spitärlsrheti Astronomie. 



_ CO« (U— y + 5 + b) _ 
~ coMtH — f i-ä) ~ 



cos(fl' +y — a + r ') 



sV II. 

Inilom ivir jetzt lu eiriit>en AnvceiKluiigen der iin VnrhergC' 
triidcD en (wickelten allgemeinen fonneln üfiergelicn, wollen wir 
nifnrt eine AuClüsiing der rollenden wichtigen Aufgabe (<ctie<i : 

Die EntferMang cince Wvllk<>ri)ern von dem !Mitttlpunklc der 
Ktde ja biwlimmen, weil» nmn in zwei unter dem^ellieti Meridian 
'iff^nden Punkten auf der Erdulierfl^'iche, deren aU bekannt vor- 
«««•otilo Polhühon, Breiten und entsprechende Erdhalbmesser 
y.f, ff uod U| , <pi, fi sein mii^feti, diesen Wvllklirper hei sei- 
dm OurchgangQ durch den Meridian heobachlot, und in dieseih 
Monent seine llilhen // initl //| gemessen hat. 

Bezeichnen wir die DeclianÜnn des Weltkürpera im ^luiuual 
iJn Beoltachtungen durch D, und Tür den!>elbeii Moment seine 
r;fitrenmng vom Mittelpunkte der Erde durch R, seine Entfer- 
TOD den beiden Iteobnchtiingsorten durch r und r, ; so 
wir nscb $■ lO. I) die folgenden Hlclcbungen: 



eÖ = 



n^a^i 



n(l/+Ö). 



cos /> = ^ Ca. + ^sin {//, + u,) , 

slDÖ = ^i:.o,'-^cos(//, tö,); 

I Mch sogleich die tileichungen : 

tf(6a — fio.)=:— rsin(// + S) + r,Bin{«, | ö,f. 
4{6V-Ca,')= rco).{W+ö) — r,cos(//, I (.>,); 
«•i hieraus ferner die tilvichuiigcn : 



•sln(//-//, +t 



S). 



310 eruMert; Neut BmwUketwag 

«((ea-«?oJco#(fl+iS) + «?o'-Co.')«i'«(fl+5)l 
=~TiB^{B—Bi -f ö— ü|); 

•Im bot B«nAMUg>voa r wtA r^ dU FttmelD: 

3) 

_ (Gg-Go,)cog(g, + ä,) + (Cei'-GB.')8ia(g, + a,) 

'~ aiD(fl,-ff+ü,— ö) ~~* 

_ (Go-Cci.)co9(g+ö) + {Cg'-Go.')8in(g + (J) , 

ergeben. 

Hat man r and r, auf diese Weise gefonilen, so ergi«^ 

R. da nach §. 10. 15) j 

J=:Bin(H— v + 5), /li =8in(ff,— qj, + öj) J 

ist, niitlelst eioer der beiden folgeDdeo, unmittelbar svM 

flleBseoden ForiDelo: | 

Iß = Vr«+-2re8in(tf — 9) + ö) +»=>. 
ß = Vr,«+'2r,e,8iD(ö. -y, +0.) + p,« 

NatGrIicb l&sst sich nun auch D mittelst der Ponndi D» 
oder auch mittelst der aas diesen Fornieln sieb uDmithttB, 
gebenden Formeln: 

' Go'-^cos(ö + ö) i. 

tMigO = ;: , 

(fo + -«iii(Ä+ö) 

Go.'-5«w(fli + 5,) 
f taDg/>=: 

bwecbnea. 

Da mittelst dieser letateren Formeln D nnabbSngig n 
gefunden wird, sd kann man, wenn man D aaf diese Weis« 
funden hat, dana B nach g. 10. 5} auch mittelst der Formell 

p_ GBCw(g + S)-|-CB'B'a(g+5 ) 
"- coe(Ä-Z>+ö) "• 

p_ Ga.coB(i5fi+5,) + GB.'»iii(ai-fä.) 



der Grundfnrmeln der »phdrisehrn AUronomir. 



;ii] 



Man künnte diese Audüsang noch taehrfacb nbKndern ; ilae 
\ orhcrg«hende ijenCfgl aber, zu seigen, wie leicbl, elegant und 
vüUig allgemciu die liebaodelto »icbtige Aufgabe sich mittelst 
nBserer in diesei Abbandluag entnickeiten Formelo auflüsea lässt. 



Von grosser {iraküscber WichltgketI iai bekanDlIicb die Auf- 



Am der gegebonon Polh~>hB, der gehobene» Doclination eioes 
WdlkaTpen. und der gemessenen Utlbe desselben, die Zeit lu 



w«ldie in Vorb ergebenden eigentlich schon votlstSndig aufgelSsl 
ivC *o ■)&•• wir ans also hier darauf beschränken, die zur Anf- 
ttnMg dies« AuF^^nbc erforderlichen, im Obigen bereit« eotwickel- 
ta FomelD xusammenzusteUen. 



Betmcblol man die Erde als ein Ellipsoid, so hat man nach 
(. 7. 6*) die foJgendeu Formeln : 

o t'cos 3 ain 5 




coaAain 6 



Ca e* r«in(A + M) sind)"] ,)^ 



Winkel (i zwischen 
>lM%cfl und -f 00° SU nehm 



—90" and +90°, den Winkel 
I hat 



Formeln sind ganz genau. Nach {. 7. 7), 10) hat man 
falgeadcn NKherangsformeln ; 



i-iCOBA= fjCMk{\—e*si<cii^*)-\. 



CO»! t(< 4- g - *— M) + 48" t cos H(d ■!■ 5 - f A 4- u) - 45" 
T coedcoaö 



312 Grünen : Seue Entwickelung 

^'" *^ = : cos «cos c5 

. , «sinStangösintc 

+ 1« r^ — z — 5 

* cosocosA 

wo tf zwischen und -|-90^ zu nehmen ist. 
Für die Kugel ist voUig genau: 

slotc^ j^cosA, 

,^ co8ii«-hS— A— ii) + 450|co8|i(«-i-S + A+«)-«t 

cos 4o* = 5 — ■ *i 

' cos^eosS 

. .^ sinU(tf-<5--it->tt)+450l8in(KJ-g 4A + «)-^, 

■ -^ eosocosQ 

wo auch jetst u awischen und -|-90^ genommen werd« wt^ 

Man erhXit für o zwei sich zu 360^ ergänzende varseUeta 
Werthe; welchen dieser beiden Wert he man za nehnn ini 
kann in jedem einzelnen Falle nur aus den Beobachtu^gn nlhA 
entschieden werden. 



$. 13. 

Wenn man die d^ Stundenwinkel = entsprechend p^ 
sitive Hohe H eines Weltkorpers durch irgend ein Verfahrei ge- 
messen hat, und ausserdem die entsprechende Decliiiatio« D 

desselben , so wie auch die Grosse ^ , bekannt sind ; so Utf«f' 

sich daraus verschiedene andere Bestimmungen auf dem ^^ 
der Rechnung ableiten , unter denen aber die Bestimmunf ^ 
Polhohe o die wichtigste ist, weshalb wir uns für jetzt hier aodk 
nur auf diese beschränken wollen. 

Wie man diese Aurgabe im Allgemeinen analytisch lo be- 
handeln hat, Übersicht man auf der Stelle auf folgende Art. Nacb 
§. 10. 1) und §. 10. 2) haben wir die folgenden Gleichungen: 

a r _ 

co8D = ^Go+ ^8in(Af + o), 

1) 



Q T _ 

sin /)= jfG^* — j^CQ^{li \ O) 



und: 



w 



der GruHilformtia der siilti'irinclien itironuaiie. 



I « 



»// = - 



Aß — sio(Ö — o). 



( ^«11// = — B*o' +«Ht(/^ — Ö), 

SkmbI I), als auch 2), ist ein System von atvei GIflictiaiigen, 
DU douen sich die beiden unbekannten Grüsseo Ü und ^ be> 
•finm«!! lassen. Brinncrt man sich aber nn die Form der be- 
kiDDteu Auadrifclte ron Cq. Ga' nnd Kti> Hn'r i" ^enen jelst 
ü nU nnbcbannte Grüsse betrachtet nird; »o überzeugt man »ich 
lufdei Stelle, daes die allgemeine Auflüsung unserer Aufgabe 
lilr du Ellipsoid sehr weitlüaüg ausrnlten, ja die KrMrie der Ana- 
hfU nah\ tasi üliersleigen nürde. Anders aber gestallet sicli 
A<c Sache, ucnn man diu Erde ah eine Kugel betraehtel. weil 
-iIhii bekanntlich 



= 0. Äo'=l 



obigvn Gleichungen folglich in 



coa/>= i^cosu-f- ^6in(/y-f r.)J, 
sJnÜ = ^8inÖ-^j,co8f//l «) 

Iy,cnB « = sin (ö — />) , 
^^«inö= co6(ä~Ü)—y 



I 



[cbeu. Durch Eliminnlion von k ftolnngl man Mo^leich 8o- 

I nhtdsl des des ersten, als such mittelst iireiteii Syslvtns 
4«r Gltiehung: 



*Cff— »+S) = 



n CftS H . 



bt welcher Furinel H ~ l)-\ Q, ulso auch u. bestimmt \\m- 

lOD, wenn man nur Folgendes bemerkt. Wenn uittii die 

I uml Eweite der Gleichungen 3) respective mit sin(//f ü) 

\ cos(tf -f ü) iuulti|irrcirl, und dann die zweite üleicliung von 

f flrstcB abzieht: eo erbHIl man <lie Gleichung: 



. Hin (W— /> -( u) = i. + > 



n// 



314 Gruneri: Neue EtUwiekeiung 

Well nach der VoraossetiaDg H positiv Ist, so sind nach 5) ^ 
6) die Grossen eos(£r— D-f S) «nd 8in(iSr— Z>-|-c5) ofenbar beMsL 
stets positiv. Wenn D positiv Ist» so ist offenbar: * 

also: 

-18(K><Ä-D+5<+1800; 

wenn dagegen D negativ ist, so Ist ofenbar: 

also: 

Weil nun aber cos(£f— D-f 3) nacb dem Obigen positiv iA* 
Icano hiemach nur 

und weil nach dem Obigen anch sin(£f^l> + S) pcsKiv tat, so 
kann hiernach ferner nur 

sein, woraus sich also ergiebt» dass, wenn man H — ^/>-|^ bHiM 
der Formel 5) berechnet» diese Grösse immer zwischen o' 
-f 90^ genommen werden mnss» so dass also bei deren Besa- 
mung nie ein Zweifel bleiben kann; auch ist diese BestimmiBS» 

weil -^cobH, und folglich nach 5) auch cos(H — Z>-f o), iseer 

der Null sehr nahe kommt» stets mit der erforderlichen GeBtti|- 
keit möglich. Berechnet man den zwischen und -f W n 
nehmenden Hfllfswinkel p mittelst der Formel: 

7) slnp :s: -j^eoB H , 

so Ist nach 5): 

cos(£f — D + id)zz Binp = cos (ÖO» -p) , 

also , weil die Winkel £F— D+q und p beide zwischen Q*^ 
4-900 liegen: 

Ä-Z>:h5 = 90o-p • 

oder: 



Kr 



^ CrMadf»rmeln dtr splittrUrJiett ittronomlt. 3|5 



= 90o+D-Ä— p. 



Bl« jfttzl haben nif die Erde als eine Kugel angesehen, und 

toter dieser Voranssetzung gefundene Wertb u der Polhiiha 

djM eigentlich nui als ein erster Niberungsu-erlb dieser . 

zti Ifcirachten. Woltle man nun aber auch die elüpsoi* 

Geslftlt der Erde berCcItsichtigen, so Itünnte man sich auf 

i'4lg«iu|« Art Tferhallen. 

ij. 10. 5). 7)iBt: 



:i!0 — D-|-ü) = ^|Gaco8(JV-f-ü)>Gö'alD(tf-|-ü)|. 



.>,^^y/— £>+(3) = ^(ÄTo'coeÄ— /fosln//): 

Dod aaB wird also den gefandenea ersten Nfiherungswerth der Pol- 
büfca M> laoge verändern, bis entweder der ersten oder der cnel- 
teo dteoer beiden Gleicbungen vollsIKndig genügt wird. 

Aber auch der successiven N&berung kann man sich mit 
1 bedienen. Weil nänilicb bekanntlicb: 



__ e^ainoc oau 
*'" ~ Vf-e'sÜTö»' 



= V"l-fl««ioÖ* 



tmt. ao ist naeh der sweÜen der Gleichungen 10): 

(1 — e*»inM*)c<wg— g'aitiöc« 



«ad blglkh offenhor: 



V"J^.*5 



" VI— «'alnö* 

■ fiadal ab« eine Reihe aucceasiver NKfaeruDRawerllMi 
ü, U|, ö(, 0), ü«, .... 
de« PolbSbe milteLtl der (otgvnden Fomaln: 



316 Grunert: Neue Entwickeiung 

12) ^ 

co«(/f — D + ö) = -nCoaN, 

'^ VI — e'«ifiOi* 

/n r^.,::-v ö «In £f—C*8iD 5,8111 (£f+5t) 

^ VI — «•ßinoa* 

U. 8. W. 

wa die Rechnung «o weit fortzufahren ist, bis zwei i^uf •■ 
folgende Näheruugswerthe sich in der verlangten Aoidi^ 
Decimalstellen nicht mehr von einander unterscheiden. 



§. J4. 
Von grosser praktischer Wichtigkeit ist auch die Aaff^' 

Aus zwei gemessenen H5hen eines Weltkurpers vMiVfaw 
ter Declination und der Differenz der entsprechenden Stosioi*^ 
kel die Polhohe und die Stundenwinkel zu bestimmen. 

Wenn wir die beiden gemessenen Hüben und die eatsfi 
chenden Stundenwinkel und DecliDationen durch 

bezeichnen; so haben wir nach §.4. 11) die folgenden Gleichui^ 

l^sinA = — B Afö' + cos tfcosd cos ö + sind sin ö > 

^sinAi = — «- ATo' + cosOi cosd|Cosc5 -f ^ind|Siuo; 

also, wenn, wir die £rde als eine Kugel voraussetzen, wei 
diesem Falle bekanntlich K^^' = I ist: 



i. 



2) ... 



g + -«sinA = cos cos d cos d) -h sind sind) , 
j^ + ^ sinÄ| = cos Ol cosdi cos ö + sin öi sin ö 

M 1 



der Gmmdforwuin der spkdriscäem Asiromtmie. 



31 



Berechnen \v\t nun die zwischen und -f 90° Heftenden Uulfs 
winke! ac, ar| mittelst der Forroein: 



3) 



sloii=^cosA, sin«! =-|^co6A|; 



wo ittflrlich D * ^ ^ bekannt vorausgesetzt werden ; so ist 
■ach$. 7. 8): 

r _ cos {h -f «) rj^ _ co8(A| +«1) 



1^ 



cosA ' l?| 



cosAi 



ood MgUdi: 



\ 



-|- ]5slnA= 



fi^Ä 



sin ac 4- cos (A -f «) sin h 

^ ■ »^M^— ^^— ^^— l^M— ^—^— ^^^— ^M^^^^— ^ 

cosA 



= sin(A-|-tf)> 



« . n • i siniii+cos(At +iii)sin*, . . 



ilse nach 2): 



3/ • • • • 



GO8 = 



cos 01 = 



__ sin(A -f u) — sindsln Q 
cosdcosQ ' 

sin (Ag "f- «1 ) — sin dg sin o 
cosd| coso 



Ifieraos ergiebt sich durch Subtraction and Addition: 

coso—cosai = — 2sinl(a— tfi)sini(s-f tf|) 

sin (A + ti) cos öl — sin (A| -f «i ) cos d — sin (d — d g ) sin ö) 

cos d cos d| cos (3 

cos c -f ctis ^1 =r 2 cos i(o — 0| ) cos i(a -f t^i ) 

sin (A -f- ti) cos d| -f~sin(^i +Vi)cosd — sin(d-f d|)sinä) 

cosdcosdgCosQ 

also» wenn wir der Kilrze wegen: 



6) 



and 



A = 



sin (A + tt) cos dg — sin (Ag -f K g ) cos d 
2 cos d cos dg sin \{c — Og ) 



A, = 



sin (A + u) cos dg -f sin (Ag + ?ig ) cos d 



2cosdcosdgCosi(a — tf,) 



318 Grüner t: Neue Eniwiekelung 



7) . 



• • • • 



^ Scosdcos^ cmK^ — d|) 



setzeo: 
8). 



A— BsfaiS SS— cos SrinK^ -!-<%), 
Ai— BisinS = eoBSeoBi(0-^Ci)i 
woraii8 sich: 

nnd hierau feiner: 

also darch AaflOsimg dieser qaadratischeD Gleicbuiig: 

11) 

. - _ AB^I- A,Bt J: V(AB ^- A,B,)»+(1~ A«-At«KI+y-|-Bt*) 
8mo = 1+B«+B,« ~ 

ergiebt» so dass also die Aufgabe im AUgemeineB swd Asf* 
losnngen xolSsst; welche von beideo mao m Dehmen hat» nvss 
Id jedem Falle besonders benrthdlt werden« 

Hat man cS gefunden, so erhftit man K^'-l-^) mittelst der 
folgenden ans dem Obigen sich munittelliar ergebenden FormelD: 

12) 
i w . V A— BsInS ,, , ^ A.— BirinS. 

also: 

•<«. A. «^ ■ V A— Bsln3 

and xwar ohne alle Zweideatigkeit, well K^-|-4%) xwisehen und 
360^ liegt, wenn man sich nur an die folgenden Regeln hilt: 

A — BsinS At— B|Sino 
n^;ativ positiv 0<Kcr+<%)<90^ 

negatit negativ W^<Ktf4'tfi)<180^ 

positiv negativ 18V><Ks-|-(^)<270(> 

positiv positiv W9 < K^^-f- ^^i) < 360»- 



äer firundformetn dfr tphdrlachen Asuonomle, 



Slll 



DI« Standenwink«! a,\ «, selbst ergeben sich mittelst der 
Kornolo: 
■ J4J . . l • = l(<'+''i) + i(o-<'i). 

^B (o, =4(" + öl) — »(« — «l)- 

^B Wollte man nnn noch die ellipsoidieclie Gestalt der Erde be- 
^^bknehtigeD, so mlrde dies oar auf deta Wego snccessiver Ao- 
^^Hhtning mSglicb sein, wobei raan sich auf verschiedene Arten 
^HMhUten künnte, und wozn im Obigen alle errorderlicben Formeln 
^^jMnllen eiod, was wir hier jedoch in der Kürze nur durch das 
etwas weiter erläutern »ollen. 

Wir betrachten ü als einen ersten Naherungswerth der zu 
»den PolhObe, nnd berechnen die Grössen 



nach i- a. 13*) millelsl der 


Fonieln: 




1 


• 






IS) 






i 


=V<'+B- 




' Kit)- Ka- 


^ 








a 
-R 




l 


=V<'+b; 




"-y-ar- 




■sinü* 
.In*. 



DaoB haben wir zur Bestimmang eines sweiten Näherungswerthes 
n der fol hübe und iswcller Nähernngswerlbo S, £, der Stunden- 
o'mkel ueb I) die folgenden Gleichungen : 



^AV't- j>siDA =: cos£co«dcos/7-t-Bindsin /!> 
my AV'f jD sinAi — cos £|Coe^ cos /7-I- sind, sin 17; 
'der. wenn wir der Kurse wegen: 

C= hAo'+ ««inA, 



<^=E*«+J 



320 Grunert: Neue Entwickeitmy 

setzen, die GieichuDgen: 



17) 



C— eindsinil 

cos -fir = j sy- » 

cos cos ii 
/^^*-^>= cos«! cos U ' 



aus denen sich: 



cosJ?— cos^i s=— 2sinK^— J^)sinK^f J?,) 

Ccos^t — Ci cosi — Bin(d — Jjsin JI 

cos d cos J| cos 17 

cos J? -f cos ^1 = 2 cos \{Z — J?x) co«i( J? 4- ^i) 

__ Ccosd| 4- ficosd — sin(d-|-dt)sin J7 ^ 

cosdcosd|Cosi7 



folglich, wenn wir jetzt: 



^ I 



18) 



und: 



19) 



• • • 



A = j 



Ccos d| — Ci cos d 



2cosdcosd|Sinl(Z— 27|) ' 



Ccos dt -f fi cos d 

^ ~^2cosdcosd|COsl('^— J^i) 



Br= 



sin (d— dl) 



2cosdcos d, sin ^J?— Zl^) ' 



u _ sin (d + d,) 

^ 2cosdcosd|CosKl^ — ^) 



setzen, die Gleichungeol : 

A — B sin 27 s ^cos Hsin K J? 4- ^i) . 

cosJ7co8l(X-|-^]) 



20) 



r A— Bsini7 = - 
' lAi— B,shil7sr 



ergeben, aus denen nun 17 und Z, Z^ ganz eben so gefundsB 
werden, wie vorher S und 0, Oj ans den Gleichongen 8). 

Wie man die Näherung weiter ffihten Icann, ist Iclar. 



§. 16. 

Auf ähnliche Art wie vorher Icann man ffir den Fall der Ku- 
gel auch die folgende Aufgabe losen: 

Aus zwei gemessenen Hohen eines Weltkorpers von bekanii* 



der Grwudformeln der sphiMschen Astronomie. 32] 

ter Declination und der Differenz der entsprechenden Azimuthe 
die Polbohe und die Azimuthe zu bestimmen. 

Wenn «vir die gemessenen Huhen und die entsprechenden 
Azimuthe und Declinationen durch 

&, Äj; w, i»i; d, d| 

beidchnen ; so haben wir nach §. 4. 10) die folgenden Gleichungen : 

1) 

sind =s -n G^* •{• -jx (sin A sin c3 — cos ta cos Acos o) , 

a I». __ __ 

sio ^ =^ o" ^ö* "'" ST (**'* ^1 *'*" ^ — ^^^ '"'i ^^* ^ ^^* ^^ ' 

aJ«o für den Fall der Kugel, in welchem bekanntlich Cq' = sin o ist: 

2) 

sind = f -^-f -^sinAJsinö —-gcosfocosAcoso, 

sindi = ( 'g' 4- o~ sio A| ) sin c3 — j4- cos iD| cos Ai cos ü . 

Berechnen wir nun wieder die zwischen und -f ^0^ liegenden 
Wiakel tf, Mi mittelst der Formeln: 

3) Sinti = -^cosA, sinti| = -jn cosA| ; 

so ist Bach §. 7. 8): 

r cQs(A + tt) Jl _ co8(V+Wi) . 
*^ Ä"- cosA ' Äi "" cosÄi • 

folglich n ie im vorhergehenden Paragraphen : 
-^•f -g8iDA = sin(A-f «), ^ + j^sinAi =: 8in(Ai -|-u,); 
Bach 2): 



i 



5) 
moi = siD(A-f *>)siDÖ — cos(A-f <<)co8<*co8c3, 

aia ii = «in (A| -f «i) sin ü — cos (Ai + <*■ ) cos «i cos u ; 
tii%fieb: 



322 



Grünere: Neue Entwtckelung 



6) . . . . 



I 8in(A + ti)8ino— sind 
C08ID = jr-i — X = — 



■== f 



' C08(Ai-|-t(l)C08O 



r= » 



woraus 8ich durch Sabtraction and AddifioD: 

C08O — C08O| = — 28iiiKfl> — IOi)8illKlO-f »i) 

8in((A+ti)— (*|4-i<i))8ino— {8inJcos(A|4-tit)— 8iD^iC08(*t4 
"" co8(A-f af}co8(Ai-f tf|)co8fi5 

cos m 4- C08 »1 = 2co8 K» — 1»|) cos Ko -f 0I|) 

siD>(A4-iiH(*t+ti|)}sin5-t8iD*co8(A|+fii) + smdicai(iij< L 

cos(AH-tt)co8(A| -f tf|)coSfi5 

also, W6DD wir der Kürze wegen:] 



7) . .. 



und: 



8) ... 



sint(A+tt)-(A|+ti,)| 
2co8(A + tt}co8(A|4-th)^S»i(<io-*c^i)' 

^^ siii|(A+tt) + (Ai+ti|)| 

^ 2 cos (A 4- tf) cos (Ai -I- ti|) cos i((o — c»i) 



j^i _ siDJcos(Ai-ftii)— sin^tC08(A + ti) 
"" 2cos(A + ti)cos (A| +i«i) siDi((o — »i) ' 

sind CDS (A| + t/i ) + sin ^i cos (A -|- tt) 



B,' = 



2 cos (A + tt) cos (Äi + th) CO® i(<o — ^\) 



setsen : 

9) 



{A'sino — B' = — cosci>sini((o-|-( 
Ai'sioo — B|' =: cosocosi((o-|- 



A'sino — B' = — cos€58ini((o-|-€i)|),, 

CDi) 

ergiebt. Folglich ist: 
10) . . . (A'sinS — B0* + (Ai'sin5-Bi')*=:cos5«, 



also, wie man^ hieraus leicht findet: 



11) 



(A'« + A,'«+l)«n5«-2(A'B'+A,'B,')sin5+(B'* + B,'«— l)s 



und durch Auflösung dieser quadratischen Gleichung auf gew 
liehe Weise: 



der Grund/brmeln der sphärischen Astronomie. 328 

1*2) siDc3 

1 + A'« + A,'» 



9 



raus man sieht, dass auch diese Aufgabe im Allgemeinen zwei 
ifiusungen zulässt. 

Hat man (3 gefunden, so erhält man \{to •{• (Oi) mittelst der 
senden, aus dem Obigen sich unmittelbar ergebenden Formeln : 

13) 

^, , " A'sinö — B' ,, . . A,'sinö-^B,' 

^ J(ü) + Ol) = = , cosi(w + foi) = - ■ -.— ■ ; 

■^ *' eosd) »V ■ 1/ (ro8M 

, A'sinö — B' 

14) ... . tangJ(a, + a,,)=-^^,^.^-_gr.; 

d zwar ohne alle Zweideutigkeit, weil i(ci)4-fi>i) zwischen 
^ 360^ liegt, wenn man sich nur an die folgenden Regeln hiilt: 

A'sinö — B' Ai'sinö — Bi' 

negativ positiv < i((ö + 00| ) < IK)'* 

negativ negativ 90« < i(a) + ©, )< 180" 

positiv negativ 180^ < 4(a) + «iX 270*' 

positiv positiv 270« < \{<d + w, )< 360". 

Die Azimnthe o), Oi selbst ergeben sich mittelst der Formeln: 

{O = J((ö + W|) + i(w— Ol), 
w, = J((a + Wi)— i(w— «i). 

Wollen wir nun noch die ellipsoidische Gestalt der Erde be- 
icksichtigen , so betrachten wir ö als einen ersten Näberungs- 
erth der ^ni bestimmenden Polhühe, und berechnen die lirüssen 

cb (.6. 12*) mittelst der Formeln: 

rhcil XLTV. 21 



t . 






324 



Orunert: Neue SntwtekelHng 

16) 



R 



=v 



Ü+o iTl )* 



a \* cos A* — e* cos ^ sio (3 



«• 



ATö' 



-ö) 



ATo'* 



a i 









-a.) 



a \* cosA]^ — e* cos dl*« 



^ö 



'« 



a »1 



Dann haben wir zor Bestimmaog eines zweiten Näherangsmri 
n der Polhube und zweiter NSherungswertbe Sl, Sli der Aitai 
nach 1) die Gleichangen: 



sind— -^ Cro' 



— = sinAsinil — coSiQeosAcos/?, 






= sin A] sin il — coSiQ| cos A| cos i7; 



oder, wenn wir der Kürze wegen: 



C=: 



17) 



Ci' = 



sin d — ^ 6V 



/{ 



8«n dl — ^ 6'ö' 

Äi 



setzen,, die Gleichangen: 



18) 



COS Ä = - 



sinAsin J7— C 



cos A COS 17 ' 



l 



cos Sil = 



sin A i sm Il—Cy . 
cosAiCOsZI 



aus denen sich: 



*.* 



der Crunti/brmeln der spMriseAen Astronomie. 

GOsA— cos A| =— 2sinl(Ä — Äi)8ini(Ä + Ä,) 

sin (Ä — A|)6iu J7 — {O cdshi — Cx ' cos h) 

cos h cos hl cos li ' 

cos .$2 -f cos .^ =2cos4(Ä— Ä,)cos4(Ä + ß,) 

— ^'"(^-f ^i)^'" TI— jCcoB hl + Ci ' cos h) , 

cos Ä cos hl cos J7 

Mgfieb, wenn wir jetzt: 

sin(Ä — Äi) 



32') 



19) ... . 



A' = ^ - .- 



A|' = 



2 cos h cos /i, sin HSl-^Sl^ ) ' 

6in(A-f Ai) 
2 cos A cos ^1 cos H^ — iii ) 



imI' 



«0 



D/ _ C COS A | — 6\ ^ cos h 
'" 2 cos h cos /ii sin J{Ä — Ä, ) ' 



B,' = , 



CcosÄ| + r/cosÄ 



2cosAcosA|Cos|(Ä — .$2,) 



'Bto, die Gleichungen: 



A'sinJJ— B' =— cosnsini(Ä+Äi), 

cosiTcosK'^ + ili) 



r A'sinJJ— B' = 

-I) i 

lAi'sinJJ— B/ = 



**S^ni aus denen nun II und Sl, 52, ganz eben so ^rliinden 
''Heil, wie vorher ö) und co, C0| ans den Caicichungen 0). 

Wie man die Näherung weiter fuhren kann, ist klar. 

$. 16. 

Gleiche Hoben eines Weltkurpers auf beiden Seiten de.s 
* Icridians heissen corrcspondirende Hohen desselben, Je- 
**• Gleichungen wir jetzt entwickeln wollen, um nachher weitere 
[ Aiwendongen davon zu machen. 

Wir bezeichnen die beiden gleichen Hohen durch h und die 
'ftttelben entsprechenden Entfernungen des Weltkorpcs von dem 
Ifittelpankte der Erde and von dem Beobachtungsorte, seine De- 
n. Stundenwinkcl und Azimuthe respective durch 



f 



/^, l?i; r, ri; ö,^i; 0,^1; «»Wi; 

hat man nach §.4. 10) und §.4. II) die folgenden Glei- 
llaBge«: 

21 • 



326 Grunerl: Keue Entirtekelung 

.1) 
siD d = j2 6V "f" |j (sin A sin (i) — cos cd cos Acos Q) , 

sin dl z=: jY Gö' + TT- (sin h sin ö — cos Wi cos /icos ö) ; 

nnd: 

2) 

TjSinA = — -St Kq 4- cosacosdcoso -f sindsino. 

■^ sin Ä = — p- K(si' + cos Oi cos öi cos ö + sin d| siu ö. 

Insofern man nun in der Zwischenzeit der ßeobachtinpi ■ 
Grösse -^ als constant zu betrachten, folglich 



R'^Wi 

zu setzen berechtigt ist, hängt nach §.6. 12*) die Grossen*! 

der Kugel mit völliger Genauigkeit, auf dem Kllipsoid Mi| 
stens mit sehr grosser Annäherung, bloss von der Hohe tbt ■ 
man kann also, da hier die Höhen gleich sind , 

I. --Ti 

setzen. Unter diesen Voraussetzungen ergiebt sich durch Sd 
traction aus 1) die Gleichung: 

3) . . . sindi — sin5= -«(coso) — cosq)i)cos/<cosc3 

und aus 2) die Gleichung: 

4) . . . sind, — sind = (cosacos^ — cosa, co8d',)cotö. 
Für ö = öl folgt aus diesen Gleichungen: 

cos CO — cos 0)} = — 2sini(a) — (i),)sini(a> -|- a>,) = 0, 
cosa — cosa, =— 2sinJ(<y— a,) 8ini(a + a,) =0. 
Wegen der ersten Gleichung ist also 

8in4((ö — 0),) = oder sin4(ö>+ «,) = 0. 



der Grimüformtln der sphdrischen Asironomte, 327 

Weil der absolute Werth von i((o — (0|) offenbar nie 180^ über- 
steigt, so folgt aus der ersten dieser beiden Gleichungen: 

I— 180O / —300^ 

also w — wi = I ü 
+ 180« (+3600 

was offenbar Alles unstatthaft ist. weil die correspondirenden 
Hohen auf entgegengesetzen Seiten des Meridians gekommen vor- 
ausgesetzt werden. Weil ferner das immer positive \{(o -\- t»i) 
offenbar nie 360^ übersteigen kann, so folgt aus der zweiten der 
beiden obigen Gleichungen: 

/ Ü / 

i(o-f(K>i) = | 1800 also Qj-|-(Oi= \W0^ 
\ 360<> ( 7-200 

von welchen drei Gleichungen offenbar die erste und dritte uo- 
■tatthaft sind, so dass also nur die zweite Statt finden kann, und 
daher nur 

5) w + wi = 360« 

sein kann. 

Ganz eben so schliesst man aus dem Obigen, dass unter den 
gemachten Voraussetzungen 

6) a + ai = 360« 

ist. 

§. 17. 

Wenn wir von der Erdaxe eine durch unseren Weltkorper 
gehende Ebene ausgehen lassen, so heisst der Winkel, welchen 
fc Dorchschnittslinie dieser Ebene mit der Ebene des Acqua- 
Itrs mit einer beliebigen, aber bestimmten oder festen, von tiem 
Mittelpunkte der Erde aus in der Ebene des Aequators gezoge- 
nen Geraden einschliesst, indem man diesen Winkel von dieser 
festen Geraden an im entgei^engesctztcn Sinne mit den von 
bis 380» gezählten Stundenwinkeln von bis 360<) zfihlt, die No- 
rtascensiou des Weltkörpers in Bezug auf die in Rede stehende 
Gerade. 

Fflr unseren nächsten Zweck ist es am bequemsten, die Stun- 

'fawinkel auf bekannte Weise positiv und negativ, und absolut 

cht grosser als 18V zu nehmen, wie also jetzt geschehen soll. 



328 G innert: Seue Eniwicheiun§ 

Dies vorausgesetzt, sei nun i die einem bestiiomteii absolol 
Zeitnioiiiente eiitspreclieiide Uhrzeit, und zu die^ser Zeit ni 
c und d der Stundenwinkel und die Declioation des Weltkurpe 
die Uhrzeit des Durchgangs desselben durch den positiven Tl 
des astronomischen Meridians sei 7\ und zu dieser Zeit se 
A und D seine Kectascension und Declination. Die einer Ein) 
Uhrzeit entsprechenden Aenderungen der Rectascension and I 
clination , indem wir diese Aenderungen als positiv oder negl 
betrachten^ jenachdem die Rectascension und Declination nit i 
wachsenden Zeit zunimmt oder abnimmt, bezeichnen wir di 
JA und AD. Endlich wollen wir annehmen, dass in einer E 
heit Uhrzeit fi Winkel -Einheiten des Aequators durch dall 
ridian gehen , wo ^ eine Grösse ist, welche auf bekannte Wdi 
durch einfache Beobachtungen der Fixsterne sieh leichten^ 
lässt^ was hier nicht weiter erläutert zu werden braucht 

Wenn nun t<^T ist, so gehen in der Zeit T—t oSenbar 
{r'a)^-{T'-'t).AA=:{T-i),AA~G 

Winkel -Einheiten des Aequators durch den Meridian; in deic 
beik Zeit gehen aber auch {T — t)yL W^inkel- Einheiten desief> 
tors durch den Meridian $ also hat man die Gleichung: 

woraus sich 

O^it—T^iyL-AA) 

ergiebt. Ferner ist offenbar: 

D = ö-k'(T-^t).JD, also d=/> + (f— y).J/>. 

Wenn /> T ist, so gehen in der Zeit f — 7' offenbar 

a + {t—T).AA 

Winkel- Einheiten des Aequators durch den Meridian; in derX 
ben Zeit gehen aber auch {t — T)^ W^inkcl- Einheiten des X^ 
tors durch den Meridian; also hat man die Gleichung: 

woraus sich 

a = (t'-T){ii--AA) 
ergiebt. Ferner ist offenbar: 

d = /> + (<- 7). z//>. 

Hiernach hat man die beiden folgenden ganz allgemeUi 
tigen Gleichungen: 



der Grundfbrmein der spääriscäen Aslronomie. 829 



^ 1 « = /> + (<- r).z/Z>. 



Nach §: 16. 4) haben wir die folgende Gleichung correspon- 
AeBder Höhen; 

2) 
(sin^i — siu^sino = (cosacosd — co8a|C08di)eosc3, 

■i btieichnen nun t und 1i dl« den beiden gleichen Höben ent- 
■frocbenden, genau beobachteten Ghrzeiten, so kommt es jetzt 
fauf an, die Uhrzeit T des Durchgangs des Weltkurpers durch 
fci positiven Theil des astronomischen Meridians zu finden. 

Nach 1} ist: 

6 = («- T)(^-z/A (^i = (ti - T)((,'^JA) 

ds:D + (t-^T).JD, ^1 = /> + («!— r).z/Z>; 
ab ist: 

1(6+6,) -m + t^)-'T\(fi^ JA) 

Wlre unser Weltkurper ein Fixstern, so wäre AA = und 
B»cliS.& 16): 

sinA = cosacosdcoso-f sin^sinc3, 

sinA = cos 01 cos d cos c5 -h sin^sino; 

ibo costf = cos(r| , und folglich, weil a, <r|, absolut genommen, 
Ho* nicht übersteigen, aber entgegengesetzte Vorzeichen haben: 

a= — a, , a + 61=20; 

\ Uer nach dem Obigen fSr jedes fi : 

i4(r+<,)-ri^=o. 

d»: 

ÜMi nun unser WeltkGrper wenigstens nahe als ein Fixstern 
Idrachtet werden, so ist, wenn wir der Kfirse wegen 



- -w. 

330 Grunert: Neue EtUwickelung 

3) a: = r-i(( + *i) 

setzen, der absolute Werth von ;t* immer eine sehr kleine Gri 
Nach dem Obigen ist: 



und : 



woraus 






und 



i5 = Z> + {i((-fi)-a;l.^/>, 
also nach dem Obigen: 

und 

d = /> + i(a — 6i)-a:z//>, 

dl = Z>-4(d — dJ-a:z//> 

folgt. Da aber die Grüsse xdD als eine kleine Grosse der 
ten Ordnung zu betrachten ist, so können wir, uenii wi 
vornehmen, überhaupt solche Grossen zu vernachlässigen,- 

setzen; und ivenn wir der Kürze wegen 

4) u = x((i — JA) 

setzen, so ist nach dem Obigen: 

Immer mit Vernachlässigung von Grossen der zweite 
nung ist nun: 

cosd = cos/) — i{ö — d|)8inZ>, 
cos dl = cosZ> + J(^— 5i)8in/> 



J~ ♦ 



nd 



feroer: 



der Gnmdformein der sphärischen Asirofwmfe. 331 

sind = a\nD + i(ö — d|)cosZ>« 
sin ^i = sin D — 4(d — di) cos D ; 

cos<r = cosi(a — <Ji) + Msini((y— aj), 
cos 01 =co8 4(ö— tfi) — tfsini(<r-- ^i); 



iIm: 



costfcosd = co8Z>cosi(a — tfi) — \(ß — di)sin/>cosi((T— (Ti) 

-|-t<cos/>8ini(a — Oi), 

co80|CO8di = cosZ>co6 j(a — Ol) +i(d — d|)8in/>cosi(a — (T|) 

— ticosZ>sini(a — Oi); 
• fcWieh: 

cos cos d — cos Ol cos d| 
= — (d — d|)sinZ>cosi(cr — Oi) +2ucos/>sini(<r — Oi); 

I Hd dt ferner nach dem Obigen : 

sin d — sin Öi = (d — d| ) cos D 

i>t;8o ist nach 2): 

(d — d|)cosOsinc5 
s |(d — öl) sin D cos i{a — tfi) — 2tico8 />sioi(a — Oi) | cos c3 , 

ticos DsmKo^Ci) 
= i(d — di)\ sin />cos i(o — (^i ) — cos Z> tang ö | , 

MgOch: 

5) —WA A^S tanpZ ) langö ) 

■■0 nach 4) und Oberhaupt dem Vorhergehenden : 

ß) 

,^ ((-t,).irf Z> < tang^ tang 5 ;> 

*2(»»-zf^) (tang[4(<-<,)(^-/fi4)] sw[i{t-U)(n-JÄ)]S 

•iir: 

6*) 

._(<i — l).^D^ tangZ) tangS i 

"iifi- JA) ^tong [4(*, - 0(>»- ^^)J ~ »in [i('i - 0(l»-^4i5 



382 



G runer l: Sene EtUitickelung 



Hat man mittelst dieser wichtigen Formel die sogenannte 
Mittags Verbesserung o* gefunden, so erhält man die gesuchte 
Zeit T nach 3) mittelst der Formel: 



7) 



T=^\{f + i{)-\x. 



Die Formel für die sogenannte MitternachtsTerbesserung kann 
auf äbuliche Art entwickelt werden, was wir daher weiter ausza- 
führen der Kürze wegen jetzt unterlassen. 



§. 18. 

Zu der in §. 14. aufgelüsten Aufgabe bemerken wir jetzt noch, 
dass dort die Stundenwinkcl bloss positiv genommen und von 
bis 360^ gezählt worden sind, wie wir dies in dieser Abhandlaog, 
insofern nicht etwas Anderes besonders bemerkt worden ist» 
immer gethan haben. Alan kann aber dort auch die Stunden- 
winkel positiv und negativ, absolut aber nicht grosser als 180^ 
nehmen, welches in diesem Falle selbst bequemer ist. Bezeich- 
nen wir nämlich die beobachteten Ubrzeiten der beiden gemesse- 
nen Höhen hy hi durch t, ti, und behält T seine aus dem ▼or- 
hergebenden Paragraphen bekannte Bedeutung, so ist nach I) 
iik diesem Paragraphen, wenn man die Stundenwinkcl auf die 
erwähnte Weise nimmt: 



1) 

also: 



I 






2) a-ai=(/-^,)(^-zi^), 

mittelst welcher Formel die Differenz a — Ci, deren KeuntDWtf 
n)an zu der Berechnung der in §. 14. durch A, A^ ; B, B| be- 
zeichneten Grössen bedarf, gefunden wird. 

Unter der jetzigen Voraussetzung rücksichtlich der Stunden- 
winkel ist der absolute VVerth von Ho+Oi) nicht grcSaser als 
180^, und man hat sich also nun bei der Bestimmung von «(<r-|>0i) 
mittelst der Formeln §. 14. 12), 13) an die folgenden Regeln zu 
halten : 



— I80o<j(a+tf,)<-.90» 



A — Bsinc5 


A, 


— Bi sin Q 


negativ 




positiv 


negativ 




negativ 


positiv 




negativ 


positiv 




positiv 



der Crundforineln der sphdrischen Aatrommte. 333 

Die 8(undenwiokel 0, <F| selbst erhfilt man uieder mittelst 
der Formeln: 

Ui =i(<y|-<yi)— i(<y-<Ji); 

und T erhält man mittelst der aus 1) sich ergebenden Formeln: 

' HL — JA * fi — .^^ 

ober auch mitttelst der sogleich hieraus (liessenden Formel: 

«) '•=«'+'.)-r_^^^- 

Rflcksicbtiich der in §. 15. aufgelüsten Aufgabe bemerken wir 
aefalieulich noch, dass, nachdem die Polhöhe c3 und die Azi- 
muffae o, (»i gefunden worden sind, dann auch leicht die den 
Mden Beobachtungen entsprechenden Stundenwinkel a, a| bc- 
•tiiDint werden können, wozu im Obigen Formeln genug enthal- 
ten sind, mag man die Stundenwinkel auf die eine oder die an- 
dere der beiden bekannten Arten nehmen. I\lan kann sich hiezu 
clvra unmittelbar der (>rundfornieln §.4. 10) bedienen, aus denen 
•ich sogleich die folgenden Formein zur Bestimmung der Stun- 
denwinkel 0, Ol ergeben : 

6) 

fi ('Gi T sin /i COS o h coscDCOsAsinci) 
K coso R coso 

r sin (o cos /i 
it cos 
•ind: 

'' ^'Q **! sin/«i cos (5 -f cos u), cos A| sin riS 
' lf| cosO| Hl cosOj 



Sl 

nleo auch: 



Ti sin GJ| cos/ii . • 
' Kl cos 0| 



P sin 0} cos h 
tanga= — ^ 

k> ^Vs -f 1/ (sin Acos 6) I cos co cos /i sin (•)) 

VT- sin 6)1 cos hl 

fang », = - - — - ' - _ 

jR- Cro -f -jr (sin A| cos (1) -f cos GJi cos hl sin g)) 



334 G runer t: Seue Entwickel. der Grutidformeln der sphdr.ABirom, 

Weil man die Sinas und Cosinus der Stundeniv^inkel kennt, 
80 kann eine Zweideutigkeit bei deren Bestimniungy mag man sie 
nun auf die eine oder die andere Art nehmen, nie bleiben« 

Sind U ti die Uhrzeiten der beiden Beobachtungen, so findet 
man t — i^ nach 2) mittelst der Formel: 

(S — (Sx 

wobei vorausgesetzt ist, dass die Stunden winkel in bekannter 
Weise positiv und negativ, absolut nicht grosser als 180^ genom- 
men sind. Hat man nun wenigstens eine der beiden Ubrzeiten 
beobachtet, so kann man mittelst vorstehender Formel auch die 
andere finden, und T erhält man dann wieder mittelst der ans 
dem Obigen schon bekannten Formeln: 

10) T^t-^j-^, ^='.-;r^' 

wo T immer seine bekannte Bedeutung hat. 



Slammer: Elementarer Beweis des Beltramt'schen Satzes. 335 



XVI. 

Elementarer Beweis des Bei trami 'sehen Salzes. 

Von 

Herrn Oberlehrer Dr. ff^. Stamm er 

in Düsseldorf. 



Ist ABC (Taf. III. Fig.3.) das Dreieck, O der Mittelpunkt 
des innerii und A', B', C die Mittelpunkte der äussern einge- 
schriebenen Kreise, so denkt man sieh (Kc in O bcflndliche Masse 
in drei gleiche Theile zerlegt und verbindet jeden dieser Theile 
Tnit einer der drei andern Massen. Dadurch erhält man statt der 
ursprünglichen vier Massen jetzt drei gleiche Massen in », 6, c, 
wo ^'a = |J'0» U.S.W. Der Schwerpunkt dieser Massen, also 
auch der der ursprünglichen, ist daher der Schwerpunkt G des 
Dreiecks abc. Anderseits sind die Ecken A, B, C des gege- 
benen Dreiecks die Hohenfusspunkte des Dreiecks A'B'O, der 
dem Dreieck ABC umschriebene Kreis ist also der Kreis der 
nenn Punkte für das Dreieck A'B'Oj mithin auch der dem 
^ßy umschriebene Kreis, wenn Oa = \OA'i u. s. w. Es bleibt 
mithin nur zu beweisen , dass G der Mittelpunkt dieses Kreises 
Ist Zu dem Ende verbindet man die Mitte E \on aß mit G und 
y. Dann sind A'B'Oj abc, aßy ähnliche und ähnlich liegende 
Dreiecke mit dem Aehnlichkeitspunkt O, daher yE \\ cD. Verbin- 
det man noch C mit der Mitte F von A'B\ so ist yE = \OFy 
weil Oy = \00\ ebenso De — ICE, mithin Gc = J/>c = iCF 
SS yE. Also ist GEyc ein Parallelogramm und GE senkrecht 
A'B^t mithin auch senkrecht aj3, wodurch der Satz bewiesen ist. 



1 



836 Stammer: Elementarer Beweis des BellramVseheH Sattes, 

Was den andern vielfach besprochenen Satz betrifft, nänlieh 
dass in jedem Dreieck A = 2B, wenn a^= 6^-f 6e, so ist woU 
einer der folgenden Beweise der einfachste: 

I. Man zieht durch A eine Linie AD so, dass ^DAC==B. 
Dann ist Dreieck CADcoCBA, folglich: 

CD:ö = ö:a, oder a.CD = b*. 

Dies in die gegebene Gleichung substituirt, liefert 

a« = fl.CA> + tc oder bcz^aia—CD) = a.BD, 

daher 

BD:c = ö:a; 

durch Vergleichung mit der ersten Proportion : 

CD:BD = ö:c, 

d. h. AD halbirt den Winkel A. 

II. Halbirt man den Winkel A durch Ai), so ist CDiBÜ 1 
= 6:c. Substituirt man hieraus den Werth für c in dici gcgebese 
Gleichung, so erhält man 

und daraus 

a:b = 0:CD; 

daraus folgt, dass die beiden Dreiecke AB(% iJAC, welche d« 
Winkel C gemein habon^ ähnlich sind, folglich ^DAC=Bf 
A = 2B. 

Die Figur wird sich ein Jeder leicht selbst zeichnen krii»»- 



Hübner: Trunkes Pianimeter, 337 



JLXlt. 

T r u n k's Pianimeter. 

\ on 

Herrn A Hühner 

in lliillo. 



In der beiliegenden Zeichnung (Tat*. III. Fig. 4.) sind die Haupt- 
theiie eines Instrumentes abgebildet, welches auf den Flurkarten 
die Ackerflfichen ausmisst und berechnet. 

Wenn man die Maschine benutzen will, so stellt man sie auf 
die lietfefende Flurkarte, orgreift mit den Daumen und Zeige- 
fingern die Griffe b, b und schiebt den crfassten Maschinentheil 
mit dem in eine Glastafel eingeschliffenen Punkt w liber die Um- 
riBB^ anmda des zu messenden Grundstückes hin. Sobald die- 
ses geschehen ist, liest man von iüan vier Zifferblättern die An- 
lahl der Quadratruthen ab, die das Grundstück hält. Ehe man 
die BewegQDg der Maschine beginnt, hat man jeden der vier 
Zeiger auf Null einzustellen. Auf dem grossen Ziffcrblatte sind 
100 Theiie. mithin die Zahlen bis 100 hctindlich, auf jedem 
der drei kleinen Zifferblätter sind 10 Theiie, mithin die Zahlen 
bis 10 ersichtlich. Das unterste kleinste Zifferblatt zeigt die 
Zehntausender, das linke obere die Tausender, das rechte obere 
die Hunderter, das grosse endlich die Zehner, Einer und Zehn- 
tel an. 

Hat man das Bild der Ackerfläche umfahren und es zeigten 
die Zifferbifitter in der aufgefiihrten Reihe Zchntausender, 
9 Tausender, 3 Hunderter, Zehner, 8 Einer und ^/lo« so zeigt 



;W8 Hfibner: Trunfi's Pfanimeier. 

das lostrument 69308 Vi o Quadratrutfieu an. Durch die Fortbe- 
wegung des Maschincuthcils, worin sich Punkt to belindet, kommt 
der Wagen P auf drei Ladern /l, wovon aber das dritte in der 
Zeichnung nicht sichtbar isf, in der Nuth yy^ ferner der Schieber 
EsiSiSiSiE auf drei Rädern ß, wovon ebenfalls das dritte nicht 
sichtbar ist, in der Nuth Es^SiE in Bewegung. Mit dem Schie- 
ber EsiSi$i8iE bewegt sich auch der darauf befestigte Rahmen 
YY und das Zifferblatt mit dem dahinter befindlichen Räderwerkt 
so wie auch die in dem Rahmen YY und in dem Räderwerke 
liegende \Velle Tf mit dem Laufrädchen R, In Folge der Ver- 
schiebung kommt das Rädchen 11 auf verschiedene Stellen der 
kreisrunden und mit feinem Lcder bezogenen Scheibe Sy mitbin 
bald im Centrum c der Scheibe, bald mehr oder weniger fern 
von v zu stehen. Während dieser Stellungsänderung des Räd- 
chens R dreht sich aber die Scheibe 5 und treibt dadurch das 
Rädchen R und die Zeiger um. Steht das Rädchen nahe an c. 
so laufen die Zeiger langsam, aber wiederum um so schneller, je 
weiter das Rädchen R vtm c entfernt ist. Die Scheibe iS ruht 
auf einer senkrechten Welle, welche sich in der hohlen Säule Q 
dreht und nn ihrem unteren Kode eine Rollo hat, um Hie der 
aufgespannte und nn den Säulchen it liefcstigfe Stahldraht f7 ge- 
wunden ist. Bewegt sich nun der Wagen P auf seinen Rädern 
in der IVutb ////, so verschiebt sich die senkTccIitc Welle mit der 
Rolle entlang des Drahtes, so dass dadurch die Rolle um! somit 
auch die Scheibe «S in Drehung kommt. Bei der Führung sieht 
man durch die Loupe K. 

W'cnn die (^eomctcr im Felde ntcssen, so messen sie nur 
Linien und Winkel und bringen die gemessenen Linien nach 
einem kleinen Massslab, welcher gewöhnlich nur der f/^xm Tbeil 
des wirklichen IVIasscs ist, in den aufgenommenen Winkeln auf 
den Messtisch, so dass die Ackerzeichnung auf dem I\Ies8tiscbe 
ein IMiniaturbild (der Viooocwo Theil) der wirklichen Ackergrusse 
ist. I\lit Hülfe dieser Zeichnung berechnet der Geometer die 
Fiächengrössen der gemessenen Grundstücke, indem er die Aecker 
in Berechnungsliguren, gewöhnlich in Dreiecke, mittelst eingeio- 
gcncr Bleisttftstinien zerlegt, die Basi-^ und senkrechte Hühe der 
Berechnungsfiguren abgreift, auf den kleinen Maassstab auflegt 
und daraus die Fläche berechnet. Das Abgreifen der Linien- 
langen mit Zirkel und Maassstab ist für die starke Verkleineraog 
des Ackerbildcs nicht sicher genug, heim Rechnen kommen 
Rechnnngsrehler vor und das Verfahren ist zeitraubend und höchst 
ermüdend, daneben aber soll das Resultat wegen der Kigenthums-, 
tiren/-. ilypntlieken- und Besleuernngsverhältnisse genau sein. 



ffilAjKT; Trunk's P/animHer. 



.(,{9 



' I 'mslüiidi! luU»en fortwührentl deiibenile Minnei out WiiU»- 

«innvii Lassen, nelche nelten ZelteTsparniAs genaue und Teh- 

■■ Kosultat« licrorn ktiTineii. Das Geliiet dieser lldirsiniltel 

L die Intitruffleiitale Planimetrie und jetzt («t TOr Cea« 

>lIoflte, («ffograiihcn, Ingenieure, MGchaniIcer, pnlytech- 

1 Kealschuieti und ulte HebOrden und Beamten, tveichi* 

: I i-hnili und Doctrin der Plnnimclrtc zu ihun haben hei 

iMuidt in Halle a. S. ein Buch mit XV gucrfoliotureln 

-iicli iinl« dem Titel erachi«iien: „Die Planimeter. 

II Iheorie. Praxis und GeKchlchle vom lnKenienr 

»tnph Trunk z» F.iseiiach. 1865. Frei« 4 Thnler." 

i;t[<> sind alle bekannten Planinialer besprochen und kritiscli 
Der Sieger unter allen ist der soeben erklfirte. Die 
II. 1 die 2eiters)>arniss, womit das Instrument arbeitet 
Uli nii-h selbst conirolirt, sind benundernsuü'idig. Diese 
- werden Inder mit Patent versehenen Plaiiimeterrabnk 
fi durch Mechaniker und Uhrmacher gerertlgt. 

<{iL> lienchithte des Instrumentes betrifft, so i^t der Er- 

-■-Ihcn der schneixerisctie Ingenieur Johannes U|)|)i- 

r aurh in Verbindung mit mehreren Mechanikern den 

■ Maschinen nur Ausführung brachte. 8cbon vor ihm 

I liurische Trigonometer Jiibann Martin Hermann das 

r SiinliL-hen Maschine gefertigt. Die 0[>|>ikorer'sche 

«;( iliircli den Ingenieur Welli, dann durch Hofratli 

i'id gsnlelxt durch Trunk vervollkommnet itiirden. Man 

»(•{likorer'schcn PInnimeler auch Integrstiotisniaschino 

tri] er in Folge von Abmessung von Linien Flüchen 

iiad weil man dnn Instrument mit Hälfe des DiSeren- 

' lHlegriti>ns erklKrte. Ingenieur Trunk hat aber In 

I Ruche djis Instrument ohne Hülfe des hllhcren Cal- 

" iii«utürer Weise erkifirt und berechnet, so dass es nun- 

I icrvt And lieh und nutzbringend ist. Dabei ist en nach 

■. nchnn Einrichtung f(ir verschiedene Maansstfllte stcll- 

ii'Llt die Procenlmaansstnlie nnd gieht ohne alle Rechnung 

irfii iNetlnangnben. Das Inolmmenl lieht carte Hfinde 

. II tranenzlntmer »ir Ffihrung vartheilhaft ventendct 



34() Hartwig: Anwendung de» Principa der rirtuelien 



XTIII. 



Ucber die Anwendung des Princips der virtuellen Ge- 
schwindigkeiten zur Bestimmung der Gleichgewichtsbe- 
dingungen eines Systems unveränderlich mit einander 
verbundener Punkte, auf deren jeden eine Kraft wirkt 



Von 



Herrn Doctor Hartwig, 

Lehrer am Groflsherzogl. Mecklenburgisclicn Gjmnfiflitim in SehweriB- 



Will man sich bei der Lösung der genannten Aufgabe i^ 
allgemeinen für die Anwendung des Princips der virtuelleo Ge- 
schu'indigkeiten gegebenen Regeln anschliessen, so geht man aM 
von der Gleichung: 

£(X.da!+ r.öif + Z,6z)=zO, (I) 



in welcher X, Y, Z die den Coordinatenaxen parallelen Compoi 
ten der Kräfte, dx, dy, dz die Variationen der Coordinateo il 
Angriffspunkte bezeichnen. Ist die Zahl der Punkte := nii M ^ 
man 3m — 6 Gleichungen zu berücksichtigen, durch welche ■>* 
Unveranderlichkeit der gegenseitigen Lage der Punkte ausgedrft^ 
wird. Die sich hieraus ergehenden 3m — 6 Gleichungen zwiflcka* 
den Variationen öx, 6tf, 6z,,., werden^ nachdem jede mit •!•* 
unbestimmten Grösse A, fi .... multiplicirt worden ist, zu der C^' 
chung (1) addirt und darauf die Summen der CoefficientW ^ 

einzelnen Variationen 6a: , 6i/, 6z für sich =0 gesetzt. ^^ 

3m — 6 der so erhaltenen 3m Gleichungen bestimmt man A, ^f'' 
und setxt ihre Werthe in die übrigen Gleichungen ein oder mti 
eliminirt auf andere Art die Grössen iL, (i, v.... und muss ntf 



'schwindigheiien zur Bestimmun ff der Gleichgewichtsbeding, 341 

B von einander unabhängige Gleichungen übrig behalten, in 
n dann die Gleichgewichtsbedingungen enthalten sind. 

Lagrange hat dieses Verfahren in seiner analytischen 
lanik auf drei und vier Punkte angewandt und man sieht 
xs leicht, wie man bei einer grösseren Zahl zu Werke gehen 
(te, wenn man sich den in diesem Falle ziemlich weitläufigen 
nckelungen unterziehen wollte. Theils diese Weitläufigkeit, 
3 der Umstand, dass man, um Alles exact zu geben, immer 

ganz bestimmte Zahl von Kräften als gegeben annehmen 
I3 ist vielleicht Ursache gewesen, dass man in neueren Lehr- 
ern (von denen mir ausser einigen weniger bekannten aller- 
13 nur die von Poisson und Duhamel vorliegen) diesen Weg 
: aufgegeben und dafür drei geradlinige Verschiebungen des 
eins, parallel den drei Coordinatenaxen., und drei Drehungen. 
|ede der Axen eine, also im Ganzen sechs Bewegungen sub- 
irt hat, wo sich dann durch Anwendung des Princips der 
eilen Geschwindigkeiten die sechs Gleichungen sehr leicht 
2 Rücksicht auf die Zahl der Kräfte ergeben. Indessen kann 

sieb einiger Bedenken hierbei kaum erwehren. Denn abge- 
3n davon, dass eine sechsfache Bewegung dem Geiste ^e» 
cips, das mit einer einzigen, aber ganz willkürlichen auszu- 
men verspricht, nicht ganz zu entsprechen scheint, so bleibt 
i die Frage unbeantwortet, ob diese sechs Bewegungen und 
auch die aus ihnen gefolgerten sechs Gleichungen nothwendig 
ob sie ausreichend sind. Von allen diesen Einwürfen niuchto 
Verfahren frei sein, dessen Veröffentlichung ich mir hier 
übe. 

Ich gebe davon aus, dass jede unendlich kleine Bew#gung 
s Systems von Punkten als Drehung um eine ganz unbe- 
nite, nöthigenfalls nach irgend welcher Richtung unendlich 
entfernte Axe aufgefasst werden kann. Ich bestimme nun 
Weg, den einer der Punkte bei einer solchen Drehung zu- 
legt, so wie den W^inkel, den die Richtung dieses Wegs mit 
Richtung der Kraft bildet. Hieraus erhalte ich die Formel 
las virtuelle Moment^) der Kraft. Indem ich dann die Summe 
virtuellen Momente =0 setze, ergeben sich die Gleichge- 
itsbedingungcn. 

Seien wie gewöhnlich P, P' die Kräfte, «, /?, y; «', ß\ 



*} So nennt Dnhnmcl da^ Produrt buh der Kraft und dem auf ihre 
tang projicirlPH Wrg des AngrifTapiinktes. ., Virtuell*' Arbeit'* durfte 
niestoner 8cin. 

22 



\ - 



342 Hartwig: Anwendung de» PHncips der viriueiUn 

/;.... die Winkel , die sie mit den Axen der x, jf, x in «Im 
rechtwinkligen Coordinatensysteme bilden, xyz, a/y'z',, ^mUi 
auf dieses Axensystem bezogenen Coordinaten der Ajigriffspoikl 
Die anbostimmte Dmdrehungsaxe nehmen wir zur z-Axe m 
neuen Coordinatensysteros. Sind nun a, a', a'^ die Cosinus 1 
Winkel, welche die neue :r-Axe mit den alten Axen der J 
bildet, und haben 6, 6', ö" und c, c', c" die analoge Bedeati 
für die neuen Axen der y und z, sind endlich £|, i|i, d diel 
das neue Axensystem bezogenen Coordinaten des alten Cow 
natenanfanges, so sind die auf das neue System bezogenen C« 
dinaten des ersten Angriffspunktes: 

Xi = ax + a'y + a^z f J, , 

yi = bx + b'y + fz + iji . 

2i =: c:r -f c'^ + c'^^ + £i* (kommt, wie leicht zu sehen, im i« 

genden nicht vor). 

Das System erleide nun eine Drehung um die Aze der 
von der Seite der positiven ^i nach der der positiven Xi* S 
der unendlich kleine Drehungswinkel, r die Entfernung dati 
griffspunktes der Kraft P von der Drehungsaxe, dann ist ro 
von diesem Angriffspunkte zurückgelegte Weg, in einer BMü 
welche mit den Axen der Xi, yi, Zj, drei Winkel bildet, dem 

sinus =~, und sind. Sind also u und v die Wh 

r r 

welche P mit den Xi und yi bildet, endlich (p der Winkel 

sehen P und dem Weg rc5 ihres Angriffspunktes, so ist 

Vi -^i 

cos o) = ^^ . cos M ' . cos t? , 

^ r r 

und somit das virtuelle Moment der Kraft P: 

iP . rö . cos 9 = ö . P(yi cos u — Xi cos p). 

Aus den oben angegebenen Bexeichnungen für die Winkel 
die Cosinus der Winkel, welche die Richtung von P und 
neuen Axen mit den gegebenen Coordinatenaxen bilden, 
unmittelbar: 

cosM = flco8a + a'cos/3-f a"cosy, 

cos t? = 6 cos a + 6' cos ß + b" cos y ; 
also : 

P.rcS.cosq) = öP.[(6.r + 6'y + ^"2 f-i/i)(acosa | n'cos/i+a"cc 

—(ax + a'y+a"2-{-^i)(bcosa + b'cosß-i-b''ci 



.t:- 



^achwindigkeUen zur Bettimmung der GleichgewUhisbeding, 343 

Dan Princip der virtueli.en Geschwindigkeiten giebt also, bei 
Wfglassung des constanten Factors c», als Bedingung des Gleich- 
geiriebtes: 

if[(fcr + b'y + b"t + i^j )(a cos « + a' cos ß + a" cos y) 

— (aar + a'y + a"i + Jj )(6 cos « + 6' cos /S + 6" cos y)] = 0. 

Irifiplicirt man aus und vereinigt die Glieder, welche gleiche, 
m TOD der Lage der neuen Axen abhängige Coefßcf enten haben, 
m kommt: 



= 0. 



(«li-*fe)^'^cosa+(a'i/i-6'|i)-SPcosß+(a"iyi-Ä"li)2'/^cosy^ 

+ (a'b^ab')£P(x cos ß —y cos«) 
+ {a%' — a'b") £P(y cos y — i cos ß) 
+ (oÄ"— a%)£P(z cos of— a: cos y) 

Ib den Coefficienten der sechs Summen treten nun acht 
fau e o aof, iwischen denen nur zwei von einander unabhängige 
fiUehngen 

a« + o'« + a"«=:l und 6* + 6'« + 6"* = l 

liitetiu; die Coefficienten sind demnach von einander unahhän- 
i%wd willktirlich. Wenn nun die obige Summe demnach unter 
•Im Dastinden gleich Null sein soll, so setzt dies voraus, dass 
inimioen Glieder derselben Null sind, und so erhält man die 
GlMchgewicbtsbedingungen : 

2;Pcos « = 0, ZPcoß ß = 0, £Pco8 y = ; 

£P{xcoBß — ^cosa) =0, £P(yco8y — zcoBß) = 0, 

£P(z cos a — J7 cos y) = 0. 



i 



;H4 



Dietrich: Zur Theorie der Determinanten 



Zur Theorie der DetermiDanten. 

\*on 

Herrn M. Dietrich, 

Professor am Ueal^ymnasium in Regens bürg. 



Das Nachfolgende wurde begonnen, um die bekannte !)■ 
Stellung des Produktes aller Differenzen gegebener Zahlen dtfv 
eine Determinante, gebildet aus den verschiedenen Poteuü* 
ser Zahlen, in einer andern Ableitung zu geben, als dien^ 
Baltzer und Brioschi in ihren Werken über die Theorie! 
Determinanten geschehen ist; möge es nun erlaubt sein, dii 
Ableitung, sowie auch die an sie sich knüpfenden weiterei I 
genschaften und Anwendungen gewisser Determinanten in Ö 
hier niederzulegen. 

Hat man 
und hiezu 

so gibt die bekannte Formel : 

r = 1, 2, ....,n r = 

ai, rWl, • + a2, r€C2, • + .... + «n, rCtn, < 

S = 1, 2, ...., 7* S = 



M f ...«yTC 






flr,8 


« 


«r,« 


1, ...., n 




S ~— J, •••• |l 



*^ Diese ubgekür%te Bezeichnung einer Determinante M'ird or 
sciHi wenn man noch annimmt, dass etwa r seine VVerthe in jodei 
rizontalon, S die seinen in jeder vertikalen Ueihe durchläuft. 



Dietricki Zur Theorie der Determinatüen, 



345 



alsbald die Gleichung: 



r = 1, 2, ...., n i 



(I) 

i» "~ ^«3» *»llj ....» "f- •'" »• 



\r = 






ly ••••! 71 ; 



L 



j 



welche im Folgenden nun weiter betrachtet werden soll. 
Setzt man zuerst :rr = $r> so wird 

fAXt) S n^) = (Ir - S, ) ... . (Jr - &-l)(|r - {r+l) .... (Sr - 6.) 

= (-l)"--(6-'-5l)....(|r-|r-l)«r+l-^) ....(|.-|r), 

■■d, weDo t von r verschieden ist: 

/■r(5.) = 0; 
fndet daher in diesem Falle 



r=\ n ^^^•>' , 



0. fik) 

0, 0. /»(&,) 



-fih)f{^-ran) 



niueh Einsetzen der Werthe von f(^i), ....,f(^) 



i(«-i) 



=t-i) « .|(.*>-5i)e,-ii)(&-fi,>....({--ii)....(&.-f-i)i*. 

•der darch Gebrauch einer bekannten Bezeichnung 



(2) 



»(■->) 



r ^ 1 9 •••• ) ft 

/rd.) ; = (-!)« .M(|„|, Wl«. 



Setit man ferner .r« = ^ |a , so wird 

W-S) = (- 1)— 1 . (S. + fj .... (J. + Jr-l)(£- + fr 1 1) .... (S. + fn) 

■d mithin, wenn man noch die gleichen Faktoreu der lilicder 
jsder Reihe der betrachteten Determinante heraussetzt 



\ 



346 



Dietrich: Zur Theorie der Determinanleu. 



1 r = 1, 2, ...^ n 

! fr{- 1.) 



=: (— l)fi(ii-l). 






...•(l«+fi)..(l»+6— Ol*, 



oder durch Annahme einer besonderen Bezeichnung fiDr das Pro- 
dukt aller Summen von je zweien gegebenen Zahlen: 



(3) 



r =2 1,2, ...., n r = 1, ..... »i 

25. 



S m2 Bf £f ..«.} 71 



l. + £r 



.|^(fi,S«.—>£ii)l*. 



Endlich kann man allgemein bei beliebigen Werthen von x we» 

gen fr{x) = —-^^ schreiben : 



r = ]y 2, ...., 71 

S ^I^ I5 ^> •••., 7t 



4) 



= f^P^\)'f{i^^)""f{i^'n). 



r = 1, 2, ....ytt 
1 



Da sodann bekanntlich 



— ^, =— (£1 +....+ ft-i+S«+i +....+ Sil) = £, — i4 
A= fiEa+....+£iS.-i+li£.+i + ....+?,-rf,ii+....=E,«— /<£.+Ä 

U. 8. f. 

ist, 80 erhält man bei wiederholter Anwendung der Eigenschaft: 



r = 1, 2, ...., 71 

1 = 1 *> 71 

S) 
1, — /l|, i9|, ...., ^- Ml 



7=19 «...^ fi 

«r, • 

S !!^ I9 ..».y 71 









Dietrich: Zur Theorie der Determinanten, 



347 



Endlich bat man noch 



(6) 



T ^ 1» ••>•> n 

■« >■■■ M f m*»»f gl 



ii(n-l \^—^9 ""» •• 



= (-l) « . 



ar. 



r-l 



f = ]> •...« 9t 



welches fiir a:« = -|-£« oder j:«= — £« den Werth: 



(7) (-1) • ' 



erh&lt. 



5/-» 



oder+ 






Verwendet man nun nach diesen Vorbereitungen erstens die 
AasdrOcke (2), (5) und (7) für die Gleichung (1), so ergibt sich 
sogleich : 

r = 1, ...., n 2 



(-.1) « .|^(J| f„))« = (-l)^fi^ 



S = 1, ..•.« 91 



woraus nach Werth und Vorzeichen, wie die Vergleichang der 
ersten Glieder beiderseits gibt, die bekannte Beziehung folgt: 



(8) 



^{ilfity ••••» Sn) — 



r = l,2, ...., n 



Die Gleichungen (3), (5) und der zweite der Ausdrücke in 
(7) formen ferner unter Benutzung von (8) die Gleichung (1) um 
in: 



SS \$ I19 ••••9 9t 

26. 

S.+5r 

k = 1, 2, .... n 



.t^(f„ Wl* = 



r=l,2,....«|a 

f =],2....y9» 



welche entweder: 



r = 1^ 2, .... 9t 



(9) 21(61, £»* ••"» W= -^(£1» 5ft* — » 5") • 




oder 



■ J» ■ 



348 



Dtetrtchi Zur Theorie der DeterminoHteH. 



(10) 



r = ]> ••••9 fi 



r=l, *— 1 

_/ ^(£i f.) V_ /„ /£.-£r W 

~ V-S (Si W/ ~ V V f. + i,>/y 



# «^^ J y ••••y M 



l»ibt, wo das Produktzeichen P alle Faktoren vereioigt, welehe 
den verschiedenen Wertben von r und $ entsprechen. Zuletzt er- 
hält man aus den Gleichungen (4) und (5), in Verbindung mit (1) 
und (8)^ die Beziehung: 

(11) 



1 



«(«-D 






• ■ ■ J^ ■•••9 fl 

welche bekanntlich bereits zur Auflösung der GleichangeB: 



«'1 



. i 
benutzt worden ist. 



Un 



tii 



w ••—•MI 9 • • • «9 

a:i — 6n ^11— 61 






Wendet man auf die Determinante in der Gleichung (11) daebe- 
its angezogene Eigenschaft» hier mit p=. — 1, wiederholt Ui w 



reits 
wird 

f I ■ J 9 • • • tyltf 

1 

Xt—tr 

S'"^' m f ••••9 /' 



1 



1 



1 



I 



^1 — 5l ^1 — fa ^1 — £l *"*' ^1 — fn OTi— t-i 



1 



1 



1 



1 



1 



^Tn — 61 ^n — b2 *^n — * i 



• • • • « 



^n — b M 



und wenn man die hier vorkommenden Diflferenzen von BTSchen 
zu je einem Bruche vereinigt und die alsdann in den einieln^ 
Vertikalreihen auftretenden gleichen Zähler heraussetzt: 



1 

^• — fr 

*••— I j ^j •t«*9 #1 , 
1 



= (£2-£l)(£8-««)...ßn-fn-l) 



1 



1 



^1 — fi' (äTi— Ji)(a:,— f2)"""(ari-Sn-i)(a:i— Jn) 
1 



1 



1 



^n— li' (ar«— f,)(ar„— £»)' '""Un— f«-i)(a:ii— f«) 



Dieirieh: Zur Theorie der Determinanten. 



349 



Bildet man sodann, wie eben vom zweiten, nun vom dritten 
iede jeder Horizontalreibe angefangen, die Differenz jedes Glie- 
3 und des ihm vorausgebenden, nachher vom vierten Giiede 
» u. 8. f., so kommen nach und nach alle Differenzen der Zah- 

£i, $2 >in heraus und es wird zunSchst: 



:i2) 



1 

f=J, 2, ...., n 



— ^ \iiti^9 ••••>£•) • 



r=l,2,....,it 
1 



S^^ i, «9 ••.i,fl 



d dadurch aus der Gleichung (11) die neue: 



(13) 



r = 1, 2, ....,7t 
1 



^^=1,2,.... 71, 






8 welcher leicht noch die weiteren: 



(14) 

1 1' 

ri— &).... (ari-fj),....,(x,-S<), l.a:,-|<+i'- • (a:,-^f+i)....(a:,-f„) 

»— fo)....(ar„-fa),.....(j:«-|f).J, x„-h^i' ""'{xn-h+i)....(xn-U) 

11(11—1) ^ (xi , Ä») 



= (-1) « P{x,-it\.i)....{.x,-U) 



(15) 



1 



Äi— £a""'' (ari— 5«)....(ari— £n) 



1 



=(-1) 



2 • ^\^if**9^n) 



Xn — £«*""' (a?« — 6») .... (a:« — Sa) 



#^ar,— Sa) •••• (^•— I«) 



350 Dietrich: Zur Theorie der Deierminanten. 

und allgemeiner: 

(16) 
i 1 1 



(arn— |-i)(^n— J-ifi)....(a:fi— &), ""> (arn— 6-0 ....(arii— li).... (a?«— In). 

■"^ '^ P(a:.-6.)..(a'.-$i)(Ä.-&.)- 

sich ergeben. 

Diese Gleichungen lassen sich anwenden bei der Auftustiiig 
der Gleichungssysteme: 

(17) 

tli+tl2+.... +tt«==Cl, 

Uj _ . «ft , , Un 



"* + •••• +7Z b^ 7^ — t — N = fl«; 



(^l— 6i)—'(^l-|n-l) "" (^n— &).... (a:n—&i-l) 

und 

(18) 

*"*■*" i^ +•••• + (o:, - 1,) ...."(^1 - fee-i) =*«• 

^'^ "*" ^«-6l "*'••••"*' (^2-|l)....(^«-|«-l)""*' 

''^ + ^Ai + •••• + (xn-ii).... (a:«-S«-i)=*" 

und ähnlicher. Besonders einfache Resultate erhält man aus den 
Gleichungen (17)^ wenn die Zahlen aj, a^,.... ebenso zusammen- 
hängen, wie die Coeflßcienten der Unbekannten Ui,u^ wana 

also 



fl« = 



.51 „ _ «a oji-i 



ist. Es wird nämlich dann: 



Dietrich: Zur Theorie der Determinanten, 



351 



1, 



] 



«I = 



^1— £l ""'(^1— ll) — (^l— Jn-l) 



I 






(I 



1 



1. -^T' 



I-!- 

^1 — 51 



1, 



1 



^i-kV"' 



1 



1 



'^fi— Si 



»•.«>' 



alflo anch mittelAt (15) 



«(n-l) 



« V*^l9 ••••i^O' ••••j^n/ 



-■> '''•/>(a:.-S,)....(^-T,li) 



5=1, ....,{ — 1,0,t-f l»..«»n 



. / I V ültüi? ^ {xi , ...., ari», ...., Xn) 
nd dorch Vereinfachung endlich: 



(Jo'-jr,)..(j: o 
(«I— ar,)..(j:,- 



(19) 
^t~l )(a-,-t-i '^'X(;) „ (Xu-Xf^) Xx ^^Sl)..{Xo-^n-l) 



Bei bouebigeii Werthen von Oi, a^^„,* gibt die Auflusung der 
fiieiehangen (17): 



iu= 



I. 



1 



1 



Xi — f|' '" {xi — fi)....(a:i — {n-O 






1. ' 



.T<n — I,* 



, -1_ 1 

^1— 5l I 



;:i I, 



^f— ll 



» •••• ff 



, 1 



w der Nenner wieder den Werth 



352 



Dietrich: Zur Theorie der DelermiHanten, 



' P(a7«— Ji)....(j:«— fn_l) 

hat, während der Zähler zunächst 

= Z(-1)'»»«» 

I, _> 1 1 1 

i '*i-li'"'(a:i-|,)..(ar,-«A-2)'(a:,-f,)....(a:,-tA)'-(a:,-f,)..(a:,-f»-l*. 



1 






und durch Auflösung der hier vorkonimGiideii Detcrniiiianten in 
Produkte von Partialdeterminanten 

1 1 



=2:(-.i)'+Ä/iA.2;± 



I, 



y ••••> 



1 



1 .1„^ 1 I 

1 I 



> •• 



(^/— li)-(-'*^/'-fA) ' ""(^/— ^i) •• (^/— l«-i); 



X 



1 



1 



wird, wobei die Zeiger c,.., </, /*,.•> <7 durch alle möi^lichen An- 
ordnungen der Zeiger 1,2,.., ?— 1, i+J»««» w zu je A — 1 undw — A be- 
stimmt sind und voraus immer das Zeichen -|- o<)er — zu nehmen 
ist, je nachdem die Reihen r,.., r/, /*, .., g und 1,2, ..,t — 1, t-|-l«.yii 
in dieselbe Pcrmutationsklasse gehören oder nicht. Wendet mnn 
hier die Gleichungen (15) und (10) an und führt die möglichen 
Vereinfachungen durch, so ergibt sich zuletzt: 



,/,. = (-I)«-i. 



(20) 

{Xi — S, ) .... (.?:,• — |n-l) 



(.ti — .Ti) .... {xi — .Ti-i ) (.r/ 1 1 — .Ti)....(a:ii — aci) 



■ («^9 — ^r) 



Dietriek: Zur Theorie der Determinanten, 



353 



] ^ «- und beide in allen muglichen Arten, jedes einer andern 
GiTuppen, c,...., d ond /*,«..., g zu entnehmen sind. 

In gleicher Weise geben die Gleichungen (18) die Auflösung: 



Vk 



(21) 



X £± 



P(a:« — |ik-i) . . .. (JT. — Sfi-i) 



ü irefcher bezuglich der Zeiger c,,...,d, q und r das oben Ge- 
«*• gilt 

Da schliesslich , wenn q>r ifc) eine rationale ganze Funktion 
nm höchstens rten Grade ist, offenbar 



^r{x) 



(«—$,).... (ar-lr) 



= -^rH) + 






+ ...+ 



«r,r 



(o:— J,)....(^— &.) 



BMlit werden kann, wo i4r>r = 9>r (f r) ist, so erhält man auch nach 
■er schon wiederholt angewendeten Eigenschaft der Determi- 
laten: 



1, 



^i-Ji ""'(J^i— &)-..-(J?i— l«-i) 



1. 



9i (*«) 



q?«-i (jTji) 



.r,— Jt *'"'(ar«— 5,)....(arf,— g«-i) 



1, 



<3Pii-i(5ii-i) 



yi (li) 

^1 -& ""' (^1— 5i) — » (J^i— |ii-i) 



j 9i_(|i) ?_"jzl(|"r?)_ i 



= qp, (li)— -Vn-iCS^-O 



glich 



1. 



l 



1 



^|— li """ (^i— ?i) ••••» (^i— fei-i) 



l 



1 



1 






a:«— , "****(a:ii — li )....» (jrn—S.-O' 



354 



Dietrich: Zur Theorie der Determinanten. 



(22) 



1, 



?Pl(£i), _, 



tpk^iixi) 



h 



yi(j? g) 

a?n — 5i **"' (arn — li; .... {Xn — 5n-l)i 



g>«-I (Xn) 



Für ^t{x)'=^{x — cr|)....(a; — «r) gibt diese Gleichung noch, 
man ferner Jr=««+r— i «etat, 

(23) 
1 



(a:«— Cfr) .... {Xa — «ii+r-a) 

r=:l, 2,....,n — 1 

, , »(>'-^) P («n-t-r->l — g| ) .... (tfw+r-l — Ofr) 

= ^'^*^ * • P(a:.-«i)....(a:.-.a2r.-2) " ^(^i — ' 

Diese beiden Relationen enthalten gleichfalls wieder dii 
tel zur Darstellung der Werthe der Unbekannten solcher 
chungssysteme« welche die aufeinanderfolgenden horizo 
oder vertikalen Reihenglieder der Determinante in (22) odc 
als Coeflfieienten der Unbekannten haben. Wendet man die 
auf den besondern Fall: 



(24) 
v>i + w« + .... + trii=«i,. 






(Pl(Xn) _q>i(^o) „ 



(fn^liXi) 



. t^l + + 



(Pn-l (Xn) 



9>n-'tiXo) 



—^•u 



(^0— Si)—(^ — In-l) ' 



«1 



[ frfraath: l'rt. ä. Schwere an ü. Otier/Iäetii- ein. IW/il/iinifj'Mi. iJ.'iO 

;fi, H (Indct rasn für ilin UnbckonntcD «)|,....,uiii die in (l'J) füt 

'[ii> Zahlen k, .Un hereilH erhultenen Wertlie, so duss die Aiir 

i'^min)!«!) der Gleithnngen ('ii) von den Kunlclioncn ipi (x), 9<i-i(.t) 

bJlngig erscheinen und dieselben als für ifii(x) = ....'=ipB-)(x) 
t «Ind. 

■ Die allgetncineien Fülle erfnbren dieselbe BehandliiTie. 
I Resultalen ii) (20) und (21) fdhrlr. 



die Schtrerc an der Obcrflitcbe eines gleich 
■ig dichten, durch Uindreliung einer Ellipse um 
hre kleinere Ave erzeugten Rotationssphgroidos. 



Iferm Dr. Karl friesaeh, 

V. i. Ilnniitmann in rirr Armen. 



»fonche «nnsl vorlrefflicho Lchrbticher der Pliysik enlbaltoii 
^■nerkung. dnss, aticli Abgesehen von der Rolntinn der Erde. 
*aUi ■■ FoI|;e ihrer itb^eplnlleten fiealnll, die Scliucre sti den 
"fc» (pflüser sein niässe als om Ai-iiontor. iiiditm ctsleri; vom 
MUponkle »reiiiger weil ciitrcrnt wären uls die Funkte des 
y^UloT« — eine ErkISning, wclehc aus dem Grtinile iinzultiMsig 
Im, n-«il ni«n von einem s[ihjtroid igelten Ki!r|ieT nii-h( )»ehau|iten 
tel. dkH er «D wirke, als ob seine ßanio Masse Im Mittelpunkte 
'"ciBlgl ifäni. In der Tbiit ist «in Bolcbcr Beweis knum stich- 
''i^ror, als dfl-H Rainonnement eines beknnntcti aHlrunnmischca 



356 Fries ach: üeö. d. Schwere an d, Oberfläche ein. ÜoiationstpMr, 

Literaten, welcher aus der grösseren Schwere an den Polen eine 
Polaranschwellung folgert, indem er meint, die Anziehung des 
Erdsphäroids mfisse sich dort am stärksten äussern, wo sich die 
gröt^ste Massenanhäufung befindet. Es wäre daher besser, obige 
Bemerkung in Elementarbuchern entweder gar nicht zu erwäh- 
nen oder wenigstens nicht auf eine so mangelhafte Weise begrün- 
den zu wollen, sondern behufs der Begründung auf die höhere 
Analyse zu verweisen. 

Geht man von der Hypothese au8, dass die Erde ursprung- 
lich eine gleichförmig dichte, tropfbar flussige Masse gewesen 
sei, welche in Folge ihrer Axendrehung die Gestalt eines durch 
Umdrehung einer Ellipse um ihre kleinere Axe erzeugten Spbä- 
roids angenommen hat, so ist die Oberfläche dieses Sphäroids in 
Bezug auf dessen Massenanziehung und die in Folge der Rotation 
sich entwickelnde Fliehkraft eine Gleichgewichtsfläche, d.h. eine 
solche, in welcher für jeden^ Punkt die Resultirende jener beides 
Kräfte, d. i. die Schwere, der Richtung nach mit der Normalen 
zusammenfallt. För diesen Fall ist bekanntlich, wenn g die 
Schwere am Aequator, g' die Schwere in der geographischeo 
Breite q>, a den Aequatorialhalbmesser und 6 die halbe Polaraxe 
bezeichnet, 

9' = ■' 






a 
woraus rOr die Schwere Cr am Pole 

a 



G=zff.-^s folglich G>g 
folgt. 

Lässt man aber die Fliehkraft unberücksichtigt, so ergeben 
sich für G und g Ausdrucke, aus welchen nicht aof den ersten 
Blick zu ersehen, dass G>g sein müsse, wie sogleich gezeigt 
werden soll. 

Es sei m ein Punkt in der Oberfläche des elliptischen Rote- 
tionssphäroids. Nimmt man in dessen Meridianebeue den Aeqoa- 
torialhalbmesser als Abscissen- und die Rotationsaxe als Ordi- 
riatenaxe an, so kann die in der Meridianebene wirkende Anxiehnog 
des Sphäroids aaf den Punkt m in zwei jenen Axen paraileie 
Componenten Ä nnd F zerlegt werden, und man hat, wen» mma 
die Coordinaten des Punktes m mit a, g, die Excentricität des 
Sphäroids mit e und einen konstanten Faktor mit fi beseicboet, 
nach den bekannten Formeln für die Anziehung eines elliptischeR 
Sphäroids : 






rtetaeh: Vet.a. RcAvert nn rf. Oberßäch 


!<?(rfn. 


Iiiilatfnn3ip/idr- 


357 1 


4^«öx pi t*dt 




7' /aresin £ 


Vi- 


) 


- / Vl-.-t' 


*tina^ f t*dt 


Jc«« -,'.(' -»^i^ 


T""" 


^> 


j 




— (1-VT^ 


rji.""'"'). 




■ 


V«nVT^(',3rc8inf 
ff— 2a' ' f 


VT 


:t.). 




■ 


ÜT 4üB Fall , dass <li 
1, aitefzeugt man »ici 
ücko nach steigende 
bi den Griedern 2ter 
ladorch: 


19 Sphäroid von einer Kugel «enig ab- V 
1 leicht, dass 6'>9, indem man obige 1 
n Potenzen von e in Reihen ent»^iclcell 1 
Ordnung stehen bleibt. I>enn man er- ■ 


Gz 

y 










^ 




^ 


hn aber allßemoin di 
der kÜReflte sein : 


krzutliim, duss 


<■■>.' 


7, durfte l'olgei 


j 


la« Utse f^Mnco. s< 


. 1.1: 








^ 


f;-V:.fl 


^°"i(.iri«-«,. 


„,» 


). 




■ 


ff = 4^«« 


äSis-l»-" 


,„c„ 


HM). 




V 


«„2(«n, 
ff "- 


Ei) — la COB m) 








n 






^ok' «hell., daa. 


das StattÜndeii 


,0„ 


(.■>,, a 


n die 


„. 1 


2(Binw— Q)C08Q))>tü-6rr 


,„co 


>u 




■ 


Ä ist. 










^ 


m liuksBlehenden al». so orgibl sitf 


> stehende» 
. die »ilTereii 


Ausdcucli 1 


J = 2(8iH«- 


-wcoso>)-« + i 


linu 


CO.». 




^^H 


icfi V) dIffeTent'lirend 










^^1 


^m 


^ 


■ 


38» 


J 



li . ^ SS (Soosw—SccMKo-f 2« sin«— 1 -feofli^—rio«')iI« 

ssSsln m («— «iofi) A», 
folgiieb , weil ^ filr 9 ss ▼erschwindet, 

^s # 28iD«i(tt— 8iofi)dfi. 
o 

Da nan xfrisdwn deo Grenseii und |«, loMtiMlb wilckc 
10 nothweodlg liegt, obige« Diferenäal stete einen poritivenWaf 
behält, iet anch ^ poeiÖT. E§ iet daher auch Innerhalb Cenr 
Cremen Og. An den Grenzen eetbe^ d. i« Ar tissO und mssjß, 

wird G — g^O; und man hat in ereterem Falle Gss^sa^^ 
in letiterem. hingegen vemchwindet, w^en eoe^«^ = 0^ wmü 

G' . ; 4 

Cr ala o, wihiend der Quotient — den Grenxwerth -* mmtmiL.^ 

^ g *^; j 

Das -erhaltene Reeultat berechtigt wohl m der Frage, Affin 
sich Flelleicht allgemeb beweiaen lieeae, daaa die UagÜdav 
Cr > ^ CBr jeden, dorch Umdrehung einer nach was immer tk ilMn 
Geaetae gekrümmten ellipeenlhnlidien Knrre erseugfen 
IcOrper von gleichmlaaiger Dichte Geltni^ hatf 



Geometrischer Ort der Mittelpankte aller durch ^sa» 
festen Punict gehenden Sehnen eines Kegebohmttii 

Von 

Herrn Jos. Brauuy 

Lehrer am Ryffel'echen InatUat in Stäfa (Züricheee). 



Der Beweis» den Herr Professor Lommel in SchwysiM 
Archiv Tbl. XLlll. S. 231. — S. 233. för deo LehraaU: 



lua: Utantetr. Ort d. MiltetpunHte il.Sefititu elties hegel»chH. 'Aft'Q 

„Der geometrische Ort ilcr MUtetpunkte aller 
Hurch einen fehlen Punkt gebenden Sehnen 
eines Eegolschiiitts ist ebenfalls ein Kegel- 
acbnitt, welcher mit dem gegebenen ähnlich 
und in Sfanlicher Lage ist" 

tgetheilt hat, rührte mich auf fnlgeiiile analytische Etebundlunir 
: Aufgabe. 



) Gleichung c 



r gegebenen Ellipse. 



jenige einer durch den festen Punkt {f, g) gehenden Nehne 
der Ellips«. 

Dann belsst die Gleichung eines mit derselben parallel gexu- 
gonen EUipsendurchmessers: 



r 



die des dazu gehörigen conjugirlen Durchmessers: 



Aus (1) und (1) bilden ivir durch Elimination \ 
a^^' + A'a;'»— a«5y— Ä«/>=0 



als GteJdmng des gesuchten geometrischen Orts, die sich, ( 
wir ein neves Coordinatensystem der x'y' sa näblen, dass: 



I 



5 = y + is. 



\r#r(i^ii^vr(.ö\(i)-|"'' 



S60 B r mmm: €€mtutr.Orid.MitteipuHMiid.S€Mf9emeim8ir§0ei$ckM. 
Für die Hyperbel T 

©■-CO-* 

erhilt man anf gleiche Weite : 



= 1. 



Weiiii 

die Gleichang der gegebeneo Parabel and 

jf — y = ii(«— /^ (R 

diejenige einer dnreb (f, g) gesogenen Sehne, so helart f 
Glelebnng dee Darchmeaeers, der parallel rar Axe doreh Um 
Halblmgepnnkt gebt: 

3f = ^t (9 

Ana (1) und (3) erbftlt man: 

m 

als Gleichung des gesachten geometrischen Orts, — oder «m 
man: 



setzt: 



y^=zpa^'+g; (^=«^M). 



i 



XXII. 

Oo twti ne» Ibrois of [leliotro|m. 



fl'. H. .«i7/er, M.A., Fnr. See. RS., 
VtoteMOT nf NJnirmlogj' in Ilic Univcrtilj <if Caniliridg 



A Heltotiope is a tnirror O [irovided irilh sanie contrirance 
iot aJJufiling is ao that any gWen Hislant point T ma.y receive llie 
Ugiit of lli« Bim Ä' reflecled froni ihe surface of the mirror. This 
inKlriiinent has beeii conslructed on three different principlee. In 
Druninionds (Philosophieal TransacUöna for 1826, |). 324), by i. 
«implc tiiccbanifiiii, u normal to IIig mirror \s made lo Itisect the 
angle lietneeti Ihe asea of U\a lelescopcs, oiie of which is pointed 
\n T aud the other to S; consequeiitly T will receive tlie light 
of S reflecled rruni O. In SIruve's (Breiteiigradmessiiiig, p. 4^) 
' i minor U (lirected by moana of tivo sights attached to its sup- 
rt, nhicharebroughlinto the line OT. The heliotrope «mployed 
the Ordnance Survey (Ordnante Trigonnmetrical Survey of 
t Britaia and Ireiaitd, Account of Observalions and Calcula- 
(«ns orUlfi Priucipal Tnaugles. p. 47) is sitnüar to Struve's. 
Kept that K Single mark ptaced at a convenient distaiice in thi^ 
: OT 19 sabfrlütited for the tivo sighta. In tbe tifo heliotropes 
1 by (iaiisM (Astronomiechc Kactirichten , vol. v. p. 32«, 
lad T, Zacb's (.'nrrespatidaiicc Astronnmique, vol. v. p< 374, and 
*ro\. vi. p. Ö&), in SteinlK^il's (Schuhmacber's Jahrbuch für' 
1844. p. 12), and in Gallon's an oplieal contrivance is connected 
wilh the mirror, so as to Ihroiv a cone of ßindigbt in a directinn 
opposite lo the cnne oi' sunlight reflected from the siirfacc of the 
mirror, the axes of tbe tno cones bcing parallel, and either very 
nearly or absoliilely coincident Hencc any point T, from nblch 
a porilon of the former cone of light ap|)car>i tn procecd, nill rc- 
ceivu tbe light uf the san reflecled t'rom tbe mirror. 

Tbe heliotropes I am about lo describe prnduce (wo cones 
of sanligbt throrrn in opposite direcliins, lihe those of Gauss, 
Steinbeil, and Gallon. Iiut diir<<r from tbcm in havin^' no ni» 
t»abl6 parfs, and from all but tiallon'a, and the sextant-faejio- 
trope of Gauss, nitb a eecond moveable mirror. in refjuiring no 
«upport except Ibe band of the Operator. 



362 Mitier: On ttpo neu> forms of Heliotrope. 

One of these consists of a plane niirror, to an edge of which 
are attaehed two very small plane reflectors, a» g, förmig with 
one another a reentrant angie of 90^, and making angles of 90^ 
uith the faces of the inirror. If a ray be reflected once by eacb 
of the two planes er, c, it is obvions that tbe first and last direc- 
tions of the ray will be parallel to a plane eontaining the inter- 
section of a, c, and will make eqaal angles with the intersection 
of a, c, whicb is also a normal to the face of tbe roirror. Theie* 
fore, if two parallel rays fall, one on the mirror, and one eitber 
of the planes a, c, the direction of tbe ray reflected from tbe mir- 
ror will be parallel and opposite to that of a ray reflected once 
at eacb of tbe planes a, c. When the small reflectors arf made 
of unsilvered glass , tbe brightness of the Image of the ran is 
80 far redaced after the second reflexion, as not to interfere wlth 
ibe direct vision of T, and the mirror can be pointed vrithout diffica\ty. 

The otber consits of a plate of glass having parallel faces 
ö, (l, witb two polished plane faces er, c on its edges, makisg 
rigbt augles witb one another, and witb tbe faces b, d, the face 
d being silvered, witb tbe exception of a portion at the angle «de 
not larger than tbe pupil of the eye. It is easily seen that if a 
ray of light incident upon 6, and refracted through 6 so «s to be 
reflected internally once at eacb of the planes a, e, emerge throagb 
d, the planes of incidence and emergence will be parailel» utd 
tbe incident and cmergent rays will make equal angles witb the 
edge ac, and therefore with a normal to the faces b, d. Heoce 
tbe portion of the incident ray whicb is reflected from the mirror 
will proceed in a direction parallel and opposite to that portion 
of the ray which, after internal reflexion at a and c, emerges 
tbrough d* 

' In Order to ascertain that tbe construction of such an instrit- 
nient presented no unforeseen dillGculties , l requested Mr. T. E. 
ßutters, of4, Crcscent, Belvcdere Road, tbe well-known maker 
of sextant-mirrors and artificial horizons, to form the faces a, c 
on the edges of a piece of plate glass, and then bad tbe face i 
coated with cbemically reduced silver. Upon trial, tbe emergeit 
light was found to be too bright; but, after smoking tbe angle 
ade in the flame of a candle, in order to reduce the intensity of 
the light, it becamo perlectiy easy to make the ccntre of tbe 
image of the sun coincide w*itb tbe object T^scen by direct vision. 

An image of the sun of suitable intensity for pointing might 
be obtained by attaching to tbe edge of the mirror a piece of 
tinted glass, of the form of the corner abcd, witb the faces 6, (T 
parallel to tbe plane of the mirror. 



M i B c e I I e n. 



Ueber die Bcrcclinnng eines EreisabschitiUs. 



Uet Formel Tür den Inhalt eines Kretsabschnitts durcb Sehne 
^d Hohe kann man Tolgende Geetall geben. 

Die lialfie Sehne und die IJühe des Kreisabschnitts seien o 
b, lind r sei der Halbmesser des Kreises, zu welchem das 
ment gebort, ivobei ich bemerke, dase die FSIIe, tvenn eine 
ÜBven a, ti »irklicb verschtvindet, TÜlllger Hestimmtheit 
, Ton den folgenden Betrachtungen ganz ausf;e schlössen 
ü sollen; und irenn dessenungeachtet neitcr unten, bei der 



icbtung der Brüche - nnd 






mal f< = 



tzt trird, so hat man dort diese Fälle gewissermassen nur 
Inzl^tle zu betrachten, die aaf das Weitere keinen Einfluss 
Mit Bezug auf Taf. II. Fig. S. ist offenbar: 

Segm. =Jr'Ärc^DßToldb(''— *)' 
= ir»Arc/(DÄ — «(r— 6). 
il o" = Ä(2r-(.), also: 



a' + 6' 

- '2A ■ 









Offenbnr ist aber: 



364 Misceiien. 



Are ADB^=z 2 Arcsio - = 2 Aresin -s-rri » 

r . a' + o* 

wenn man nnr 

kleiner, eben so gross, grosser als ^n (aber nie grosser a 
nimmt, jenachdem 

d. h. nach dem Obigen, jenachdem . 

26« < a«+^, 26« = a«+6*, 26« > a« + 6«; 

6«<a«, 6» = a*, 6«>a2; 

jenachdem also:^ 

6^a, 6 = 0, 6>a 

ist Folglich ist nach dem Obigen, mit Rucksicht aaf dieae E 
dingungen : 

« /^+6«\» . . 2ab /«i:iÄ«\ 



oder: 



oder: 



Segm. =a« ^.-2^4-; Arc8.n^^- -^^^j . 

{ 6 + 5 ) . . 2 6""r7 

^ — ö-y Arcsm 7 



ci 



Weil 

/ 2a6 \' (a« + 6y>-4ii«6« /fl^— 6^ y 
Va* + 6V "" (iM^^ ""Va^ + 6V 

ist, so kann man offenbar setzen: 



Segm. =a*j^-2i6""; ^^^^^«;iM^6* ^ 



oder : 



"* rf^ 



365 



- ift-o' 



■-S' rjj 



l + (r 



M IQ bemerken ist, dass der stets swischen und % tu neh- 
■de Bogen 



Arccos w , ^ = Are cos 



rch des Coshms 

gehöriger ROcksicht anf destfen Zeichen, vollsttodig, and 
I in AUgemeineo, bestimmt wird. 

OSenbar kann man nnn .auch setsen : 



r: 



^-tC-^) 



Segm. =«« I V^^y Arctang j— j - ^-? 



'^■tots swischen Ouod n sa nehmende Bogen 

Are tang jciip =s Are Ung j— ^ 

Kb die Tangente 

2ab 2 



6 ä 

San nur deren Zeichen gehörig berücksichtigt, vollständig 
t wird. 



b a 

'ftr das Argument - oder r kann man eine Tafel der 



Q- 



» -i^ 



Gä 









-O" 



a 6 
4 a 



HS 



m 



OL 9 




Wir 



i^ = 4«Är— Y«. «=%i 



4I11A 



» A 9 



FAT 



^=9 ist 



6 = r ^ 



* = 2^ ., 



= i. 



W«if, irto MAI» leieht iadet: 

//>«_ & M 

tin«! Iittxftfr« OfTpftn^, Insofern ö positiv ist, gleichfalls ponti 
iMflütn A find A f 4 nie ^Oiser als 2r vrerdeo kann: so siakt 



rf 



• , r 



r 



MUecUen. 367 

dios das Argomeat - « wenn 6 von bis är widist, von bis 
30 fortwMirenfi wichst; wenn aber 6 von bis r wächst, so 
wichst daa Argnment * von bis 1*). Hieraas siebt man, dass 

ea sweckmissig sein wird« eine Tafel mit dem Argument -, in 

welcher dieses ArgnniMit nnr von bis 1 in wachi^en brancht, 
av Berechnong von Kreisabschnitten m berechnen, die nicht 

grteaer als der Halbkreis sind, oder flir welche A ^r, also nach 
Obigen 



Betrachten wir ferner das Argument ?• Ans der Gleichung 

Mit: 
dnlkr6^r: 

fillVch: 



a = ist 1 = 0» 
a , 

^tU, wie man leicht findet: 



*) GeesMUriteh abenengt nsa «ich hiervas auf fDlgesde Art. la 
^ILFig.e. Mli aimlich 

Dt ^DB ^ US' A'B* ■ A'E^ ^ A'B' 

A^>Ts •^•^ ^>1F' ■'•• 1F>lB 

«h, w^tkm tetaUre wirlilich dm Fall i«t, well £A'<ili? Ut 




368 MtUBUm. 



zss: 



r+V"r*— (o + «)* r + Vf*— S 

(r+Vr«— a«)lr + Vr«-(a+d)«| 
und letitere tirOsia iiQr ein positives i offenbar ponfir ist, so irt 
Iclar, dass das ilrgnment t, wenn a von bis r widMt, vmI 

bis 1 stets wäcbsty oder, wenn o von r bis abnimmt« v« I 
bis stets abnimmt*). Es wird daher swednnSssig sein« mk 

zweite Tafel mit dem Argument t, in welcher man dieses Aigi- 

raent nnr von 1 bis abnehmen zu lassen brancht« an hen^ 
nen, zur Berechnung solcher Kreisabschnitte« die nicht Ute 

als der Halbicreis sind« oder Hir welche 61^ r« also nach te 
Obigen 









ist. 



Das Weitere würde sieh bei der wirklichen Berechraigte 
Tafel schon von selbst heransstellen« nnd wQnsche ich dasOlfp 
nur als Andeutungen fiSr eine vielleicht nutzliche Arbeit vkf' 
fasst zu sehen , wobei ich übrigens nicht weiss « ob solche oder 
ähnliche Tafeln vielleicht schon ezistiren« worGber ich mir« iress 
dies der Fall sein sollte« Belehrung ausbitten mochte ond ^ 
dieselbe in einem solchen Falle sehr dankbar sein wQrde. 

Miige man mir noch die folgende methodische oder ^dägo- 
gische Bemerkung gestatten. Es hat mir immer wOnschensivcirtb 
geschienen« dass schon bei'm Elementarunterrichte auf holieNn 
Lehranstalten die Schüler mit der Bedeutung der Zeichen ArcsiDJi 
Arctango;, u. s. w. bekannt gemacht und in deren Gebrauche f^e- 
übt irerden. Dazu kann vielleicht das Obige die — wenigstem 
mir — wünschenswerthe Veranlassung geben. 



*) Was man hier auch ohne ohigo analytische Betrachtung «oeleich 
iibemiehL Denn in Taf. IK Fig. 7. soll 

Uh Uta 

K<Mn, was sich von seihst Tcrsteht, weil 

DEKADE'* A'E'<,AE 
i>t. 



Miiceilen. äßß 

Wir wollen nun noch ein Paar Beispiele %n dem Obigen 
ihnen, wobei wir die Formel: 



='l feO' 



a b 
Segm. =a«J \j^J Arctang^ — g g-? 



Grunde legen nnd uns der treulichen, nicht genug zu empfeh- 
tden flinfstelligen Tafeln von Hoüel bedienen, von denen bei 
•er neuen Auflage nun auch eine Ausgabe pit deutschem Text 
schienen ist. 

Sei 0=11» 6 1=17, also 6>o; so findet man leicht : 



a 



g = 0,6471 

- = 1,64«S 
a 



? + ^= 2,1926 i(j + ^)= yffm 



J--SS-0.89W 



(0,03993 
log.l*(j + J)p= 0.07986 

log.{4(j-^)H= 0.34786. 
Arc»angli(g-j))-»= 1I4«>.H'.26'' 

100" SS 1,7463 
14* Ä 0,2443 
11' ==0,0032 
25" = 0,0001 

Are fang 14(^-^)1-' = 1,9929 






370 MUeellem. 

0,37936 
nniD. = %3962 

♦ö-i) =-w^ 

2.8444 
Dies, mit i^slSl nmlfiplleirt, giebt: 

Segm. = 344,1724. 

a*-f ft* 
Mitteilt der Fomel r=:— ^— erbilt man r=1%ti;i 

logr = 1X16135 

log.t^^s 3,16270 

log» = 0,49716 

log.t% = 2,08966 
f% = 456,9 
ir>» = 228;i 

Das Segment ist also grSsser als die halbe und klein« 
ganze KreisflSehe, wie es im voiliegenden Falle sein mna 

Es sei a = 25, 6=19, also 6<a; so findet man it 

J = 1.3158 

^ = 0.7600 
'A = ^ 4(-- + ^)=«l 

1-^ = 0.5558 tG-^) = (M 

10,01616 



log.|4(g + 01« =0.03232 
log.l(|-5)= 0,44389-1 
log.u(j-i)|-» = 0,55611 
Arctangli(|-0|->= 74».28'.2" 





^ ■>»■„ 


^" 


STI 1 




74" = 


I.»I5 


H 




»■ = 


<i,n»i 


H 




r = 


lun» 


^^^t 




*-^'«G--)'-= 


13996 


^H 




'•«*"'^'»(j-0'"'= 


MI»! 

+ 30 

iCTT«! 


s 




'-"(1+0'^ 


0,03832 


^1 




nam. = 


i.tooo 


^^^1 




'G-*)= 


o.sra 


^M 


■~ Km mli 


«« = 025 malltfilicifl, gkhl: 
Segln. =80l,:tl25 




^M 


^H HitM%t 


der Formel r = ^-^— erhält 

r = 25.05 
logr = 1,41414 
log.r« = 2,82S2« 
lug s = 0.49715 
loü.r*« = 3.32*43 
r«« = 2115,6 
Ir»« = 1057,8. 


mwi: 


1 


T «Wilsehrir 


..t kl »Iso kleiner als die h»lti 
■aiie aelo muss. 


le Kr«l»nicl.<. »1.* «■'•^^ 
^ymnasinUBibliiilliiik. | 


'lliclicr FnmJ ans der Tltornrr f 


1 «tMlttAll 

E PÖBfl 


lpr«a*al«crhen MonrtUir.hrUl 
[•• llofL KAnrir-l-erg in Pr. 1 


:. Zw«ll«r Jnitr 


"■■" 1 


^^ Tburii. 32. Juli ISßl In seiDem Apatca »nr t <.riK>na 1 
9K*tti4)rfr«lnppDnicnl Aes nii^thode* «i. Ct'r.molrlo tliut ■ 
^^^K^'Mlts eine» Manne» F.rnXhnanf;. der der lliiii[)lrf]irfliiciilaNt H 


^^m TkAlxu 


V. 


M 


d 



372 Visceiien. 

sen, des Erzbischofd von Canterbary Thomas Bradwardinus. 
Auf Seite 611 der deutschen Uebersetzung dieses Werkes, Note 278 
schreibt er: „In einem ManuscriptederKunigl. Bibliothek (No 7368, 
Kopie aus dem vierzehnten Jahrhundert) findet sich eine Piece, 
die im Kataloge betitelt ist: Fragroentara elementorum Geome- 
triae, ivorin wir Stellen aus der Geometrie des Bradwardia 
erkannt haben.'' Ich kann Ihnen die jedenfalls interessante Mit- 
theilung machen, dass eine vollständige Handschrift nicht nur 
dieser Geometrie (Geometria speculativa. Paris 1495 fol. 
und ufter), die aber hier den Titel Geometria assecutiva et 
arismetica ffihrt, sondern auch einer bedeutenden Anzahl an- 
derer werthvoller Schriften dieses Gelehrten , so ivie einiger Schrif- 
ten anderer Autoren sich im Besitze der hiesigen Kunigl. Gym- 
nasial -Bibliothek befindet. Diese Handschrift, gut und sauber 
erhalten, hat die Nummer R. 4'* 2 und den Bibliothekstitel Pro- 
blem atum Euclidis explicatio*), der natürlich nicht der 
richtige ist und auch, nach der Handschrift zu schliessen, frfibe- 
stens im letzten Jahrhundert zugefug^t sein kann. Es wOrde sich 
jedenfalls empfehlen, ihn durch einen richtigem zu ersetzen. 

Der Inhalt der Abhandlungen ist physikalisch^ geometrisch, 
arithmetisch, astronomisch. Die ivichtigsten Abhandlungen sind 
die Perspeetiva Brasivardini (so steht der Name auf der 
Aussenseite des Pergamenteinbandes und einmal am Ende einer 
andern Abhandlung, sonst lautet er auch in unserer Handschnft 
Thomas Bradivardinus), eine Optik, die oben genannte Geo- 
metria assecutiva, der tractatus I, II, III, de proportio- 

nibus mit der Bezeichnung l^l rH für ein Halb, zirei Drittel, 

der tractatus de Continoo Bradwardini und einige klei- 
nere ebenfalls Bradwardinische Schriften. Ausserdem beindet 
sich aber darin auch ein Werk, von dem bis jetzt nur zvi'ei Hand- 
schriften bekannt sind, nach Chasles a. a. O. S. 481. eine b 
Paris in der Biblioth^que imperiale mit mehreren andern zasan- 
mcn unter dem Titel Verba filiorum Moysi filii Schaker, 
Mahumeti, Hameti, Hasen (Supplement latin No. 49 in fol.), 
die andere, eine Pergamenthandschrift, ebenfalls aus dem vieh 
zehnten Jahrhundert, in Basel unter dem Titel Über trium fra- 
trum de Geometria. Dieses Werk hat in unserm Mannscripto 
bemerkensiverther Weise beide Titel, nSmIich sowohl den: Verba 
filiorum Moysi filii Schyi, Marmeti, Hameti, Hasen (Sic!), 



*) cf. Pctri Jaenichii NotitiH liibliothccao Thoran. im Gelabri«* 
Freu«8cn. II. S. 224. unter Ko. Will. 



z,U auch m.r .lein rechtet. K»ii.le .le.i TJlel ;1'"" {•»f-«. Einen 
Theil dieses Mann Scripten nach (iem Basier Codex (iliersetzt tindet 
man in f^ruiierCs Archiv Till. 3<J. S. 186 IT. 

s Alanitecrtj)! ist auf Papier ^•eschrieben und in Pergament 
lebunden. In ein«r dvr Abhandlungen, Theoriu PlanetaroRi, 
lieh am Ende die Bemerkung: „Ei|)licit aiuio domini 
CCCLIX'S 80 dass die HandHchrift also aus der Milte des 
RrMlinleii Jabrhunilerls stammt. Die einKeliicn LfhrsStxe sind 
tBr«li grlisBere SchiiTl, r'ithe Initialen und Viitarf^treichen mit 
ÜAtb fiervirgehnben. hu Ganzen xählt man 20(> beschrieben« 
tolten und iet die HandschriHI mit Susserst säubern Figuren aus- 
[estaltet. 

Erlauben Sie mir jetzt noch einige lienierliungen Über die 
LebcDsurasISnde des Unuptautore, wie ich sie der G^te des Herrn 
piivrbibliothebars Prof. Dr. Carl Hopf in KCnigsberg t-er<tanke, 
ptt anzurdhen. 

Thomas Brad wardinus (Bredeivardin) i»t !>ehure[i zu 
Bartfield bei Chicliesfer in der Gr.ifscharf SulTolk. Er wurde 
ucb iiräeae (Handb. einer Allgem. Lileräri;esch. II, 'i, 1 8. 53.) 
I Einigen Tfir einen Dnmintcaner, von andern für einen Fran- 
baner gehalten. 1325 wurde er Procorator der dniversilSt 
IKford, las über Tb<;ulngie, Philosophie und Matlieinalik mit 
' «nlchen Erfolge, dass man ihm den Beinamen Ductor profimdut 
liellegte. Später «urde er Kanzler an der St. Paul^kirche in 
London und anl' Verwendung des Erzhischnis von Canterbury, 
Jnhann Stratfard, Beichtvater des Königs Eduard \\\. In dieser 
Eigenschaft begleitete er diesen Otterall bin und nurde im Jahre 
/.fJ8 zweimal nach dem Tode seines GrmnerK zum Kribischof von 
Canterbury genäblt (die Bestätifjungsbulte iat aber erst vom 
Vi. Juni VAiVi datln) und starb im folgenden Jahre am 26. August 1349, 
Weitere Nachrichten über das Leben Bradwardin's Tindel man 
iT,: Tli. Gudtvin, de praesuMbus Angücis Pars [., p. ICO.: 
i iTe Tom.ll. p.4Ö.; Quetif Pars!. p.74i.; Fabricius, lilblio- 
ilicca mediae latinitatis l.,728. und sonst. Ueber seine Be- 
ileulUDg als Mathematiker selie man Chasles, Apercu histo- 
^^ jUwe &■ 611.— ÖM. d. deutsch, l/ehersetzung. Seine Ihenlugische 
Kpj pbnnsophische Richtung lehrt sein Werk: Do causa bei 
BBitra Pelaginm et de virtule causarum, llbri 111, ed. H. 
SaviU London IßlK. fol. Hierin spricht er im Sinne Augustius 
<ii-n Satz aus. dass Gott in Allem selbst wirke und der Mensch 
rinr sein Schatten sei. Das ganze Buch dieses Scholastikers ist 
rihemiepend philosophischen Inhalts. Von seinen matbemaliscben 



374 



Misce/ien. 



Schriften ciUrt Grftsse a. a. O. II., 2» 2, 8. 847. als im Druck er- 
schianen: Geometria apecalatiTa, Paris 1496« 1S04 (od. 1505), 

1511, 1520. fol. — Arithmeticaspeealativa, Paris 1496,1506^ 

1512. fol. — De proportionibas velocitatam, Venedig 1501 
fol. — De quadratnra eircnli, Paris 1616. fol*, dodi Ist leli-. 
tere nach CMsles a. a. O. 8. 614. ontergeschoben. 

Auch sonst besitzt die hiesige Bibliothek manche sehr werik- 
volle alte mathematische Drucke« das Beste davon Ist freilich wä 
mehreren andern Werken dnrch den Oberprfisidenten von Scl^i 
Rlr die KOnigsberger Universitftts- Bibliothek eingefordert wtite 
nämlich die editio princeps des Enclides» und der KMth§ 
enthält jetst nnr noch den Titel des Werkes. 

M. Cartta 



Von den Heraoigeber. 
(o6 V + be'ar + ca'b" - ac'b" - Ao'c^ - c6'a^)« 

+ 2(aaf+bb' + ec')(at^+bb''+efS^)(a'a'''^Vb''i^if^ 
— (ö* + ft«+c«) (a'ii*'+6'6*' + c'c*) 
— (a'*+6'«+c'«) (aa''+66''+cc^ 
— ia'^ + 6»« + c*«) (aa' + 66' + ce'). 






Summirung der Reihe 



tfl |g| tfl 
2 ' 4 ' 8 



y .... in inf. 



Nach einer Mittheilong det Herrn Dr. Paol Eicher in Wien* 



Nach einer bekannten Elementar -Formel Ist: 

_ J 2_ 

*8*-tgi/; tg2t^' 

also, wenn man für ^ nach und nach 



ffl flp rp ffi flp 

r* 2' 4' 8' 16*" 



setzt : 



Mitceiien. 375 



1 


1 2 


-T 


1 1 

2tg| l.tgf 


•»f 


1 1 



* 4.tg| a.tgf' 
»«I 1 1 



® S.tgf 4.tgf 



o. a. w. 



teg—i 1 1 



^*2» 1 1 

*" 2-.tgJ 2^»tg5^, 



larch Additioo: 



OD OD OD OD OD 

*«r *«f *«4 *8f *8§ 

— + "2" + "4- ■*■ "ff" ■*■•■"■*" "^ 
_ 1 2_ 

"2-.tg| *«2^ 
'— g, • op tg29 

1. 

=^Tn^-«'»3S~tgav 



»"»2i 



-.co.p.(l:— )-^. 



=-.co«s-(l5-^)- 

9: 



376 MUcellen. 

Lässt man nun n in*s Unendliche wachsen, so ist bekann 

sing; sings 
Linico8^ = l, Lim = 1, Lim(l: ) ~ 1, 

5» 2» 

also, immer flir ein io's Unendliche iraclisendes n: 



Lim 
oder: 



f*g| *«! tgf tgf "^^^^L.. 



tßf *f *«! ^l 1 2 



Analytische Bedingungsgleichung, dass vier Punkte io 

Kreise liegen. 

Von dem Heraasgeber. 
Die rechtwinkligen Coordioaten der vier Punkte seien 

^0» y©; «i»yi; «^» y*; ^s» ys- 

Sollen nun diese ?ier Punkte in einem Kreise liefen, 
Gleichung 

sein mag, so muss: 

(jTo -p)* + fyo - y)* = r*, 

(«s— p)* + (ya— 9)* = r«; 
oder: 

sein; und die gesuchte Bedingungsgleichnng wird also ol 
erhalten, wenn man aus diesen vier Gleichungen die drei Gr* 



l.i Ihl. XXIII. S. 280. I 
>i df n lirr (ilcichiiiieen : 



nil S. 287. habe ich ab«r gezeigt. iIbsb 



"l* + Al.'/ + '-| — «I. 
iliiri'h Fliminalifiii von .r , i/, c die (ileichiinK: 

+ (Acj— c6j) (fiffa — "i«a) 

+ (*|f3 — Ci6j) («»n - uj«) 
+ (Vs-V'3)(«0i-''«i) 
■■ihilltii «irJ, 

WcnHen wir ilirs .mf i!en oliiecn Fall an, xo frliulleii 
'l^rnilif (ileicIiDiig als Hie ^vsurlite ftec)inguni;sgletchun)> : 

= lx,iff, - .VoJ, ) ! (V + V) - ('»" + ,'/j') ■ 
+ (T..y«- ffo*«) U-»s* + Vs*) -<*."+ yi') I 

+ f*o»»-»o»»)i(j'i"+si»)-(V+.vi')i 

Diese tileichuTig bann man auf verachicdone Arten nusilrilcken. 
""(tri M-ir nicht fenrrilcn ; Rilirt mnn ab«t pnlarf) ('nnrflinalen ein 
•rt Mlil ileniKurnlge : 



'« = Pa f^"* ": 



KOKleich (ltic»ieht: 



I 

il 



f 

I 

378 Miscellen. 

0= ^^C^*— e8*)«n(«b— «i) 

+ Pi^i(po*— Pi*)8»n(«i — ««) 
-\r9\9% (^* — Po*) «»n («i — «») 
+ PaPs(Po*— Pi*) ««»(«•— «s)* 



oder: 



oder: 



0- 2^ 25!,|„( „) 

+ ?2_Zl£l-.in(«,— «^ 
PoPi 



0- (a-ö).i„(^_^, 



Druckfehler. 

Im Inhaltsverzeichnisse zu Thl. XWL— XL. setze man 

S. 30. Z. 10. „\L. 163." statt ,, XXXIX. Kia. • 
S. 54. Z. 3. V. u. ,,XL. 163.** statt ,, XXXIX. 163.- 



^•»' 4 , . 







ger% : Ve^er d$e BeurtheU, der Wurteln efner vorgeL cub. Gleich. 379 



XXIV. 

feber die Beartheilang der Wurzeln einer vorgeleg- 
ten cubischen Gleichung. 

Fünfte Abtheilnng, als Fortsetzung der Abhandlung Thl. XLIV., )^o. IX. 

m 

Von 

Herrn Ferdinand Kerz, 

bjtr indem Grossherzog). Hessischen Gendarmerie-Corps in Dnrmstadr. 



131. 

Man bedient sich zuweilen zur annähernden Bestimmung der 
'MBtD Wurzeln einer vorgelegten höheren Gleichung des Ver- 
fthms der Construction diir Gleichung. 

Wenn wir dieses Verfahren in der vorliegenden Abtheilung 
fliwr Erörterung unterwerfen» so geschieht dies» um die geome- 
kHsche Bedeutung des in den vorhergehenden Abtheilungen ab- 
CAaodelten Verfahrens kennen zu lernen» eine Bedeutung, welche 
■•lehr geeignet ist, das arithmetische Verfahren zur Anschauung 
^ bringen und somit ein Verstfindniss desselben zu fordern. 

Das Verfahren der Construction einer vorgelegten Gleirhung 
^eht bekanntlich darin, dass man die Unbekannte y als ver* 
^rlieh betrachtet» und fiir sie nach und nach numerische 
Witthe: 

•••(«+1), M, ...3» 2, I, 0, —1, -2» —3» ....-m, — (m + 1), 

.. ..(=±«) 



i»_ • 



t» wodurch der gegebene Ausdruck in verschiedene» theils 
^potitke» theils negative Werthe: 






iL 



einer vorgelegten ctibischen Gleichung. %h\ 

■bttfioden» im letstereo Falle flndet stets our eio Dursclinitts- 
pukt statt» d. h. im ersteren Falle kann die vorgelegte Gleichung 
drei reelle Wurseln haben» im letzteren aber hat sie stets nur 
Bine reelle Wurzel. 

133. 
1) Es kann sich an der Gestalt einer Curve Nichts ändern, 
rean man jede Ordinate um eine gleiche Grosse f h t /' 

lei der Substituirnng von Zahleniverthen fiir y kann man daher 
Beb aar Construirnng der cubischen Linie das von der Unbe- 
■nnten y anabhängige Glied a ausser Acht lassen» indem man 

orllofig eine um die Grösse « ( «• r ) Abscissenaxe annimmt, 

ie Linie construirt» und alsdann von dem Anfangspunkte aus die 
eoe Abscissenaxe in der Entfernung a auf der Ordinateniixe 



ib- 1 



S) Ist z. B.» Taf. IV. Fig. 1.» die mit accentuirten C hezeich- 
M(e Carve eine solche cubische Linie : 

um) A^ der Anfangspunkt des Coordinatensystems» i4^*A'*' die Ab- 

idntn- und die mit accentuirten A bezeichnete Gerade die Or- 

Ä'^A" ) A" I 

diüftenaxe» ist ferner: .^,. {=i:«, so ist ^ | der wirkliche 

(A"X*'\ 
AX ) *'*** ^^'"»'k- 

iiekt Abscissenaxe fiir dieselbe cubische Linie: 

Man kann daher sagen: 

tA^\V* 

«kitets die Ordinate des wirklichen Anfangspunktes ('^ Y ^Vir 
*illeii die Abscissenaxe A^^X^ der Ordinate: 

= 6(0) + c(0)« + (0)» 

Asatfirliche Abscissenaxe nennen. Ihr Anfani^spunkt A^' 
iititets ein Punkt der Curve und heissp der natiir liehe An- 
'••Mpankt. 



.*<- • 



'/:» 



382 ^er%: IJeber die Beurlheilung der Wur%ein 

4) Der natürliche und wirkliche Anfangspunkt sind also stc 
Punkte der Ordinatenaxe, und liegt der natürliche Anfangspan 

A^ l f y ^^^ wirklichen Anfangspunkt \/* * ■ j» 
ist die Ordinate \ao/ * *""J des wirklichen A 

fangspunktes stets (Jegajy • 

134. 

Man kann sich die Ordiuaten z der cubischen Linie 

bx + cx'^ + x^ 

auch, nach ihren einzelnen Theilen aufgetragen» vorstellen. <& 
ist z. B., Taf. IV. Fig. 1., 

1) für irgend eine positive Abscisse A^IJ* ^=z\x^ die UR«* 
hörige Ordinate» nämlich: 

oder: 

17'C = V'G* + G'P + P'C 

und 

2) fOr irgend eine negative Abscisse A!^lJi = — x die ii^ 
gehörige Ordinate» nämlich 

X = — bx^cx'^ — x^ 
oder : 

- V^<\ =- £7iGi + G^P^-'PxC^: 

§ 

Denkt man sich nun auf diese Weise für alle Werthe vM ^ 
die zugehörigen Werthe UG, GP, PC bestimmt» und für <• 

(... ) Werthe von ar auf den betreffenden Ordinaten die ke* 
positiven/ 

züglicben Werthe VG ( c - ^j» hieran die bezüglichen WtfÄ* 
von GP aufwärts» und hieran wieder die bezQglichen Werthe ^ 
PC ( r » ^ ) getragen» so erhält man durch die stetige VeA^' 

düng aller Punkte G, aller Punkte P und aller Punkte C» bezieInMp 
weise eine gerade Linie, eine Parabel und eine cubische LiniOy ^ 
man kann die gerade Linie auch als Abscissenaxe der ParfNI 
und die Parabel als Abscissenlinie der cubischen Linie betrachte*' 



einer vorgelegten cuöiscäen Gleichung. 383 

135. 
Denn es ist: 

1) für jeden Werth von Ä^V der zugehörige Werth 

mithin ist die durch die Punkte G gehende Linie eine 
Gerade und 6 der Parameter derselben. 

Da diese Gerade , der Construction gemäss» mit den 
beiden krummen Linien nur den Punkt A^ gemeinschaft- 
lich hat, so ist sie zugleich in diesem Punkte Tangente 
an diese Curven. 

Bezeichnet man den Winkel, welchen sie mit der na- 
tfirlichen Abscissenaxe bildet, durch 9; so ergiebt sich 

6 = tg.g). 
Ferner ist: r 

2) für jeden Punkt von A^ü ^et zugehörige Werth 

VP=b.AW^c{A^V)^ 
mithin die durch die Punkte P gehende Linie eine Parabel. 

136. 

Bezeichaet, Taf. IV. Fig.]., V den Durchschnittspunkt der 
Axe der Parabel mit der natfirlichen Abscissenaxe, ist P der 
Scheitelpunkt der Parabel und G der Durchschnittspunkt ihrer 
Axe mit der Tangente A^G, so folgt aus den Eigenschaften der 
Parabel: 



1) 


VP = PG. 


Ferner ist: 




2) 


VP = 6.Aoü—c{A«U)\ 


3) 


ÜG = b.Aoü. 


Uierans folgt: 




4> 


b.d'>ü = 2e(A'>ü)*. 


oder: 




») 


A0ü:=l. 



3S4 



Ker%: lieber die Beurlheitung tter Wune/n 



«) 



«"•=?. 



Bezeichnet daher p den Parameter der Parabel, so ist iin 
Scheitelpunkts^leichung : 



7) 
oder 

8) 
Hieraus folgt: 



4c« ■"''•4c' 



P- 



1 



137. 

1)F Ist die Gerade A^X^, Taf.IV. Fig. 1., die Abscissenaxe der 
cubischen Linie: 

6a? + ca:*+a:', 

und denkt man sich zu dieser ( e k ^ ) ^'^^^ Parallele ( j t ) 

._ ! = a, so liegt der Durchschoittspiiiikt 

ir') dieser Parallelen mit der cubischen Linie auf der (-^iigo) 

(A*'C"\ 
.^1 diese* 

Durchscbnittspunktes von der Orüinatenaxe bezeichnet die reeUf 

( •*• ) VVurzel +w der Gleichung • 
\ positive/ " 

0=±a + % + cy2^3^8. 

2) Erhält aber die mit der natürlichen Abscissenaxe parallele 
Linie eine solche Lage A^X^, dass sie die beiden Biegungen 
der cubischen Linie, die cubische Linie selbst also in drei Pook- 
ten C^\ C^ K C^^^ schneidet; so bezeichnen die Entfernongea: 

AfC^, A^a', A^'C^^i drei negative Wurzeln: -w, -w, -• 
der gegebenen Gleichung: 

= + a + 6^ + c^^ + y8. 
für welche A^A^''=i-\-a ist. 



eimtr fntrfiüpri.i, .^i4M.ln ii^a<r!la:i^^ J^ 

I. Ist aber die wt dti satätGck^a Ab«ri«4«ou« pdr^lMe 
Liinie TsDgenle aa ciae d*r Biennseo d«f cvUs^b«fi Ltui^. ni« 

l.A"'S'J ' "** ^" "" ""^ B*Tcbreii«sp3Bkt r^ ^ afc Eni}[>anL( 
les aoTirSrU seheoileB ond >ac1«)ch ab AnfaiK^(>«nkl d«« ab- 
wBrUgeheoden Theiles der BicenDs b«4rachlca, and rs beklebt 
also für. ihn seine EotfernEoz von der Oidinatenue doppelt. 

Die EnlferuiiDgea f jirc* 'a'*'s' A"'C"') ''^•*'*'"'*" daher 
in diesem Falle die drei Warzeia der gegebeocD Glncbunjc: 

anter nelchen »rei einander Tollkommen gleich srod. nnd für 
welche | ^o^ir ( = + « ■''■ 



Es tot daher: 

At'S-\ 



'> i;X'|=-*cTt^^c--3/>. 



J- C"' j 

Afcn - 



-ic±lVc*~36. |I7. I). 7)1. 



Im Hinblicke auf [17. A. 2) und 6) und B. tt) nnd tt)} orglRiil airb 
alsbald : 

II. Entsprechen umgekehrt einer vorgelegten cublAchon (iloi- 
chnog zwei gleiche reelle Wur^vln. oo in) ilii- :M)k<:1hh<^ 
desmal Tangente an die cuIhbcIic l<itite, und joiln 
IVnrzetn ist gleich der Entrernang des Ucrflhn 
Ordiiistenaxc. 

lay. 
I«t a; Taf.iv. Fig. I., ' 

A"'A^*' der beiden an die Bi^anguogi 







380 Jferm: Leber die BeuTtheilung der Wur%eiH 

zogeneii und mit der natfirlichen Abacissenaze parallellaaf« 
Tangenten A'"S'' und A'^S', also A^A' die mittlere arithnetii 
Proportionale zwischen A^A*" und A^A^^\ so ergiebt sich, 
[138. 4), 5)] 

I) A^A'rzz — 27 — —q- 

Wählt man nun eine durch diesen Halbiruogspunkt Jt 
hende Gerade AX' als Abscissenaxe , A' als Anfangspahkt; 
ist A^A' die Ordinate dieses Anfangspunktes and 

i) 0= 27 — +^y + cy* + y» 

die construirte Gleichung, deren Wurzeln nach [91.] sind: 

3) A'M' = — ic + i V3c«=96 , 

4) ' A'M='-\Cy 

5) A'M*' =— Ic— iV3c« -96. 

140. 

Vermindert man jede der Grüssen : A'M', A'M, A'M" an < 
Grösse A'M=: — \c, d.h. schreibt man in Gleichung [139i ! 
— \^-\ry för y\ 80 geht diese Gleichung über in: 

1) = -i(c«-36).y+y3, 

deren Wurzeln sind: 
'2) M = 0, 

Betrachten wir in 1) y als veränderlich, so schreiben wir: 

4) 2=-l(c«~36).a: + ar3, 

und es folgt: gleichen entgegengesetzten Abscissen entsprecl 
gleiche, aber entgegengesetzte Ordinaten. 

Man kann daher sagen: 

5) Jede cubische Linie hat einen Mittelpunkt 
und jede durch denselben gelegte Gerade MC'y welche den ei 



finer POrgrUgftn cuMacDeii Gtelchutig. 



3«7 



cubischen Linie iti C" scbtieiciet, schneiilet, rücbivärts 
lagert, auch den andern Ast in gleicher EdlferiiuDi; 

MC" = jac'^'. 

6j Es igt daher jedes Stück C'ilC'^ einer durch den Mit- 
Ivlpltokt gelegten geraden, die cubische Linie m zivei Punkleii 
O', C'-*' schneidenden Linie ein Durchmesser der cuhischen 
Lhiie. LSuft derselbe mit der Absciäsetiaxe parallel, so heisse 
rr boriEonlaler Durchmesser M'M" der cuhischen Linie. 



itlelpunkt in zwei 



7) Jede cubische Linie n-ird durch ihren I 
Aeste geschieden, welche einander coDgruent t 

^_ 6) Siat] homologe Theile zweier cuhischen Linien congruenl, 
^M sind es die cuhischen Linien selbst. 

9) Zieht man zu dem Mittelpunkte M der cnbischen Linie 
■ ine Gerade ifjU {T"M), welche Jen horizontalen Durchmesser 
}t'M" unter dem Winkel % schneidet, und deren Parameter nach 4) 

tg;[ = -iCc«-36) 

ist. so Ut dieselbe Tangente der cuhischen Linie in dera Mittel- 
lUkt. * 

VQ) Man kann die cubische Linie [I3ä. 2)] nach Gleichung 4) 
ron dem Mitlelpunkte aus conslruiren, indem man den ho- 
TiUMitalen Durclimesser als Abscissenaze annimmt. 



iHlüki 



II) Im 



Ö6c C 2t» . 



lisl die Ordinate A'>A'=q [VAU. ])J des natürlichen Aufangs- 
kkles W* stets f ' . 1, und der natürliche Aol'angspunkt A" 



/«berlialh 
V,un (er hallt, 



dea horisonlalen Durchmessers. 



I 

w 

^^K 12) Eine gegebene oibische Uletchung von ihrem quadrati- 

^Hncn tiliede bel'reien, heisst in geometrischer Beziehung Nichts 

^Tnders als den natürlichen Anfangspunkt der Coordinalen auf 

den Mittelpunkt, also den ivirklichen Anfangspunkt auf die Ver- 

licalaie des Mittelpunktes, reduciren und ivir wollen daher 

13) die (ileichung [I) oder 4) | die Gleichung des Mittelpunk- 



888 J{er»: [Jeder die Betirlheilung der Wur%ein 

14) Da wir die cubiscbe Linie 4) zu constrairen im Stande 
sind, wenn uns die Grusse c* — 3& bekannt ist» so heisse sie 
Parameter der cubischen Linie. 



14L 

Die durch den Mittelpunkt M der cubischen Linie gezogene 

.. 1 /natörlichen AbscissenaxeX ,, , ... /A'M\ 

und mit der (ordinatenaxe ) P^^«"«*^ ^'"'® \l^m) 

i.~ . j. /HorizontalA . , ....^ , ,^ 

können wir die ly ^. % I Axe des Mittelpunktes 

nennen. Diejenigen Punkte S**, S' der cubischen Linie» In wel- 
chen dieselbe von den» mit der natürlichen Abscissenaxe AOJP 
parallellaufenden, Tangenten i<'"X'", A'^Ä^^ berührt werden» 
heissen Scheitelpunkte, und zwar heisse der^ oberhalb des ho- 
rizontalen Durchmessers liegende» Berührungspunkt S'\ ihr obe- 
rer» der andere, S'» ihr unterer Scheitelpunkt; und wir 

wollen unter ( itere / '^^^^■^^"■"'^ jedesmal denjenigea 

iL§^tf\a\) ^^^ cubischen Linie verstehen, welcher» vom 
Mittelpunkt an gerechnet, zwischen diesen beiden TangeAcn liegt, 

und durch den QntJr^„^ Scheitelpunkt ^g,J geht. 

Die den („„ferenj Scheitelpunkt (g,j berührende Tangente 

(A*''Jif" \ /obere \ 

AiyXivj ^'^'sse (yntef^J Scheitel-Tangente. Das StücU 

\ m\* J ^^^ \ t J Scheitellinie, welches zivischen dem Mit - 
telpunkte M und dem l . J Scheitelpunkte f c# ) 1»^!^ 

heisse der innere (Scheitel-)Zweig des ( . ) Schel- 

tels. 

Das Stück i^iQtt J des (u„tereny Scheitels, welches zwi- 
schen dem (^Jj^J^J Scheitelpunkte (^Z) und der Qj*^^^^ 

A"'X*'* y ''^^^' heisse der äussere (Schel'- 

tcl.)Zweig des f^'^f''®" ) Scheitels. 
° Vunteren/ 



einer vorgelegten cubischen dleichung, 389 

Die Seokrechte r^,.pp,, ,^,^,v J, gefällt von dem oberen 

(unteren) Scheltelpunkte auf C'^ gegenöberliegende Scheitel- 

'^ \ den horizontalen Durch- 

TangenteX /äussorenX „ 

m^co^. J lieisse die Hohe des (. ) Zwe ges 

messer / V>nneren / ^«ö^» 

\S"M iS'M) > °"^ ^»»'^ Projection ^^j^,, (\|i»F') / ^"* 

(die untere (obere) Scheitel -Tangen te\ ,, ^ j,. . i 
den horizontalen Durchraesser ) ^'^ Grundlinie diesea 

Scheiteizweiges. 

Den Dnrchsehnittspunkt f ^/r) ^^^ cubischen Linie mit der 
(unreren/ ®^***'*®*''^*"S®"^® können wir ^en ^g"^^"^^'^punkt 
der Scheitel nennen. Derjenige Theil [piyQviu j der cu- 
bischen Linie» welcher vom (p j j!j r^jy J der Scheitel 

ao gerechnet» die Fortsetzung des f . j Scheitels bildet» 

heisse in^ seiner unbegrenzten Verlängerung insbesondere der 

(aufivärtsX .ja* 
abwärts; sehende Ast. 

142. 
Es folgt leicht: 

1) Die Hohen der äusseren Scheitelzweige sind einander 
gleich. 

2) Die Hohen der inneren Scheitelzweige sind einander gleich. 

3) Die Höhe eines inneren Scheitelzweiges ist die Hälfte 
der Höhe eines äusseren Scheitelzweiges. 

Es ist: 

4). Die Höhe jedes äusseren Scheitelzweiges, nämlich: 

= ^(c«-36) Vc2^^;=^. [138. 4). 5)]. 

Es ist: 
5) Die Höhe jedes inneren Scheitelzweiges» nämlich : 



1 

390 Ker%: Ceber die Beurtheiiung der Wurzein 



S" W" = S' >F' = A'A"' = AA^^' = JV(c*— 36)V c»-36. 
£s ist: 

6) Die Grundlinie des äusseren Zweiges des f . j Scliei- 
tels, nämlich: 






'üir\ <AirCtV-^A*-S" l_ t4AT-^ x^<^ l^Xi^ 
V" \^\Ai^S* — A'*'0'' i == — i V c« — 36. [138. I) 3)]. 

Die Grundlinien der Susseren Scheitelzweige sind daher eioander 
gleich. 

Es ist: 

7) Die Grundlinie des inneren Zweiees des { . iSdiei- 
' ^ Vanteren/ 

tels nämlich: 

M W" l _ iA-*S"^A'M l _ X 4A-r-^ r^38. 1) u. 139. in 
MW > ■" (A^M ^A^rs' J-""*^ ^ '"'^'^' L139. 4) „ 138.2)1 

Die Grundlinien der inneren Scheitekweige sind daher eluider 
gleich. 

8) Die Grundlinien der äusseren Scheitelzweige a||nd glädi 
den Grundlinien der inneren. 

9) Die beiden äusseren Scheitelzweige sind einander coDgriMBt 

10) Die beiden inneren Scheitelzweige sind einander congruent. 

Es ist: 

/Endpunktes M'* 



II) Die Entfernung des (A^fa^n^spunktes iH') <»«« ^^^''' 

S' T?" ) ^^^ äusseren Schet- 



telzweiges, nämlich : 



MW S = (Ai^'S'^A^M' ;=-4^c»-36.[V3-l]. 

[139. 5) und 138. in 
138. 2) „ 139. 3)J' 
Daher erhält man: 

12) Den Unterschied dieser Linie und einer* Grundlinie dec 
Scheitelzweige^ nämlich: 

Cir^// = C"W = - i V"^2^"3Ä . [2— v/3]. 
Aus 7) und 11) ergiebt sich : 



einer torgelegten cubischen Gieichung, 39] 

13) Es ist der horizontale Durcliroesser der cabischen Linie, 
nämlich: 

M'M*' = - ; V^3c«-96 =- J V3. V"3«=^. 
Aus 6) folgt: 

14) Es ist der Theil jeder, den Scheitelpunkt S", S' berüh- 
renden Tangente, welcher zwischen diesem Scheitelpunkte und 

^®"* VEndpunk^trC'^^ } ^^' Scheitel liegt, nämlich: 

daher ist: 

15) Das VerhSitniss des horizontalen Durchmessers zu dieser 
Linie, nämlich: 

Es bt: 

16) Dasjenige Stück (^i^,J der durch den Qn|J^g"„) Schei- 

telpunht*f c, 1 auf den horizontalen Durchmesser M*M'* geföllten 

Senkrechten, welches zwischen diesem Durchmesser und der an 
den Mittelpunkt gelegten Tangente TT" liegt, nämlich: 

'vwZ'lVw [140. 9) u. 142.7)]. 

(T*' W**\ 
T'W ) ^" ^^^ Höhe 

f ^twjDt j des inneren Scheitelzweiges ist daher ein constantes, 
nämlich gleich i, [16) und 142. 5)], d. h. es ist: 

CT"»'} _ j ^S"W"\ 

nnd daher sind diese Tangenten MT", MT leicht zu construiren. 

18) Die beiden Scheitel können als in ein Rechteck 
K'0"K"C^^K* eingeschrieben betrachtet werden, dessen Grund- 
linie: 

und dessen Höhe: 



..-« 



392 Xer%: Veber die Beurtheilung der Wur%e{n 

ist. 

19) Das Scheitel • Rechteck wird durch die VeHikala 
Mittelpunktes und durch die beiden Höhen der äusseren 
telzweige in vier» (und jedes dieser durch die Horizontais 
Mittelpunktes wieder in zwei)^ con&pruente Rechtecke geth< 

20) Der Flächeninhalt des Scheitel -Rechtecks ergiel 
nämlich : 

21) Ziehen wir, Taf. IV. Fig. 2., die Diagonalen C'C 
K'K" des Scheitel -Rechteckes, so erhalten wir die Eni 
des Anfangspunktes C"* von dem Endpunkte C^^ der S 
als eine solche Diagonale, und wir wollen sie daher den ( 
naien Durchmesser der Scheitel nennen, und zvi 
grosseren, um ihu von dem Durchmesser L'L'' der Sehe 
unterscheiden, der nui* ein Theil der Diagonale K*K'' ist. 

Es ist: 

22) Ca^ = ^V(c«— 36)«+8I . Vc^ ^^b , 
daher: 

23) A"'Ai^i C'C^y = (c* - Zb) : V^(c«— 36)« + 81 , [I 

24) A^^C^^i CC^V = 9 : V"(^«-36)a+8l, 

25) ^'^C^^:^'"^^^= 9:(c«— 3A), 
ferner: 

26) S'S'' = ^V4(c*— 36)* + 81 . V"^«^^^, 
daher 

27) S'S*' : A"*At^ =: V4(c2-.36)«T8l : (c« - 36) 

u. s. w. 

143. 

(A'** \ 
Aiyj als den Anfangspunkt der Co 

ten, bezeichnet also, Taf. IV. Fig. 1., die cubische Linie di< 
chung : 



einer vorgelegten ctibischen Gleichung, 393 

1) 0= i ^ ^+*y + cy»+y', 

und schreibt man: 

2) - 4c ± 1 V^^«^"36 + y anstatt y ; [138. 3)] 
9o ergiebt sich, aus 1) die Gleichung: 

3) = + (c«— 36).y+2Vc«— 36..v*+3(». 
Die Wurzeln dieser Gleichung sind, Taf. IV. Fig. 2.: 

Betrachten wir wieder y als veränderlich und schreiben für Glei- 
chong 3): 

6) 2= + {c«— 36).:cdb2V^c«^"36.a:« + a;», 

1 . ... , . , ... /Anfangspunkt C"*\ , 

so können wir die cubische Linie vom ( p j i[x pjy ) der 

Scheitel aus construiren, da wir durch die vorgenommene Trans- 
formation den Anfangspunkt nach diesem Punkt der Scheitel ver- 
legt haben, und deswegen wollen wir vorstehende Gleichung, die 

Gleichung des Iva Jpunktes der Scheitel nennen. 

6) Zieht man, Taf. IV. Fig. 1., zu dem {^l^^S^^^^ 

(0**Q' \ 
QUQttjy welche die Abscissen- 

AivciVM ""*®^ ^®™ Winkel i/; schneidet, nnd deren Pa- 
rameter : 

tgi/; = c* — 36 

(An- 
End- 



punk?e° C/* *'") «"^ ®*^»'«'**'- 



Es ist: 



/&V'" \ . , . j /unterenX 
7) Dasjenige Stück \^.^ij) der durch den \^^y^^^^^ ) 

^,A auf die Abscissenaxe ( ^irj^/ry gefällten 
Seokrechten , welches zwischen dieser Abscissenaxe und der in 



« B n.- #- 



4 « ' 



304 Ker%: üeber die Beurtkeilung der Wurttin 

dem Anfangspunkte f piy) der Coordinaten an die cubische Lini 

(C"*Q* \ 
piyQu) J'Cg*» nämlich: 

Q'-Vir = Civijir\'<^^ =TKc*-36) Vl*^l36. [6) n. 142.« 

(Q'V" \ 
QitTjirj *u der Hol 

(S* t/'" \ 
cujjiy) des äusseren Scheitelzweiges ist daher ein constaate 

nämlich gleich J [7) u. 142. 4)], d. h. es ist: iLtgA = S •) Ä^n/fl 

riVQ**) ^^^^^^ zu construiren, und es Ms 
weiter: 

ö"7'"> C7^'S"> 

144. 
Verlegt man den Anfangspunkt der Coordinaten der Gldcki»| 

[139. 2)J nach dem rEn/p",fnk^^^ j|f" ) ^®® horizontalen Dordi 

messers> oder vermindert man jede der Grössen A'M*t ^M 
AM'* um: 

d. h. schreibt man in Gleichung [139. 2)J: 

2) -ic±iV3c*— 96+y für y, 
so geht diese Gleichung über in: 

3) = !(3c«— 96).y ± V3^äZ.-95.y2 4. ^s. 
Die Wurzeln sind in diesem Falle, Taf. IV. Fig. 3. : 

4) 

^"5=0, ^.;^^j= + iV^3c«-96, ^.^.5.= -f-!V^3c*-96. 

Betrachten wir y wieder als veränderlich, so schreiben wir fiir \ 
5) i = |(3c2— 96).a;dbV^3c^^"96.a;2 + Ä-3, 



einer torgetegien cnöischen Gleichung. 395 

und wir wollen diese Gleichong die Gleichung des ( p , 

^ I . I des horizontalen üarchmessers nennen, 
ponktes/ 

145. 

Verlegt man den Anfangspunkt der Coordinaten der Gleichung 

[143. 1)] nach dem ( . J Scheitelpunkt ( ^, K d.h. schreibt 
man: 

1) -4cTiV'^^"36+3^ für y, 

so ergiebt sich die Gleichung: 

deren Wurzeln sind: 

3) S' i' = 0. S' 5 = . ^,^„5 = ± V^c« -36. 

Betrachten «vir y wieder als veränderlich, so schreiben wir für 2) : 

4) .i = TV"^=^36.a;« + a:», 

und wir wollen diese Gleichung die Gleichung dos ( . ) 

•Scheitelpunktes nennen. 

I4ti. 
Schreibt man in Gleichung [145. '^]: 

1) -f-u+y anstatt y, 
80 geht dieselbe über in: 

2) 0=TV^ö2^=^.t<*i=ti» 

+ ßVd^^^ß . u + 3tt«) .y T ( V c«^^36 + 3%« + y» , 
und setzt man den Coefficienten von y, nämlich: 

3) 2 V^:=36 . u + 3ii* = 4(c* - 36) , 
so folgt: 

4) tt = T4V^^'-^(V2- 1), 
und diesen Werth f&r u in 2) substituirt, giebt: 

Iheil XLIV. 26 



• '- I 



396 Ker%: Veber die BeuriheilUHff der Wurtein 

5) = T ^(2 - v2Kc»— 36)Vc«-36 

oder, indem wir y als veränderlich betrachten: 

6) z = + i(c*— 36).arT V2. Vc«^36.a:« + x\ 

Es folgt aus 5), indem wir die absoluten Grössen der Li 
Taf. IV. Flg. 2., in Betracht sieben: 

8) S"F" = S'F' = i( V2 — 1) Vc«— 36 , 

^> JS"i" = JS'L' 5 = i(2 - V2) V^^36 , 

folglich ist: 

10) *!^"^:Ä"C^''=(2-v^2):4. [142. 18)J 

11) ^,j^'\:K'Ciy ={2-V'l)'.i, [142.18)]- 
daher: 

12) Kf'E^'.K'C^^' = E"V\K*C^^, 

d. h. 13) die durch die Punkte L' und JL'' gelegte Gerade ii 
ihrer Verlängerung Diagonale des Scheitelrechteckes und dei 
L'L" der kleinere diagonale Durchmesser der Scheitel [142. 

Es folgt leicht weiter:" 
14) K"L" = —^ 

. V(c«-36)«+8i . V^^zrg^, 

2V2 • ^ ' ■ 

also ist: 

16) C'C^' : L'L" = 2 : V2. [142. 22)] 

Bezeichnet man den Winkel, welchen die durch den 1 
JJ* gelegte, und mit der Abscissenaxe parallel laufende, 
Jj*W^^ mit der in dem Punkte V* an die cubische Linie gezo| 
Tangente V'T^v bildet, nämlich Winkel T^VU'W^v mit « 
ist, nach 6): 



einer vorgeiegten cubischen Gteiehung, 897 

17) fga>= + 4(c«-36), 

ilto der X%% entgegengesetzt. [140. 9)| 

Macht man daher, Taf. IV. Fig. 2.: 

18) T"W*'— T„W', und sieht: MT\ 

Mist: 

J9) V*T^y^\^Ml\., 

147. 

L Ee ist nach dem Vorhergehenden einleuchtend, dass 
Jeiiit man sich die islrossen c und b als veränderlich » die Ent- 
'ernoDg der Scheitel -Tangenten, also die Höhen der inneren und 
insseren Scheitelzwcige, ferner die Grundlinien dieser Scheitel- 
steige U.S. w., alle sich mit dem Parameter c^ — 36 ändern, und 
iaas dies daher auch mit den Scheitelzwcigen selbst der Fall 
wL Nimmt derselbe ab, so wird die Entfernung der beiden Scbei* 
M-Tangenten kleiner, d. h. sie nähern sich einander, und ebenso 
ilkem sich die Scheitelpunkte und die Endpunkte der äusseren 
Ueitelzweige dem Mittelpunkte. 

II. Wird c^— 36 = 0, so fallen die Scheitel-Tangenten mit 
hr Horizontalaxe ^^b Mittelpunktes, und die beiden Scheitelpunkte 
m1 Endpunkte der äusseren Scheitelzweige mit dem Mittelpunkte 
■Alt zusammen, d. h. die Scheitelzueige verschwinden und die 
Büiiontalaxe wird in diesem Falle selbst Tangente des Mittel- 
fnktet der cubischen Linie. 

Wegen des Zusammenfallens der Scheitelpunkte mit dein 
Kttelpankte werden auch, Taf. IV. Fig. 1., die Linien 

1) ^^y^ > = A'M\ Taf. VI. Fig. 23., 

*^ es entsprechen mithin der Gleichung in diesem Falle drei 
^Ikommen gleiche Wurzeln, jede gleich 

|139. 3),^)]- 



% 


A'M-- 


c 
"3* 


bdieNm 


Falle wird aber: 




9 


A^A'=L 


c» 

5^' 


■4d*he, 


aos Glekbiing [139. 2)] 


■ 
• 



26 



39H Ker%: L'eöer die BeurtheUung der Wurxein 



3 2 

4) = I7 + y .2/ + cyHy^' [9. 3)-7)l 

111. Wird c^—36<0, so werden die Huhen und Grundliniei 
der Scheitelzweige onmögliche Grossen , d.h. die Scheitel, atef • 
auch die Scheitel -Tangenten, sind- in diesem Falle iroagioSr. 
Es kann daher stets nur ein Durchschnittciipunkt der Abscisseih 
axe mit der cubischen Linie stattfinden, oder die construirte Glet* 
chung hat stets nur eine reelle Wurzel. 

148. 

Ist A^X^y Taf. IV. Flg. L, die natürliche Abscisseimxe kt 
cubischen Linie: 

1) iz=.bx \ cx^-\ x^y 

so bezeichnet der Punkt: A^=iQ, selbst eine Wurzel der Glc^ 
chung: 

2) 0=Ä^ + c^2+.y3, 
und die beiden andern Wurzeln sind: 

3) -Ic+iV^c« — 46, -ic-.iVc^-46. 

Wären diese Wurzeln reelle Grossen, also c^>46, so raüsste 
die natürliche Abscissenaxe den oberen Scheitel der cubisebea 
Linie in zwei Punkten schneiden, d. b. es niüsste der AnfaQgs- 
punkt der Coordinaten ein Punkt des äusseren Zwei^s^es des an- 
leren Scheitels sein. Wäre aber: 

4) c« = 4//, 

so entsprächen der Gleichung 2) zwei vollkommen gleiche Wur- 
zeln, jede gleich — Je; daher wäre für diesen Fall die naturlicbe 
Abscissenaxe selbst die obere Scheitel- Tangente, und der An- 
fangspunkt der Coordinaten fiele mit dem Anfangspunkt O" der 
Scheitel zusammen. 

Da offenbar, in Taf. IV. Fig. 1.,, die natürliche Abscissenaxe 
/l^A" «leder den oberen Scheitel schneidet, noch berührt, so be- 
zeichnet die cubische Linie dieser Figur eine Gleichung, für welche 
c^<>,46, und, der vorhandenen Scheite! wegen, eine Gleichung» 
für welche c*>36 ist. 

140. 
Unzweifelhaft hängt, nach dem Vorhergehenden, die Lage na* 



einer vorgelegten cubischeti Gleichung, 399 

türlichen Anfangspunktes A^ %u den Scheiteln der cubischen Linie, 
Taf. IV. Fig. I., von der Grösse des Parameters ah. Setzt man 

• ,j .,o^>. = 2fte-2(c'-36)(e-,. ^c»= 36) ^ ^ ^^.^ ^^^ 

and: 

2) A'**C'* = -ic + |V^^ir36 = 0, [138. 3)] 
MO lusst sich aus I) folgern, und aus 2) ergiebt sich : 

3) c« = 46. 

Findet daher diese Bedingung statt, so Hillt der natürliche An- 
fangspunkt A^y Taf. IV. Fig. 2., mit dem Anfangspunkt O" der 
Scheitel zusammen, d. h. die natürliche Abscissenaxe ^vird dann 
selbst obere Scheitel -Tangente, und die consfruirte Linie ent- 
spricht der Gleichung: 

4) 2 = j- . o: + cor* + x^. 

Die Grundlinien der Scheitclziveige ergeben sich in diesem Falle, 
nämlich : 

5) et;"' = a^ü^^ = - Je, [142. 0)1 

nnd die Höhen der äusseren Scheitelzweige (und des Scheitel- 
Rechtecks), nSmIich: 

6) Ä' ü'" = Ä" V^v- K'C" = Vtc'. [142. 4)] 
Als Grundlinie des Scheitel - Rechteckes ergiebt sich: 

also ist der Flächeninhalt des Scheitel -Rechteckes: 

Denkt man sich die Dreiecke Cü^'Ö" 6nd C*'U"Q' so ver- 
rückt, dass der Endpunkt C" und der Anfangspunkt P" der 

Scheitel mit dem iMittelpnnkt /!/, und die Grundlinie l ^////;//' ) 

de."* äusseren Zweii^es des ( f^^" ) Scheitels mit der Grund- 

" \unteren/ 

(MW \ . « . . /unterenX ^, . ., , 

MW") "»n*^f*^" Zweiges des ^^,|,crcn / ^c*'**'*«^^ ^'"- 

sammenföllt, so bildet die Tangente C^^Q" des Endpunktes der 
Scheitel mit der Tangente C'*Q* des Anfangspunktes der Schei- 
tel eine einzige gerade Linie, d. h. 



400 herz: üeöer die beurtheilvng der \\'ur%eln 

VI) der absteigende Ast steht mit dem anfsteigendi 
tigcm Zusammenhange. 

In gleicher Weise lässt sich zeigen, dass 

10) der absteigende und aufsteigende Ast» wenn mar 
in paralleler Lage verrückt und mit den Endpunkten • 
irgend eines beliebigen Durchmessers 0*C^^^^ zusamn 
denkt, in stetigem Zusammenhange stehen. 

150. 

Setzt man: 

1) A^A'^ — 27 — =^' l 
und 

2) A'M' =-'ic + iV3c«-96 == 0, [ 
so IMsst sich aus 1) folgern, und aus 2) ergiebt sich: 

3) c« = 56. 

Findet daher diese Bedingung statt, so Aillt der 
Anfangspunkt A^, Taf. IV. Fig. 3., mit dem Anfangspunk 
horizontalen Durchmessers, die natürliche Abscissenaxe a 
mit diesem Durchmesser zusammen. Die construirte I 
spricht in diesem Falle der Gleichung: 

4) = Sc«.y + C3^« + y». 

151. 

iSetzt man: 
I^, A^An ^ 36c-2(e»-3^(c- VT^EE^J ^ ^ 

und: 

2) AiVS' = -4c + Wfd^^Ü = , 

so lässt sich aus 1) folgern, und aus 2) ergiebt sich: 

3) 6 = 0. 

Findet daher diese Bedingung statt, so föllt der natüi 
fangspunkt A^, Taf. IV. Fig. 3., mit dem unteren Sehe 
S', d. h. die natürliche Abscissenaxe mit der unteren 
Tangente A^^ X^^ zusammen. 



einer vor§eleglen cuöischeu Gleichung, 401 

Die coDStruirte Linie entspricht in diesem Falle der Gleichung : 
4) = + c3^* + 3^». 



162. 



Setzt man: 



1) ^0^/=:: ^^^^^^ ^0, [139. 1)] 

und: 

2) il'üf =—4c = 0, [139. 4)] 
so Iftsst sich aus I) folgern» und aus 2) ergiebt sich: 

S) c = 0. 

Ffaidet daher diese Bedingung statt, so ßllt der naturliche Au- 
faogspunkt A^ mit dem Mittelpunkte der cubischen Linie zusam- 
men und die construirte Linie entspricht der Gleichung: 

-4) 0=-6y + iy». 

Die absolote Grösse der Grundlinie der Scheitelzweige ergiebt sich: 

5) MW = MIP = iV3Ä, [143. 6) 7)] 
vnd die absolote Höhe der inneren Scheitelzweige: 

6) S'W -SfW^^.ZbV^, 
also die Grandlinie des Scheitel - Rechteckes : 

7) K'Ci^=\V^, 
daher der Inhalt desselben: 

8) KCr'K'C^yK = :^b'K 

153. 

Setzt man ferner: 

und: 
2) A'^S* =-.ic — iV?^^36'= 0, [138. 1)] 

00 geschieht beiden Gleichungen Genüge: 

3) fdr einen negativen Werth von c, und ftf r : 6 = 0. 



*^ .l-::r-p 



4()2 J{erz: (Jeder die Ueurtheilung der Wur%eim 

Finden daher diese Bedingungen statt, so flUlt der uatQrli 
Anfangspunkt A^, Taf. IV. Fig. 2,, mit dem oberen Scheiteipui 
S", d. b. die natürliche Abscissenaxe selbst mit der ob< 
Scheitel-Tangente A^'X"' zusammen. 

Die construirte Linie entspricht in diesem Falle der Gleicht 

4) 0=— cy«+y». 

154. 

Setzt man:-* 

1) A^A' = ?^^^^ = , . [139. 1 

und : 



•2) M'M" = - ic ~ i V3c*— 96 = 0, [139, 6 

so geschieht beiden Gleichungen Genüge för einen negativen V/ 
von c, und för: 

3) (^c)» = |6. 

Finden daher diese Bedingungen statt, so fallt der natSfl 
Anfangspunkt A^ mit dem Endpunkte JU" des horizontalen Di 
messers, die naturliche Abscissenaxe also selbst mit dii 
Durchmesser zusammen. 

Die construirte Linie entspricht in diesem Falle der Gleich 

4) 0= + |c«.3^-cy« + iy8. 

155. 
Setzt mau: 

1, AOAn= ^<'-'(^'-'%'^-^^ ^ = i>. [13 

und : 

2) ^^^C'^ = -i— lVJ«=36=0, 1138. 
so geschieht beiden Gleichungen Genüge für: 

3) einen negativen Werth von c, und für: 

(— c)a = 46. 

Finden daher diese Bedingungen statt, so fällt der natüi 
Anfangspunkt A^, Taf. IV. Fig. 2., mit dem Endpunkte C 



einer vorgelegten cubischen Gleichung, 403 

Scheitel zusammen, und die natürliche Abscissenaxe wird selbst 
untere Scheitel - Tangente. 

Die construirte Linie entspricht in diesem Falle der Gleichung: 
4) 0= + j.y-c^«+3(». 

156. 
Hieraus und aus [149. 4)] folgt: 

d. h. : 

Nimmt man für irgend eine positive Abscisse y der^ aus dem 
Endpoiikte C'^ der Scheitel construirten, cubischen Linie die 
Bugehorige Ordinate negativ, so ist sie gleich der zu derselberr 
negativen Abscisse gehurigen Ordinate der, aus dem Anfangs- 
punkt O" der Scheitel construirten, cubischen Linie. Oder es 
Ist, bezeichnen E'L" und E'V, Taf. VL Fig. 16., zwei mit der 
Vertikalaxe des Mittelpunktes parallellaufende Linien, und ist: 

■ 

3) E'H" = £"!§'. 

157. 

Ist: c*>36, so folgt aus [149. — 155.]; 

1) Entspricht die construirte Linie der Gleichung: 

= + 6^±c^« + y8, und ist: c«<4^, 

...... /oberhalb \ . /oberen \ 

8o liegt die natürliche Abscissenaxe (^„„t^rhalb; ^®' Unteren^ 

Scheitel -Tangente, ihr natürlicher Anfangspunkt A^ ist demnach 
ein Punkt des f k '" ts / 8®^*"^^®" Astes. 

2) Entspricht die construirte Linie der Gleichung: 

C>46 
0= + 6y±cy*+^*» und ist: ^*^^j^^ 

. , , /oberen \ 
«o liegt die natürliche Abscissenaxe zwischen der l „nt^rgny 



# • 






1 

1 



404 Ker%: (Jeber die Beurtheilung der Wur%eiH 

Scheitel -Tangente und der Horlzontalaxe des Mittelpunkte 
ihr natürlicher Anfangspunkt A^ ist ein Punkt des äusseret 

- /unteren\ «... 
8«« ^^ (oberen ) Scheitels. 

3) Entspricht die construirte Linie der Gleichung: 

= + Äy±cy*+y®, und ist c«>i6, 

so liegt die naturliche Abscissenaxe zwischen der l . 

Scheitel -Tangente und der Horizontalaxe des Mittelpunkt« 
ihr natürlicher Anfangspunkt A^ ist ein Punkt des äusseret 

ges des ( . J Scheitels. 

4) Entspricht die construirte Linie der Gleichung: 

so liegt die natürliche Abscissenaxe zwischen der Uorizoi 
des Mittelpunktes und der ("j^g^ßn ) Scheitel -Tangente 
ihr natürlicher Anfangspunkt A^ Ist ein Punkt des inneren 
ges des (^X^l^^) Seheiteis. 

158. 
Schreibt man in Gleichung: 
1) = ±6y + c^«+^8 

— y anstatt y^ so geht dieselbe über in: 

Ergeben sich nun bei Gleichung 1)^ indem man y als 
derlich betrachtet, für positive (negative) Abscissen die Ord 
positiv oder negativ, so ergeben sich bei Gleichung 2) fii 
selben Abscissen negativ (positiv) dieselben Ordinaten n 
oder positiv. 

.\bsci8sen und Ordinaten der Gleichung 2) sind also gleich gi 
Abscissen und Ordinaten der Gleichung I) entgegengesetzt, 

3) Durch Construirung der Gleichung 1) ist zugleich au< 
Gleichung 2) construirt, wenn man nur der Constructions-I 
eine entgegengesetzte Lage ertheilt. 



• « 



einer vorgeiegien ctiöischen Gieiehung, 405 

159. 
Wenn man für die Gleichung: 

schreibt : 

2) = + m^a + mH(mff) + mc(my^) + (my)'. 

oder: 

. 3) o = + i. + A/2^)+^W + C^Y, 

' ' m' "^ nfl\mJ ^ in\m/ ^ \tn/ 

diese Gleichungen constrairt« und dabei einen und denselben 
Massstab Rir die Abscissen zu Grunde legt so werden : 

4) Die Entfernungen aller homologen Punkte von den bezüg- 
lichen Ordinatenaxen — also auch die Eotfernnngen der Durch- 
schnittspunkte der cubischen Linie mit ihren Abscissenaxen 

für die Gleichung f^A sich m mal (^[^j^*^^/^ ergeben, als für die 
Gleichung 1). Man wird also, um aus der construirten Glei- 
chung (yA die Wurzeln für Gleichung 1) zu erhalten, diese Ent- 

(kleiner \ 
.. 1 machen. 

Behält man bei der Construction dieser Gleichungen auch fiir 
die Ordinaten einen und denselben Massstab bei, so werden 

5) ßr die Gleichung (ox) alle homologen Punkte von den 

bezCglichen Abscissenaxen einen m^mal (ki^- ) Abstand ha- 

ben, als ffir Gleichung 1). 

Es folgt: 

6) Es ist einerlei, ob man bei Construction der Gleichung ( ox } 

den Massstab der Gleichung 1) zu Grunde lege, oder ob man 
bei der Construction der Gleichung 1) den Massstab der Abscis- 

sen mmal und den Massstab der Ordinaten m'mal ( m • l* 

7) Es ist einerlei, ob man bei Construction der Gleichung 1) 
den Massstab der Gleichung (qn ) zu Grunde lege, oder ob man 



1 



406 Kerz: üeber die Beurtheilung der Wurzeln 



bei Constructioii der Gleichung (q{) den Massstab der Alivdi- 

(verkleiDere \ 
▼ergrussere/ 

160. 
Schreiben wir daher für Gleichung [143. 1)]: 

*> ^ = ^ 27 Jt ^ + '''*^^3') + 3c(3y)«+ (3y)» . 

und construiren dieselbe nach dem Massstabe der Gieicfai^ 
[143. 1)], so werden uns alle bisher bestimmten Abscisseo eiK 
3 mal, und alle bisher bestimmten Ordinalen eine 27 mal griiMirv 
Grosse vorstellen. 

Schreiben wir nun in [143. 6)]: 

(iF)±r för X, 
und setzen: 



2) 0= (±)T'27rH 9(ca-36)(3:r)dbOV c«— 36(3J:)« + (3J^)^• 
so wird, bezüglich ihrer Abscissen und Ordinaten, dasselbe der 
Fall sein, wie bei Construirung der Gleichung 1). Da die coi- 
struirte cubische Linie der Gleichung [143. 6)J, Taf. IV. Fig..S-t 
identisch ist mit der construirten Linie der Gleichung [143. Dl 
Taf. IV^ Fig. 1., so ist dieses auch der Fall mit den ronstnwrtw 
cubischcn Linien der Gleichungen 1) und 2). 

Denken wir uns in gleicher Weise auch die Gleichung: 

•{) = + -27« + %[Zi,) ^ 3c(3y)a + (3,/)» 

construirt, ao ist auch diese mit den beiden construirten Liuien 
1) und 2) identisch, und sie unterscheiden sich sämmtlich nur 
durch die verschiedene Lage ihrer wirklichen und naturlicheu 
Anfangspunkte. 

101. 

Denkt man sich diese drei construirten cubiscben Linien 
[1()0. 1) — 3)J so aufeinander gelegt, dass sie sich decken, so fdUt, 
Taf. V. Fig. 4. — 15.^ der wirkliche und natürliche Anfangspunkt 
A*^ der Linie I) mit dem natürlichen Anfangspunkt A^ der Linie 3) 

fjn ) ^^^^ Linie 2) mit dem 



einer vorgelegien cuöischen Gleichung, 407 

p , Jpuiikte der Scheitel der beiden andern cubischen^Li- 

ien zusammen, und der ivirklicbe Anfangspunkt A der Linie 3) 
egt, je nach der Bedeutung des Werthes von o. Aber oder un- 
)r dem natürlichen Anfangspunkte A^ [133. 4)]. 

Es folgt: 

(A^A"' \ 
AOAirj ^^^ natürlichen Anfangspunktes 

er Linie 1) und 3) von der ( tpren/ »Scheitel -Tangente ist 

2) Die Entfernung A^A des natürlichen Anfangspunktes der 
linie 3) von der wirklichen Abscissenaxe AX ist gleich ±27«. 
133. 4)]. 

3) Die Entfernung ^ npifC'^^} aaivs ^^^ natürlichen An- 

rir) ^^^ Linie 2) von der wirklichen Abscissen- 
ce AX ist gleich (db)T27r. 

4) Die Entfernung AC{AOy AC) der Ordinate A^A des wirk- 
;hen Anfangspunktes A der construirten cubischen Linie 3) von 
rem Durchschnittspunkto C(C\ O') mit der wirklichen Abscis- 
maxe AX^ bezeichnet stets eine reelle Wurzel dieser cubischen 
leichung 3). 

Ebenso bezeichnet 

5) Die Entfernung BC(,BC, BC')^ p{=^a:) der Ordinate 
RCIf) ^*® natürlichen Anfangspunktes ipty) der construir- 

n Linie 2) von ihrem Durchschnittspunkte 0(C, C") mit der 
irklichen Abscissenaxe AX stets eine Wurzel der Gleichung 2). 

Aivriv) ^®® Durchschnittspunktes 

^lE-l der I , I Scheitel -Tangente mit der Ordinatenaxe 

A*^J Vunteren/ 

»D dem (p"f°^*tt"" Ci^J ^^^ Scheitel ist stets eine Wur- 
A der Gleichung I), also eine bekannte Grösse; es ist nämlich: 

AirC'A =-^±'^^^*--3Ä- [138. 3) u. 160. l)j 



i*"^; 



408 JTerz: ütber die BeuriAeiiunff der Wur%ein 

Aus dieser Darstellong geht hervor, dass 

7) A^^C^^y für einen positiven Werth von e, stets eine 
gative Grösse bedeutet « und dass Ä**'0" negativ oder poi 
sein kunne, jenachdem . 

ist. Wir i^-erden daher stets bei einem positiven Wertbe voo 

— c + 2Vc«— 36 für ±A"*C" 
und 

anschreiben müssen. 

162. 
Ist: 

= +/! + % + cy«+y» [47.; 

die zu construirende Gleichung, und c'<46, so liegt die aat 
liehe Abscissenaxe A^X^ stets oberhalb der oberen Sckeit 
Tangente, Taf. V. und VI. Flg. 4. -8«, [157. 1)]. 

Liegt nun zugleich auch 

1) die wirkliche Abscissenaxe AX oberhalb der oberen Sefa> 
tel-Tangente, aber unterhalb der natürlichen Abscissenaxe, Taf. ' 
Fig. 4., so ist: 

A'^A < A^A'" ; nämlich : 27a < 27^+ , 

A^A'" — A'^A = AA''* , „ 27(y+ — «) = 27r , 

-AC=-A*C'^BC, „ (3^) == — c + 2V^«^"36 + 

Schneidet aber 

2) die wirkliche Abscissenaxe die beiden Scheitel oberk 
der Horizontalaxe des Mittelpunktes, Taf. V. Fig. 5., so ist: 

A^A > A^A"\ nfimlich 27a > 27y^ , 

A'^A — A^'A^' = AA"\ „ 27(a - ^+) = 27r , 

—AC z=:'-A"(y"'-'BC, \ 

-AO z=z-A"'C'*-BC, > „ (3y) = - r + V^c^-lJ- 

^AC =— i4'"C"-ßC", \ 



• i?. 



einer nargeiegien cuöischen GUichung, 409 

Schneidet dagegen: 

3) die wirkliche Abscissenaxe die beiden Scheitel unterhalb 
der Horizonfalaxe des Mittelpunktes« Taf. V. Fig. 6.« so ist: 

A^A<,A^A^^\ nSmIich: 27a<^27g, 

A^A^y-- A^A = AA^y r., 27(9« —a) = 27r , 

AC ^-A^rc^r^BCs ] 

^AC =— i<^^c'^;+Äes) 

Liegt: 

4) die wirkliche Abscissenaxe unterhalb der unteren Scheitel- 
Tangente, Taif. V. Fig. 7., so ist: 

A'^A'^A^A^i, nämlich: 27a>279-., 

A^A—A^A^y = AA^y, „ 27(a-</-) = 27r, 

-i4C = -i4'^C'''-ÄC, „ (%) =r-.c-2V^^«^l36~p. 

Liegt aber: 

6) die wirkliche Abscissenaxe oberhalb der natürlichen Abscis- 
senaxe, Taf. TL Fig. 8^., so ist : 

— A9A<-\-A^A'", nämlich: — 27a<279+, 

A^A + A^A'*' = AA"\ „ 27(a + ^) = 27r , 

+ yiC = -il'"C^ + ÄC. ,. (3y)= — c + 2V7?^"3Ä+p. 

Es erstreckt sich also dieser Fall auf [48. 1,)], wobei jedoch 
nur die oberen V^orzeichen in Berucksichtiguug kommen. 

163. 
Ist 

0=Ta+Äy + c^* + 3^* [48.] 

die xn construirende Gleichung, und c^>46, so ist der natürliche 
Anfaogsponkt A^ stets ein Punkt des äusseren Zweiges des un- 
teren Scheitels, Taf. V. Fig. 8*. — IL, [157. 2) 3)]. 

Liegt nun 

1) die wirkliche Abscissenaxe oberhalb der oberen Scheitel- 
Tangente, Taf. V. Fig. 8»., so ist : 



•.:-.»ir. 



410 Ker%: üeöer die Beurtheihmg der Wur%etn 

- A^A < — A^A'*', nämlich : — 27o <— 279+ , 

A^A — A^A'*' = i4i<'", „ 27(a — 9+) = 27r , 

+ /1C= + ^'"O"' + ÄC, „ (3y) = —c + 2V'^a^'3i 

Es erstreckt sich also dieser Fall auf [48. 1)], wobei , 
^die unteren Vorzeichen in Berücksichtigung kommen. 

Schneidet 

2) die wirkliche Abscissenaxe die beiden Scheitel ob 
der Horizontalaxe des Mittelpunktes, Taf. V. Fig. 9., so ist : 

-A^A^" A^A"\ nämlich : - 27a > - 27^+ , 

AOA*" — A^A = AA"", „ 27(^ - a) = 27r . 

+ AC =\-A"'C"--BC, 

--AC = + A"'C"-'BC, \ ., (3y) = -c+2 Vc^^ 

Schneidet dagegen 

3) die wirkliche Abscissenaxe die beiden Scheitel untc 
der Horizontalaxe des Mittelpunktes» Taf. V. Fig. 10.> so ist: 

+ ^M< + ^M'^, nämlich: +27rt< + 27<y-, 

A^A^y—A^A^AAtf", „ 27(9^-0) = 27r, 

-^AO = -^^^C^r+ßC, > „ (3y) =:: -6-2 V^^«:i3 

Liegt 

4) die wirkliche Abscissenaxe unterhalb der unteren Seh 
Tangente» Taf. V. Fig. 11, so ist: 

+ A^A > + A^A"^\ nämlich : + 27a > + 27y- , 

A^'A—AOA^r = ^^ir „ 27(a— 7-) = 27r, 

-i4C = — /I^^C^^'~ÄC, „ (Sjf) = - c-2 VP^=^ä 

164. 
Ist 



einer vorgelegten cubischen Gleichung. 411. 

»nstrairende Gleichung, so ist der natürliche Anfangspunkt 
ein Punkt des inneren Zweiges des unteren Scheitels, 
ig. 12.-16., [157. 4)]. 

t nun 

■ 

e wirkliche Abscissenaxe AX oberhalb der oberen Schei- 
jnte, Taf. V. Fig. 12., so ist: 

— A^A'\ nämlich : — 27a < —27^+ , 
A^A''=^AA"\ „ 27(a--^) = 27r, 

+ J'"C'" + BC, „ (%) = - c + 2 V^;^« + 36 + p. 

leidet 

c wirkliche Abscissenaxe die beiden Scheitel oberhalb 
Eontalaxe des Mittelpunktes, Taf. V. Fig. 13^ so ist: 

— i40i4'", nSmlich — 27a>— 27^+, 

— A'^A = AA"% „ 27(9+ - a) = 27r , 
^A"'C"—BC, \ 
V A^'C-BC, \ ' „ (3^) = -c+2V^«+'3Ä- ü. 

eidet dagegen: 

e wirkliche Abscissenaxe die beiden Scheitel unterhalb 
Eontalaxe des Mittelpunktes, Taf. V. Fig. 14., so ist: 

\-^A^A^^, nämlich: +27a<+279-, 

— A^A = AA^^ c„ 27(9- — a) = 27r , 

'•-A^^ay+BC\ ( „ (3if)=:-c~2V<?+3i+;?. 

z^Aif'ay^BC\] 

t: 

ie wirkliche Abscissenaxe unterhalb der unteren Scheitel- 
5, Taf. V. Fig. 15., so ist: 

+ A^A^^, nämlich : + 27a > + 27^- , 

A^'A^^ = AA^f^^, „ 27(a — </-) = 27r, 

^Ai^a^'-BC. „ (3y) = - c-2V^"36-p. 

KLIV. 2t 



412 Ker%: üeber die Beurtheilung der Wuneim 

165. 
Sind die zu constniirendeo Gleichungen: 
1) = -a + 6y— cy* + y», und ist: c*<46, [50.] 

i) 0=db + - + . M » c»>46, far -a,i ( 

c*^46, „ +aA 

3) 0=d: - - + , [Ä] .j 

so ergiebt sich hierför ganz dieselbe Betrachtungsweise, wie be-^ , 
ziehungsweise [162. 163. 164], wenn man, nach (158. 3)] der Cos- : 
structionsebene eine entgegengesetzte Lage ertheilt, alst hiei^ 
durch die in [162. — 164.] behandelten Grössen in die eotgegeo- 
gesetzten verwandelt. 

Es wird nicht schwer fallen jene Fälle auf diese anzuwesd« -', 

166. 

Es geht aus dem abgehandelten hervor, dass man die reeUen 
Wurzeln der Gleichung [160. 3)J', und mithin auch der Gleiafcimg: 

1) o = «;+%+^jy*+^' 

für jeden positiven und negativen Werth der Coefficienten a, k,c 
leicht bestimmen könne, wenn man aus Gleichung [160. 3)]ft 
jeden Werth von 27r die zugehurlge Wurzel 

Sa: = BC, (BC. BC) = p 

zu bestimmen im Stande sei. Nimmt man nun den Massstab der 

Abscissen dieser Gleichung [160. 2)] V^c* — 36mal, und den ihtex 

Ordinaten (V^c»- 36)amal kleiner [159. 3)]; so geht diesdbe 
über in: 

2) 

" = <±^ + (c«-36)l + ^ • L(^^6tJ ± ^ • L(^-36)i] 

[3a: T 
(^^67» J ' f-"- ^>J 

also in die Zahlengleicbung: 
3) Ä =+ 9P±6f«+ P», 1^45. " ;] 

wodurch nunmehr die fgeometrische Bedeutung des Verfahreu 



einer torgelegten eubischen Gleichung. 413 

der AnflffsaDg der vorgelegten Gieichong 1), c*> 36 vorausgesetzt, 
mittelst der Tabellen I. und II., mit Ausnahme des Verfahrens 
der Interpolirung, ihre Erörterung gefunden haben dfirfte. 



167. 

Was diese Tabellen selbst anlangt, so wurde zu jedem ein- 
geschriebenen Werthe von P der zugehörige Werth von R be- 
rechnet, ein Verfahren, das zum Theil fiSr Tabelle I. liberflGs- 
•Ig war. 

Mao erhält nämlich fär Gleichung [166. 3)] nach [142. 18)] 

also ist das umgeschriebene Rechteck der Scheitel ein Quadrat, 
Taf. VI. Fig. 16., und setzt man : 

2) P=0, 1, 2, 3. 4; 
so folgt: 

3) Ä = 0, 4, 2, 0, 4. 

Hat man daher: 

4) für alle Werthe, von P=0 bis zu P:=z2, die zugehöri- 
gen Werthe von R berechnet, ist also für irgend eine Abscisse 
Pz=zC*'E'* «2), Taf. VI. Fig. 16., die zugehörige Ordinate 
Rs=iE"H' gefunden; so kann man von dei^ Satze [156. 1) 3)] 
Anwendung machen, nach welchem sich fOr eine andere Abscisse 
C^L'% welche um ebensoviel >2, wie C'E" <2 ist, die zuge- 
hSrige Ordinate: 

L''H" =r 4 — fi'JSf" = 4 — E"H' 

ergiebt. Ist z. B. 

5) P= 0,007, also Ä = 0,062706343 , [Tab. I.J 

so ist: » 

i> = 2— 1,993, 

also ist fSr ein anderes 

P=:2+ 1,993 = 3,993 

der zogehOrige Werth von 

R = 4 —0,062706343 = 3,937293667. 

27* 



^ 



414 A'erz: Deöer die Beurtheilvng der Wurtein 



Durch die Anwendung dieses Verfahrens ist Tabelle !• an im 
betreffenden Stellen ohne Schwierigkeiten einer grossen Enra- 
terung föhig« weil sie für Werthe von P>0 genauer berechiet 
ist, als ffir Werthe von P<4. 

IGS. 

Bezeichnet, Taf. VI. Fig. 17.— 20., die Afcscisse AG' irgeiri 
einen in Tabelle I. eingeschriebenen Wertb /^, und AE' des 
folgenden Wertb P", sind also die Ordinaten G'G und £'£ die 
bezuglichen Werthe R' und R'', bezeichnet ferner J'J eine uri- 
sehen R' und R** gelegene Ordinate R, 'zu welcher wir die if* 
gehurige Abscisse AJ* ==: AG' + G'J' = P zu bestimmen bibci, 
und ziehen wir von den Endpunkten G und J, Taf. VI. Fig. 17, ; 
und 20., und J und E, Taf. VI. Fig. 18. und 19., der OrdimteA : 
R', Ry R" die mit der Abscissenaxe parallelen Linien 6*F» JU , 
Taf. VI. Fig. 17. und 20., und JL, EF Taf, VI. Fig. 18. und 11; i 
so ergeben sich: 

r HJ = J*J-- G'G = Ä— Ä', Taf. VI. Fig. 17. und » 

1) ■ ^ 



iHJ = J^J^ GG = R'-R*, Ta 



Ferner ist 

r FE = E'E— G'G = Ä"-Ä'l Taf. VI. Fijr. J7. o.» 

^ \fg=G'G-E'E = R'-^R"1 ■ „ „ „ 18. ,ja 

Setzen wir nun: 
... ,„ „, \FG) Taf. VI. Fig. 17. und «. 

und 

r HJ.HG=FE.FG] 
'^ {u-R':HG = DA f '»'«'•^^ VI. Fig. ,7.„„.im 

r LG:LJ= FG-.FE] 
'^ [k'-R:LJ:=D:1 V '»'^f' ^1. «< 'g. 18. und 19. 

so folgt: 
0) HG = G'J' = ^^^^ = ^- . Taf. VI. Fig. 17. und 20. 

7) LJ= G'J' = —p-fj-" =~i—' Taf. VI. Fig. 18 und 19. 

[57 u. f.J 



einer vorgelegten cubischen Gleichung, 415 

Die Proportionen 4) und 5) setzen voraus, dass das Stück 
GJE der cubischen Linie eine gerade Linie sei. Da dieselbe 
in Wirklichkeit aber von einer Geraden abweicht, so sind die 
Formeln 6) und 7) zur Bestimmung der Grusse G'J' nur an- 
nähernd richtig. 

Als richtige Proportionen ergeben sich, indem man den End- 
punkt G der Ordinate R* mit dem Endpunkte E der Ordinate R" 
dorch eine Gerade GE verbindet, und durch deren Durchschiiitts- 
pankt W mit der Ordinate R eine weitere Parallele L'U* zur 
Abscissenaxe zieht, nämlich: 

!HH'i HG = FE.FG, Taf. VI. Fig. 17«. und 20«. 
i'G;j^jf'j = FG:FA;, „ „ „ 18«. „ 19«. 

Hieraus folgt: 

( ÄG = 



:♦) 



HH\FG 
FE ' 

L'G.FE 



FG 



Da nun 



1. Rechteck HtJ'^HJ 

10) fär das { ^' " rt^^ ^r ^ \ '**' ®^ f<>*g* auch: 

4. „ UH>HJ 

,,, , 1 . P- ""*' 3- Rechteck ( ^^ 

11} dass der im i o 4 t '"'^ ^ *^ gefundene 

„_ _ . ^1 . /vermindern\ 

Wertb um eine gewisse Grosse zu \^^ermehren ) ®®'' 

169. 

Denkt man sich die Grundlinie a^ü^r ^C"ü'") Taf. VI. 
Fig. 21 , des äusseren Scheitelzweiges in n gleiche Theile, jeden 
gleich 69 getheilt, so dass 

1) af' U^f = Je = ite [149. 5)] 

ist, und aus den Theilungspunkten Parallelen mit der Hübe S''U^^ 
des äusseren Scheitelzweiges gezogen, so entstehen — denkt 
man sich weiter diese Parallelen gehörig verlängert und aus dem 
jedesmaligen Durschnittspunkt einer folgenden Parallele mit der 
cubischen Linie» nach der vorhergebenden eine Parallele zur 



416 Ker%: (Jeber die Beurtheitung der Wur%eim 

Grundlinie (ß^ü'^ gezogen —lauter Parallelogramme, dereo i 
sammtinhait P sich folgendermassen darstellt: 

2) 
P = |^j.e-c.6«+i?»].€ [155. 4] 

+ [7 • (3e)-c(36)*+ (3e)«] . e 

+ 

+ [7-««- l)e)-c(rn ^ l)e)« + ((n-.l)e)»] . e 



= «*[7(l+2 + 3 + .... + (n-l) + n) 

— c(I«+ 22 + 3« + .... + (n-l)* + ««).e 

+ (l» + 2» + 3»+.... + (ii-l)» + n»).e2] 
= c«r|^(n«+n)— g(2n» + 3n« + n).« + i(n* + 2w»+n«).e 
Setzt man n = oo , so wird : 

Und setzt man für ne seinen Werth aus 1), so ergiebt t 
Flächeninhalt a^V'^S"M''C^ des, von einem äusseren 
seiner Grundlinie uod seiner Höhe begrenzten, Theil 
Scheitels, nämlich: 

A08 der Vergleichung mit [149. 8)] folgt: 
5) K'0"K''C'^K'i ayiJ'fS''M"Ct^ = 64:11 , 

' *- At^T von seiner Höhe und Grundlinie heg 



*"'-U-.:*-.i : 11 -i-_ 



einer vargeiegten cubiscken Gleichung, 41 7 

170. 

Denkt man sich in gleicher Weise die Grundlinie MW*' 
{MW% Taf. VI. Fig. 21.y des inneren Scheitelzweiges in n gleiche 
Theile^ jeden gleich e » getheiit, so dass 

1) M W' = i V36 == ne [152. 5)] 

ist, so ergiebt die Rechnung (tlr den Flächeninhalt MC^S" W'M 
^=.F" eines von seiner Höhe und Grundlinie begrenzten inneren 
Scheitelzweiges, nämlich : 

2) F" = \b{e) - e»] . e [152. 4)] 

+ [*(2e)-(2e)»].« 
+ [6(3c)— (3e)»].« 

+ 

+ [Ä(«e) — (iic)»].e 

= ie«Ä (n« + n) - ^ (n* + 2n» + w«). 
Setzt man ft = ao, so wird: 

und wieder ftir ne seinen Werth aus 1) gesetzt^ ergiebt : 
4) F" = AÄ«. 

Aos der Vergleichung mit [152. 8)] folgt: 

ö) K'C'K'a^K' : MC^S'' W'M = 64 : 5 , 

d. fa. es ist der Flächeninhalt eines inneren Scheitelzweiges gleich 
A des Flächeninhaltes des ganzen Scheitel -Rechteckes. 

171. 

Denkt man sich die Grundlinie des Scheitel -Rechteckes, und 
ebenso seine Höhe, in acht gleiche Theile eingetheilt, und durch 
die Theilungspunkte Parallelen mit der Höhe und Grundlinie ge- 
zogen, 60 dass hierdurch das Scheitel - Rechteck in 64 congruente 
Rechtecke abgetheiU wird [142. 19)]; so bezeichnet Taf. VI. Fig.22. 
die' Grösse der Flächeninhalte der einzelnen Theile der Scheitel- 
zweige, durch diese Rechtecke ausgedrückt, giebt also die Ver- 
hältnisse an, in welchen diese Theile selbst zu einander stehen. 



41K Ker%: L-eber die Beuriheilung der Wnr%eiH 

Macht man in Taf. VI. Fig. 21. 

CifK"' = C^^U'^ = ic , 114«. 8) 

und denkt sich die Ordinaten K*"C^ gezogen, so bestimmt i 
der Inhalt F*'* der, von den Koordinaten des Punktes C^ i 
dem Theile C^^C^^C^ der cubischen Linie eiogeschiostei 
Fläcfie, aus [169. 3)], nämlich 

1) F"' = n«6«[^ + g . ne + in«c«] , 

oder 



'-!) ''"' = «nMC* 



27 
5184 



172. 

■ 

Allgemein ergiebt sich der Inhalt F jeder von einen 11 
der cubischen Linie und den zugehörigen Coordinateo daf 
schlossenen Fläche, die Abscissen vom Anfangspunkte C**,9i 
vom Endpunkte C^ der Scheitel gerechnet und gleich s | 
setzt: [143. 5)] 

1) F= ar».[4(c«—36)±!V"c«^=36.a: + iar«], 

oder die Abscissen x vom Mittelpunkte gerechnet, [140. 4)]: 

2) F=a:«[i(c«-36)-Ja:«]. 

173. 

Wir gründeten die Bestimmung der Wurzeln einer gegebei 
cubischen Gleichung: 

1) 0=:a + 67j + cy^ + y^, 

2) c« > 36 

vorausgesetzt, auf die Verlegung des natürlichen Anfangsponl 

. , /Anfangspunkte C"\ , 4. . .^ , 
nach dem (^Endpunkte a^ ) ^'^' ^"^^'^^*' 

oder: 

3) c«^36 

angenommen, auf die Verlegung des natürlichen Anfangspuol 
nach dem Mittelpunkte der cubischen Linie. 



r , 



¥■ 



einer vorgelegten cttöischen Gleichung, 419 

Wir hätfeo sie« frie sich leicht nachiveisen iässt» ebensoifohl 
ei der Bedioguog 2) auf die Verlegung des natürlichen Anfangs- 

uktes Inach dem Scheitelpunkte f ^,A^ oder dem Endpunkte 

u,) des horizontalen DurchmessBrs gründen können. 

Auch ist leicht ersichtlich, dass eine Verlegung des natur- 
iekeo Anfangspunktes nach den genannten Punkten nicht an- 
rendbar sei, wenn die Bedingung: 

4) c*<3Ä 

itattfinde, also der Parameter negativ sei, ireil dann, nach 
[147. III.] die Scheitel selbst unmöglich sind. 

Wir sind daher, im Falle diese Bedingung stattfindet, ge- 
lothigt, den natürlichen Anfangspunkt nach dem Mittelpunkte M 
Itf cnbischeo Linie zu verlegen. 

174. 
Im Nachstehenden sei die Bedingung: 

'onuMgesetzt. 

Wenn man den Massstab der Abscissen der zu construiren- 
*• Gleichung [139. 2)] 3 mal, und den ihrer Ordinalen 27 mal 
'VgiOsaert, so ergiebt sich: 

1) = 27y + 96(3y) + 3c(3y)«+(3y)». 

Jjrflhrt man in gleicher Weise mit der Mittelpunktsgleichung 
■*-.4)], indem man r für i schreibt, so erhält man: 

2) = -27r + (96-.3c«)(3ar) + {3ar)»; 

*• construirten Linien beider Gleichungen sind mit der construir- 
^ Linie der Gleichung: 

3) = ± 27a + 96(3^) + 3c(3y)« + (3y)3 , 

••Ätiich und unterscheiden sich nur durch die verschiedene La<»e 
^r vrirklicben und natürlichen Anfangspunkte. " 

175. 

Üenkt man sich diese drei construirten cubischen Linien 
Weinander gelegt, dass sie sich decken, so fSIlt, Taf. VIII. 



1 



420 Ker%: Veber die Beurtheiiung der Wnrteln 



Fig. 40. — 42.» der wirkliche und natOrlicbe Anfaii|;8punkt ^ im 
Linie 1) mit dem Datärlicheo Anfangspunkt A^ der Linie 3)« lai 
der natürliche Anfangspunkt M der Linie % mit dem Mittelpunkte ; 
der beiden andern cubischen Linien zusammen, uod der wirklich! 
Anfangspunkt A der Linie 3) liegt, je nach der positiven o4er 
negativen Bedeutung des Werthes von a, unter oder uber'4eB 
natürlichen Anfangspunkte A^ [133. 4)]. 

Es folgt: 

1) Die Entfernung A^A' des naturlichen Anfangspunktes dir 
Linie 1) und 3) von der Horizontalaze des Mittelpunktes ist gleich 

277 [139. 1)]. Sie ist (^^''^^^ wenn der Punkt ^o (^^^ 
den Punkt A liegt. \ 

2) Die Entfernung A^A des natürlichen Anfangspunkte! tf \ 
Linie 3) von der wirklichen Abscissenaxe AX ist gleich: ±^*i 

(über \ 
.1 dem wirkliche! 

Anfangspunkt A liegt [133. 4)]. 

3) Die Entfernung BM:=z A*A des natürlichen Anfanspoktei 
der Linie 2) von der wirklichen Abscissenaxe AX ist gleich flr* 

4) Die Entfernung AC der Ordinate A'^A des wirkfich« 
Anfangspunktes A der construirten cubischen Linie 3) von ihrea 
Durchschnittspunkte C mit der wirklichen Abscissenaxe AX, be- 
zeichnet stets die reelle Wurzel dieser cubischen Linie 3). 

Ebenso bezeichnet: 

5) Die Entfernung BC = ;>(= 3a:) der Ordinate BM des Mit- 
telpunktes der construirten Gleichung 2) von ihrem Durchschnitts- 
punkte C mit der wirklichen Abscisscnacxe AX stets eine Wur- 
zel der Gleichung 2). 

6) Die Entfernung AM des Durchschnittspunktes A' ^^^ 
Horizontalaxe des Mittelpunktes mit der Ordinatenaxe von den 
Mittelpunkte ist stets eine Wurzel der Gleichung 1), also einf 
bekannte Grösse, es ist nämlich: 

A\M=z^c, [139.4)] 

176. 
Ist 

0=±« + Ay + cy-^ + 3/^ [H4.J 



einer vargeiegten cuöiscken Gleichung. 421 

die zu constroirende Gleichung und; 

96c > 2c», nämlich: S6>c«, 

oo liegt die natürliche Abscisseoaxe stets über der Horizontalaze 
des Mittelpunktes [140. 11)]. Liegt nun: 

1) die wirkliche Abscissenaxe zwischen der natfirlichen Abscis- 
seoaxe und der Horizontalaxe des Mittelpunktes, Taf. VI IL Fig. 40. 
mo ist: 

A^A<,A^Ä'\ nämlich: +27a<+279, 

A^A—A^A = AA' , „ 27(9 — «) = 27r , 

-AC=-AM^ BC\ „ (3y) =— c+p. 

Liegt aber die wirkliche Abscissenaxe oberhalb der natür- 
liehen, Taf. VIII. Fig. 41., so ist : 

— A^A<, + A^A\ nämlich: — 27a< + 277, 

A<^A' — A<^A = AA', „ 27(9 + a) = 27r , 

+ AC='-A'J^J + ßC, „ (3y) = — c + p. 

Liegt 

3) die wirkliche Abscissenaxe unterhalb der Horizontalaxe des 
Mittelpunktes [Taf. VlIL Fig. 42.], so ist: 

+ A^A > + A^A\ nämlich : + 27a > + 27^ , 

A^A—A'^A' = AA\ „ 27(a— 9) = 27r, 

^AC='^A*M-BC, „ (J^i^)= — c—p. 

177. 

fst 

0=±a + %-cy« + 2^3 [95.] 

die zu construirende Gleichung, so ergiebt sich hierfür ganz die- 
selbe Betrachtungsweise, wie [176.], wenn man, nach [158. 3)], 
der Constructionaebene eine' entgegengesetzte Lage ertheilt, also 
bierduich die in [176.] bebandelten Grössen in die entgegenge- 
setzten Terwandelt. 

178. 

Es geht hieraus hervor, dass man die reelle Wurzel der 
Gleichung [174. 3)], oder der Gleichung: 



1 

422 Ker%: L'eöer die Beurtheilung der Wurzeln 

1 

für jeden positiven oder negativen Werth der Coefficienten a aid 
c leicht bestimmen könne, wenn man aus Gleichung [174. 2)] fiv 
jeden Werth von 27r die zugehörige Wurzel 

zu bestimmen im Stande sei. Nimmt man nun den Massstab der 

Abscissen dieser Gleichung [174. 2)] V^9Ä — 3c^mal, und den ikrer 

Ordinaten (V"% — 3c«)'mal kleiner [159. 3)]; so geht dieselbe 
über in: 

n — 27r r 3a? "l p 3j: -i» , 

" — - (yÄ_3ci)l + L(96-3c«)*J ^ L(96— 3c«)Ü ' ^^' " 

also in die Zahleogleichung : 

3) Ä = + P+/>», [91. IIL] 

wodurch die geometrische Bedeutung des Verfahrens der inT' 
losuiig der vorgelegten Gleichung mittelst der Tabelle III.» ikre 
Erürtcrung gefunden haben dürfte, indem wir den Nachweis to 
geometrischen Bedeutung der Interpolirung dem Leser Gberlassei' 

179. 

Im Nachstehenden sei wieder die Bedingung: 

c«>36, 

also die cubische Linie mit Scheiteln versehen, vorausgesetzt- 
Die Gleichung [174. 2)] erhält dann die Form: 

0=1 27r - (3c2 — U) (3.r) + (3 j:) 3. 

Dagegen ändern sich die Gleichungen [174. 1) und 3)] nicht, und 
die in [175.] aufgestellten Sätze behalten ihre Gültigkeit. Der 
Grösse p entsprechen jedoch, wenn die wirkliche Abscisseoaxe 
AX die beiden Scheitel schneidet, die drei Werthe: BL\ BC. BC- 

180. 

Ist: 

0=±« + % + ci^* + y^ 
die zu construirende Gleichung, und 



einer vorgelegten cuöiscäen Gleichung. 423 

±27^= + 96c— 2c», also 56^c«, [114.] 

80 liegt die oaturlicbe Abscissenaxe stets ( # h IhJ ^^^ ^^' 
rizontalaxe des Mittelpunktes [157. ])~3)], die wirkliche Ab- 
scissenaxe aber, je nach der f • .. J Bedeutung des Werthes 

voD <i ( i^ h Ih / ^^^ naturlicben Abscissonaxe. £s untersebei- 
deo sich folgende Fälle: 

1) Es liegt die natürliche Abscissenaxe oberhalb der Hori- 
zontalaxe des Mittelpunktes, und zwischen beiden die wirkliche 
Abscissenaxe. In diesem Falle schneidet letztere entweder beide 
Scheitel, Taf.Vil. Fig. 25., oder sie schneidet sie nicht, Taf. VII. 
Fig. 24., and es ist hierbei einerlei, ob auch die naturliche Ab- 
scissenaxe die Scheitel schneide oder nicht schneide. Es er- 
giebt sich: 

+ i|02l< + J0il', nämlich: +27a<+27y, ) 

A»A'-^A = AA'. ., •i7(,-«) = 27r,r'''J«-^«"2^- 

^AC^^A'M^BC, „ (3y) = -c+p, 1 

und 

L nämlich: (3y)=:-c-i>, Taf. VII. Fig. 25. 

2) Es liegt die wirkliche Abscissenaxe oberhalb der natiir- 
Jicben, and diese oberhalb der Horizootalaxe des Mittelpunktes. 
In diesem Falle ist: 

— ^0^ < +A^A' nämlich : --27a <+27^, \ 

I Taf VU 

A^A' + A^A = AA% „ 27(9+a) = 27r, j p.^ ^^j ^^ J ^^ 

^AC^-'A'M^BC, ,. (3y)=-c + p,l 
und 

L nämlich: (3«)=-c-;>. Taf. VII. Fig. 27. 

3) Es liegt die natärliche Abscissenaxe oberhalb und die 
wirkliche Abscissenaxe unterhalb der Horizontalaxe des Mittel- 
punktes. In diesem Falle ist: 



trßelegttH ctiöltc/ien eietchuttg. 
iiSmIich: — 27a>— 27?, i 
27(}— o) = 27r, | 
(%)=-c-p, 

.. =- + 



T«r. VIII. 

Fig. 36. 



181. 



= ±(i— 6j( + r^« + y» 
.ileicbung. unH 
—279 =— 'JSr— 2c>, 



[UB.J 



Anlan^tigiunkt stets eiii Pankt des inoereu 
Scheitels fl57. 4)], die natürliche Aanci«- 
;r stets die beiden Scheite) unterhalb der 
Iclpanlitcs. 

Bich Inlgendo l'älle: 

bscissenaxe liegt unterhalb der natürlichen 

■hält: 



Smlich: f27n>— a?^, 
„ -27(9+«) = 27r, 
., (3i,)=~c-p, 



Taf. VII, 
Fig. 34. und 36. 



c+;>. Taf.VIl. Fig.35. 



bscisscnaxe liegt zwischen der nalQrlichen 
des IVIit(e)|tunkte6. 



iiltmlich: — '27a>— '27?, 




„ S7(^o) = 27r, 


T»l. VIII 
Fig.S7. 


= - + 1 




=- + • 





■'?'^ 



424 Her%: üeber die Beurtheüung der Wur%eln 

^A^A^^A^A', Dämlich: +27a>277, ) 

I Taf VII 

A^A^AOA'^AA'. „ 27(a-^) = 27r, pj^^go; „„, 

— 2IC = -AM-BC, „ (3y) =~ c- p, ) 
und 

.^ . n. «^ \» nämlich: (3y)=— c+p. Taf. VII. F 

4) Es liegt die wirkliche Abscissenaxe unterhalb der 
liehen und diese unterhalb der Horizontalaxe des Mittelpu 
und der natCrlicbe Anfangspunkt ist ein Punkt des äusseren 
ges des unteren Scheitels. In diesem Falle ergiebt sich: 



-i-A^A^'-A^A', nämlich: +27a>— 279, 

A^A + A^A* = AA\ „ 27(a+9) = 27r, 
^AC=:-^A'1U-BC, „ (3y)=— c— p,i 

und 



Taf. VII. 
Fig. 32. unc 



-^AC ^-A'M+BC 
'-AC'=^-A'M+BC 



L nämlich: (3y)=-"C+p, Taf. VII. f 



5} Es liegt die natürliche Abscissenaxe unterhalb un 
wirkliche Abscissenaxe oberhalb der Horizontalaxe des II 
punktes. Man hat in diesem Falle: 

--A^A < — A^A\ nämlich : —27a < — 27^, 1 

A<^A^AOA'=:AA', „ 27(a-9) = 27r, L J^; ^*„^ 
^AC^-A'M+CB, „ (3y)=-c+pJ 

und 

j^Qi J-- A'M'-^BC ) 

-AO'=-A'M-BC"y "*""'''" (3if)=-c-p. Taf. VII. Fi 

6) Es liegt die natürliche Abscissenaxe unterhalb der 
liehen und diese unterhalb der Horizontalaxe des Mittelpui 
und der natürliche Anfangspunkt ist ein Punkt des aus 
Zweiges des unteren Scheitels. Man erhält: 



efner torgetegten euNtehen GMchung. 



425 



I 



^A'—Jf>A = Ajt. 
■AC =-A'III-BC, 
■ACzs—A'lU+BC. 
AC'=—AM^BC; 



iilinlich: — 27a> — 279, 
27(jr— a)=27r, 

ßy)——c—p, 

.. =- + 
181. 



Taf. VIII. 
Fig. 36. 



iat: 



1 






die 10 construirende Gleichung, and 

—27^ =--96r— 2c», [115.J 

fo ist der natärlicbe Anfangspunkt stets ein Punkt des innereu 
Zweiges des unteren Scheitels [157. 4)], die natürliche Asscis- 
, NMie schneidet daher stets die beiden Scheitel unterhalb der 
Hoiiiontalaxe des Mittelpunktes. 

Es unterscheiden sich folgende Fälle: 

1) Die wirkliche Abscissenaxe liegt unterhalb der natürlichen 
Ahicissenaxe. Man erhSit: 

+ J»i< > — A^A'g nämlich: + 27« > —27^, 

il»4-+ A^A = AA\ „ 27(flr+«) = 27r, 
-AC=^A'M''BC. „ (3y) = -c— p. i 



Taf. VII. 
Fig. 34. und 35. 



+4e =-ii'»+iBC 1 

^^^ . .. «^ }* nämlich: (3y) = -c+;^ Taf. VII. Fig.35. 

2) Die wirkliche Abscissenaxe liegt zwischen der natürlichen 
^»d der Horizontaiaxe des Mittelpunktes. 

Es ergiebt sich: 

^^A'^A^'Az^AA'. 
^^€ ^"A'M^Ba 
^^C ^^-A'JH+BC, 
+ -«« C = — il'JH + BC". 



nämlich: — 27ci>— 27^, 
27(9-0) = 27r. 



,, , V Tal. Vlll. 

(3^)=-c-p,^ Fig. 37. 

= - + 



Taf. VUI. 
Fig. 38. UDd 39. 



426 iCerz: Ueöer die Beurtheiiung der Wunelm 

3) Die wirkliche Abscissenaxe liegt oberhalb der Horizontil- 
axe des Mittelpanktes. Es ist: 

A^A-A^A' = AA\ „ 27(a - 7) = 27r, 
+ AC=^A'Jkl+Ba « (3y)=— c + p, J 
und 

. .. «^ f» nämlich: (3v)=-c-p. Taf. VIII. Fig.». 

182. 
Ist: 

0=a±6if~Ci^a + 3r» [116. 117.1 

die za construirendc Gleichung, so ergiebt sich hierfür gaoK di^ 1 
selbe Betrachtungsweise^ wie in [180. und 181.], wenn man, sack ] 
[158. 3)J, der Constructlons- Ebene eine entgegengesetzte Lagt i 
ertheilt, also hierdurch die behandelten Grossen in die entg^fo- 
gesetzten verwandelt. 

183. 

Es folgt hieraus, dass man die reellen Wurzeln der GieicboBC 
[174. 3)J, c*>36 vorausgesetzt, oder der Gleichung: 

1) 0=a + Ä^ + c^«+2^^ 

für jeden positiven oder negativen Werth der Coefficienten a, h, 
c leicht bestimmen könne, wenn man aus Gleichung []79'] fSr 
jeden Werth von 27r die zugehörige Wurzel: 

2) 3.r = ßC, (BC, BC) = p 

zu bestimmen im Stande sei. Nimmt man nun den Massstab der 

Abscissen dieser Gleichung [179.] V3c* — 9^ mal, und den ihr«f 

Ordinaten (V"3c«-96)»mal kleiner [159. 3)]; so geht dieselbe 
über in: 

also in die Zahlengleichung: 
4) ^R=z^P^P\ [111. IV.) 



einer vorgelegten cubischen Gleichung. 427 

184. 
diese Zahlengleichung ist, Taf. VIII. Fig. 44.: 

6= — 1, und c = 0, 

\ [Hl. 18)1 

hin ist: 

Ä'C^^:Ä'C'' = 3:I, 

ist die Höbe des Scheitel -Rechteckes gleich \ seiner 
lie. 

wir die Abscissen der Zahlengleichung [I83. 4)] von dem 
tnkte aus zu nehmen haben [162. 4)]; so ist die Hohe 
neren Scheitelzweiges zugleich die grOsste Ordinate, und 
bt sich daher als ein grosster Werth von Ri 

S' W = S" W = iV3, [152, 6) u. 112. 1)] 

zugehurige Werth von Pi 

MW = Jlf H'"= 4V3. [152. 5) u. ll2. 2)] 

P = UM\MM") 

zugehörige Werth von R gleich Null, und daher ergiebt 
s [140. 3)] : 

P=l. 

R = C"E' = OrE** = S' W 

P = ME' = ME'* = kK'a^ = !V3, 
C/FiV" =: CiV' = ?V3 — 1. 

185. 

* haben bei den geometrischen Untersuchungen bisher stets 
arzel als eine einnamige Grosse betrachtet und wollen 
r die geometrische Bedeutung der zweitheiligen Wurzel- 
ler Erörterung unterwerfen und dabei vorläufig wieder: 

XLIV. ^ 



.->T 





—AC =— w. 


\ 




—AC =—« + «, 


, j 




— AC'=—a—a, 


' 


— « 


AC" + AC 

- 2 — 


-A<i, 


db« 


,AC'-AC s 

-± 2 - 


— C"€. 



428 Ker%: Oeber die Beurtheilnng der Wur%eln 

c«>36 
▼oraassetzen. 

Schneidet die Abscissenaxe AX, Taf. VIII. Fig. 43.» di 
tel der cubischen Linie in den Punkten C, C, C'\ und sc 

I) 

2) 

3) 
80 folgt: 

4) 

5) 

Nun ist: 

6) — ilÄ= — /l'M =— ic, [13 
und als Summe der drei Wurzeln ist: 

7) -'AC'-AC'-AC' — -C, 
daher: 

8) — 3^Ä= — ^C— i4C— ^C", 

also: 

^AB'-AC AC+AC 

9) g = 2 =-^tf=-«. 

Bezeichnet demnach: 

10) —AC(» --AC, -AC) = -IT 
die erste Wurzel, so bezeichnet: 

11) — ^i€(, -A(i\ -iltf") =— tt 

den ersten Theil der beiden andern Wurzein, und dei 
(£(, (£', £") ergiebt sich als Halbirungspunkt der Eni 
CC'{, C*C, C'C) der betreffenden Schneidungspunkte d< 
sehen Linie mit der Abscissenaxe AX. 

Denkt man sich nun 

12) Die Entfernung A"'A^^ der . Scheitel - Tangeoten 
beliebige Anzahl (gleicher) Theile eingethellt, und ivuth di 



•T ::: JKr -rf«S 






biriAf »pcü': -^ C f £ l^ 
buder«: »-> 3«s:«cinisf lie Z 

iBdcni Win<en. 



IC" -=2.; i 



f-=- .-f -.'•- ~ .!•-■. 



IJ f.-* E-iTrtnaiitf 



•« I ; «•«. .^ 



.»- : 



- : 4 - i - iL 

— " • 4, — . i — . i 

Ponkte» i. ***^ -r ir^ • • i«i u-t ittzrLrit -lea I»iJ-:i.— jmi.:.^ .:•.:•: 

der bei^ i.i«i»^n '^ ir-2-n. 



•-•I-'- 



idhtt el"i«t SLii*:?!* Liiii:* i»^-fi hTrr**- jtui.ir n." £»#•:] V-:f 



Ihrer Eil-Klii-ltil."" F*-imi r 1,^ ^ ;• <it qi« a ; ; • I . .. 

r * • i » 



* • • • . ^ 

*ie dit ihrer HfcJIrruu:«-!-!« :fr Ssi« :*-.. FTr *ti:t-v f ^^^ .- 
«eb daher «l^baic: 

^ Mittelpac:kuckiehc&2. l4^i ^ 

■*• GleicbaiiK de« ( ^ "^ ^^^'■P"" '^'^ "^ J Jer Scheitel 1 1 . , ,i 



3) 



= ^ jr3c«— 06 ){ -i^ ) T % "3r« — iVi . rij-)* - ri* *! 



■!■ ni-uu j /Anfangspunktes 1II'\ . 

•«I^GleichanR des (e„^p„„^,,, „,. ) de. hori.onuio,. |>„,.,. 

1144. ^)\ 



•Js 



•^ 



430 Kef%: üeber die Beurihetlvng der Wur%eln 

4) 2 = ± Vc«-36 . (2.r)«— (2.T)», 

als Gleichung den (-.1,^-^. ) Scheitelpunkte« (^/ J* [l^- 4)) 



187. 

Mit Hiilfe jeder dieser Gleichungen lassen sich die Zwaigi 
der HalbirungscurFe der Scheiiel, über ihren Anfangs- und Eo^ 
punkt hinaus, leicht fortsetzen, und es ergiebt sich: 

]) dass für jede mit der Abscissenaxe parallellaufende Lide 
C^£^ Taf. IX. Fig. 46., die Entfernung ihres Durchschnittspirt- 
tes C^' mit der cubischen Linie von der Vertikal axe des Mittel* 
punktes doppelt so gross sei, wie die Entfernung ihres Dath*j 
Schnittspunktes £^ mit der Ualbirungscurve der Scheitel vsa te < 
Vejrtikalaxe des Mittelpunktes. .] 

-I 

Es ist nSmlich für jeden Punkt £^ der Halbirungscurve te ' 
Scheitel: 

2) B^'i^ = ~- . 

Hat man die Halbirungscurve fiber die Scheitel hinaas coastnBi^ 
80 bezeichnet 

3) die Entfernung C^£^ eines jeden Punktes Ü^ derseJNi 
von der Ordinatcnaxe den reellen Tbeil — a der beiden inHf* 
nliren Wurzeln [3. II.]. 

Denkt man sich, Taf. IX, Fig. 46., für c« > Ab, 

4) die Halbirungscurve der Scheitel so weit fortgesetzt, bis 
sie die Ordinatenaxe schneidet, so wird: 

BAo = \c 



daher ^^^o = c, 

und es ist in diesem Falle der reelle Theil — a der beiden ini- 
ginäreii Wurzeln gleich Null, nämlich: 

^0 = 0. 
Denkt man sich 

5) Die Ualbirungscurve der Scheitel über ihren Schneidungi* 
i^uvki Aq mit der Ordinatenaxe weiter fortgesetzt, so werden die 
Entfernungen A^'^^' ihrer Punkte ^^' von der Ordinatenaxe ein^ 



einer vorgelegten cubUchen Gleichung. 431 

entgegengesetzte dage haben, d. b. es wird der erste Tbeil der 
beiden imaginären Wurzeln positiv. 

188. 

Wählt man, Taf. VIII* Fig. 46.^ den oberen Scheitelpunkt Sf' 
als Anfangspunkt der Goordinaten, also die obere Scheitel -Tan- 
gopte als Abscissenaxe, und setzt ein beliebiges Stiick derselben : 

tiUlt durch den Endpunkt K desselben eine Senkrechte (Ol, welche 
die Halbirungscurve der Scheitel in dem Punkte £ schneidet, und 
zieht durch diesen Schneidungspunkt eine Parallele A4, zur Ab- 
ecfssenaze; so ist das Stuck (£IF dieser Parallelen, welches zwi- 
schen der Halbirungscurve und der Verlängerung S** W der Höhe 
des oberen Scheitels liegt, nämlich: 

2) —€IF=— »«" = -«. 

Nun ist: 

oder: 

4) +tt = + tt+4c + 4Vc*^"36. [138. IJ] 

Substitniren wir diesen Werth von e In die Grösse unter dem 
Wurzelzeichen der Foritfiel [8. 1)], so erhalten wir: 

5) 2iic— 3a«— 6 =- 3M«—2tt Vc^^SÄ = a«, 
nämlich: 

6) ±oV^^ ==±V3ii«+2iiV'P^^. V^^^ 

Es bezeichnet also dieser Ausdruck den zweiten oder imaginären 
Theil der beiden imaginären Wurzeln. 

Es folgt fSr 

a=:0, oder t« = 4c -4Vc*^^3Ä, 
wird: 

7) ««=-6. 

189. 
Bildet man sich ein, es bezeichne, Taf. VUl. Fig. 45., 



1 



432 lier%: Leber die BenrtheUung der Wur%elu 

^) — «1 ^'®*® imaginäre Grösse i:«V^^, [188. 6)] 

so ist: 

und es entspricht dem Punkte (f die Gleichung: 

3) z = - (c«-3^)(2i£) + 2 Vc«— 36 .(2u)« — (2ti)», [186.4)] 

in welchem Ausdrucke u einen negativen Werth bezeichnet. 

Schreibt man nun in der Gleichung des oberen 8cheitelp«ik- 
tes S", nämlich in: 

4) i=— V^c*— 36.a:«+ar», [145.4)1 

5) ± V 3ti« + 2tt V^c«— 36 . V^ — u anstatt a- , 
so ergiebt sich als Gleichung für den Punkt £: 

6) z = + ic^-^ 36)(2m) + 2 V7»^"36 . (2m)« + (2ii)», 

in welchem Ausdrucke u einen positiven, also entgegengesetfteif 
Werth bezeichnet. 

Hieraus folgt: 

7) dass sich über den Scheitelpunkt S" des oberen Scheiliii 

j /äussererX _ . , /innerer \ . ^ . -,.,.. ^ 

dessen ( . 1 Zweit; als | .. j Ast imaginär fortseCie. 

\innerer / ^ V^U'^^serer/ ^ 

Analog findet sich : 

8) dass sich auch unter den Scheitelpunkt S* des unteren Scbei- 

. , , /äussererX „ , , /innerer \ . , 

tels dessen ( . 1 Zweig als f .. 1 Ast iinairioäT fort- 

\innerer / " Vausserer/ ^ 

setze^ sowie: 

9) dass diese Aeste einander congruent seien. 

IIK). 

Zur Versiniilicliung dieser imaginären Aeste kann man sich 
vorstellen, es seien die, dem Punkte d entsprechenden, entge- 
gengesetzten Werthe iiJ und i£;7, oberhalb und unterhalb der 
Constructionsebene« in dem Punkte (£ errichteten Senkrechten, 
deren Horizontal Projection der Punkt (i selbst sei, und es be- 
zeichne die durch den Punkt (£ gelegte, mit der Abscissenaxt 



.'i 



einer vorgelegten cubUchen Gleichung. 433 

paraüellaufeDde Gerade CS die Trace einer in dieser Geraden 
auf die Constructionsebene senkrecht errichteten Ebene. 

Denkt man sich die, in dieser Ebene liegenden und in eine 
e'iDzige Gerade zusammehfallenden Senkrechten, £«/ and ^% in 
die Trace umgelegt, d. h. den Ausdruck [188. 6)] von seinem 

imaginären Faktor V^ — 1 befreit, so ziehen wir zur Versinnlichung 
der imaginären Aeste nur den Werth von 

hl Betracht. 

Theilt man nun die obere Scheitel -Tangente A^S" von dem 
Anfangspunkte der Coordinaten S" aus, nach der negativen Seite 
bin, in Abscissen : k, 2tf, 3tf, .... 91» ab, errichtet in den Theilungs- 
pmikten die senkrechten Ordinaten zur Halbirungscurve der Schei- 
tel, und zieht durch die Endpunkte dieser Ordinaten Parallelen 
«DT Abscissenaxe, so erhält man die bezüglichen Werthe von a, 
vrenn man in 1) ti, 2«, 3tf, ....nu für u substituirt. 

Diese so erhaltenen Werthe sind dann von dem Endpunkte 
der bezflglichen Ordinaten rechts und links abzutragen und die 
so erhaltenen Endpunkte durch eine stetige krumme Linie mit 
einander zu verbinden, wodurch sich die oberen imaginären Aeste 
rersinnlichen. 

In analoger Weise ist zur Versinnlichung der unteren imagi- 
nlreo Aeste zu verfahren. 

19]. 

Es ist die Zweckmässigkeit einleuchtend, den Werth von 
II möglichst klein zu wählen. 

Setzt man u gleich dem mten Theile der Grundlinie eines 
Scheitelzweiges der ursprünglichen cubiscben Linie, nämlich: 

m 
90 ergiebt sich: 

und als zugehörige Ordinate: 



434 AT^rs: Veber die Beuriheiiung der Wwtein 

192. 
Ist: 

1) c« = 36, 

also der Parameter gleich NaII, so gehen die Gleichuogen 
4), 143. 6), 144. 5), 146. 4)] sämmtlich Aber in: 

2) 2= + :r». 

Da sich hierfiir die Scheitelpunkte S* und S^' in dem Mittelpi 
M vereinigen, so kann man sich auch yorstellen» es sei die 
struirte Linie dieser Gleichung aus zwei Susseren Aesten in 3 
gemeinschafUicheo Scheitelpunkte zusammengesetzt. 

Die Gleichungen der Ualbirungscurve der Scheitel [18 
*-4)] gehen sämmtlich über in: 

3) x=-(2a:)», 
und es folgt, wie [187. 2)]: 

4) ß^H^^^-^i 

es ist die ualbirungscurve der Scheitel daher leicht zu constn 

193. 
Ist nun die gegebene Gleichung: 

I) 0= + a + |^.y + c^« + 3^», [9. 



so liegt die wirkliche Abscissenaxe AX ihrer construirten C( 
Taf. IX. Fig. 47., unterhalb der natürlichen Abscissenaxe i 
[133. 4)], und wir haben: 

2) y =^AC = -'AB'-BC=:'-\c^x, 

3) 1= CiVz=+^o^ — ^o^' = a-~, [147.11 
also ist: 

4) ßC=a: = iV27a-c», [192.' 

welche Darstellung die geometrische Bedeutung der reellen ^ 
zel der Gleichung [9. 8)] in ihrer zweitheiligen Form nachw< 

Auf analoge Weise, oder nach [192. 4)] ergiebt sich: 



einer torgeieglen cubUchen Gieichwtg. 435 

und 60 folgt alsbald als erster Tbeil der beiden andern Wurzeln: 

Ans [188. 6)] ergiebt sich dann 9 wenn wir \x für u schreiben: 

7) aV=n=4a:V3.V=n, 
oder: 

8) ±«V^^ =±JV27a-c».V^. 

Zar Versinnlichnng der imaginSren Aeste erhalten wir daher: 

9) . «J=£7 = i?(£.V3, 

ofid sind die imaginären Aeste hiernach leicht zu construiren. 

194. 
Ist: 

1) c«<36, 

also der Parameter negativ, so geht die Gleichung [140. 4)] 
Aber in: 

2) r= K3^— c*).a: + jr». 

Da die construirte Gurve dieser Gleichung nicht mit Scheiteln 
▼ersehen ist, so kann man sich vorstellen es sei dieselbe gleichsam 
ans zwei Aesten in den Endpunkten eines und desselben Durch- 
messers einer mit Scheiteln versehenen cubischen Linie zusam- 
mengesetzt [149. 10)]. 

Die Gleichung der Halbirungscurve der Scheitel, (deren Be- 
nennung wir beibehalten wollen) ergiebt sich, nach [186. 1)]: 

3) z = — 4(36 — c«)(2a:) - (2jr)», 
nnd es folgt wieder: 

4) Br^y^^-^ 



195. 

Ist, Taf. IX. Fig. 48., die mit accentuirten C bezeichnete Curve 
die cubische Linie der Gleichung: 



436 Ker%: (Jeöer die Beurtheilung der Wurzein 

1) z^bx + cx^ + x^, 

und die mit acceotuirten £ bezeichnete, die zugehörige Hall 
curve der Scheitel, so ist, fällt man von irgend einem Pi 
der Halbirung6cur?e eine Senkrechte (TU auf die Horizo 
des Mittelpunktes : 

2) — ^iW=-Ä€= — tt, 

oder: 

4) Ä=+ic+ic. 

Substituiren wir diesen Werth von a in die Grösse unt 
Wurzelzeichen der Formel [8. 1)], so erhalten wir: 

nämlich: 
Ö) J:aV"iri=±V^3u« + i(36-c*).V'^, 

oder, — fär u geschrieben: 

7) ± « = ± ^ V^Sm« + 4 (36 - c«)w«. 

Es bezeichnet also 6) den imaginären Theil der beide 
ginären Wurzeln. 

196. 
Wenn wir die Gleichung: 

1) 0=— (6c-a) + (6 + c«).»-2c.»*+»3 [j. 

in Betracht ziehen, und in [140. 13)] ^2c für c, und +( 
fär b schreiben, so erhalten wir als Parameter dieser Gleicl 
wieder: 

2) c«— 36. 

Mithin ist ihre cubische Linie identisch mit der const 
Gleichung : 

3) = a + 6.y+cy« + y8, 

und beide unterscheiden sich nur in der verschiedenen Lag< 
natSrIicben und wirklichen Anfangspunkte und Abscissenax 



-.-^ 



einer vorgelegten cuöiscAen Gieichung. 437 

Wegen des f ., j Vorzeichens des quadratischen Glie- 

les liegt die nattirllehe Abscissenaxe der construirten Gleichung 

fZ) oberhalb \ , /oberen \ij... ,m * «^^^ 

,1) nnterhalbj *''" (anteren; 5>«^»'e't«l-Ta..gente, wenn c«<4*. 

lagegen liegt die naturliche Abscissenaxe zwischen der f t ^ ) 
Scheitel -Tangente und der Horizontalaxe des Mittelpunktes wenn 
c* j ^9, ^, und sie liegt zwischen der f • J Scheitel- Tan- 

gente und der Horizontalaxe des Mittelpunktes, wenn c'^'>%b ist 

[167. l)-3)]. 

197. 
Ist, Taf. IX. Fig. 46., 

1) c»<46, 

so ist: 

% AOA' = + ^ = — 27— ; [J39. 1)] 

dagegen ergiebt sich wenn man in derselben Formel ~2c für 
+ c, und +(Ä + c«) für +6 schreibt: 

als Entfernung der bezüglichen natürlichen Abscissenaxen von der 
Horizontalaxe des Mittelpunktes. 

Beide Abscissenaxen sind demnach um die Grösse: 

4) A^A' + Ü^Ü' = q + q = öc 

von einander entfernt. 

In gleicher Weise ergiebt sich: 

6) -A'M^^, [139.4)] 

6) +Ä'ilf =— 4(— 2c)= + Sc, 

daher ist die Summe beider Entfernungen : 

. 7) +A']U+M*ld=:M'A*=i^c, 

und es ergiebt sich daher als Entfernung beider Ordinatenaxen 
▼on dem Mittelpunkte : 

8) J^'M = 2A'M. 



438 Ker%: L'eöer die Beurtheilung der Wur%ein 

Ist DUO für Gleichung [196. 3)] die Ordinate des wirklichen 
Anfangspunktes A gleich +0, so liegt die wirkliche Abscia- 
senaxe um diese Grosse A*^A unter dem natfirlicheo Anfangs* 
punkte A^. 

Nun ist ffir Gleichung [196. 1)] die Ordinate des Anfangs- 
punktes, nämlich: 

9) äoä =— (6c— a), 

d. h. sie liegt um diese Grosse über dem natürlichen Anfangspunkt 
Ü9, Da nun: 

10) (Äc-a) + a = 6c = g+q = JSi^Ao = A^Ao 

ist, so folgt} dass die wirklichen Abscissenaxen beider cobbrcben 
Linien eine einzige gerade Linie AA bilden. Es ist daher, 
nach 7): 

11) AA=:^c=:^+AC+AC + AC\ [185. 7)] 

daher : 

£iO' = J^A'-'AC =z AC + AO zsw + w, 

12) \ aC =zaA—AC =AC+AC' = w + w,} [IJ 
ÜC z^Lj^iA-AC =:AC + AC'=zw+w, 

198. 
Ist: 

1) 6c = a, 

d. h. föJlt die wirkliche Abscissenaxe mit der natürlichen susai 
men, so bezeichnet: 

2) A^Ao^—c 
die reelle Wurzel der Gleichung: 

3) = 6c + 6y + cy« + y» 
und: 

4) ilo=0, 

die reelle Wurzel der Gleichung [196. 1)]. 

Für diesen Fall ist der reelle Theil der beiden imaglDfi. 
Wurzeln gleich Null [187. 4)] und der imaginäre Theil, 

[188. 7)] : 



i 



Ul [6.] 



liegt die ivirkltche AbBcisseiiaxe unlerhalh der iiatQrlicIien 
'jt„, und der reelle Theil der beiden imaginSren Wurzeln ist 
siHv [IH7. 5}]. 

-'00, 

Nibart eich die Ordinatcnaxc A^A^ dem Scheitel -Rechteöl 
10 der natilrliclie Anrannepuiikt A" dem AnTangspunkle C" der 
plieitel, so nalicrl sich zugleicli auch die Urdinateiiase ü^ilo 
lb«D, also der Anfangsimnlct ü" dem Endpunkte C"' der 
Eheilel. Beide Verrückun|>en der Axen Ituden jedoch nach 
i^afae der Bodingung [147. 8)] t>la(t. 



edier Pct/geleglft cuMlchen Clelchung. 



Ffillt der natürliche Adfangsiiunkl A'* mit dem 
der Scheilel xuaamnien, so ist die Enlf'ernuug 
le afOg Ton dem Mittelpunkte, nflmüch: 

It der naliirliclic Anfangspunkt A" ein Punkt des 
9 dw unteren ScheitclB. so iat die Enlfernuiig 



Anfnngspi 
iler Ordinalen- 



ikt 



•i) 



d',M'<{*^c«-3( 



Schneidet in diesem Falle die wirkliche Abacisaenaze 
Icbdlet und liegt sie zugleich oberhalb der natQrlichen, d. h. ist 
Dn der Unbekannten unalihäiigige Clied negativ [18. I)]; so 
1 eine reelle Wurzel positiv, und die beiden andern sind nega- 
, die drei reellen, auf die Ordiiiatenaxe Ü^JIn bezüglichen Wur- 
oln aber sind positiv. 



I 

. die I 



cubische liinie in dem 
die Ordinatenaxe d"il<, 



Schneidet die Ordinalenase A^Ag die 
tivren Scheitelpunkte S' ao achneidet Rii 
ilem Endpunkte 6'"' der Scheitel. 

Schneidet die Ordinatennxe A"Aa den inneren Zweig des 
Iteren Scheitels, ao schneidet die Ordinatenazc d'^ilo die obere 
sbeitellinie. Schneidet hierbei zugleich die wirkliche Abacis- 
iHRXe die Scheitel unterhalb der natürlichen, ist alao die Ordi- 
il« dvA wirklichen Anrangspiinktes positir [21.]; so sind awei 



1 



440 Eilies: Der pvikagoräUehe Lehrsatz ip der Spärih. 

reelle Wurzeln positiv und die dritte ist negativ, und dasselbe 
ist fOr die drei auf die Ordinatenaxe Ü^Üq bezöglichen reellen 
Wurzeln der Fall [23.]. 

Schneidet aber hierbei die wirkliche Abscissenaxe die Schei- 
tel oberhalb der natSrIichen, ist also die Ordinate des wirklichei 
Anfangspunktes negativ [25.J; so ist eine reelle Wurzel positir 
und die beiden andern sind negativ. Von den drei auf die Ordi- 
natenaxe j^^Üq bezQglicben Wurzeln aber sind entweder zwei po- 
sitiv und eine negativ, oder sie sind sSmmtlich positiv, u. s. w. 

Wir überlassen dem Leser die Fortsetzung dieser Betrach- 
tungen, so wie die Fortsetzung der geometrischen Untersncbao- 
gen auf die in dieser Abtheilung nicht behandelten Formeln der 
vorhergehenden Abtheilungen. 



Der pythagoräische Lehrsatz id der Spbärik. 



Von 

Herrn Jos, Eilies 

in München. 



In Schulz's Sphärik Bd. II. p. 114 findet sich folgender 
Satz bewiesen: 

„Wenn man in einem rechtwinkligen sphärischen Dreiecke 
auf die Hypotenuse ein Perpendikel fällt« so ist die trigoDome* 
trische Tangente jeder Kathete die mittlere geometrische Pr^* 
portionale zwischen der trigonometrischen Tangente der gaoieo 
Hypotenuse und der trigonometrischen Tangente jenes Abschnit- 
tes der Hypotenuse, der an der Kathete anliegt.'' 

Ich legte mir die Frage vor« ob es nicht ein Analogen dei 
pythagoräischen Lehrsatzes für sphärische rechtwinklige Dreieck« 



Siiles: Der ppihagonUsehe LeArsai* in der Sphärik, 441 

gäbe, and fand solches aof ähnliche Weise , wie sieb der pytba- 
goräische Lehrsatz aus der ähnlichen Eigenschaft ebener recht, 
winkliger Dreiecke ableiten lässt. 

Bezeichnet man die Hypotenuse mit c, die Katheten mit a 
und 6, und die ihnen anliegenden Abschnitte der Hypotenuse 
bezüglich mit /i^ und b\ so ist dem erwähnten Satze zufolge : 

tg«a = tgc.tga'j 

tg»6 = tgc.tg6'r ^^^ 

1. Sind die an der Hypotenuse anliegenden Winkel gleich- 
artig, so ist: 

fl' + 6'=c. 
Addirt man nun die Gleichungen (1), so wird: 

tg«a + tg«Ä = tgc.(tga' + tg6'). (2) 

Multiplizirt man die Gleichungen (I) und subtrahirt das Produkt 
von tg^, so wird: 

tg2c-tgaa.tg«6,= tg«c.(l-tga'.tg6'). (3) 

Di?idirt man die Gleichung (2) durch die Gleichung (3), so wird: 

tßaa + tg*6 ] 

tg*c — tg*a.tg*6 tgc ®^ * ' 

woraus : 

tg«fl + tg«Ä + tg^fl. tg«6 == tg«c 

folgt. 

H. Sind die der Hypotenuse anliegenden Winkel ungleich- 
artig, ist also ^A stumpf, dagegen ^B spitz, so ist: 

a!^b' = c. 

Subtrahirf man in diesem Falle die Gleichungen (1), so wird 

tg*a-tg«6 = tgc.(tga' ~ tg6'). ('2') 

Addirt man das Produkt der Gleichungen (J) zu tg^c, so wird: 

tg^? + tg«a.tg^ = tg«c.(l +tga'.tgn (3') 

Daher wird durch Division: 

tg«fl-tg»6 _ 1 
tg«c + tg«a.tg«6""tgc'^8^^~^^ — *' 



44fi. . Ei lies: Der pyikagoräische Lehrsatz in der Spkdrik. 

folglich nird 

tg«« = tg«c+tg«6+tg*a.tg«6- 

Es spaltet sich also in der SphSrik der pythagor&ische Lebr^ 
satz in die folgenden zwei Sätze: 

1) Sind in einem rechtfrinkligen sphärischen Dreiecke die 
Winkel an der Hypotenuse gleichartig, so ist das Quadrat der 
trigonometrischen Tangente der Hypotenuse gleich der Summe 
der Quadrate der trigonometrischen Tangenten der beiden Kathe- 
ten vermehrt um das Produkt der Quadrate der trigonometrischeo 
Tangenten der Katheten. 

2) Sind die an der Hypotenuse anliegenden Winkel unglncb- 
artig, so ist das Quadrat der trigonometrischen Tangente der 
dem stumpfen Winkel gegienGberliegende Katheten gleich der 
Summe der Quadrate der trigonometrischen Tangenten der Hypo- 
tenuse ' und der anderen Kathete vermehrt um das Produkt aus 
den Quadraten der trigonometrischen Tangenten beider Katheten. 

Zu bemerken ist^ dass ich unter rechtwinkligen sphäriscbea 
Dreiecken mit Schulz nur solche verstehe, in denen nur ein 
Winkel ein rechter ist. 

Ich glaube, dass dieser Satz wenigstens nicht allgemein be- 
kannt ist, indem er sich sonst ganz gewiss in dem vortrefflichen 
Werke über Sphärik von Schulz finden würde. Auch mochte 
es vielleicht möglich sein, mittels dieses Satzes manche SStze 
der Planimetrie, die durch den pythagoräischen Lehrsatz enrie- 
sen werden, auf die Sphärik überzutragen; und es wäre in dieser 
Beziehung wohl wiinschenswerth, in der Sphärik ähnliche Erwei* 
terungen des pythagoräischen Lehrsatzes auf andere Dreiecke 
zu haben, wie man sie in der Planimetrie hat. 



» 



vX 



arunert: TAeorle der Aequiralm^ 



XXVI. 

Tböorie der AequivaleiiKen- 

dem Herausgeber. 



Klnleltans. 

'Jed«r Malhemaliker kennt <)ie Rolle, ivelche ge);eniv.'irljg die 

genannt* lalerafe Ertveilerung des Zahlcngefaiels in unaerer 

WtusemehaA »pielt, und tverss, dass eine genisse Uunkelheit, 

tan der jrd«nralh die von Alters her fililkhe DarstellungsweJse 

• r Lehr« ron den sogenannten imaginären Grössen niclit freixu- 

; ' «hen ist, einnni der griiseten Geomeler aller Zeiten zu der 

I ritritiniiii; dieser lateralen Erweiterung des Zahlengeliiüts in di^ 

%Vi'>sen8chan die erste und nächste VeranlasBung gepcben bot. 

t)b nti« iilier die Lehre von den dogenannlen lateralen Zahlen — 

K«Jcbo Kfzelchnnngsneise ich für jetzt absicbilich geliraucben 

|||lbv-, die aar Eraelzung der imaginären Grössen lieGlijDiut sind, 

^^Hl an nich, als auch mit ihren neileren Conse^ertzen in 

^^Vnn eil« nen lehre und der höheren Matbemalilc überhau|it, Iic- 

HK so w«)l aasgcbiliiet norden ist, dass sie ganz diejenige Klar- 

' it und Bestimmtheit besiUt, »elcbe man namentlich dann nnth* 

. idig fnrdern inuss, wenn eine solche neue Lehre in den niathc« 

ii-cheo Unterricht ohne Weiteres eingefahTt werden soll, ist 

I ■■ Fra^e, ivelchc zu beanltrnrten einet^thetla hier für jctit ilbcr- 

: i;it nicht der Ort ist, und deren HcanCnrnrtung andetnlbellp 

t:,r<irteruiiKen nathirendtg machen wfirde, an die man," iveiin ile 

lesiilich »ein sollten, doch zuleixt die FordeAing einer' wcl- 

j/^ofklSrung »od, ho niügllcb. vrillig strengen, keinem «reite ren 

I Kaum lassenden BegrOndnng und t>arstelliing de» gaiixen 

I Gegenstandes islellen niüssle. leb nil) hier (St Jetxt 



444 Grüner t: Theorie der Aeguivaien%en. 

nur so viel sagen, und halte dies nicht unbemerkt zu lassen 
für nothi<^, dass nach meiner Erfahrung man» vorzugsweise 
in Deutschland , in Schriften oder auch bei anderen Gelegenheiten 
von Reuten 9 die sich Mathematiker nennen, deren mathematische 
Einsichten aber freilich oft nur noch auf der Oberfläche über 
einem ziemlich unsicheren Grunde schwimmen oder vielmehr lavi- 
ren, in gegenwärtiger Zeit gerade Ober den fragliehen Gegen- 
stand buchst absonderliche Dinge äussern und aussprechen hurt, 
die selbst oft ftir neue ErOndungen gehalten werden, namentlich 
aber dann, wenn sie bei dem Unterrichte solcher jungen LiCiite, 
die als erste Anfönger in die Pforten der höheren Mathematik 
einzutreten versuchen, benutzt werden, nur zu deren totaler Ver- 
wirrung fi'ihren können und müssen, eine Bemerkung, welche min 
in einer Zeitschrift, die hauptsächlich auch der Forderung des 
mathematischen Unterrichts gewidmet sein soll, wohl verzahlieh 
finden wird. 

Ich selbst habe über den hier besprochenen GegeDstaod, sb- 
gleich seit vielen Jahren eifrig mit demselben beschäftigt, bisjetit 
gar nichts verüffentlicht, sondern habe mich im Archive auf Aft 
Mittheilung fremder, mir gütigst eingesandter Arbeiten über den- 
selben beschränkt, denen ich immer besonders gern einen Platz 
in dieser Zeitschrift eingeräumt habe, wovon ich auch feraerUR 
nicht abweichen werde. Die vorher erwähnten Erfahrangeiiatf 
andere Gründe veranlassen mich aber jetzt, nach und nach, weaip- 
rade der Raum nicht durch andere, insbesondere fremde Arbeiten 
in Anspruch genommen wird, die Resultate meiner Arbeiten über 
den fraglichen Gegenstand im Archive mitzutheilen und meine 
Ansichten über denselben darin niederzulegen, indem ich jetit 
mit der vorliegenden und der an diese in gewisser Rücksiebt 
sich anschliessenden nächst folgenden Abhandlung den Anfan« 
mache, dabei aber sogleich ihier ausdrücklich bemerke, das« 
der Inhalt dieser beiden Abhandlungen zwar nicht unmittelbar die 
sogenannten hiteralen Grössen angeht, aber doch insofern zo den- 
selben in näherer Beziehung steht, weil durch die in der vorliegenden 
Abhandlung entwickelte Theorie eben auch der Gebrauch der so- 
genannten, allerdings immer in ein gewisses Dunkel gebfilJten 
imaginären Grössen in völlig strenger Weise ersetzt, und dntch 
die nächst folgende Abhandlung sogleich eine bemerkensirertfte 
Anwendung dieser Theorie geliefert werden soll. 

Unter dem Namen „Quantites gcometriqaes" hat anck 
Cauchy, dessen Klarheit und unvergleichliche Strenge bei analyti- 
schen Untersuchungen wohl schwerlich jemals übertroffen werdet 
wird, mehrere sehr werthvolle Abhandlungen über die unter dem 



Grunert: Throrie der AegrUralenten. 



445 



.,ni< 

Ig;' 



Namen iroaginKre, nnrnüglicbe oder eingebildete (irÖBsen 
bekannten &ltcn FreoDde der Mathematiker geliefert. Noch vor- 
her aber, jedoch in demselben Bande der so vieles Schiitie ent- 
Italtendeni „Eiercices dAiialyae et de Physique malh^- 
matlniie. "Torae IV. Paris. 1847." hat er in der Ahhaffdiung: 
8ur la Theorie des eqiiival encea al^ribriques, 
Jiafastilu^e ä la Theorie des imaginaires" die Theorie und 
:h der iniaginSren Grüssen durch die „Theorie dea 
tiival«nces", wortir ich mich ira Folgenden des Wortes 
..AeiiuivalonEen" bedienen werde, zu ersetzen versucht, und 
iwar nach meiner Meinung, wenn aueh nicht in solcher Allgemein- 
heit wie durch die „Quanlit^s geomelriqucs'*. doch in einer 
na acbOneo, völlig elementaren und so strengen Weise, das« ich 
schon «eit Ifingerer Zeit dieser bei vielen analytischen Unter- 
auehuiigcn mit dem grUssten Nutzen in Anwendung zu ijrini;enclen 
Theorie, die von ihrem berühmten Urheber indess mehr dkizzirt 
als völlig ausgerührt nnrden ist, meine Aufmerksamkeit geuidniet 
und dieselbe weiter auszurühreii und auszubilden gesucht habe. 
Es ist meine vnllkommene Ueberzeugung, dass diese in ihrer 
(irundidee and ihren Grundlagen ganz von Cauchy herrührende 
und ihm allein gehörende Theorie in jeder Beziehung verdient, 
in die Wissenircbart und nantenllich nach in den malheniatischen 
Unterricht eingeföbrt und aufgenommen zu werden, und ich werde 
tnlr daher lunächst erlauben, derselben einige Abhandlungen, deren 
Anfang diese und die nächst folgende Abhandlung bilden, im 
^icbha zu widmen. 



Allgemeine VoranaaetzunB- 

Alle im Folgenden vorkommenden Zeichen bedeuten ganze 

male algebraische Functionen einer gewissen Grösse, die v/h 

I Allgemeinen durch i bezeichnen werden, coostante Grüssen 

Itllch nicht ausgeschlossen, welche als ganze rationale alge- 

! Functionen des Oten Grades von i zu betrachten sind; 

I «renn im Folgenden von Grössen gesprochen wird, so sollen 

raler immer ganze rationale nlgebraiecbe Functionen von i mit 

wchlnss constanter Grüssen verstanden werden. Die durch i be- 

tcbnete Grösse hat man als eine ganz allgemeine, jedoch vvllig 

bestimmte Grösse aufzulassen, der jeder beliebige bestimmte 

Werth beigelegt werden kann, so dass also im Folgenden alle 



■ y; 



446 Grunert: Theorie der Aequivaien%€n. 

Sätze uDabhängig von bestimmten Werthen von t oder für jedes 
t gültig sind« 



§2. 

Brklftmiii^. Zwei Grossen heissen äquivalent oder eio- 
ander äquivalent, wenn, natürlich in algebraischer AnffassuDg, 
ihre Differenz durch 1 -f t* ohne Rest theilbar ist, oder wenn 
1-f-t* in ihrer Differenz aufgeht; zwei Grossen dagegen, welche 
nicht in einer solchen Beziehung zu einander stehen, deren Diffe« 
renz also, natürlich in algebraischer Auffassung, durch 1 -}- 1* nicht 
ohne Rest theilbar ist, oder in deren Differenz 1 -|- 1' nicht aof- 
geht, heissen inäquivaleut oder einander inSquivalent 

Dass zwei Grossen äquivalent sind, soll durch das zwischei 
ihre Symbole gesetzte Zeichen ^:=^ bezeichnet werden; sind alu 
zwei durch P und Q bezeichnete Grossen äquivalent, so wA 
dieses Verhalten durch 

P^ Q 

bezeichnet, ein solcher symbolischer Ausdruck heisst ilbeihiDft 
eine Aequivalenz, und wird gelesen: „P äquivalent Q". 

Dass zwei Grossen inäquivalent sind, soll durch das zwischen 
ihre Symbole gesetzte Zeichen c^ bezeichnet werden; sind also 
zwei durch P und Q bezeichnete Grössen inäquivaleut, so wird 
dieses Verhalten durch 

bezeichnet, ein solcher symbolischer Ausdruck heisst überhaupt 
eine Inäquivalenz, und wird gelesen: „P inäquivalent Q". 

Anmerkung. Man wird hierbei an den Begriff der Zablen- 
congruenz in der Zahlenlehre und an deren bekanntes Zeichen den- 
ken, hat aber zu beachten^ dass hier, in der Theorie der Aequiv»- 
lenzen und Inäquivaleozen, die Auffassungs weise eine durchaus 
algebraische ist, so dass also keinesweges Beides auf ein ond 
Dasselbe hinauskommt. 

§3. 

Kusfttze. 1. Zwei gleiche Grössen sind immer Sqai' 
valent, oder aus P=Q folgt immer: 

P^Q. 



Gmneri: Theorie der Aegutvaienzen. 447 

Denn weil P^Q ist, so ist P~e=0, also natCrlich P— © 
durch l-ft* ohne Rest theilbar» und daher nach §. 2. 

w, z. b. w. 

2. Jede Grosse ist also immer sich selbst äquiva- 
lent, oder es ist immer: 



3. Wenn PisriQist, so ist immer auch — P'^s^ —Q. 

Denn weil P^:=:iLQ ist, so ist nach §. 2. die Differenz P-^Q 
durch 1+^ ohne Rest theilbar; also ist offenbar auch —{P^Q) 
= (— P) — (-Ö) durch 1+i« ohne Rest theilbar, und daher 
nach {. 2. , 

w. %• b. w. 

4. Wenn P^z::i Q ist, so ist immer auch — P ^z:i — Q. 

Denn weil Pc2:,Q ist, so geht nach $. 2. die Grüsse 1 -(- 1* 
in der Differenz P—Q nicht auf oder diese Differenz ist durch 
l-f-s* nicht ohne Rest theilbar; also ist offenbar auch — (P — Q) 
= ( — P) — ( — Q) durch 1 + i* nicht ohne Rest theilbar, und daher 
nach § 2. 

-P---Q, 

w. z. b. w« 

5. Wenn zwischen den von t unabhängigen und in- 
sofern also Constanten Grössen P und Q die Aequiva- 
lenz 

P^Q 

Statt findet» so ist 

P=Q. 

Wäre nicht P=Q, also nicht P — Q=0, so wäre die con- 
stante Differenz P—Q durch l+i^ nicht ohne Rest theilbar, es 
wäre also nach §. 2. 

was gegen die Voraussetzung 

streitet; daher ist 



448 Grüner t: Theorie der AeqtUtmtettten. 

P=Q, 

w. z. b. w. 

6. Aus der Inäquivalens 

Pc:-Q 

folgt immer 

P ungleich Q. 

Wäre P=zQ und also P- Q=0, so wSre P— Q durch Ht^ 
ohne Rest theilbar, also nach $. 2. 

was gegen die Voraussetzung 

p-:-e 

>streltet; daher kann nicht P=:Q, und es muss folglich 

P ungleich Q 
sein, w. z. b. w. 

{. 4. 

IielirsatB. Wenn gleichzeitig 

P=ß+p(l+i«) und Q^R + gO+i^) 

gesetzt werden kann, so ist: 

P^Q. 
Beweis. Weil nach der Voraussetzung gleichzeitig 
P=R+p(\+ii) und Q=:R + q{l+i^) 
gesetzt werden kann, so ist 

p-e=(p-y)(i +,•«), 

also P—Q durch l-|-t^ ohne Rest tbeilbar, und daher nach $.3* 

P^Q. 

w. z. b. w. 

§. 5. 

liebrsatz. Wenn niemals gleichzeitig 

P=:R+p(l + i*) und e = Ä+9(l + »«) 



ThRorlr der Kcquivalfmtn. 



D«\vels. Mab nelxe: 

P=r + />(l4f«). 

<Ko T ilen b«! der DIviHion von P durch I -f £■ bleibendeti R«Bt 
und also eine game rutionale algebraische Funclion von i beteich* 
n«l, welche hüchstens vom Isten Grade isL Eben so setze raun: 

Ö-r' + vd+i«). 

wo r' den bei der Divistou von Q durch l-ft* bleibenden Rest 
und alxo oine ganie rationale algebraiscbe Function von i he- 
letcfcuet, welche höchstens vom Islen tirade ist. Also ist 

/>_Q = r-r' + (p-?)(l !-<••), 
Dtid weil DUO nach der V'oraunselzuB^ niemals gleichzeitig 
P=ff + p(Hf) und Q=ß + v(l+f**) 

KeNcIxt Metden kann, so können im Vorhergehenden die Griissen 
r uud r' nicht einander gleich sein, -und es ist also r — r' eine 
niebl verschtvindenile ganze rationale algebraische Function 
von i, welche höchstens vom Isten Grade ist, weil nach dem 
Vorhergehenden r und r' von keinem höheren Grade sind. Wegvn 
d«r obigen Gleichung: 

/>-Q=r-r' + Cp-?)(l+«'') 
ist aUo die ganze rationale atgebrateche Function r— r', welche 
hSchstenii vom Isten Graile ist, der bei der DivisioD von P—Q 
Jtirch I -f >* bleibende Rest, und da dieser Rest, nie ivit so eben 
»ahen, nicht verschwindet; so gebt I + >* in P—Q nicht auf oder 
P—Q \Mi durclt I-) ii nicht ohne Res! theilbar, folglich ist nicli 

j. 6. 

Eirtm»ls. Wenn P^^Q ist, so Hast «ich jedor zeit 
(leicfaxeilig 

P=ft + p(| +i») und Q = ff + ,(I + i«> 



450 Grüner t: Theorie der Aeguivaientem. 

Beweis. Liesse sich Diemals gleichzeitig 

P=:ß+p(l+t«) uod Q=:R + q(l+iF) 

setzen , so wäre nach §. 5. 

was gegen die Voraussetzung 

P^ Q 
streitet; also muss sich gleichzeitig 

P^R+p(l+fl) und Q=zR + g(l+?) 

setzen lassen, w. z. b. w. 

Anmerkung. Man kann hierbei immer annehmen, dasi die ' 
ganze rationale algebraische Function R von t höchstens tos 
Isten Grade sei. Bezeichnen nämlich R und R' die bd Ar 
Division von P und Q durch 1-f-i* bleibenden Reste, so iti 
die ganzen rationalen algebraischen Functionen R und ß' hoek* 
stens vom Isten Grade, und es ist: 

Pz=R + p(\+fl) und e = Ä' + ^(l + t«), 
also : 

p-e = Ä-Ä'+(p-^)(i+i«), 

folglich, weil R — R' eben so wie R und R' hochstenft^ü^ 
Isten Grade ist, R — R' der bei der Division von P—Q dorclb 
l+P bleibende Rest. Verschwände nun dieser Rest nicht, oder 
wäre nicht Ä — ß' = oder nicht R=: R*, so ginge 1 + i* ^ 
P — Q nicht auf oder es wäre P — Q nicht durch 1 +i* oh«e 
Rest theilbar, es wäre also nach §.2.: 

P^Q, 

was gegen die Voraussetzung des Lehrsatzes 

Streitet. Daher können R und R' nicht ungleich sein, es ooss 
also R= R' , folglich nach dem Obigen gleichzeitig 

P=R+p(l + i^) und Q=z R + ff{l + at) 

sein , wo R der bei der Division von P und Q durch 1 -f-t* blei- 
bende Rest, also eine ganze rationale algebraische Function voo 
i ist, deren Grad den Isten nicht überschreitet; und dass Rimanot 
als eine solche Function angenommen werden kunne, war ebeo 
das, was oben behauptet wurde. 



erunert: Theorie der Aegutvaletne». 451 



§.7. 

Iielirsate* Wenn P^z:^Q ist, so lässt sich niemals 
gleichzeitig , 

P=zR + p(l+t^) und e=Ä + 9(I+i*) 
setzen. 

Beweis. Liesse sich gleichzeitig 

P=:ß + p(l+i2) und e^Ä + 9(l + i«) 
BCtzeB, so wire nach §. 4. 

was gegen die Voraussetzung 

streitet. Also kann niemals gleichzeitig 

P=Ä + /i(l+t«) und e = Ä + ^(l + i«) 
gesetzt werden, w. z. b. w. 

§.•8. 

KelursAta. Wenn 

Po^Q. Pi^Q 
tat, so ist: 

^o ^ Pi- 

m 

Beweis. Weil nach der Voraussetzung Po ^^=^ Q >st' ^^ 
Ifisst sich nach §. 6. gleichzeitig setzen : 

Po = «0+^0(1 + **) «nd e = Äo + 9(l + t'«); 

and weil nach der Voraussetzung P| !:=^ Q ist, so lässt sich 
nach §. 6. gleichzeitig setzen : 

Pi=zR,+p,(l + i^) und e = Äi + 7'(l+t^) 

Also ist: 

folglich durch Subtraction: 



«1- 



4 -^ 



. r??j 



452 Grunert: Theorie der Äequivaien%etu 

woraus sich ergiebt, dass Pq-^Pi durch l+i* ohne Rest theil 
bar, also nach 6. 2; 

ist, w. z. b. w. 

§. 9. 
Xiuate« Wenn 

Po^Qo, Pi^Qi 
und 

ist, so ist auch: 

Po ^ Pf 

Weil nach der Voraassetzung 

ist , so ist nach $. 8. 

Pi^Qoi 
und weil nun nach der Voraussetzung auch 

Po^Qo 

ist, so ist nach §. 8. ^ 

Po^Pi, 

w. z. b. w. 



§. 10. 
IielirflatK. Wenn 

Po^Qo. Pl^Ql. Pt^Qt Pn-l^Q-l 

ist, so ist: 

Po+Pi+P*+'- +P»-i^^Qo+Qi + Q*+--+Q»-i 



• 



Beweis. Wegen der Voraussetzung iSsst sich nach {■ & 
gleichzeitig setzen : 

/*o = Äo+/»o(l+t») nud Öo=«o + 9o(l + t'^, 
Pi = Bl+Pi(l+i^) „ Qi = Äi + 91(1 +«*•).. 

u. s. w. 
P«-i = Ä,_i + p«_i(l+t«) und e»-.i = Ä«-i + 9«-i(l+<^^ 



Orunert: TAeorie der Aeguipalenzen, 453 

also ist: 

and 

folglich Dach §. 4. 

w. z. b. w. 

f 

I 

§. II. 

üelurMkte. Wenn 

ist, 80 ist; 

Po-Pi^Qo-Qi- 

Beweis. Wegen der Voraassetzaug liest sich nach $. 6. 
gleichzeitig setsen: 

/>o = lfo+Po(I+«'^ uDd Oo=Äo+yo(l+<*), 
P,=Ä, + p,(l+»«) „ e,=Ä,+yi (!+,■«); 

also ist: 

Po-Pi = Ro-Ri + (Po-Pi) (1 + «■») . 
Ö„-e, = i?o-Äi + («0 -gi) (1 + 1*^; 

foiglicb nach §. 4.: 

Po-Pi^Qo-Qi. 
w. z. b. tr. 

üelureAta. Wenn 

Pi^Q±Qi 
ist, so ist immer: 

Beweis. Weil nach der Voraussetzung 

P^Q±Qi 



Kr..-^ 



454 Grüne ri: Theorie der Aeguivaienzen. 

und nach §. 3. 2. 

ist; 80 ist nach $i 11. und §. 10. 



also: 



w. z, b. w. 



PTÖlir^Q. 



{. 13. 
üehrsatB. Wenn 

ist, 80 ist: 

Beweis. Wegen der Voraussetzung iSsst sich nacb f& 
gleichzeitig setzen: 

Po = Iio+Po(.l + i') und Qo=Ro + 9o(l+^. 
P, = Ä, +p, (1+i«) „ Öl = «! + », (1 + ?); 

also ist: 

i'o'*! = Ä„ßi + (poßi + Pi Äo) (1 + »■») + PoPi (!+«'*)'. 

QoQi = ÄoÄi + (qoRi + yifi«) d + »"•) + Vo^i (l + tV> 

und es iässt sich daher gleichzeitig setzen: 

Po/', = /?oß. + t;>oßi +Pi ßo +PoPi (1 + »■«) I (1 + «*). 
<?o<?i = ßoß. +i9oßi + 7ißo + 7o9i(H-»*)l(l +«^; 

folglich ist nach §. 4. : 

PoPi^QoQi. 

w. z. b. w. 

Anmerkung. Wenn 

Po^Qo> Pi^Qi 

ist, 80 ist naturlich auch: 

Po^Qo, Qi^Pi; 

also nach dem Lehrsatze: 

PoQi^QoPi, 



\-'i 



Grünen : Theorie der Aegui9aien%en. 455 

%vas hier nor bemerkt wird, weil sieb durch diese Aeqoivaienz 
die Aequiiralenz 

^on der naturlich im eigentlichen Sinne keine Rede sein 
kann, als ersetzt betrachten iSsst 

§. 14. 

Soflate. Wenn P::^:^ Q ist, so ist 

nP i=:i nQ. 
Weil nach der Voraussetzung 

und nach {. 3. 2. « 

ist, so Ist nach {. 13. 

np^^ nQ, 

w. z. b. w. 

§. 15. 
Iielursata. Wenn 

Po^Qos Pi^Qif P%^Qt ft-i^C/«-i 

ist, 8o ist: 

P^P^ P^ .... P«-i ^ Oo Ol 0« . .-. Oi-i- 

Beweis. Weil nach der Voraussetzung 

Po^Oo. A^«i 
ist, so ist nach $. 13. 

PoPi::^QoQi 

Hiernach and nach der Voraussetzung ist: 

PoPi^QoQi. Pt^Q2. 

also nach §.13. 

PoPiPt^QoQiQ^ 

Hiernach and nach der Voraussetzung ist:. 



T 

456 Grunert: Theorie der Aeguipaien%en. 

also Dach §. 13. 

PoPiP^PB^QoQiQtQ* 

Wie man auf diese Art weiter gehen kann, ist klar, und m i 
also offenbar allgemein : 

PoPiP% ...• Pn^i ^ QoQi e« • -. 0—1. 

w. z. b. w. 

§. 16. 

Svsate. Wenn P::=fi Q ist und m eine positire fall 
Zahl bezeichnet, so ist: 

Nach der Voraussetzung hat man die folgenden Aequiraleiifli: 
P^Q, P^Q. P^Q, ... P::^Q; 
deren Anzahl m sein mag; also ist nach §. 15. 

ppp,...p^=:^QQQ.... e, 

folglich, weil die Anzahl der Factoren eines jeden der UUb 
Producte m ist: 

w. z. b. w. 

§. 17. 
EielursAtK. Wenn 

ist, so ist: 

P„±Pr^Qo± 0, 

und 

Pi ± Po <=^ Qi ± Qo 

Beweis. Weil nach der Voraussetzung 

Po ^ Qt, 

ist, so lässt sich nach §.6. gleichzeitig setzen: 

/*o = /'« + Po (»+«') und 0«=fto+9o(«+i*), 



Cruntri: Thfurle der Aei/ulralemi-n. 



457 



wobei sich uacb J. 6. Annierlcung Eugleich immer annehmen 
lässt, Hkss ilie Funclioti li„ Iir)chnten8 vom lalen Grade Ut, 

ihiet geschehen aoll. Weil ferner nach der Voransseliung 
en 
e» 



f ao läasl sich nach §. 7. niemals gleichzeitig 

/*! =ff|+P.(I+i') «nd ft = «,+r/,(l+i*) 
. man bann also nur gleichzeitig 
P, = Ä,+p,{I + und 0, = Ä, + /e,' + v.(l+i*) 
nen, <ng H^' uiemaU verschwinden kann, Icann aher natürlich 



. unetini«n, das» die Functionen /f, und li^ + Iff' hüchsten« 
vom Isten tirnde sind, ivnraus «Ich diinn von Kelbel ergiebt. dass 
I auch A|' büclistens vom Islen (frade sein kann. Aus den 
itafti Gleichungen ergiebl sich : 

P,. ± /*, = Ä„ + «, + (/»..ip,) (1 + •■'). 
I hGante man nun gleichxeilig 

p^±p, = R+p{i+i') und eo+e.^ff + '/tUP) 

, ao «rSre nach den vorsiebenden Gleichungen: 

Ä+,(l+i') = ffo± ff, +ff,' + (,o±Vi)(l + .■»): 
Mtnn man subtrabtri: 

(;'~V)(l+<"') = Tff,' +!(;»<.+/'.) -(Vol^i)! (! + »■'). 
iHch: 

Tff,' = i(p-9)-(Pü±;'i) + (7<ii:*i)Kl + 



Tfi,'=l(p-9)-(Po-7«)-T(;»,-9,)l(H«'»). 

t A,' nicht verschwindet, ao verechnindel auch 
lp-9) -(Pi.— ?o)T(Pi — ?i) 
dit, und 1 +t* gehl in l^ffi' auf, was ungereimt ibI, da diese nicht 
icbwindende ganze rationale algeliraische Function von t bOch- 
»ro Isten Grade ist. Also ist es unniügticb, gleichzeitig 

Po±/», = ff + p(l + i») und 0„±Q, = K+ 17(1 + 1*) 



l^M- 



458 Grunert: Theorie der Aequtüaietnen, 

zu setzen, oder es lasst sich niemals gleichzeitig 

n±''i'=ß + p(l+t'«) und Qo±Qi = iZ'f9(Ht'') 

setzen, woraus sich nach §. 5. die Infiquivalenz 

Po±Px^Qo±Qi 

ergiebt. Dass aus der Voraussetzung des Satzes auch 

Pi±Po^Qi±Qo 

* folgt, versteht sich mit ROcksicht auf §. 3. 4. nun von selbst, oid 
der Satz ist daher vollständig bewiesen. 

§. 18. 
XnsatB. Wenn 

ist, 80 ist immer 

Weil nach der Voraussetzung 

P^Q±Qt 

und nach §. 3. 2. 

ist, so ist nach §. 17. 

Pl'Qi^Q±QiTQt. 

also : 

PTQi<=^Q. 

w. z. b. w. 

§. 19. 

Iielirsats. Wenn das Product PQ durch 1 -f t* ohne 
Rest theilbar und der Factor P durch l-|-t^ nicht ohne 
Rest theilbar ist, so ist der Factor Q durch 1 + 1* ohne 
Rest theilbar. 

Beweis. Weil nach der Voraussetzung PQ durch 1+»* 
theilbar ist, so kann man 

1) P(? = ö (1 I- ?«) 

setzen. Nun setze man 

2) P=R+p(l+i^) 



1 



Gruneri: Theorie der Aeguivalemen. 459 

« 
Dd nehme an, da«« die ganze rationale algebraiacbe Fonetion R 
Ocbstens ^001 laten Grade sei^ wozu man natürlich jederzeit 
erechtigt ist; da nach der Voraoasetzung der Factor P durch 
-f t* nicht ohne Rest theilbar ist, so kann R niemals verschwin- 
en, ^Tcil nach 2), weon dies der Fall wäre, der Factor P durch 
-|-t* ohne Rest theilbar sein würde. Aus 2) folgt: 

3) PQ = RQ+pQ{l + i^), 

ind es ist also, wenn man diese Gleichung mit 1) vergleicht: 

Iso: 

4) ßQ = (5—pO) (!+»•), 

blglich RQ durch 1 -f t^ ohne Rest theilbar. Man setze nun : 

5) = Äi+Pi(l + t"«), 

ind nehme an, dass die ganze rationale algebraische Function Ri 
lochstens vom Isten Grade sei, wozu man natürlich jederzeit 
lerechtigt Ist, so ist: 

6) . ÄO = ÄÄi+piÄ(l+t«), 

ilso, wenn man diese Gleichung mit 4) vergleicht: 

(5 -/>«) (l +»•*) = ÄÄi + Pi Ä(l + 1**) . 
olglich : 

7) /2ßi = (ö-;ie-p,Ä)(l+i«), 

«'praus sich ergiebt, dass RRi durch 1 -f >"* ohne Rest theilbar 

st. Nach dem Obigen sind R und /2| im Allgemeinen von der 

«*orm: 

R = a + bi, /?i = «I +6ii; 
>o dass also: 

ÄB^ = (a + 6i)(ai+6|t) 

= aoi + (abi + 6fli)i + 66|i' 
== aa, —661 + (abi+öaiH + 661 (1+t«), 
bigltcb : 

^^ Li. . ggi — M| -f (abi+b ax)i 

rn* = *^i + Tf? 

it, ond es mus abo, weil nach dem Obigen 

! + «• 

Tbcil XLIV. 30 



460 Grunert: Theorie der Aequivalenten. 

eine ganse rationale algebraische FunGtion von t ist, atch 

aai — hbx + (fl&i + bai)i 
l + i« 

eine solche Function von t sein, oder es muss 

aoj — bbi + {abi-\rbai)i 

durch 1 -f ^ ohne Rest theilbar sein , was offenbar nur dann der 
Fall sein kann, wenn gleichzeitig 

aüi — Ml = 0, abx + 6«i = 
ist. Durch Erhebung dieser Gleichungen aufs Quadrat erhilt m: 

a%«^ 2a6aifti + b%i^ = 0, 

a«6i« + 2abaibi + 6«iii« = 0; 
also, wenn man addirt: 

oder: 

Folglich ist entweder a« + 6* = oder ai«+6,«==0. W"!« 
a^-(-6^ = 0, so wäre abgesondert a = 0, 6 = 0; also Mcbdto 
Obigen 

72 = a + 6t = 0, 

was nicht der Fall sein kann, weil bekanntlich R nicht verschwiD* 
det. Daher muss ii|*-f-6|^=:0, also abgesondert ii| =0, 6|=0; 
folglich nach dem Obigen 

Äj =: Aj + b^i = 

sein, woraus nach 5) folgt, dass Q durch l + e* ohne Rest theil- 
bar ist, w. z. b. w. 

§. 20. 

ZuBÜtKe. 1. Wenn das Product PQ durch l-ft^ohoe 
Rest theilbar und der Factor P eine nicht verscbn'i0- 
dende ganze rationale algebraische Function i^^ 
ersten Grades von i oder eine nicht verschwindende 
Constante ist; so ist jederzeit Q durch 1-f t^ obneRett 
theilbar. 

Weil unter den gemachten Voraussetzungen der Factor P 



Gruneril: Theorie der Aequitalenzen- 461 

offenbar darch 1 -f>* nicht ohne Rest theilbar ist; so folgt die 
Richtigkeit des Satses unmittelbar aus §. 19. 

2. Wenn P^ darch l-ft> ohne Rest theilbar ist, so 
ist P durch l-f-t* ohne Rest theilbar, oder, mit anderen 
Worten, wenn P*!^0 ist, so ist auch Pi=^0. 

Wenn P, als der eine Factor des durch 1 -f <* ohne Rest 
theilbaren Products 

P« =r PP, 

durch 1-f t* nicht ohne Rest theilbar wfire; so mQsste nach dem 
Lehrsatze P, als der andere Factor dieses durch l-f-t' ohne Rest 
theilbaren Products, durch l-|-t* ohne Rest theilbar sein. Bei- 
des iriderspricht sich einander, und es mnss also P durch \-\-i^ 
ohne Rest theilbar sein, w. z. b. w. 

Wenn auch das Vorstehende zum Beweise des obigen Satzes 
genügen dffrfte, so wollen wir doch, um keinen Zweifel zu las- 
sen, seinen Beweis im Folgenden noch besonders durchfuhren, 
weil dieser Satz von besonderer Wichtigkeit ist. 

Weil nach der Voraussetieung P^ durch 1 -f t' ohne Rest 
theilbar ist, so kann man 

1) P*= 5(1+1«) 

setzen. Nun setze man ferner 

2) P=Ä+p(l+i«), 

und nehme an, dass die ganze rationale algebraische Function 
R höchstens vom Isten Grade sei, wozu man bekanntlich jeder- 
zeit berechtigt ist. Wäre nun P durch 1 -f t^ nicht ohne Rest 
theilbar, wie wir einmal annehmen wollen, so konnte R niemals 
verschwinden, weil, wenn dies der Fall wäre, P nach 2) durch 
1-f t* ohne Rest theilbar sein würde, was gegen die Annahme 
streitet Aus 2) folgt: 

3) P« = iBP + pP(l + t«), 

also nach 1): 

5(1+1«) = ÄP + pP(l + t»), 
und daher 

4) ÄP=(5-pP)(l + t«), 

also, weil nach 2) 

/2P-iß« + pl2(l + t«) 

ao* 



462 Grunert: Theorie der Aegui^ahnMem. 

ist : 

Ä« + pÄ(l + t«)=:(S-pP)(l+<*), 
folglich : 

5) iB« = (5— f/P-pÄ)(l+t«), 

also R^ dorch 1 -f >* ohne Rest theilbar. Nach dem Obigen iif 
non im Allgemeinen 

iZ = a -f 6t, 

folglich 

/2* = a<-f2a6t<h6<t> 

= «a— 6« + 2a6t+6«(l + t«), 



und daher 



ß* t^^ . a«— 6«+2a6t 
= 6' + 



l + t»~" ^ 1 + t» 

also, weil nach dem Vorhergehenden 

R^ 

eine ganze rationale algebraische Fanction ist, auch ^ 

1 + t-* " 

eine solche Function, oder 

durch 1 -f t* ohne Rest theilbar, was offl^bar nur dann der FaH 
sein kann, wenn gleichzeitig 

fl« — 6« = 0, 2a6 = 

ist Durch Erhebung dieser Gleichungen aufs Quadrat erhilt nao: 

a*— 2a«6«+64=:0, 
ia%^ = 0; 

also durch Addition : 

a* + 2a26* + 6* = (a« + 6«)« = 0, 

daher a« + 6* = 0, folglich abgesondert a =0, 6 = 0, also Bicfc 
dem Vorhergehenden /2 = 0, was nach dem Obigen nickt der 
Fall sein kann. Daher ist die Annahme, dass P durch l-f? ] 
nicht ohne Rest theilbar sei, falsch, und P ist also durch 1^9 
ohne Rest theilbar, w. z. b. w. 



erttHert: TAearie der Aegutvaiemen. 463 



5. 21. 

lieltrsata. Wenn PaziQ uod 77 durch l-|-t* nicht 
hne Rest theilbar ist, so ist 



J7P ^iTi 770. 
Beweis. WSre 

npw JIQ, 

ü wSre die Diferenz 

nP-77Ö= J7(P— Q) • 

urch 1-ft* theilbar, und es müsste also, da oach der Voraus- 
etzung 77 durch 1 -fi* nicht theilbar ist, nach §. 19. die Dife- 
im P^Q durch vi + 1* theilbar , also nach $. 3. 

Bin, was gegen die Voraussetzung 
trottet. Also kann nicht 

np^n^nq 

»n, und es muss folglich 

77P/=-77e 
Bin , w. z. b. w. 



$. 22. 



Iielinato« Wenn ÜP^^IIQ und 77 durch 1-ft* nicht 
heilbar ist, so ist 

P^Q. 
Beweis. Wäre 

> w&re, da nach der Voraussetzung 77 durch 1-f i* nicht theil- 
ar Ist, nach §. 21. 

77P /ZN 77Ö, 



as gegen die Voraussetzung 

77Pi-:7TQ 

reitet. Daher kann nicht 



464 Cruneri: Theorie der Aequitalenzefu 



sein 9 und es muss also 
sein, w. z. b. w. 



Q 



§23. 



Sasata. Die beiden vorhergehenden Sätze geltei 
offenbar inimer^ wenn 11 eine nicht verschwindendi 
ganze rationale algebraische Function des ersten Gra- 
des von t oder eine nicht verschwindende Constante ist 

FGr J7= — 1 folgt also aas §.21., dass, wenn 

Ist, immer auch 

-P^-Q 

ist. 

§. 24. 
Ijebrsats. Weno 

i* + e + Ä + A + .. . is: l^+ F+ W + Jif + .... 
und 

P^P", Q^Q', R^R', S^S',....; 
V^V, V^V, W^W, X^X',.... 
ist; so ist auch : 

P' + Q'-¥R' + S' + ....^V'+ V'+W + X'+.... 
Ben- eis. Weil nach der Voraussetzung 

Pir^iP, Q^Q', R^R', S^S',.... 
ist, so ist nach. §. 10. 

!)• . P+Q+R+S + ....^P' + Q' + R' + S' + .... 
Weil nach der Voraussetzung 

ü^v, r^v, w^w, x^x',.... 

ist, so ist nach §. 10. 

2) ... V+V+W+X-{-....^ü'+r'+W' + X'+... 
Nun ist aber nach der Voraussetzung 



Grüner t: Theorie der Aequivaienten. 465 

iso wegen der Gleichangen 1) and 2) nach §. 9. 

'. Z. b. IT. 

S. 26. 
Snflfttae. I. Wenn 

P+Ö+Ä+S+ ... = ü+ F+ IF+ J¥+ .... 

Bt, SO ist natürlich (§.3.1.) auch 

/^+Ö + Ä+Ä + ....^ 17+ F+ IF+Z + ...., 

olglicb anter denselben Voraussetzungen wie im vo- 
igen Lebrsatze: 

P'+Q' + Ä' + S'+....wl7' + F'+?F' + J¥' + .... 

2. Wenn 

P:-i:ü+F+?F+Z+...., 

der auch wenn 

P= C7+ F+JF + 2:+...., 

nd wenn ausserdem 

v^u, v^r, w^=^w, x^x',.... 

st; 80 ist: 

Dies folgt unmittelbar aus dem Lehrsatze tfnd dem vorher.* 
shenden Zusätze, wenn man die Grossen Q, R, iS, .... ver- 
shwinden lässt, und bedenkt« dass nach §. 3. 2. 



3. Wenn 
A+QOi + ÄÄi+SSi + ....:-:üüi+FF| + IFIFi+.XJf,+.... 
id 

P^P*, Q:::=^Q\ R::^R'. Ä:-i5',....; 
Pt^p/, Qi^Qi', Ri^Ri'. St^Si',,...; 



466 Grunert: Theorie der Aegutpaietnem, 

80 wie anch 

Ü^-^O', V^=^V', IFv=ifF', jr!-fX'..^; 
üi^üi', F|!-^F.% IFi:-ifFi'. Zi^JTi'..... 

ist; 80 i8ts 

Denn weil unter den Voraaesetzungen des Satzes nach §. II 

PPiisfP'P,', 00,!-:0'0i', ÄÄi^WÄi', ÄSi^S'SiV. 
Uüi:^ü'üi', VV^^^V'V^', ?F>F|^lf'»Fi', JTJri^r^'IiV 

ist; so folgt der Satz unmittelbar aus §. 24. 

Bemerkung. Dass man hier und in §. 24. an die Stelle iii 
Zeichen -f auch die Zeichen — setzen kann , versteht «cb «cIhi 
nach $. 3. 3. von selbst. 

§. 26. 
IielirsatB. Wenn 

ü+ l7iP+ ü»l»+ 17,JP« + .... + f7„P" 

^ F+ F|0 + F^Q« + F,Q» + .... + FmQ- 
und 

ist; so ist auch : 

^ F+ FiQ,+ F.Qi«+ F3Qi»+.... + F«.©,«. 
Beweis. Weil nach der Voraussetzung 

ist, so ist nach §. 16. : 

P ^Px. 

P» wp,», 

n. 8. w. 
P»i=::P," 
also nach §. 14.: 



Grumerl: Theorie der Aegutvaletnen. 467 

üi=i ü. 
OtP ^ Ü,P„ 
t7,/» w f7,Pi«. 
i;,P»^C7,P,«, 

u. s. tv. 
ünf^ünPt'; 

folglich nach $. 10. : 

I). . . . ü+J[7,P+ü,P«+t75i»+.-.+ C7.P" 

i=i ü+ Ü,P, + Ü,P,« + Ü,P,» + .... + P,P,-. 

Weil ferner nach der Voraussetzung 

ist, so ist nach §. 16.: 

Q ^Qi. 

n. 8. w. 

also nach §. 14.: 

Fi=i F, 

F,e -=iF,e,. 
F,e« b=i F,e,«, 

F,e» -i F.Qi«, 
u. s. w. 

FmQ":=r FmO,"»; 

folglich nach {. 10.: « 

2). . . . F+FxQ+F,e«+ F,Q\+....+ F„Q" 

^ F+ F,Q, + F,e,«+ F,e,«+ .... + F^Q,-". 

Weil nun nach der Voraussetzung 

l7+P,P+r7aP»+ t7,P» + ....+ l7,P" 
i=i F+ F,e+ F,e«+ F,Q»+.... + F«Q" 

ist, so ist wegen der Gleichungen 1) und 2) nach §. 9. 

ü+ ü,Pi+ V^i*+ t7,Pi»+... . + Ü«P," 

i=i y+ yiQi+ v%Qt*+ F,Q,«+ .... + F,o,«, 

w. z* b. w. 



t 



468 Grunert: Theorie der Aegv/taleHoen.' 

§.27. 
Znflfttse« 1. Wenn 

■ 

ü+ ViP+ C7,f»+ ü, p» +....+ r,p» 

= F+F,e + F,Q«+F,e» + ....+ F»Ö- 

ist, so ist natQrlich (§.3.1.) auch 

17+ üi P+ C7aP« + Ü3 P» + .... + 17, P» 

isi F+F,e+F,<2«+F,Q» + ....+ Fmö", 

folglich nnter denselben Voraussetzungen wie im rt- 
rigen Lehrsatze; 

ü+ UiP^ + P,Pi»+C7,P,«+. + t7«P,- 
^V+ViQi + F,Q,«+ Fj ö,» + .... + F„Q,". 

2. Wenn 

t7w F+F,Q+F,Q«+F,e« + ....+ F«Qf. 
oder aoch «renn 

ü= V+ViQ+ F,Q»+ F,e«+ .... + F«Q-, 

und wenn ausserdem 

ist; so ist: 

Dies folgt unmittelbar aus dem Lehrsatze und dem vorher- 
gehenden Zusätze, wenn man die Grösse P verschwinden lässt. 

3. Wenn überhaupt F{P) eine ganze rationale alge- 
braische Function von P, so wie auch 0(Q) eine ganze 
rationale algebraische Function von Q, und 

F(P) w <p«j), 
oder auch wenn 

F(P) = «(Q), 

und wenn dann ausserdem 

P^Pi. Q^Qi 

ist; so ist jederzeit: 



Grnneri:^ Theorie der Aequipaien%en. 469 

Dies folgt unmittelbar ans dem Lehrsätze und dem ersten 
Zusätze 5 wenn man sich die ganzen rationalen algebraischen 
Functionen 

F{P) und Q>(Q) 

respective nach den positiven ganzen Potenzen von P und Q ent- 
widcelt denkt. 

$. 28. 

lielursafB« Wenn ffir jedes t, also unabhängig von 
besonderen Werthen von t. 



ist, ond At B\ A\ B* constante GrGssen sind; so ist 

A^A, B — B' 

oder ffir jedes t, also unabhängig von besonderen Wer- 
then von i: 

A\Bi:=zA\Bl 

Beweis. Weil wegen der Voraussetzung nach §. 2. die Dif- 
ferenz 

{A + Bi) — {A' + B'i) 

oder 

A'^A'\{B'-B')i 

dorcb 1-f i> ohne Rest theilbar ist, die Grossen A^ jBund A\ B'y 
also auch A — A' und B — B ^ aber Goustanten sind, folglich 

A — A'-\-{B^B')i 

eine ganze rationale algebraische Function des ersten Grades 
von i ist; so muss f3r jedes i, oder unabhängig von besonderen 
Werthen von t, 

sein. Wäre nun nicht 

so würde aus der vorstehenden Gleichung 



1/ 






t 

470 Grüner t: Theorie der Aequivalenxen, 

folgen, wo der Bruch 

eine endliche völlig bestimmte Grösse ist, und es würde daher 
nur für diesen einen völlig bestimmten Werth der Grosse t die 
Gleichung 

erftillt sein, da wir doch aus dem Obigen wissen, dass diese 
Gleichung fBr jedes t oder unabhängig von bestimmten Wertfaen 
von t erfüllt sein muss. Daher ist es falsch, dass nicht 

Ä— i?' = 

sei, und es muss also 

Ä - 1?' = 

sein, was dann ferner wegen der Gleichung 

unmittelbar zu 

^ — ^' = 

fiihrt. Es ist also gleichzeitig 

oder gleichzeitig 

A = A\ B=zB; 

also für jedes i oder unabhängig von besonderen Werthen von t: 

A + Bi=A' + B'i, 

w. z. b. w. 

§. 29. 
Iieltrsats. Für jede positive ganze Zahl n ist: 

i*-i=-:+l, i^^^::^ + i, t*"+2w — 1, ,'411+3 s^ _ ,-. 

Beweis. Wenn n eine positive ganze Zahl ist, so ist die 
Grosse 

(- 1)« — t»" 

stets durch 1-ft* ohne Rest theilbar, was auf folgende Art !« 
bewiesen werden kann. 

Wenn n eine gerade Zahl ist, so ist: 






Srunert: Theorie der AeqHieaien%en. 471 

und wenn man non die Gronse 

1— i« + t*-i«+ .... +(Ä(«-2) — ,-«(»-1), 

wobei man za beachten bat, dass n-^l eine ungerade Zahl i8t, 
mit 1,+^** multipliclrt ; so erhält man als Product die Grösse: 

1 — i« + i*— t« + .... + t^C«-*) — »2(«-i) ) 

= 1— i««, 

+ t«— f» + I« — .... - f2(n-.«) ^ ,•»(«-!) _ j-Si. ) 

woraus sich also ergiebt, dasn 
oder nach dem Obigen 

^ ^' ^ = 1 — t« + l* — l« + .... + i2(i«-ti)_,-2(n-l)^ 

also die Grosse 

(-1)» — f2« 

durch 1 -|- j* ohne Rest theitbar ist. 

M^enn n eine ungerade Zahl ist, so ist 

und wenn man nun die Grosse 

wobei man zu beachten hat, dass n — 1 eine gerade Zahl ist, 
mit 1 -f i* multipliclrt; so erhält man als Product die Grusse: 

+ it.. i* ^. {6 « .... + ,-2(«-2) _ ,-2(n-l) 4. p« J 

woraus sich also ergiebt, dass 

oder 

I ~ =—14- »»-><*+ f +,'S(«-i)_i«(«-i), 

folgBch nach dem Obigen: 



472 Grunert: Theorie der AequHfaieH%en, 

daher die Grosse 

durch 1-ft^ ohne Rest theilbar ist. 

Hiernach ist also 

(— 1)« — «a» und naturlich auch »*• — (— !)• 
imiper durch l-|-t* ohne Rest theilbar, wie behauptet wurde. 

Also ist nach §. 2. : 

1) 2«"W(— 1)« 

Nach §. 3. 2. ist : 

2) i^^U 

folglich nach §. 15. aus 1) und 2) durch Multiplication : 

3) i*«+»:-:(-l)"t. 



Setzt man in der Aequivalenz ]) die gerade Zahl ^ Ür •> 
so erhält man: 

»>:^(— 1)«", 

also : 



4) i*« :-^ H- 1 ; . 

und setzt man eben so in der Aequivalenz 3) die gerade Zahl % 
für n, so erhält man: 

also: 

5) i*«+» ^^ + t. 

Setzt man in der Aequivalenz 1) die ungerade Zahl 2n-|-l 
für 72, so erhält man: 

also: 
6). . . .' i4'«+2w_i, 

und setzt man eben so in der Aequivalenz 3) die ungerade ZiU 
2n-fl für fiy so ergiebt sich: 






r 



Grunert: Theorie der Aeguipoiemen. 475 

also: 

7) tto+8 w _ ,-. 

Nach 4)— 7) Ut also: 

w. s. b. w. 





§. 30. 


SnsatB. Setzt man 


in den Formeln des vorher- 


gehenden Lehrsatzes fü 


r n nach und nach die Zahlen 


0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,....; so erhält man die folgenden 


Aequi?alenzen: 




P 


--+1, 


i» 


^ +»% 


i« 


--i. 


1» 


— — *» 


1* 


^+1, 


t* 


^ +«, 


iP 


— """ ■ » 


F 


■ ~~* '» 


i« 


^ +1. 


1« 


^ + f. 


,•10 


^21 ■"" 1 ff 


i" 


- "^ * t . 


U. 8. W. 



§.31. 

BIbIi^ ABwendanireii der allyemelnen Theorie der 

AeqnlvaleiiBeii. ^ 

Wenn auch die nächst folgende, an die vorliegende Hich un- 
mittelbar anschliessende Abhandlung eine nach meiner Meinung 
besonders wichtige und merkwfirdige Anwendung der allgemeinen 
Theorie der Aequivalenzen» so wie dieselbe im Vorhergehenden 
entwickelt worden ist, enthalten wird: so will ich doch schon 
hier auf einige einfache Anwendungen derselben anCnierksam machen. 

1. Es sei: 



474 Gritnert: Theorie der Aeguivaienten. 

Weil nun nach dem vorhergehenden Paragraphen 
i«^+l, i»:-^ + i', i«i^-l, »»^-», 1*^+1. i»i=i+t,^; 



ist, 80 folgt nach §. 25. 3. aus der vorstehenden Gleichnng jeder- 
zeit leicht die Aequivalenz : 

also die Aequivalenz: 

Man braucht nSmlich, uro §.25.3. anzuwenden, nur 
Uq + Uii-i- u^i* + .... ^^ «0 + «ii+tiat* + .... 

undy indem man fSr Uq, ?I|, u^,.... diese sich selbst äqoifal» 
ten Grossen setzt, für i^, i^, i^, t*, i^, t^,.... links diese liek 
selbst äquivalenten Grossen, rechts die diesen Potenzen Iqai* 
valenten Grössen +1, +t, — 1, — t, +1, +i, —1, — i,^.. « 
setzen. 

2. Durch Multiplication ergiebt sich sogleich : 

(a+/5i)(y+Ji) == ay+(a8-^ßY)i + ßdi^, 
folglich nach 1.: 

{€t + ßi)(y+öi) :-! ay- ßd+{adi-ßy)u 

3. Setzt man hierin y=a, d^ — ß; so ist: 

folglich : 

{a+ßt)(a^ßi)^a'^ + ß2. 

4. Setzt man in 2. fiir ß, 8 respective — ß, —d; so erhält 
man: 

(a— jSi) (y-'di) :-: ay^ßd^(adi-ßy)i. 

5. Aus den beiden in 2. und 4. erhaltenen Aequivalenzen: 

(a+ßi)(y+8i) w ay-/JcJ+(ad+j5y)i, 
(a-/3i)(y-Ji) ^=^ ay'^ß8-'(a8-{-ßy)i 

folgt nach §. 15. durch Multiplication: 
Nun ist aber nach §. 30. 



Grunert: Theorie der Aeguivaienxen, 475 

t«:-f — 1, 
Iso nach f. 27. 3.: 

(«•+j8«)(y«+a«) w («y-|J^«+(«Ä+/5y)« 

7eil nnn aber die Grössen auf beiden Seiten des Zeichens der 
.equivalenz von i nnabhSngig, insofern also constant sind; so 
it nach §. 3. 5. : 

6. Setzt man in 2. 

asGosoTy /3 = sind;; )r = cos^, ^ = 8in^; 

erhält man: 

(cos :r -|- 1 sin x) (cos ^ -f > sin ^) 
^::fleosarco8^ — sinarsin^ -f t(cosj;siny-f sin^rcos^), 

so nach der Theorie der Kreisfunctionen : 

(cosd: -f tsin:r)(cos^ + isiny) '^^=^ cos(x -4-^)-|- tsin(d:+^)* 

Weil nnn nach §. 3. 2. 

cosz 4- tsinx :^rco8z 4- 1 sini 

t, 'so ist nach §. 15.: 

(cos X + 1 sin x) {coBy + tsiny) (cos z + tsin i) 
^=^ [ cos (x +f/) + tsin {x +y) | (cgsz + tsin 2) : 

acb dem vorher Bewiesenen ist aber: 

{ cos (x +y) + 1 sin (x+y)] (cos z + 1 sin 2) 
= cos(a: + y + 2) + tsin(a:+y + i), 

Iso nach $• 8. 

(cosj?-|- tsina:)(cos^ -f tsin^) (cos z -f tsin z) 
:^ C08(ar +y + z) + tsin(ar + y + z). 

Ferner ist nach $. 3. 2. 

eoBu-i-iainu :^ costi-f tsinti, 

Iso nach {. 15. : 

(cos:r-f isino;) (cosiy -h^'siny) (cosz-f tsin^) (costi-f tsinti) 
::^(cos(a:+y + z)+tsin(a?+y+z)|(costt+tsinti); 

ach dem oben Bewiesenen ist aber: 

Th«il XLIV. 31 



1 

l 



476 Gruneri: Theorie der Aequivalenzen, 

{ cos |[a: + y + 2) + 1 sin (a: + y + 2) I (cos u + »sin u) 
^iT co8(a: +y + 2 + 1«) + isin (a: + y +2 + «), 

also nach §. 8. : 

(cos X -f t sinx) (cos^ .\ tsin^) (cos 2 -f zsin 2) (cos u -f t sin m) 
:^ cos (o: +y + 2 + tt) + isin (a? + y + 2 + 11). 

Wie man auf diese Art weiter gehen kann» ist klar, uods 
ist also Oberhaupt: 

(cosar-f tsina;)(cos^-f<sin^)(cos2 -f isin2) .... (costo-f ^sio«) 
^=:^ cos (o: + y + 2 + .... + tt?) + i sin (ar +^ + 2 + .... + tr). 

7. Setzt man in dieser letzteren Gleichung 

und bezeichnet die Anzahl dieser Grossen durch n, woibi 
eine positive ganze Zahl bezeichnet, so erhält man aos&üe 
folgende merkwürdige Aequivalenz: 

(cosar + isina:)* ::::ii cos na; + t sin na;. 

8. Wir wollen 5 indem l eine positive ganze Zahl bezdcboct: 



und 



^^='+i»+r2»^+r2:3''+-+r--(2T+i)^ 

ar* a:* a;* a:*''- 

^^=*~i.2+r:::4~r:6+ • •"'■^"'^ 17:^21' 

a: *r' a?* a;^ x*^* 



(2A+J) 
setzen ; so ist nach 1. : 

K ^^ 1 ^* 1 -^ ^* t 1/1x3 a:«^ 

"*"li~i.2.3+i....5""n::7+-+(~'> -177(21^ 

also in der eingeführten Bezeichnung: 

EA^a + ÄA.i. 

Lässt man nun k in's Unendliche wachsen, so ist nach dea ^^ 
ren der reinen Analysis in völliger Allgemeinheit: 

L\mEx=: e^^, LimCA = cosar, LimiSA = 6in^: 



GrUnert: Theorie der Aeguivaienzen. 477 

• 

biglich ist für ein in's Unendliche wachsendes il von der Acqui- 
^alenz . 

Ex:^Cx + Sx.i 

lie Gränzäqnivalenz : 

ßix \^ cos a;-|-t sind:. 

Setzt man bierin — x für x, sb erhält man die (>ränzliqui- 

ralenz: 

c"'-' ^:=:^ cosa: — tsin:r. 

Aus den beiden vorstehenden Gränzäqoivalenzen erhält man 
sacb §. 10. und §. 11. die beiden GrSnzäquivalenzen : 

e»'+e-''' ::=^ 2co8X, c« — e-«'v-^2tsina:. 

9. Nach dem Binomischen Lehrsatze fiir positive ganze Kx- 
ponenten ist fiir ein positives ganzes n mit Anwendung der ge- 
(vuhnlichen Bezeichnung der Binomial-CoeflScienten : 

also nach 1.: 

(a + ÄO« :::=^ d» — wa a"-2 6« + n^ a»-* 6* — w^ «»-« 6* + .... 

10. Setzt man in dieser Acquivalenz 

a = coso:, b — - sin.r ; 
so wird dieselbe: 

(co8a;-f tsio^)* :^=^ cosj?"— njcosa:»«~*sina:*+w4cosa:"-""*siii./:*— .... 
+ (»j cosa*-*sina: — ii3C0sa?"~'sina:'+WftC0sa:"— ^fiiin.r^....). 

Nach 7. ist aber: 

(cos:r+ isin.r)" :^=^ coswa: + isin»w:, 

and daher, \Tenn man diese Aequivalenz mit der vorhergehenden 
rergleicht, nach $. 8.: 

zosna+isinna: ^^ coso:"— W4Cos.T'«-^sina:*+w*cosA«-*sina:'*— .... 
+ (iiiCOSJ:"--*sin:r — «3 cos a:"-' sin a:' + Wft cosa:"-* sin ;r'^. ...)/, 

voraas sich nach §.28. die beiden anderweitig bekannten Gleichungen 

iosnx = cosa:" — n4COsa;"-*sina:*+W4Cosa:"-*sina:* - ...., 
tintta; = MiCosa;"-*sina:— fiacosajw-'sinar'+wjcos^^-^sin^r*--... 

ergeben. 

31» 



.» ►■ 



478 Grüner t: Neuer Beweis 



Neuer Beweis eines wichtigen und merkwürdigei 

arithmetischen Satzes. 

Von 

dem Herausgeber. 



In der M^caniqne analytique. Tome II. NoifC 
öditioo. Paris 1815. p. 216. kommt der folgende &* ' 
ohne dass Lagrange einen eigentlichen analytischen BiMb ^ 
denselben giebt: 



Wenn 



und 



ist; so ist immer: 



und: 



a« +6« +c« =1, 

aoi +66, +cci = 0, 
aifla+6i6a+c,Cj = 0, 
n^a +626 -\-c^c =0 

a* + a,« + V=l, 
6* + V +62«=!, 
c* + Ci* + Cj* = 1 ; 

06 + 0161+0262 = 0» 
6c+6iCi +62C2 = 0, 

€0 + C1O1 +€402 = 0. 



tlnn tdehiisen und wfrkiriirdiyeH nrUkmtUtchen Sai 



Aucii in lier Abliandlung: 
*iiie ilti mounenieiil ile r« 
lelconqoe qui n'est anin 
trice, iliemnn In den Mouv 



uv«lle Bolulion du pco 
nn (l'un corps de rigiir< 
ar auGune force accel*«! 
[ Mdmo'rree de rAcadtf-l 
le Royal« des sciences et belles-lettrea. Ann*« ! 
UCri.XXIII. Berlin MnCCLXXV. p. 85. findet, «lachl La- j 
ange vielfach vori diesem tvichtigen und merkwürdigen Salze | 
sbrauch. Einen rein analytischen BeiTeia desselben hat zuerst ] 
»JHeon gegeben in der Correapondaiice sur Tecole Im 
■tolepoIylechnii]ue. Tome p retnier. Paris 1813. p.-237., ] 
H^m faurz zuvor in demselben Joiirnat p. '211. Monge einen | 
^m« gegeben hatte, der nn geomotrinche Belrachtungeii 
Icallesst, an die ninn bei diesem (iegenstande natürlich i 
Id durch die 'Iheorie der VerHandlutig der (Tunrdinulon erin- 
rt wird. Endlich bat nuch Gergonne einen an diese Theorie 
^ mnschliesacnden Be^>eis in den Aonales de Mathrima- 
fn pnrvs et appiiquees, Tome XIX. Nismes 1828 
p. IK6, — p. 327. gegeben. 

bbne «of weitere Erürterttngen hier mich einlasaen zu kün- 
[.Will Ich doch nicht unterlassen zu bemerken, dass die 
Jüchen vorher erirahnten Entivickelungen, selbst der retn 
■•die Beweis von Poisson^ tvenn derselbe auch von Gor- 
I „one dömonstration Tort elegante" genannt wird, nicht 
ueii, [Dir Manches z\i tvünschen übrig au lassen sehei- 
' Beionders nber scheint mir die Nothtvcndigkeit einei 
reo und neuen ÜarsleMung dieses ganzen Gegenstandes in ■ 
ezng aof fenisNe uns dem nhigen Salze zu ziehende Cnnse- J 
icnxen, von denen späterhin Heiter die Hede sein wird, hervor- 
treten tjnd sich geltend eu machen. Eine solche neue Uarelel- 
is im Folgenden xn geben, ist der Zweck der vorliegenden 
ihandtuiig, wobei ich gleich hier im Allgemeinen bemerken will, 
BS nlle im Folgenden angefi'ibrten Paragraphen Ach ohne Aus- 
hnie auf die uninillelbar vorhergehende Abhandlung beziehen, 
ts daher späterhin nicht weiter bemerkt werden wird. 



U. 

fnter allen im Folgenden vorkommenden (iriissen hnl man 4 
I Allgemeinen ganze rationale algebraische Functionen derf 
kgen tiriisse i zu denken, wobei ribrigeoB natürlich i 
, Ofnssen nicht an!<geschlo8san werden, und bann unter ' 
\ Voniistietcuog dann aufstellen folgenden 



4>^ Grüner t: Neuer Beweis 

Iieltrsats. ' 



W e I) n 






und 



a«! -{-öbi +CC| ^=:lO, 
«1 «2 + ^1^2 + ^1 ^a ^^=^ , 
02« + b^b + €20 :^=^ 

ist: so ist immer auch: 

und 

«6+ Qibi + 0362 bii^ 0, 
6c + 6|Ci + 69C2 ::=il 0, 
ca-{- CiCj + c^a« >^ 0. 

Beweis. Mittelst gewöhnlicher elementarer Rec^MDgei 
überzeugt man sich sehr leicht von der ganz allgemeineo M%' 
keit der folgenden Gleichungen : 

Ü. 

(«13,-/5«,)* = («*+^Hy*)(«,*+ft*+yi*) 

_(„2 + ^2 + y2)y^2_(«^2+^^.2 + y^2)y, 

(^y, -yl3,)* = («*+|3*+y^)(«,*+ft*+yi*) 

— (oa, + j3|?, + yYi) (— «o, + j3j3, + yj-,), 

— (otai + jS/Ji + yy, ) («o, — /?/?, + yy, ). 

Addirt man diese Gleichungen zu einander, so erhalt man ^k 
Ciieichung: 

». 

(aßi - ßa, )* + (|Jy, - yft)« + (y«, - «y, )« 

- («*+ ^+y«) («,M- (3,*+y,*) - (««, I ßß, + yy,)*. 



etnei wichtigen und merkwüidigen arithmettschen Satzes, 48 L 

Ferner überzeugt man sich mittelst gewöhnlicher elementarer 
Rechiinngen auch sogleich von der ganz allgemeinen Galligkeit 
der folgenden Gleichungen : 

(oft— /Jo,)(/Jy, -yjS,) 

= («yi+y«i)(««i+/»A+)7i)-y«(«i'+ft'+)'i')-yi«i(«*+/3'+y'). 

(|Jj,,_yft)(y«,_aj,,) 

= ifiax-^it^in««! +/»A+y}'i)-«^(«iHft»+yi*)-«ift(«H/3*+y*), 

(yo,— 0)',)(«ft— |Jo,) 

= (yA+/»yi)(««i+/»A+yy,)-/Jy(a,HAHyi«)-Ayi(«H/3*+y«)- 

Wegen dieser Gleichungen haben wir nach §. 3. 1. die fol- 
genden Aeqniralenzen : 

A. 

(aft -/»«,)» ^ (a« + /?• + y«) (a,«+ ft« + y,«) 

- («* + ^+y*)yi*- («i*+ AH yi')y* 

- («Ol + /Jft + yy,)(ott, +/Jft — yyi), 

(ßri-^Yßi)*^ («H/J* + y«)(«,« + A*+yi«) 

- («H/J« + y«)«,*-(«»«+AHyi«)«* 

- (««, + ßß, + rn)(— ««I + ßßi 1 y/i) . 

(y«i -«yi)« ^ («• + ^ + y*) («i« + A' + n») 

-(«»+|S«+y*)A»-(«i»+A»+yi«)^ 

- («a, + /Jft + yj-iXaa, -/Jft + yy,). 

ß. 

(aft -|J«,)» + (ßy, -yft)« + (ya, - ay,)» 

i=^ («H/J» + y*)(«i* + A» + yi *)-(««! + /»A i yyi)*- 

c. 

(«ft-^«,)(/3y,-yj},) 
^=-(ayi + ya,)(«aH-^ft+yy,)-y«(«,HAHyi»)-yi«i('«H|S»+y*). 

(/Jy, - yft) (y«, - «y,) 

i=i (Pa, + «ft) (aa, +|SA+ yXi) -«|S («i*+AHy,*)-«,0, («H/SH y% 

(ya, — «y,)(oft— (3«,) 

i=i: (yA +|5yi) (««i+/»A+yyi)-|Jy(«iH^i«+y,«) - An (<^+^*+y*)- 



482 Grunerf: Heuer Beweis 

Nach A. ist: 

(flfti — 6ai)« ^ (a«+6«+c«)(a|«+6,«+Ci«) 

- (a*+6«+c«)Ci«-{aiH6iHci*)c» 

— (aaj + bbi +cci)(aai +661 — €€{), 

{bc, -c6|)« -^ (a«+6*+c«){iii»+6,*+Ci«) 

- (a«+6« + c«)iii«-(aiH6iHci«)a« 

— (aai + bbi + ccj ) (— oai +661+CC1), 

- (a*+6»+c«)6i«-(aiH&iM-C|*)6« 

— (a«! + bbi + ^^1 ) (^^1 — **i + ^^1)5 
und iveil nun nach den Voraussetzungen des Satzes: 

ist^ 60 hat man nach §. 25. 3. die folgenden Aeqaivalenzeo: 

{ (a6, — 6ai)« ^=^ 1— c» - c^«, 
1) . . . . < (6ci— c6,)*i=::l— a»-ax«, 

( (cai — HCl)« :i=^ 1 — 6« - Äi« ; 

und natürlich unter den gemachten Voraussetzungen ganz ebeoao: 

f (cTifta-^iO^)« :-i 1 - Ci«-Ci«, 
2) j (6ic,-c,6jt)«^l-ai«^(i,», 

und : 

(62C— Ca6)* ^ 1 - ii2«-a«, * 
(Caa— ffac)« :i=r: 1 — 63» — 6« 

also ist nach §. 10.: 

4) 

«61— 6fl,)« + («,62«— 610,)«+ («26 — 620)* :^ 3— 2(c«+ei«+i%^ 

(6ci — c6,)« + (6,C2 — 0,62)« +(62C— c^6)«::=^3-2(a*+«|»+iii|«) 

(cci — aci)« + (cioj — o,C2)« + (caa — ajc)« ::=^ 3 - 2(6«+6i«+6»*) 

und folglich nach der allgemeinen Relation ]?., wenn man in der 
selben für 



eHiei wickrt§en und merkwürdigen arükmeHscken Sai%es. 483 

«* ßy Y 

«1* ßi» Yi 
nach und nach retpective 

setzt: , 

5) 

(a^+aiHa,«)(ÄH*i*+***)-(a^+fli*i+o«^«)» :^ 3--2(cHciHc««), 
(6H6iHfci«) (cHc,Hci»)-(6H-6iCi+6,c^« ^ 3-2(«HaiM-fl«»). 

Setzt man der Kürze wegen: 

6) 

jr= a^+fli^+fla*, u = ab + aibi + a^b^, 

y =^ 6*+6,*+6a*, © = bc+biCi+b^ct, 

t = c*+Ci* + Ca*; to = ca-f Citfi + eada; 

•0 werden die vorstebenden Aequiiralenzen : 

Ixy — tt* ::=i: 3 — 22, 
yx — c* ir:^ 3 — 2a:, 
m: — 10* iril 3 — 2y. 

Nacb C. ist, wenn man für 

«, ßf «r; 

nach und nach respective 

Hy 6, c ai9 6i> Ci a^, 62» c« 
«1* ^i» Ci /ij, 6a, Ca «, bt c 

setzt: 

(061 — büi) (6ci— c6i) 

irr: (ac4+cai) (afli+66i+cci) - ca(a,H*iHci«)- c,a, (aH^Hc*), 

(6ci — c6i) (cfli — flCi) 
w (bai+abi)iaai+bbi+ccO - fl6(aiH6iHci«)-a,6i(aH6Hc«), 

(cci — ac,) (abi—boi) 
i=l (c6, +6ci) (aai+661+cc,) - 6c(aiH6iHci«)-6iCi(a«+6Hc*); 



4^ iituueri: Seuer Beweis 

ferner : 

(6|C2 — ^,62) (<r,02— ^\C%) 
^^ (^1 «2 + «1 62) (a, «2 + ^1 ^S + Ci C2) — <li 61 («2* + V+ Cft*) 

(Cia2 — «ri<r2) («162 — b^a^ 
und: 

(62C — C26) (c2a — a^c) 

>^ (ca6 + 62C) (fl2a + ^a^+ci«^) — ^c« (a«+&«+c«) — 6c (»2«+ 6|M<^*I; 

also, wegen der Voraussetzungen des Satstes nach §.^5.3.: 

(abi — büi) (Oci — cbi) ü^^^ — ca — C|//i , 
{bci — cbi) (cr?i — ac,) ^rrrt — «6— «16, , 
(cüi — HCl) {abi ^-b(ii) :^=^ — 6c — 6|C-, ; 

(0| 62 — 61 «2) (^I ^2 "" ^I '^2) ^ — ^1 ^1 — ^2''2 y 
(6|C2 — Ci62)(Cifl2 — «1^2) ^^ — ^l^J — ««262. 
(Ci «2 — «1 C2) (Oi 62 — 6, f/2) ^^r:^ — 6^ Ci — 6-2^2 *. 

(f/26 — 620) (62C — 026) ):=r^ — C2'72 — ca . 
(62C — C26) (c^o — tf2c) ^=1 — «262 — ab , 
(c^a — a^c) (a^b — b^n) :^=^ — 62C2 — 6r : 

folglich durch Addition nach §. 10. 
(a6, — 6flfi) (6c| — c6,) 
+ («162— 6ia2)(6iC2--c,62) l ^^ -2(ca + Cin, +€20^) 
+ («26 — 62«!) (62C— C26) 



eines wichtigen und merkwürdigen ariihmeiischen Safaes. 485 
(6ci — cbi) (coi — HCl) 

+ (b^e — cjf) (c^a — a^c) 
(coi — HCl) (a6j — boi) 

+ (c^a — Ojc) (aa6 — b^a) 

Mittelst leichter Rechnung überzeugt man sich aber von der 
Richtigkeit der folgenden Relationen: 

(c^i — boi) (bci — cbi) 
+(0162 — 6ia2)(6,C2 — C162) 
+ (a^b — b^ä) (b^c — c^b) 
=(a6+a,Ä| +a96a)(6c+6iCi +6402) — (6H^iH62*)(c«+Cifli+c,ff2), 

(6c| — cbi) (cHi^aci) 

+ (bi C2 — c, 62) (Cl «2 — «1 C2) 

+ (62C — C26) (cafl — a^c) 
=(bc+biCi-Jrb^c^(ca+Ciai + c^a^)--(cHciHc2^) (ab+aibi+a^b^, 

(c/ii — aci ) (a6| — boi ) 
+ (ci cTa — Ol r.2) («1 62 — 6| 02) 
+ (C2a — «2^ («2^ — ^2«) 
== (ca -I- Ci 01 -I- C2O2) (fl^+ «1^1+ «2^2) — (aHfli Hfl2*)(&c+6i Ci +62«^«) ; 

also nach dem Vorhergehenden : 

(ab + fli 61 + 02^«) i^c + 6, c, + 62^2) — (6* + 61 * + V) (cfl + c, «i + C2tf 2) 

(bc + Äi Cj + &2C2) (<-•« + <?i ff j + C2«2) — (c^ + Ci* + Ca*) (a6 + «| 61 + «2^2) 

2:=^ — 2(a6 + cfi/^i + 02^2), 

{ca + Ct fli + 0202) ^^^ + ff j ''i ^ «2^2) — (a*+ ffi* + «2*) (^c + ^1 ^i + ^2^2) 

2::^ — liljc + 6,ri +62<^2); 

folglich nach §. 12. : 

(aÄ+ai6i+fl2M(^c+6| c, +62C2) 2^=^ I (6H61 ^+62«) - 2| (ca+c, 01+0202), 
(Äc+Äi Ci +62C?2)(ca+Ci ui +e2ff2) ^=^ t{oHci*+Ca*) -21(a6+ai bi ^aj}^), 
(ca+Ciai+CaC2)(«*+ffi^i+fft^a) ^=^ t(«*+fliHff2*)— 2|(6c+6iCi+6aC2); 



486 Gruneri: Neuer Beweis 

also nach 6): 

UV :=! (y— 2)w, 

8) i wo :=:(2 -2)«, 

wu ,i^ (x — 2)r. 

Aus diesen Aeqpivalenzen 8) folgt nach §. 14.: 

ttrtc .^ü (y — 2)w*, 
uvw :=! (z — 2)tt*, 
ttrtc :i^ (of — 2)©*; 
also nach §. 8. : 

9) (a:— 2)r«:^(y-2)to«^{x— 2)tt« 

Aus den Aequivalenzen 7) folgt nach §. 12. : 

xy + 'iz —3:^:11««, 
yz+2jr — 3:=lr«, 
2ar+2y— 3:=lto*; 
also nach §. 14. : 

(z -2)(a-y+22 -3) :i=l (z -2)ti*, 
(a:— 2)(yz +2a:— 3) 2=1 (o;— 2)r«, ' 
{ff -2)(za:+25^~3) ^ (y-2)tr«; 

also wegen 9) nach §. 9. : 

10) 

(a; - 2) (yi + 2ar - 3) -1 (y - 2) (m: + 2y - 3) -i (x-2) (ary + 2.-3). 

80 dass wir also die drei folgenden Aequivalenzen haben: 

(a;-2)(yi + 2a:-3) ^ (y-2)fia: + 2y-3), 
(y-2) (M: + 2y-3) -i (,_2) (xy +2*-3), 
(x - 2) (a:y + 2z — 3) ^ (a: - 2) (yi + 2a; - 3) ; 

oder, wenn man die Producte entwickelt, die folgenden Aequi- 
valenzen : 

aryz — 2yz + 2ar« — 7a: + 6 :=! jryz - 2za: + 2y*— 7y + 6, 
aryz-2za: + 2y2-7y+6:=la:yz— 2a:y +2z«— 7z +6, 
oryz -2a:y + 22«-7r + 6 ::=i or^^z — 2yz +2x2 — 7:r +6; 

aus denen sich nach §. 12. ferner nach und nach die folgenden 
Aequivalenzen ergeben: 



einet wtckügen und merkwürdigen aritkmeitßcäen Sai%es. 487 

— 2yi+2ar*— 7a: :i=i - 2xa:+2y«— 7y, 
— 2M?+2y«— 7y :^ - 2ary+2»« — 7«, 
— 2jr^ + 22«— 72 :=il - 2yz +2a:«-7a:; 

2(x«-^») +2{a:-y)2 -7(;r-y) w 0, 
2(y«-2«)+2(5^-2)a:-7(y-i) wO, 
2(2«— o:«) + 2(2 -ar)y-7(2— ar) w 0; 



also: 



(j:-y){2(ar + y + 2)-7i^- 0, 

II) { (y-2)|2(a: + y+i)-7) wO, 

(2-a;)t2(ar + y + 2)-7l wO. 

Nach dem aus §. 2. bekannten allgemeinen Begriffe der Aequi- 
vaienzen sind also die drei Produete: 

(a:-y)|2(a; + y + 2)-7|. 
(y-2)|2(a; + y + 2)-7), 
(2-a:){2(a:-fy + 2)-7i 

dorcb ]-f i* ohne Rest tbeilbar. Wäre nun 

2(a: + y+2)-7 

dotch l+fl ohne Rest tbeilbar, so wäre nach dem allgemeinen 
Begriffe der Aequivalenzen : 

2(a:+y+2) w7, 

also, weoo man auf beiden Seiten mit i moltiplicirt, nach §. 14.: 

12) a+y+i^i. 

Nach den Voraussetzungen des Satzes ist aber: 

a* +6« +c« ::=il, 

also, wenn man addirt, nach §. 10.: 

(a»+ai«+a««) + (6* + 6,«+6i«)+ (c«+ci*+c,«) :-! 3, 

folglich nach 6): 

13) x+y + 2:=:l3. 

Vergleicht man die Aequivalenzen 12) und 13) mit einander, so 
erhält man nach §.8. die Aequivalenz: 






488 . Grunert: Neuer Beweis 

was ferner zu der offenbar uogereimteD Aequivalens 

i-3:^0 oder 4^0 
fuhrt. Daher ist es falsch, dass 

durch l-|-i* ohne Rest theilbar sein kunne, und diese Grusse ist 
daher d^rch \'\-i^ nicht ohne Rest theilbar. Da nun aber nach 
,dem Obigen die Producte: 

(y-z)t2(:r+y + z)--7|, 
(z-a;)t2(a:+y + z)-7j 

sämmtüch durch 1 -f t* ohne Rest theilbar sind ; so sind nach 
§. 19. die Differenzen 

sämmtlich durch 1 -f t^ ohne Rest theilbar, und nach den allg«* 
meinen Begriffe der Aequivalenzen ist also: 

x^^yy y^^nLiy z^=iLx 
oder kürzer: 

14) a: j^ y >:^. t. 

Hiernach ist also: 

x ^=:LX, 

y^-x, 

z ^=^x; 
folglich, wenn man addirt, nach §. 10.: 

also, weil wegen der Voraussetzungen des Satzes nach 13): 

x + y+ z :^S 
ist , nach §. 8. : 

3x:^Z, 

folglich, wenn man mit i auf beiden Seiten multiplicirt, nach §.14.: 

j: :=! 1, 

folglich wegen 14) nach §. 8. : 



eine$ wiehiigen und merkwürdigen arithmetischen Satzes, 48^ 

15) ar:=il, 7/:^l, 2:^:11. 

Nach §. 14. und §. 15. ist also auch : 

J 2a::=i2, 2y :^ 2, 2z 2=1 2; 

16) .... ) - , , 

{ xy^-\, yz:::=^\, 20:^. 1; 

und da nun aus den Aequivalenzen 7) nach §. 12. leicht die Aequi- 
valenzen : 

t£« >r^ xy + 22 —3, 

tj* ^.yi + 2a: —3. 

w* .^=1 IX + 2^ — 3 

folgen ; so ist «liegen 16) nach §.25. 2. : 

tt« -ril+2 — 3, 
«• 2==i 1 + 2-3, 









W« w 


1+2-3; 


aiso • 




u« 


^a, r« 


--- 0, w^ - 


folglich nach §. 


•20. 


2 • 




17). . 


• . . 


. » 


E >r:l 0, 


^ 0, w ^ 


Nach 


15), 


17). 


■6) ist also 


• 

• 

+ ««"^ 1, 

+ 6a« >i 1, 
+ c.«-^l 


und 






ab \ Oi6| 

6c + 6iC| 


+ 6,c, ^ 0, 








CO + CiCi + c^a% ^^ 0; 



0; 



0. 



w. z. b. «r. 



UL 



Ziuate. Wenn sämmtlicbe Grössen Constanten 
sind, d. h. als von t unabhängig betrachtet werden, und 

a« +6« +c* = 1, 

«i»+6i* + c,«=l, 

o«"+6«'+«i«=l 
und 






490 Grüner t: Neuer Beweis 



i 



ist, so ist 



und 



aoi^ +Mi +cci =0, 
a^a +Ä,6 +cac =0 

c* + ci« + ca« =1 

a6-fa|6i -1-0262 = 0, 
6c + 6iCi -f AaCs = 0, 
ca + CiCi + c^aa = 0. 

Wegen der Voraussetzung ist nämlich nach §. 3. 1.: 

fl.«+6a* + ca*^l 
und 

a«! + 661 + cci ^sL 0, 

flio« + *i6« + CxC^ ::=l 0, 
o^a + bjb + CaC 2=1 0; 

folglich nach dem Lehrsätze in II.: 

a« + ai*+aa*2=ll. 

und 

ab -f ^i^i + «a^a ^==^ 0, 
hc + 61C1 + 6aCa :^=l 0, 
ca + Ci«! + Ca^a '^^ 0; 

also^ weil nach der Voraussetzung alle GrOssen Constanten siw 
nach $. 3. 5. : 

6» + *i*+fta* = l, 

C*+Ci« + C«« = l 

und 

fl* + fli6i+fla6a = 0, 
6c + 6|Ci + 62Ca = 0, 

ca-t-Ciat+Ca'Oa = 0; 
w, z. h. w. 



eines wichtigen und merkwürdigen artthmetieehen Salzes. 491 



IV. 

Wenn 

a« +b* -c« :=ll, 

— n,* - Äj« + Ca« :^ 1 
id 

aoi + 66| — ccj .i=l 0, 
O1O2 + 6162 — c,C2 :!=^ 0, 

t; 8 ist immer auch: 

— c«— C|*f c,«:=i 1 



nd 



ab + fli^i — a^^g 2=1 0, 
6c + 6jC| — b^e^ 2^ 0, 
ca + Ci«! — c^Hs ^==^ 0. 

Beweis«. Weil nach §.30. 

— 1^1« 



it .. 80 ist nach §. 14. : 



— c« :=ilc*i« 
-ci«:-2ici«j« 



»rner : 



• — CCj isri CCi »• 

2r=^(cO(Cii). 

7eU man nan die dorch die Voranssetzong des Satzes gegebe- 
en Aeqaivalenzen offenbar auf folgende Art schreiben kann: 

Tkail'XLIV. - 32 



492 GruHtrl: Neuer Beweis 

(-«)• +(-*)" +(-c«) wl, 

(-«i)« + (-6,)» + (-c.*)i=il, 

(-««») + (-6,«) + Ca« wl 
und 

(- «) (- Ol) + (-6) (- 61) + (- cci) i^ 0, 
(-«,) («,»•) + (-61) (6a0 + (c,i)c, i=i 0. 
(«ai)(-a) +(6,0 (-6) + c,(ct-) i^ 0; 

80 ergeben sieb wegen des vorber Bewiesenen nach §. 25. 2. d 
folgenden Aequivalenzen : 

(«««■)" +(M* +c,» i-i 

und 

(- a) (-fl,) + (-6) (-6.) + (ci)(c,i) i=i 0. 
(-a,) (a,t) + (-6,) (6,0 + (ciO c« ^ 0. 
(fl,0(-a) +(*aO(-*) +c,(«) i=^0. 

Aus diesen Aequivalenzen folgen aber nach dem in II. betric« 
nen Lehrsätze unmittelbar die folgenden Aequivalenzen: 

(-«)«+(-fli)«+(fl4«')«^l, 
(_6)«+(-6.)«+(A,0»i^l. 
(cO* + (c,0« + c,« i^ 1 



und 



( - o) ( - Ä) + (- a.) (- 61) + (0,0 (V) ^ 0, 



oder 



(-6)(c0 +(-6,)(ci0 +(6,0c* 


^0. 


(cO(-a) +(cjO(-a,) +ei(a«0 


^0 


«»•+«.« fV«"*i=s:l. 




*'+*i* +*••«*• ^1. 




c«»«+c,«i«+c,« ■--'1 





und 



Weil itun aber 



und folglich: 



ab + «1^1 -|- fla62i*!i=^0, 
— bei — 6| Ci t + b^e^i ^=^1 0, 
— cai — C| «i i + c^a^i :i=^ 0. 

t^Vr^— 1 



eines wichtigen und merkitürdigen arithmetischen Sataes. 498 

Vi« ^ - 6,«. 

a^b^ :^=^ — a%b^ 

80 ist, indem man zugleich in der fünfsten und sechsten 
iechs obigen Aeqaivalenzen den allen Gliedern gemeinschaft- 
n Factor —i weglässf, i^as nach §. 20. 1. offenbar zulfissig ist: 



ab + Qibi — a^b^ i=i 0, 
bc + biCi — b^c^ ^=^ 0, 
ca+Ciüi — c^a^ i=^ 0; 



. b. w. 



V. 



KüsatB« Wenn sämnitliche Grössen Constanten 
I und 

a2 +^2 _e* = 1, 



aoi +Ä6i — cci =0, 
a^a + Aj|Ä ~" c%c =: 

-c«-Ci« + r4«=: 1 

a6 + üibi — 0464 = 0, 
bc + ^1 Ci — 6aCa = 0, 
ca + C|ffi — c^a^ = 0. 

32 



so ist: 



494 Grunerts Neuer Beweis 

Dieser Zusatz wird durch ganz fthnliche Schlüsse aus ( 
Lehrsatze in IV. abgeleitet^ wie der Zusatz in III. aus dem L< 
satze in II. abgeleitet wurde. 



VL 
IiehrsatB. 



Wenn 






und 



a«! — bbi — CC| i=:i 0, 
ist; so ist immer auch; 

und 

ab^Oibi — a^fr, ir^: 0, 
bc — ^i<?i — " As^Ä ^^=^ 0, 
ca — ^1^1"" ^a^ ^'"■^ 0. 

Beweis. Weil nach §.30. 

ist, so ist nach §. 14.: 

— 6« i=-:6«i* 

^ (Äi)«, • 
— c« ^^c^i^ 

und 



ehu» wichtigen und merkteärtUgen artihmeUachen Satzes. 495 

I man nun die durch die Voraussetzung des Satzes gegebenen 
uiralenzen offenbar auf folgende Art schreiben kann: 

(-")«+ (-6") + (-c*)i=^I, 
(-«!»)+ V + ci* ^l, 

i-a) («,») + (Ai)*i + (ci)ei ^ 0. 
(-a,at) + 6,6, + CiC^ i=s: 0, 
(«,»•) (_a) + 6,(60 +«,(«•) w 0; 

irgeben sich mittelst des vorher Bewiesenen nach §. 25. 2. 
folgenden Aequivalenzen : 

(- «)• + (60« + (ei)* ^ 1 , 
(fl««*)« + 6,« + c.« :=i 1 

( - ö) (a|i) + (bi) 6, + (CT) Ci^O, 
(a,t)(a»0 + 6,6, +c,c, i=iO, 
(o,i) (-a) +6,(60 + e*iei) ^ 0. 

diesen Aequivalenzen folgen aber nach dem in II. bewiese- 
Lehrsatze unmittelbar die folgenden Aequivalenzen : 

(-a)« + («,.')• + (a,i)«^l. 
(60« + 6,« + 6,« iril, 
(cO* + c,« + c,« i^ 1 

(-«) (60 + («,0*1 + (a.06* ^ 0, 
(60 (cO + 6,c, + 6,c, i-:0. 
(cO (— o) + c, (a, + ci («,0 i=i , 

*•»*•+ 6.« + 6,« i:^. 1, 
c'»*+ c,« + Ca« ^=i 1 

— fl6i + «, 6,1 + a,6,t ü: , 

6ci*+6,c, +6,c, i=^0, 

— cai -f C| fl,i + C(ff,t i=:^ 0. 

nun aber 



496 Grünem /ferner Beteets 

ist, so ist: 



OiV w 


-ai«. 


ojV^ 


— a»*. 


6«i« ^ 


-6», 


c«t« ^ 


-c». 


6ci« ^ 


— 6c; 



folglich y wenn man zugleich in der vierten und sechsten der secl 
obigen Aequivaleozen den allen Gliedern gemeinschaftlicheo Fa 
tor — t wegiSsst, was nach §.20. 1. offenbar verstattet ist: 

— C* + Ci* + Cf* i=^ 1 



und 



ab — Qihi — aj>^ ^=rl , 
6c — 6i Ci — 62C2 ^^=^ 0, 
ca — Ciai — c%a^ ^i=^ 0; 



w. z. b. w. 



TU 

Zasats. Wenn sämmtliche Grossen Constante 
sind und 

a« —6« — c« =1, 

-fli* + 6i* + Ci*=l, 

— aa« + 6,* + c,«=l 



und 



ist; so ist: 



und 



OATj — 661 — CC| ^0, 

a^a — 6^6 — c^c = 

o* — Ol*— 02*= 1, 
-6» + 6i« + 62«=l, 

— C* + Ci* + c^* = 1 

«6 — aibi — 0^62 = 0, 
6c — 61 Ci — 6sC2 = 0, 
ca — Ci Ol — c^o% =^ 0. 



eine$ wichtigen und merkwürdigen arithmetischen Satzes. 497 

Dieser Zusatz wird darcb ganz ähnliche Schlüsse aas dem 
lehrsatze in VI. abgeleitet, wie der Zusatz in III. aus dem Lehr- 
sitze in 11. abgeleitet wurde. 



TUL 

BemerMiiim. Ich will das Vorhergehende jetzt nicht wei* 
\x ausführen, indem ich mich begnüge, nur noch das Folgende 
a bemerken. 

Den in 111. aus dem allgemeineren Satze in II.* abgeleiteten 
atz, dass nämlich aus den Gleichungen: 

a« +fta +c* = 1, 

V + ÄaM C4*=l 
id 

flfli + bbi + cci = 0, 
imer die Gleichungen 

id 

ab + ai6i + «2^^ = , 
bc + biCi + b^c^ ^ 0, 
ca + Cyai + c^a^ = 

Igen, kann man für sich mit den gewöhnlichen UCilfsmitteln 
\x allgemeinen Arithmetik, also ganz unabhängig von der in der 
»rhergehenden Abhandlung entwickelten Theorie der Aequiva- 
nzen , ganz eben so beweisen wie den allgemeineren Satz in IL, 
ozu es eigentlich völlig hinreicht, in II. das Zeichen :±=:i durch 
18 Zeichen = zu ersetzen, was daher hier nicht weiter aus- 
ifiihrt zu werden braucht. Setzen wir nun aber voraus, dass 
es geschehen sei, und nehmen an, dass diese Entwickelungen, 
so auch der obige Satz, in völliger Allgemeinheit für reelle und 
aginäre Grossen — Alles hier in dem ge wohnlichen von 
ters her gebräuchlichen Sinne genommen — gültig seien ; so würde 
in mittelst der gewöhnlichen Lehre von den imaginären Gros- 



TT- 



498 



Grüner t: Neuer Beveis 



seu die Sätze V. und VII. aus dem ohigen Satze, nämiich a 
dem Satze III., auf folgende Art ableiten; und dass solche Ak*, 
leitungen auch in anderen Fällen schon oft gemacht worden sii 
weiss man, wenn man sich nur etwa an die Ableitung der Lfehit 
von der Hyperbel aus der Lehre von der Ellipse erinnert. 

Setzen wir erstens voraus, dass 

a«.+ 6« _c« =1, 

und • 

aoi +66j — cci =0, 
Oi«rt + 6i6a-- C1C2 = 0, 
a^a -|- 626 — c^c = 

sei ; so können wir diese als richtig vorausgesetzten Gleiebn- 
gen mittelst der gewöhnlichen Bezeichnung der imaginSren Giui* 
sen, deren ich mich hier absichtlich bediene und bedienen inini» 
offenbar auf folgende Art schreiben *) : 



und 



(-«)(-ai) + (-6)(-M + \^==^.'V^-c;^ = 0, 

und schliessen nun unter den gemachten Voraussetzungen, naroent- 
lieh also mit Bezug auf den als bewiesen vorausgesetzten Satz 
III., hieraus, dass nun auch die folgenden Gleichungen erfüllt 
seien : 

(- 6)« + (- 6|)« + ( V- V)' = 1 . 

(V:z7*> + ( V-Ö« + c«* = 1 



*) Wobei man sich aus den Elementen nn die bekannten GleichnoccD*- 
zu erinnern hat. ^ 



einet wiehtigen und merkwürdiffen arithmetUchen Satzes, 499 



und 



(- *) V=^« + (- h{) V^^ + \^- v.c« = 0, 

V:r?.(-a) + V"~^.(~ai)+Ca\^-i? =0; 
also die Gleichungen : 

und 

ab + a]6i — 0262 = 0, 

—6c V^ - 6ici V^ +6aCi V^^ = 0, 
-ca'^^^l'-c^ai^'^^i^c^a^^^^ =0; 
oder die Gleichungen: 

6«+6,«-6.a=l, 
— c«— ci« + ca«= 1 
und 

«6 + «i6| — a>Jb^ = 0, 
bc +61C1 — 62C2 = 0, 
ca + CiOi — c^a^ = 0; 

vFolches der Satz V» ist. 

Setxen wir zn*eitens voraus, dass 

a« -^b^ —c'^ =1. 

und 

awi — 661 — cci =0, 
fli«» — A162 — CiC^= 0, 
o^a — 626 — c^c =0 

sei ; so können diese Gleichungen mittelst der gevi'öhnlicben Be- 
zeichnung der imaginären Grossen offenbar auf folgende Art gc- 
schrieben werden: 



: ' 



500 G runer t: Neuer Beweit 

(— «)• + ( V^^«)« + (\^^^)» = 1 . 
(^^=^* + 6i« + c.« = I . 
( V=^«)» + V + c>« = 1 
und 

(_a) V^=r^,ä + V^— Äi.Äj + V^^.ci = 0, 
V^— o,«. V— «a« + &!*» + c,c, = 0, 

V^^^^ . (— a) + *• V^ Ä« + Ca \^ - c« = ; 

und aus diesen Gleichungen folgen wegen des als bewiesen voi 
ausgesetzten Satzes lil. unmittelbar die folgenden Gleichungen 

(-a)«+ (V-^)«-f (^^^^«)» = I , 
und 



\rrÄ2. V^^ + 6,c, + 6,C8 = 0. 

V":r^.(— «) + c, V— «^ + c« V^"« = 0: 

also die Gleichungen : 

fl*— iii«-a2*=l, 

und 

— bc '\- biCi + 62C2 = 0, 
— CO \^=n +ciai V^ + cao« V^in = 0; 

oder die Gleichungen : 

fl«— ai*-a2«=l, 

und 

üb — dl 6i — «26a = 0, 
bc — 64 Cj — 62^2 = ^> 
eil — CjOi — c^As =0; 



einet wtcktigen und merkmlrdigen atitkmeUschen Sat%e». 501 

vielches der Sats VII. ist. 

Ich wiederhole hier ausdrücklich, dass die zunächst vorher 
gehenden Ahleitongen für jetzt ganz im Sinne der gewöhnlichen, 
von Alters her gebräuchlichen Lehre von den imaginären Grös- 
sen gemacht sind und gemacht sein sollen ; wie ich aber selbst 
über solAe Ableitungen und diese ganze Lehre denke: darüber 
weiter mich auszusprechen, ist für jetzt gar nicht mein Zweck 
und meine Absiebt, und begnüge ich mich deshalb vorläufig, auf 
die Einleitung zu der unmittelbar vorhergehenden Abhandlung und 
meine in derselben in Aussicht gestellten weiteren, späterhin zu 
veröffentlichenden Untersuchungen über alle diese Gegenstände 
zu verweisen. In der vorhergehenden Abhandlung und vorher in 
II. — VII. habe ich mich aber, wie man natürlich nicht unbemerkt 
gelassen haben wird, meinem jetzigen Zwecke gemäss, ganz in 
dem Bereiche der sogenannten reellen Grössen gehalten. 



M i 8 c e 1 1 e n. 



Weiteres über den handschriftlichen Fund aus der 

Tbomer Gymnasial-Bibliothek. 

(S. in dieiem Theilc S. 371.) 

Thorn den 10. October 1865. Da Sie mir erlaubt haben, 
meine kurze Notiz über die Handschrift des Bradwardln der hiesigen 
Küoiglichen Gymnasialbibliothek durch einige weitere Bemerkungen 
theils zu berichtigen^ theils zu ergSnzen, so erlaube ich mir, dies 
hiermit zu thao. Weitere Untersuchungen der Handschrift, sowie 
Briefwechsel mit genauen Kennern der mittelalterlichen mathe- 
matischen Literatur, haben die Wichtigkeit unserer Handschrift 
Immermehr hervortreten lassen , so dass einer jener Kenner, der 



:)02 Mhcellen, 

durch seine vielfachen Publicationen und die Unterstützung« die 
er der Wissenschaft stets von Neuem angedeihen Ifisst, weit be* 
rühmte Don Baldassarre Boncompagni dei Principi di Piomblno 
in Rom, eine genaue Analyse derselben auf seine Kosten im Drucke 
erscheinen lassen wird. Die werthvollste unter den Abhandlungen 
scheint darnach zunächst die erste zu sein, die ich Xxo\^ grosser 
Zweifel, die namentlich Prof. Dr. Cantor zu Heidelberg in Betreff 
der Autorschaft gehegt hat, doch unbedingt dem Bradwardin zu- 
schreibe, nSmlich die auf dem Einbände genannte Perspectiva 
Braswardini. Zu der Bestimmtheit meiner Behauptung bringen 
mich zwei Handschriften der Vatikanischen Bibliothek, die jeden* 
falls ebenso Bradwardinisch sein sollen, nämlich: 1. Tractatns de 
Geometria Perspectiva, auctore Guilielmo Braduardino, 2. tiuilielmi 
Vradwardini Geometria et Perspectiva (m. s. Bibliotheca BibGo- 
thecarum Manuscriptorum Bernhardi de Montfaucon Th. I., Paris 
1739 Fol. p. 38 und p. 88 oder Heilbronner, Historia Matheseos 
universae, Lipsiae 1742. 4^ p. 543 und 544.). Beide Handschriften 
dürften mit der unsern sich wohl als identisch aasweisen. Die 
zweite Abhandlung über Optik, von geringerer Wichtigkeit, da 
sie vielfältig gedruckt ist, ist nicht, wie ich anfangs meinte, Brad- 
wardin zugehörig, sondern ist eine vollständige Handschrift des 
im Mittelalter für classisch geltenden Buches Joannis Archiepiscopi 
Caotuariensis Perspectivae Communis libri tres. Venetiis 1504, dann 
zu Culn, Leipzig, Nürnberg und sonst. Der vollständige Name 
des Autors ist Johannes Peccham, Erzbischof von Canterhary. 
Dieser Name sowohl als der des Erzbischofssitzes ist in den 
Handschriften und Ausgaben so verdreht — statt Pecchamus steht 
Pechamus, Pechebam, Pethanus, Pisanus, statt Cantuariensis 
Cameracensis — dass dadurch die grosste Verwirrung entstanden 
ist, und Heilbronner a. a. O. S. 497 §. 557 z. B. eine Aosgabe 
dieser Optik, Norimbergac 1542 dem durch D. B. Honcompagni's 
aufopfernde Bemöhungen erst richtig gewOrdigten Leonardo Pisano 
zuschreibt, und ebenso Vossius de scientiis matbematicis^ Amste- 
laedami 1650 p. 110 §. 9 und 11 zwischen Johannes Cantuariensis 
und Johannes Cameracensis unterscheidet und beide nochmals von 
Johannes Peccanius trennt, ja sogar S. 111 §. 13 dasselbe Werk 
nochmals unter dem Namen Johannes Petsan auffährt. Peccham ist 
nach Cave, Scriptor. Ecclesiast. Historia litcraria, Genevae 1705 p. 
(>47 zu Chichester in der Grafschaft Sussez von niedrigen Eltern ge- 
boren. Da er, wie Heilbroner a. a. O. p. 465 und Cave a. a. O. 
nach Leland anfuhren, einsah, dass er in seinem Vaterlande nicht 
so leicht sich hervorzuthun im, Stande sein wurde, ging er nach 
Paris, beendigte dort seine Studien und kehrte dann nach Eng- 
land zurück, wo er in Oxford mit solchem Beifall Vorlesungen 



I 



WtcrIhM. hifH 

nelf,' iImo er von srinen Ordensbnideni, (l«n FranzlaiEanern, zun 
KProrllixlal für England ervrnhtt n-nrdr. Er blieb aher nicht Unge 
B Enghmd, Boiidptn Ifchrle nacli Paris ziirück, dnranf nach Leiden, 
irÄ er die CHnonikatswUrde erhielt. Von hier hegnit er eich nach 
R»m, ir« er li«i dem Papste sehr persona grata war, so dass er 
Ktor Valadous wurde. AU hold dnrnuf der Erzbischof vnn 
tenlorbary Robert Kilnarhy die KurilinalsfTQrde erhielt, wurde 
Kehim Regen den Willen des CapileU, ivie es scheint durch 
1 Papste xiini Erxhisvhof gemnilit; denn gleich nach 
* seiner lutbronisaünn mu^^te er lOtJO Mstk nach Rom senden bei 
8ltaro des Bannes, nie Cave a. a. O. miltheilt. Geweiht wurd« 
er in Rom am 6. März l'27U und starb am 8. OeceiDbor 1292. 
Wichtiger als dieses Werk sind die beiden l'otgendcn, nämlich 
6ut Libcr Carastonis von Thabil bcn Corra, d. h. nie xuerst 
Sleinschneiiier nachgewiesen {Intorno od aicuni Alalernatlci del 
medio OTO etc. Koma, 1862—63) „Heber die Waage", ebenso das 
schon in meiner ertiteit Nolir. uriiSbnte liber Iriiini rrstrum de 
t^eonictria. Nach Boncorapagni sind tlieue beiden Maiiuscripte 

|*t«lteicfa| die nichtigsten des gan/cn Codex. Der Analyse der 
■fendscbriften lasse ich diesellicn vielleicht als Anhang folgen. 
fnf 



Der tractalus »der richtiger Algorigmue Proportinnnni Ist idcbl, 
Idi ursprünglich annahm, von UrudwardiD. sundern von Nico> 
A'Otim. Bischof van l.isicuK, ohtrohl es auch eine Tbeoria 
'npotUonum von Bradwardin giebt (ni. s. Heilbroniier a. a. O. 
ifk 005. {. 36n ex codice Hodiejano.). d'Or^m war nach der Bio- 
KtsiiUe Cniverselle T. :i-2 Paris IS'22. H. ini Dorfe AllcniaKue bei 
Caen in der Nnrtnnndie geboren. Er machte seine Studien in 
Paris 0" unserer Haiidschrin lieisst er Parisius) und nurde 1356 
ictsr des Gyinniisiums /u Navarrc. Als solcher schrieb er die 
ig« Schrift, wio aus dem Datum der Handschrift 1359 wohl lur 
mOfse hervorsteht. I3fil wurde er Decan zu Kouen, darauf Er- 
T Carls V. le Sage und auf dessen Ansuchen 1377 «in 
Bischöfe von Lisieitx geirSblt. Er starb am II. Ju)l tSSi. Auch 
als lhe»logischer Schrtftsleller ist er berühmt, besonders durch 
eine Predigt Aber dun Text aus Joiaja, Juxta est salus mea, die 
,m in ATignoii dem Papste und den Cardiuäten hielt und in der 
ri|t Ihre Laster und tSchwüchen schonungslos geisseile. Ein anderes 
IVnk TOD ihm: Trait^ de la sphere, ist auch gedruckt Paris 1546. 
Der Atgorlvnnis Proportionum ist bis jetxl Manuscript geblieben. 

Von den übrigen Abhandlungen hebe ich ille (i'comeliia Brad- 
>*ardlnl nochmaU henor, da dieselbe nicht lU-n Titel Geometris 
asaecntiva et Arlsneltca führt, »andern die Anfarigsnarlc derselben 
lauten: Geomelrla oMecutiva est Arlnmelice, dann aber vcriJgllch 



ParU 



504 Wscelien. 

den tractatus de Continuo Bratwardioi, der Tfillig aobekaiiDt sn 
sein scheint, jedoch so interessante Thatsachen nnd Dotenni« 
chungen enthält, dass sehr sa wünschen wäre, es würde ein voll- 
ständiger Abdruck davon veranstaltet. Vielleicht benutze ich ein- 
mal den Raum eines Schulprogranunes zur Herausgabe desselben. 
Auch zur Deutschen Sprichwörter-Literatur liefert die Handschrift 
noch ein Paar Beispiele; auf dem Umschlage nämlich und dem Titel- 
blatte sieben mit gothischen Lettern folgende beide Sprichwortes 

Eyn man zyn ghewant kerit 
als en das weter lerit 

und das andere; 

Wo dy wese ist ghemeyen 
do is das gras gheren cleyen. 

Ob dieselben anderweitig bekannt sind, wage leb nicht zu 

entscheiden. 

M. Cartza 



Zwei Briefe von Schamacher und Gauss fiber eine 
Aufgabe der unbestimmten Analysis. 

(Briefwechsel cwischen C. F. Gauss und H. C. Scliuiiiacher* H«* 
ausgegeben Ton C. A. F. Peters. Fünfter Band. Altena. 1868. 9, STft.) 

Schumacher an Ganss. 

Altena, 1847. October 17. 

Ich las zaßillig gestern Abend in Kästner's Nachrichten von 
mathematischen Büchern , die er »»Geschichte der Mathematik^ 
nennt» und fand Tb. 3. p. 294 ein Problem von 3 Schötsen ange- 
führt» die respectiveSO» 66 und 104 Fuss von einander» und alle gleich* 
weit von der Vogelstange» nemlich 65 Fuss abstehen. Ans Ncn- 
gierde rechnete ich nach und der Halbmesser des einem grad- 
linichten Dreiecke» dessen Seiten 50, 66 und 104 Fuss sind» om- 
schriebenen Kreises ist wirklich 65 Fuss. Kästner meint, es 
sei eine nicht ganz leichte Aufgabe» die Seiten eines gradlinichteB 
Dreiecks in ganzen Zahlen so zu bestimmen» dass der Halbmesser 
des umschriebenen Dreiecks auch in ganzen Zahlen ausgedrikkt 
werde. Mir kommt sie so schwierig vor, dass ich mir die Vor- 
frage erlaube: war zwischen 1600 und 1650 die unbestimmte Ana- 
lysis schon so weit ausgebildet, dass man annehmen darf^ er» der 
Verfasser Curtius» sei von dem Dreiecke ausgegangen» nnd habe 



I Halbmesser !;eflucbt'l oder ist er nichf vielleicht van üem 
Halbmeucr Bui!gegan|;en , und hat f^r verBi^hieilene Werthe des 
IfallimcBserB Dreiecke durch Prohircn (etwn durch Zeichnungen 
ijticenliischpr KrcKe) gesucht, und zuffitligerwetae eine genaue 
Aiiniisuog getroffen^ Wenn ich recht sehe, so faomml die direcle 
An nflsung daraul curück, in der <!leiGhuiig 

i. - -"" 



iuacc — (aa + cc — A6)* 
, 6, e snlcbe ganze positive Zahlm in findei 



, dass 



l) aa&Ace sich ohne Rest durch 4(»icc — (oo-f rc — 66}* 

dividiren Inssc, arid duss 
1) der Quotient ein Quadrat sei. 



) dann noch nite AuflOMungen, 
gb. C kleiner als die dritte sind 



ei denen 2 ven den 3 GrSssen 
verworren werden niflsaon. 



lleÜeJchl hat Herr Ctirtius auch nur die Bedingung I) errfilll, und 
I mter den Quotienten einen, der ein Qnadrnl »nr. ansgesuchl. 



Gauss an Schumacher. 

Die ariihmotlache Aufi^Bbe würde gewisH Uinphant recht gnl 
^twben auflSsen Itüniien, du dazu gar keine tiefere Einsichten, sun- 
Ine geiviKSo DexterilKt gehört. Mein Unheil fllicr 
jphaiil's Verdienste ktinnen Sie in der Vorrede der nie<|uiai- 
I Alllhnietlcao (etwas zwischen den Zeilen) leneu. Ich wßrde 
t wundern, wt-nn die Aur^rnhc in Dlnphnnts Werke schon 
in«, habe aber »cder Zeit — nuch Lust — es deshalb durch- 
Jehen. Lieber schicke ich Ihnen eine allgemeine Auflösung. 
pse IlLsat sich in verschiedenen Formen geben, auch in soloben, 
, genauer besehen, der nachfolgenden an Eleganz noch Torsu- 
I sind, ich setxe aber doch lieber diese her, theüs tveil der 
schied lllierbaupl ganz unerheblich ist, (beils weil der Vor- 
[ einer etwas andern Varm nur dur< h einiire erllnlcrnde Ent- 
il(elaa{:en ins Licht gesetzt werden kunnlc. 

seien a, b, f. g vier beliebige ganse positive Zahlen; 

■acht m«i Jana ein Dreieck, dessen Seiten 

1 S) AaAV+ffXaa/"— 669) nici iabff\!i){fibg — aaf), je oacb- 
dm utf^bbg 



506 BUscellen. 

S)iab(aaff+bbgg) 

sind, 80 ist der Halbmesser des am das Dreieck beschriebeDeo 
Kreises 

4) (aa + bb){aaff+bbgg). 

Die Zahlen \, 2, 3, 4 sind offenbar Ganze; haben sie einen 
gemeinschaftlichen Divisor, so ist erlaubt, damit alle vier zu diTidiren. 

Es giebt keine Auflösung, die nicht in dieser Vorschrift enthalten 
wäre. Curtius' Zahlen erhalten Sie, wenn Sie a=:l, 6:=2, f=lOt 
^=1 setzen, und mit dem gemeinschaftlichen Divisor 8 dividireo. 
Eine andere Auflösung fiir denselben Halbmesser 65 gebt hervor, 
indem Sie a=2, b=zl, f=l, g=3 setzen, woraus die Dreiecks- 
seiten 120, 112, 104. Es ist wohl libcrflassig zu bemerken, diss 
man immer a, 6, /*, g so wählt, dass a keinen Divisor mit b ge- 
mein hat, und f keinen mit g, weil sonst das Quadrat eines sol- 
chen gemeinschaftlichen Divisors schon von selbst als gemein- 
schaftlicher Divisor aller 4 Zahlen auftreten würde. Cebrigens ist 
die Aufgabe etwas ganz elementarisches. 

Auch kann man noch hinzusetzen, dass a, b, f, g nicht so 
gewählt werden dürfen, dass aaf=^bbg wird. Die Formeln geben 
dann zwei einander gleiche Seiten und die dritte =0. Mit an- 
dern Worten ein Dreieck, von dessen drei Ecken zwei Eaaammen- 
fallen. Um ein solches lassen sich unendlich viele Kreise be- 
schreiben, oder mit andern Worten, der Halbmesser ist unbestimmt 
Aus allen diesen unendlich vielen giebt die Formel einen besfimm- 
ten. Es ist derjenige, zu welchem eine unendliche Annäbrong 
Statt findet, wenn man eine der vier Grossen a, b, f, g als 
veränderlich und (wenn z. B. g als solche gew&blt ist) dem 

Werthe -tt sich unendlich nähernd annimmt. 

Stets der Ihrige 
C. F. Gauss* 
Göttin gen, den 21. October 1847. 

Ich bitte zu entschuldigen, dass durch ein Verseben die Seiten 
des Briefbogens nicht gehörig auf einander folgen. 



Eine ausführliche Entwickelung der vorhergehenden ÄoflSsoBg 
von Gauss würde ich gern in's Archiv aufnehmen, und bitte mir 
eine solche zu senden. G. 



Uterarfstker Bnttht CUM IL 



Literarischer Bericht 



An 4l«ii Jmii 1865 starli >n S\. H«-Ier(,l)iiri! <irr ivirhllclii- 
i«l<Mmth nod Ahaileriiilccr 

Adolf Tbeodor von KapfTer, 

Mrecdit ilfs lilnsikalischeti r,..ii|t,il- Ul.s^Tvalnri.mis 



Ub«ns>.kizzf voii Max WoiSSO*). 

(V.,-, II,.,. .dl,.. v,.rt...../i 

UriiHtäeburtsort ist LaJctidorf in Ooslcrreiili. iiu meiii Vaier 
<ther»n>tmBnn >iar: der Tai; meiner Geliurt Aet 16. October I7U9> 
He» erpicii Uotirricht erliiell ich im elterlichen Hause; der Pr(i> 
liio^ ftUH den drri Nornialclaisen urilerxog ich mich mi der llaupt- 
-rhiile BU Korncahnri; im Jahre 1808. In demsolbeii Jahre wurd« 
I li nanb glückliih abgelegter 0»iicurspr(irung als llorcapellcnsKn- 
_'r in (Ins k. t. 8(adl-0>nvic( aufgenommen. In diesem liiatitule 

"rMieh ich his nach Vollendung der Gymnasial-, philosophischen 

n.l jurididcheii Studien im Jahre 1822.' Schon während der Gym- 
: L-ilalsludien iiar'die Malhcinatik mein LiebllnKsrach, dem ich 

ii-h mit vieler Lust hingnh. Um mich in derselben mehr ato^zu- 

Iden, tiCMtichlc ich im /weilen JahT(;"i'?c des philosofihisctien 

> iii««< iJic VoiIeaungeiiderMnthedx fureiiaia bei Profeaiior Ilaacr, 

! mn den Turn der höhereii Mathematik bei den frofeseoren Hanl- 
-i-hsl nni) Apiicltnuer und den ■«-»ijlbrigeii Curs fiher Aatro- 

orale bei Dircclor J. J. Littrnw. Im Convicle selbst wnrden 



*) AbfinIrDcLl an» drm SU 
rMrliaflCB. II. Suhtyt, IH<jJ. 

llll.^l.l^. Uli. I. 



2 Uterarischer Bericht CLXXllL 

mir die Correpetitionen über IVIathematik und Physik mit den 
Hurcrn der Philosophie anvertraut. Schon zeitig em'achte io 
mir der Wunsch, mich dem Lehrfache zu widmen; ich unterzog 
mich desshalb im Jahre 1821 der strengen Prüfung aus der Ma- 
thematik und Physik zur Erlangung der philosophischen Doctors- 
uiirdc, und machte einige ConcursprQfungen mit. Nach Vollendung 
meiner Studien wurde ich im Jahre 1823 an der k. k. Sternwarte 
in Wien als Eleve angeestellt. Im Jahre 1825 wurde mir von der 
Universität in Krakau das Diplom als Doctor der Philosophie 
verliehen. Eben war auch in uffentlichen Blättern der Concors 
für die an derselben Universität erledigte Stelle eines Professors 
der Astronomie und Directors der Sternwarte ausgeschrieben; 
ich unterwarf mich dieser Concursprüfnng und wurde fiir diente 
Stelle ernannt, an der ich bis jetzt wirke. Bei meiner Ankanfi 
an diesem neuen Bestimmungsorte fand ich den Vorrath von astro- 
nomischen Instrumenten ganz gering; jedoch war ein nicht unbe- 
deutender jährlicher Fond zu neuen Anschaffungen ausgesetzt. 
Ich trachtete also, nach und nach das Wichtigste anzusciiafen, 
und in diesem Augenblicke besitzt die Sternwarte eine nicht un* 
bedeutende Sammlung von Instrumenten, worunter die vorcflg- 
lichsten sind: ein zweischuhiger Meridiankreis, ein kleines Pas- 
sagen-Instrument, ein Aequatorial, ein parallaktisch aufgestellter 
Refractor von 52 Linien Oeffnung, ein Kometensucher , ein Sex- 
tant, ein Theodolith, eine Pendeluhr von Kessels, 2 Chrono- 
meter, verschiedene meteorologische Instrumente u. dgl. m. Leider 
ist das Locale den jetzigen Erfordernissen einer zweckmässigen 
Sternwarte nicht entsprechend, und es ist ein furmiicher Cmbau 
des Gebäudes unumgänglich nuthig. — Im Jahre 18-13 verlieh mir 
die Universität nach einer vorgelegten Abhandlung über den Pflicht* 
theil die juridische Doctorswürde. In den Jahren 1833 and 1834 
bekleidete ich das Amt eines Decans der philosophischen FacoltSt. 
Im selben Jahre 1833 wurde ich zum Stellvertreter des kuniglicfc 
preussischen Conservators der Krakauer Universität ernannt, ab 
welcher ich IVlitglied des hohen Ratbes der. Universität dorch 
dreizehn Jahre, bis zur Einverleibung des Freistaates in die kai- 
serlich üsterreichische Monarchie >^ar. Von der Zeit meiner An- 
üstellung bis 1833 habe ich meiner Bestimmung gemäss blos «vis* 
senschaftlichc Astronomie gelehrt. Im Jahre 1833 wurde aber von 
der zur Reorganisirung des Freistaates hieher gesandten Com- 
mission der drei SchutzhSfe aus Ersparungsgrü'nden die bisher 
hier bestandene eigene Lehrkanzel der höheren Mathematik auf' 
gehoben und mir aufgeti^gen, den zweiten Jahrgang dieses Sta- 
diums, und meinem Adjuncten, den ersten zu übernehmen. Darch 
diese Zuweisung eines so wichtigen Gegenstandes wurde soivoU 






UiernrnehäT Bericht CiXXlIf. 3 

ineiu«, als des Adjuncten Zeit «ehr in Anspruch genommen, so 
ilass hfi Bo !;elheiltef Zeit »eiler das eine noch Aas atiilere Fach, 
wie es DÖthiK ivJire, hcirieheii tverden konnte. Mehrmals liabe 
ieh ilosehalb dringende VorstolluiiRen um Aiiünderung iliesesUehel- 
sUndeR gemacht, bis jelzl aber vergebens. 

Auf meine Veranlassirng ivurde im Jahre I831I neben Att Kteni- 
trorte ein eigeneR Häuschen liir BenbacMiiiifjen mit dem Gaus 8 'sehen 
Dnißlar-Mat^nelonkcler erbau). Ausser den triglicben zivcimaligen 
Beobachtungen zur ErmiltliiRg der Variationen der magnetischen 
Declinnlion, die ich durch mehrere Jahro .ifets seihst anstellte, 
;n auch die jährlichen »ier GiiuaB'schen Termine eingehal- 
Mehr als 65.000 solche DecliDatinnsbcobacblungcn liegen 
leider hallen diese Beobachtungen meine sunet so scharfen 
;en sehr angegriffen. Diese Beoliachlun^en wurden rcgelmSs- 
forlgesefzt, bis sie nach ztieimaliger Bemühung des Hjius- 
liens zu Ende 1846 und l^^J? eingestellt iverden maulen. Erst 
'<i Ende dieses Jahres habe ich, um den Gauss'schen Apjiarat 
lirhl t^nnz ungenützt zu lassen, statt dcR geraubten TheoiloMthen 
ein Stati?- Fernrohr aufgeslellt *). 

luv R«sutlntc der an der Stevnivarle, aa nie in dem envähn- 
len Häuschen gcmnchlen Ueubachlungen wurden von Zeit zu Zeit 
in vorsehiedenen Zeilschriften, so wie in dem Jahrhache der hie- 
■Ik«» Akademie der VVissenscbaften bekannt j^emacht. 

Die Ton mir herausgegebenen kleineren Druckwerke sind lol- 
genda : 

Tafeln zur Reduction der bei verschiedenen War- 
in«grad«li beobachteten BarometerGtlindc. 



■> GUcklichcr Weite ainil die llciultate didcr werthvolle» Bouti- 
ntOitungm, die unter günitigeren Umitänden bri der Andaucr. mit der 
Waiiie IfOtt der tillfautien Untcibrechuiigen sie immer wieder aiif- 
ni)hm, eine weit grüuere Auailrhnnn); erlangt ballen, nicht vrrJoren 
ergangen. Der XVIII. Itanil onanrur DenkschriFlen enlhnlt nümlirfi einr 
in rixT .Siliung nm n. Juli IHf>» iiir^ele<;(e ALIiandlung Weisee'a, be- 
UIbU: ..VoriNtionrn der lirclinnltnn der Mngnelnadei. Iicnbnchlei in 
Kndtlui". in welrher diese bi« mm Februar 1856 forlgefilbrt «ind. In 
der EinleilMog «ngt Weine: „Dnrrb mebreie Jahre konnte ich mich 
nNeh den gemachten traurigen Erfnbrnngen nicbl enlK^hlieiaen. neue 
Aiipnrntc anCcnUelleni endlich habe ich im Jiihre 1HS5 dnch wieder 
einen Variation*- Apparat aufgeatelll. aber noch der irurdo im Jahre 1BS6 
d«a 22. Orlober durcli Einbrneh leralürl, wodurch die Beobarblangen 
^eachloKea waren." 



i 



4 Uterarischer Bericht CLXXJIL 

Tafeln zur Berechnung der Hubenunterschiede aos 
beobachteten Barometer- und Thermo nieterständen. 

Coordinaiae Mercurii, Venerh, Alartis, Joris, Saiurni ei üranl 

Corrcctiones temporis ex allitudinibtis corresponilenilhus. 

Laiiludo geoffraphicn Krakoviae. 

Uesultate der an der Krakauer Sternwarte gemach- 
ten meteorologischen u. astronomischen Beobachtungen. 

Durch viele Jahre beschäftigte mich die Bearbeitung der 
BesseTschen Zonenbeobachtungen sii einem Kataloge. Die kai- 
serliche Akademie der Wissenschaften in St. Petersburg übernahm 
die Herausgabe dieses Werkes^ welches im Jahre 1846 unter dem 
Titel erschien : 

Catalofftis sieliarum ex Zonis Regiomontanls, Anctore 
iV, Weisse, 

Dieser Katalog enthält 31.89:') verschiedene Sterne. Zur Er- 
mittlung des wahrscheinlichen Fehlers der Positionen dieses Kata- 
lor;es habe ich für Rectascension fast 10.000, und fast eben so 
viele Beobachtungen für Declination der Wahrscheinlichkeitsrech- 
nung unterworfen. Die fleissige Benutzung dieses Werkes von 
den Astronomen, so wie die Aufforderung von verschiedenen Sei- 
ten veranlassten mich, auch noch die weiteren Bessel'schen 
Zonen von +1^^^ bis -|-45^^ der Declination zu bearbeiten. Der 
erste Theil dieser Bearbeitung, nlimlich die 0. bis 5. Stunde in 
Rectascension ist im Manuscripte bereits vollendet, und« wenn 
meine Kräfte nachhalten, so hoflfe ich, auch diesen zweiten Theil 
des Kataloges zu Ende zu flfhren. Nach Erscheinen des erwähn- 
ten Sternkataloges erhielt ich von Sr. Majestät dem Kaiser von 
Oesterreich, so wie von Sr. IVlajestät dem Kaiser von Rossland, 
die grosse goldene Medaille für Kunst und Wissenschaft. Die 
königliche astronomische Gesellschaft in London ernannte mich 
zu ihrem Mitgliedo und beschloss, mir eine astronomische Ver- 
dienst -Urkunde (Award of Testimonial) zu ertheilen. Mitglied der 
^<clllc^iischen Gesellschaft fär vaterländische Cultur bin ich schon 
seit mehreren Jahren, und im Laufe dieses Jahres wurde mir die 
FJire zu Theil, zum correspondircndcn Mitgliedc der kaiserlichen 
Akademie der Wissenschaften in Wien gewählt zu werden. 

Zum Schlüsse muss ich noch bemerken, dass das Jahr 1846 
auch für mich ein verhängnissvolles war. Schwere Schläge des 
Schicksals haben meine Familie betroffen; Kummer und Sorgen, 
Folgen der aufgeregten Zeit dieses Jahres, haben mich» meine 
Frau, alle meine vier Kinder und meine bei mir weilende Nichte 



llUrarischer Bericfii CLXAIII f) 

I MT gleicher Z«i( auT da« Krankcnloger geiTorl'en: ein hcfti);er 
t hnlle \m» alle ergriffen, und gerade, aU kh und meine 
1 anfingen, una ptnas t\t erholen, verloren "ir in ffiiif Tage» 
unsere beiden hoffnunij^vollen Sriliiw, wovon der nKore im 17.. 

h-! jii(ii;erä Im VI. Jahre nar. Der ältere zeigte bereits die scbrin- 

h'ii Aiilttgen rUr Malhenmiik nnd Aslronontie; mit nii'breren 
,iiilroTiimrtsi.-hen, »n "io mit Jen nieleorolagischon Instruinenlen 
und dem (innss'Gthtn A|i|iarale knnnlc er lieroils fertig unigehen; 
IT (ishni auci) «chon stets an den lleoliuclitun^an Theil. Tief 
niedergciieugl fllter diese Kclitvereri PriiftHigen, die mir mein liücb- 
^(cs Glück, den Trost im After raubton, cntlenite leb micb vo» 

vm Trunerorle mit meiner Familie, um im geliebten Vatcrlande, 
im Kreine der dort »eilenden lieben Angebürigen, den ea n'ithigen 
Tro^ Diid die Ruhe des Gemfithos nieder za finden. Aber die 
si'schlagene Wunde irar zu tief; mit noch blutendem Herzen knm 
irli lurfick, und ein einziger Besuch der Gräber meiner Lieben 
>i:itf midi nucli heriiger nie früher auf das KraukenbetI: eine 
~< bivere Ko[ifkrnnkheit brachte mich dem Tode nahe, und nur 

^1 rastlosen fdige meiner Krau und den zweckmässigen Anord- 
uungen geschickter .\erEte verdanke ich die Kiickkehr zum Leiten, 
du« selinn durch Uingere Zeil gescbivunden schien. Schwer und 
langsam erhohe ich midi; jedoch ich fühle es, seit der Zeil ist 
die beste Kraft dahin, und die höchste Schonung mir PIlichl, um 
mich meiner Familie zu erhnilen und meinen Berursitllicbten nach- 
kommen zu künneu! 



Krakau. den tl. De« 



■ IWJ. 



■ Wir sehen aus dieser kurzen Leljcnsskizxe, mit ivelthen äus- 
sere» Scbuierigk eilen Weisse sein ganzes Leben hindurch xu 
k.'im)ifen hatte, ivle aber auch alle diu»e und selbst häusliches 
rnglflck sein* Kr.ift und Ausdauer ntrbl zu brechen vermochten. 
■Selbst in den letzten .labr^ii seines Lehens hatte er nnch mit 
rVnsIrenguni! zu arbeilen. Er versah bis zu seiner Pensiunirung 
rüe beiden Lehrkanzeln iler Astronomie und bflhereii Mathematik, 
übernahm von m;l<l-l«60 das DecannI des |>hiloso[diischcn Pro- 
tcssoren Collogioms, versah bis zum Jahre 1835 die Stelle eines 
\ ofsilzendcn im Kiri-henralhe der akademischen Pfarrei St, Nicolai 
] leitete den [Iinbau der Sterntvarte, zu dem er auch die PISne 
pivarf, 

Ein grosses nnd lileihciides \ erdicnst unvurb sich \\ eissc 
t die so mühevolle Itcduelion allei' von Bessel bestimmten 
' »«n kleineren Finstcrnen (bis zur neunten Grösse) auf den 



I 

r 



. Lilernrischer Bericht CLXXIIL 

Anfang des Jabres 1825 und durch die KatalogisiniDg aller Stern- 
Positionen nach der geraden Aufsteigung derselben. 

Der erste Band^ herausgegeben auf Kosten der k. Akademie 
zu Petersburg im Jahre 1846, enthält die in deo B es seT sehen 
Zonenbeobachtungen niedergelegten Bestimroungeo von 31.895 Ster- 
nenorten in dem Gürtel des Sternenhimmels zwischen — 15^ und 
+ 15^ Decünation. 

Der zweite Band, ebenfalls herausgegeben von der k. Peters- 
burger Akademie im Jahre 1863^ urofasst 37.862 Stemenorte in 
dem Gürtel des Himmels von -f 15^ bis -f 45^ Declination. 

Der zweibändige Sternkatalog enthält« wenn man die mehr- 
fachen Beobachtungen eines und desselben Sternes abrechnet: m 
ersten Bande 27.119, im zweiten Bande 31.445, also im Ganten 
58.564 Sterne. 

Die Reductionen der Sternenorte des zweiten Bandes beschäf- 
tigten Weisse in den letzten Jahren seiner Anstellung und aoch 
noch , als er sich zurückgezogen hatte ; er erlebte eben noch knn 
vor seinem Tode die Freude» den Druck des zweiten Bandes 
vollendet zu sehen. 

Der Katalog bietet dem praktischen Astronomen den grossen 
V^ortheil decf leichten Aufsuchens der Sterne und der bequeoien 
Reduction der Positionen derselben auf jede andere Zeit« während 
das Aufsuchen in den Bessel* sehen Zonen viel mehr Zeit nnd 
Mühe in Anspruch nimmt. 

Am 25. Mai 1861 verüess Weisse Krakau, da er in Folge 
zu anstrengenden Arbeitens von einer schweren Krankheit befal- 
len wurde und nicht mehr ßihig war sein Amt weiter zu /ähren. 
Er lebte seitdem in Wels und wurde auf seine Bitte am. 28. Hära 1862 
pensionirt. Es war ihm nicht vergönnt, längere Zeit der Ruhe 
zn geniessen, denn er starb schon am 10. October 1863 an einer 
laugwierigen Entartung der Unterleibsorganc. 



Schriften ven naximilian Ritter von Weisse» 

Dr. (Ut TU-chir und IMiilosopliie , Ritter dt's Uais. üslcrr. Franz Joscpli-Ordcjif, 
«Ics ()r(Ici)8 (U*r cisurnüii Krone und du» kais. russischen St. Annen «Ordes» 
11. Glasse, In]isil)cr dci* kai». üstcrreicliisrlirn und der knis. russischen grossen 
unldcucn Midaiiie liir Wissenschaft und riue.H Tcstinionials der kiin. astrono- 
inisclicu (lescllscJiaft in London; quiesc. Professur der Astronomie, Uireclor 
der Slcrnwarlc und Ducan der philosopliischcn Facultät an der Jagcllunischeo 
Universität zu Krakau; Mitglied der Gelehrten -Gesellschoft zu Kralumic. 
der schk'sischen OescIUchaft für vaterländische Cnllur zu Breslau, der kÖB. 



Uierarlsckßr Bericht CLXXItl. 7 

aalroiioniiaclii'ii Gcftell»cliart 711 Loudon uml iIca C'opcriiicu/>- Vereines für 

Wissenscliafi und Kunst zu Tliorn: 

1. Tafeln zur Rednetion der bei yersehiedcnen Wärmegraden beobachteten Ba- 
rometerstände anf jede beliebige Normaltcmperotur. Wien 1827, J. G. Henbner. 

2. Coordinatae Mercurii, Veneris, 3Jartis, Jovüi, Saturni et Urani, Cra- 
eovitte 1820, typia fratrum Gieszkowski. 

3. Correctiones temporis ex altitudinibus correspondentihus. Cracoviae 1829^ 
typig fratrum GieFzkowski. 

4. Tablcs for Computing thc differences of hcights drawn uccording tu the 
heights barometers and thermometcrs. Vienna 1 83 1 , by J. B. W a 1 1 i s h a u s s c r. 

5. LAtitudo geographica Cracoviae ex ohsercationihus annorum 1829 — 183t 
deducta» Disnertatic. Cracoviae 1832, 

6. Kesnltate der an der Krakauer Sternwarte gemachten meteorologischen 
nnd astronomischen Beobnehtnngen. Krakau 1 838, in G i e s z k o w s k i ' 8 Druckerei. 

7. Obraz obterwacyi meteorologicznych w r. 1842. Krakdw 1845. 

8. Obtervationea magni cometae anni 1843 et istius anni 1840, Craco* 
viae 184Ö. 

9. Reiatio de ecdipn solis 7, Juh'i 1842. Cracoviae 1845, 

10. Pbaitionet media« stellarum ßxarum in zonis regiomontanis a Bessclio 
imter — 13^ et -|-iJ® declimUionis obsematarum ad annum 1823 reduetae et in 
caialogum ordinaiae. PetropoU 1846, jussu Äcademiae imperialis. 

11. 1850. Spostrzczenia w Obserwatoryjum astronomiczn^m Krakowskiem 
w r. 1849. (Meteorologische Beobachtungen.) 

18. 1850. Spostrzczenia Komety przcz Potorscna d. I. Maje 1850 w 
Altonie odkrytcgo. (Beobachtungen des Petersen'schcn Kometen.) 

18. 1851. Spostrzexenia w Obscrwatoryjum Astronomiczndm Krakowskidm 
r. 1850. (Meteorologische Beobachtungen für das Jahr 1850.) 

14. 1852. Dcssglcichcn fftr das Jahr 1851. 

Diese rier Schriften sind in den Jahibllcheni der Krakauer Gelehrten- 
Gesellschaft gedruckt. 

15. 1851. Ucbersicht der im Jahre 1850 an der k. k. Stcniwarto in Kra- 
ken angestellten roctrorolo^^ischcn Beobachtungen. (In den Sitzungsbericliten 
der kaiserlichen Akademie der Wissenschaften. VI. Bd. Jahrg. 1851. Tabelle.) 

16. 1853. Allgemeine Ucbersicht der an der k. k. Krakauer Sternwarte 
vom Jahre 1826—1852 gemachten meteorologischen Beobachtungen. Krakau in 
der Unirersit&ts-Buchd ruckerei 1852. Gross 4^^. 

17. 1855. Stcmbedeckungcn und Mondsteruc, beobachtet auf der k. k« 
Sternwarte in Krakau. Univcrsit. - Buchdruckerei in Krakau 1855. Gro8s-8®. 

18. 1858. Stündliche Barometer-Beobachtungen zu Krakau in den Jahren 
1848—1856. Wien, k. k. Staatsdruckerei. Gross-40. 

19. 1858. Vergleich ungen des Catalofjvs generalis pro 1830 in Struvc's 
Stellarum ßxarum imprimin duplicium et multiplicium positionrs mediae (Pcfro- 
poU 1832) mit den beiden Katalogen ans BcsseTs Zonen-Bcobaclitungen. S"^. 
(In den Sitzungsberichten der kaiseri. Akademie. Bd.XXXlI, Jahrg. 1858, S 270.) 

20. 1859. Variationen der Declination der Magnetnadel, beobachtet in 
Krakau. A^. (In den Denkschriften der kaiseri. Akademie. Bd. XVIIL S. 63.) 



S ^ Utei arischer Bericht ClXXllh 

21. 1861. Neu gcrechuctc Kcductionstafclu des 17. Bundes der KOnigs- 
biT^er Beobachtungen (in Nr. 1304 der astronomischen Nachrichten). 

22. 1863. Posltionvs mediae stdlarum jixarum in zouis rttjlomontanit a 
IJesst'Uo intcr -\- lö^ et -f- 4J*' declinationis observatarum ad atnium 1825 
reductae ef in catahguvi ordinatae^ auctore Maxim, Weisse. Ju.siiu Acadctniat 
impcrialis Pufrojtolitduac cdi curavit et prae/atus est 0, Strttve, Petropoli, 
Gross -4«'. 

Ausser diesen Schriften sind noch einige Beehachtungen von 
Planeten, Kometen, Sternhedeckungen u. s. w. vom Hingeschiede- 
nen in den „Astronomischen Nachrichten" veröffentlicht. 



Zur Charakterisirong Simon VOH Stampfor'S. 

In der interessanten „Biographischen 8kiz2e'' des aU 
Bergmann, Mineralog und Reisender berühmten J. Kusdegger, 
die, von ihm seihst verfasst, in dem Almanach der kaiserl. 
Akademie der Wissenschaften in Wien. Jahrgang 1864. 
S. 108. (angezeigt im Literar. Ber. Nr. CLXXI. S. 1.) ab- 
gedruckt ist, findet sich folgende Charakterisirung des trefflichen 
Simon von Stampfer, dessen Tod wir im Literar. Bericht 
Nr. CLXIX. S. 2. vorläufig gemeldet haben, ohne dass uns h\s 
jetzt ein von uns recht sehr erbetener Necrolog dieses ausge- 
zeichneten und trefflichen Mannes mitgetheilt worden wSre"^: 

Russegger, geb. zu Salzburg am 18. November 1802, und 
(luf dortigen Studien- Anstalten gebildet, sagt von sich selbst: 

„So ruckte ich als Bergmann und grosser Reisender in spe, 
in Wirklichkeit aber als ein wahrer Taugenichts, dessen Schul- 
zeugnisse gräulich anzusehen waren, in die sogenannten Huma- 
niora vor. 

Neue Verhältnisse, neue Lehrer; der freisinnige Filz, als 
Professor der Geschichte, der tief und schnell denkende Stam- 
pfer, als Professor der Mathematik, weckten mit ihrem klaren, 
blindigen V^ortrage, gestützt auf die vollendete Sicherheit des 
eigenen Wissens und abhold jedem gedankenlosen Gedächtniss- 
geplappcr, auch in mir das ernstere Streben nach Wissenscbalt. 
Beide Professoren rückten später mit in die Lycealcurse ?or> 
denen der gelehrte Thaner als Director vorstand.** Schnell halte 
ich unter Stampfer*s geistvoller Leitung, die meinem raschen 



*) Wir wicdcrliulen hier unHcrc Bitte. G. 



IMftaihckft Httithl CLXXIU. 

TempafKnienlc »o ItelFlicIi xiiss^lc, das VersSumte eingfibolt und 
die Malliemadk , die WiBseiischan. un tll« ich noch Ana Jnkr xu> 
vor nicht oliiie Scliumler denl^eii kooiite, nurde nuo mein Lieb- 
llni^esliidium iinil lilielt es iielist ilui Physik ivKhrenil meinet ganicn 
BilduDßaxeil. 8lami)fcr uussle ilie, welche im Stittide tvaren, 
soincm «(»as schiiollcii Vorlrage üu folgen, auf eine begeitCernde 
Werne an sich xn kollen. S» erinnere ieh mich, i\a,»a einstens, 
Li:h Wut damals im erstvn phUottoiihiüclien Curite, Se. Majealäl 
'inner T«rewtgti-r Kaiser Frans auf seiner Kcise durch Snlzburg 
juch Oii; dortigen Studienanslalten busuchle. Direclur Thanot 
kam in den Hörsaal, wo gerade Stampfor lehrte, und erkundigte 
nicii bei ilim, ob er hier oder in einem andern Cursu ein paar 
Scliiiler hab*, die allenfnlla vor dem Kaiser ge{trün »erden köiiri- 
trn. Oft rief Slam [if er mich und einen getrissen Zeillinger, 
und stellte uns dem Üirector mit den Worten von Diese sind in 
ilrr Mathematik meine besten SehCiler, die kann Se. Majestät xu 
(rder Zell prtiren Iiishcii. So riihltc kb mich noch nie gehoben — 
jrh n-cts« nidil, ivas ich in diesem Augenblicke .illcs fUr Stam- 
litcT gcthan hütte. Liebe und Vertrauen fciiisellcn mich an den 
Lihrer, der erste, welcher in mir nicht nur den iviMen Hüben 
«ah, dM auch meine bCGKcre Seite erkannle und sie so gifinxend 
hennrhnl). Ui( nocb mehr Lost, mit noch mehr Eii'er verlegte 
h jetzt ani' Mathematik ; die Dahn ivar Rebrochen , das StU' 
I der flkrigen NVtssensc haften «urde mir lur Erholunfr, und 
^ ftustlf! frdher meine Slndien/eugni«ae anEusohen waren, um 
) ebrencalleT gestalteten sie Hieb von nun un und blielien es." 

F.incn sehr erfreulitben Lindruck macht es aurb. mit welcher 

Dankbarkeit Itiixsegger S. 112. des „genialen" Schitko. 

'fufeMotM der reinen und an)reMandten Malhcmalik auf der Ucri:- 

mit in .Schein (litK, und S. 11")—! IG. des trefriirhen Haum^ 

gedenkt. 






^athematto^lier und physikalischer Untemcht. 



TfatKdueali 
r Prvccplora. 



L-b aiiil Journal ot Ibe Cojlogc 



Diese dem englischen Cntcrrichtsnerten im Allgemeinen ge- 
widmete Zellsebrin Ist uns leider erst Jclst bekannt geworden, 
sonst würden wir schon llingnt Alle, die sich für dieses wichtige 
antl. mit Rßekaieht auf unsere deutschen Verhältnisse, vielfach 
cigcnibanilicb gestaltete L'nlcrrrkhtswcaen inleressiren, auf dieselbe 



10 Uter arischer Bericht CLXXllL 

aufmerksam gemacht und sie zu sorgfältigster Beachtung empfoh- 
len haben. An diesem Orte können wir natOrlicb nur auf die io 
den Kreis des Archivs fallenden Partieen etivas näher eingeben. 

An der Spitze des ganzen Unternehmens steht als „Presi« 
deht of the Council'* der Rev. B. H. Kennedy, D. I)., Head 
Master of the Grammar School, Shrewsbury. Unter den ,«Eza- 
miners" finden wir in der Rubrik: „Mathematics and 
Natural Philosophy*' die Herren Rev. C. Pritchard (Cam- 
bridge), Rev. R. H. Wright (Camb.), Rev. T. J. Potter (Camb.), 
Rev. M. Gibbs (Camb.), W. J. Reynolds (Camb.), Rev. G. Frost 
(Camb.), Rev. S. Newth (London), Rev. G.H.Stevens (Camb.), 
J. McDowell (Camb.) — Uns ist die neueste Nummer: 

Toi. XTllI. IVew 8eries, IVo. ftl. Jane, 18«ll 

mit der Bezeichnung: „From the Mathematical Editor: 
W. J. Miller, Huddersfield College'' zugesandt worden, und 
wir können nicht unterlassen, für diese uns sehr in- 
teressiren de Mittheilung liier unseren verbindlichsten 
und grussten Dank auszusprechen. 

In der obigen Nummer finden wir u. A. unter der Robrik: 
„Great Schools of England" eine Relation aber die »»H>kT" 
row School'S als eine Grammar School im Jahre Iff7l von 
John Lyon gegründet, und in dieser Relation eine ziemlich ans* 
führliche Mittheilung über den mathematischen Unterricht auf die- 
ser Schale, über die Gehalte (wie wir in Deutschland sagen) der 
Lehrer der Mathematik u. s. w. In letzterer Beziehung werden 
selbst ziemlich specielle Mittheilungen gemacht, im Allgemeinen 
aber wird gesagt: „The position and powers of the Alalhema- 
tical Masters, in and out of School, are the sanie as those of 
the Classical Masters", also auch in äusserer Beziehung vuUige 
Gleichstellung der Mathematik mit den classischcn Studien, wie 
in England überhaupt. Interessant ist uns auch die folgende Notiz 
über die Ertbeilung mathematischer Preise auf der genannten 
Schule gewesen: „There is a special voluntary ez^tmination once 
a year for four mathematical prizes-a gold niedal of the value of 
ten guineas *), founded by the late Mr. Neeld; books wortb five 
guioeas, and two other prizes of two guineas and a half eacb, 
likewise in books. The first and second prizes are given to tbose 
who stand first and second in the examination, the second and 



*) Eine Guinec hiit den Werih von 6.373 Thim. in prenat. Frie- 
drichsd'or zu 5 Thir. 



i 



Ulfrailaeher BerUJIt CLXXlll. 



Eui'liil Bild nrithmelic respecllvely. 
(iiiged froiii 12 to 40 or 50. The 
id is eaid to Le us much prixed as 



Ihlnl ID Iboäe who Oo bo§t ii 

The nombrr iif competilors 
incdal \a a bigh dbliiictioii, a 

inv ulhcr in Ihe Scitunl." 

Ovr Grunil aber, nelcher uit8 die Verpflidilung Duflcftt, an- 
dere Lwer auf diese Zeitschrin recbt scbr nuTmerlisani zu macben, 
iit-^'.t voTzugatveiae durin, dass nanienllith und zunHchst in der 
"liigen Niimmer sich ein grosser Schatz mathematischer Aufga- 
l'i'ii rmdel, die all« Beachtung verdienen, namenllieb auch von 
Vorrassern vnii AurcabensamtnluTigen Eorgfältig beracksicbtigt 
vicrden niüsaen. Seite 55. ff. uerden unter der Ueberschrifli' 
..ülnthernntlcnl Perlodicikla. The Lady's Diary. Que- 
elions conlinuvd" aus diesem älteren Journal (1752) viel« Auf- 
Haben railgelheilt; und ferner findet sich S. 6*1.— S. 60. ein grosser 
lieicbthum von Aufgaben (Ihellweise mit AuflO»ungen) und Sätzen, 
tnilgetbeilt von den Herren W. Crofton, E. Fitigerald, Cay 
ley, T. Culteril, T. A. Hirst. F.D. Thomson, J, üale. 
W. A. Whitworth, \V. S. Butnside, Sylvester, K. To«i.- 
eend, R. Tucker, Ur. ßoolh, H. McCoIl, H, R. Greer, 
J. Griffiths.M. Coli in», N' I mporte, O'CalUgbnn, J. BUb- 
sard, R W. Flood, \V. K, Clifford, Strebor; auch ein län- 
gerer Aufsatz : „On tbe Cnvelopc in Quesliori 16711. (Ahrid. 
ged (tom a paperby Steiner in Ibe ßSrd volumeofCrelle's 
Joninal) mit ISoten." 

Wir ernpl'ehlen nochmals diese Zeitecbrifl aus obigen Griln- 
dea am n» mehr zur Beachtung, v/eW man auf den ersten Anblick 
einen solchen Iteichihnni lehrreicher MitlliGilungen in derselben 
nicht Biidi«n sollte, und hoffen epüler auf dieselbe zurückzukämmen. 



^^T A r i t h m e t i k- 

Prakllsche Anwoudungen fiir die Integration der 
totalen und purtialun Differentialgleichungen. Von 

PO. W. Strauch, Reclor der höheren Unferrichts- 
laltxDMuriim Kanton Aargau. Erster Band, ßraun- 
weiR. F. Vieweg und Sohn. 1865. 8". 

Ohne uns hier bei der Kärze dieser literarischen Herichle 
auf auBfQhrliche Beurlhcilungen und Darlegung elwaniger abwei- 
chender An-slchlen einlassen zu künncn, glauben wir diesem Buche 
ocb das Zeugniss nicht vorenthalten zu dürfen, dass dasselbe im 
Unzeit wohl geeignet ist, einem längstgefttbllen Bedürfnisse abzu- 



12 Liier arischer Beric/U CLXXIII. 

helfen, da Niemand mehr als ivir überzeugt sein kann, dass die Inte- 
gration der Differentialgleichungen hauptsächlich und ganz vorzugs- 
weise durch die vielseitigsten und vielfachsten Anwendungen ge- 
übt, ja erlernt sein will. Wir heissen daher ein Buch wie das 
vorliegende mit lebhaftester Anerkennung des auf die Ausarbei- 
tung desselben hier offenbar verwandten ungemein grossen Fleis- 
ses, unter Umständen willkommen, und empfehlen es, zugleich 
mit der Bemerkung, dass den singulären Integralen besondere 
Aufmerksamkeit gewidmet worden ist, zu sorgfältiger Beach- 
tung, müssen uns aber — wenigstens für jetzt — mit der folgenden 
Angabe der Hauptrubriken des sehr reichen Inhalts begnügen, 
behalten uns indess vor, auf einzelne Partieen und mit Rücksicht 
auf einzelne Aufgaben später, vielleicht im Archive selbst, in 
einer mehr eingehenden Weise zurückzukommen : 

Krkll&runi^ eini|^er Bezciclin unweit • — firate Ab« 
tlieilunir, wo Bolclie Totaldi fferentlHli^lelcliaiiyeB In« 
te^lrt werden, die nur mit swel Verlinderlletaen 
verseilen sind. Erster Abschnitt, welcher eine Ein- 
leitung theoretischen Inhalts enthält. A. Theorie der 
Integral^ichungen, die den mit nur zwei Veränderlichen ver- 
sehenen Totaldifferentialgleichungen entsprechen, a. D\e vor' 
gelegte Differentialgleichung ist eine der ersten Ordnung, ß. Die 
vorgelegte Differentialgleichung ist eine der zweiten Ordnung. 
y. Schluss. B. Theorie für die Anwendung der Integralglei- 
chungen auf die ebene (leometrie. Allgemeine Betrachtung. «.Die 
vorgelegte Differentialgleichung, deren Integralgleichung auf die 
ebene Geometrie angewendet werden soll, ist eine der ersten 
Ordnung, ß. Die vorgelegte Differentialgleichung, deren Integral- 
gleichung auf die ebene Geometrie angewendet werden soll, ist 
eine der zweiten Ordnung, y. Schluss. — Zweiter Absefcnitf, 
welcher lauter praktische Aufgaben enthält. A. Auf- 
gaben aus der ebenen Geometrie, wo Totaldifferentialgleicbuo- 
gen der ersten Ordnung integrirt werden. I. Bestimmung von 
ebenen Curven, bei welchen die Länge der Tangenten und Nor- 
malen gewissen vorgeschriebenen Bedingungen genügt. 2. Be- 
stimmung von ebenen Curven, bei welchen die Lage der Tangenleu 
und Normalen gewissen vorgeschriebenen Bedingungen genügt. 
3. Bestimmung von ebenen Curven, denen gewisse Eigenschaften 
des Flächeninhalts oder des Bogens zukommen. 4. Bestimmung 
von Trajectorien ebener Curven. 5. Bestimmung der Tractorieu 
ebener Curven *). 6. Bestimmung von Trochoiden ebener Carven 

*) lU'i den TrajtTtorion, di*n reci|iroken Trajectorien, den Tracio- 



illfrnriscAer Brrichl CKXSIII. I5 



^Bpwt »tnigen umgekehrten Aufgaben. 7. Uesllmmung von Kvnl- 

^^Kll^'i e'*«"^' Curven. M. ßcslimmung von ebenen ('unen, ileueo 

^nbie Tvrgcschriebene Fii88{iUTil(lctii!iirve angehllrl. B. AuT^aben 

ins der plienrii (leomelne, no Tolnlilifferentialgleichuugeii der 

. .^citc■^u^(I Hrilten Urilnung hilegtirl werileri. 9. Bostimmong 

vo n ebenen t'ufven, bei »eichen die Lange des Krüimutings- 

^^Bbinesfiers getviseen Berlingungen genügt. 10, Bestimmung rnn 

^^^nen Curven, bei tveHben üie Lage des Krunimutigskreises oder 

^^|CKrlbHniungsinittel[>uTililesgCH*ifiBen Bedingungen geuilgl. II. Be- 

^■tunmung von übeoen Curven, denen gewiese Eigenscharieu de-'' 

Fläch emnhalti und des Bogens xuliommcn^ Xl. Bestimmung von 

Evolventen elieuer Curven, l;t. Beslininmng von ebenen Curven, 

■leren KrflmmungshaibmcsRer mit dem Kriimmungt^hnibmesfior Am 

I£i()lnle in einer vorgexchricbeuen Heintion steht. IJ. Bestimiiiung 

I ebenen Curven, denen eine vorijeschriebcne Brennünie zq- 



l Di« Xnsscre Ausstattung ist iti elegant wie sie nui 
P'FortsetKiing sehen «ir mit Verlangen entgegen. 



Geometrie. 



Iilr 
; 
Snlle traeformaaioni geonietriche dellc ligur© (liane. 
IbIK (lel ProT. Luigl Crcmona. (Estratia dal tonio V 
(eerie 3«) delle Memorie de!!' Accademia delle Seiende 
deir Islilulo di Bolo£;oa). Uologiiit. Ti|M Caraberini e 
Parmeggiaiii. 1865. 4". 

Diese Schrift des der Bearbeitung und weiteren Ausbildung der 
neueren (äeometrie, namenllich der allgemeinen geometrischen Curven- 
lehre, ^ich so eiTrii; und mit so grossem und iiusgezeichuetem Erfolge 
ividinenden Herrn Professor L. Cremona In Itiilogna ist aU eine 
Korlselzung seiner in unserem Literar. Ber. Nr. GLXIll. S, 6. an- 
gezeigten „Nota I" Ruile (rasformazioni geomelriche delle 
figure jiiane" zu betrachten, und niruiiissen alle unsere Leser, 
fvelcbe sich mit der früheren Schrift bekannt gemacht haben, 
^dringend aurTordern, auch sowohl den in dieser zweiten Schrill 

I manrlicn nnderen l'Hrlicen )iäili-ii iviitil din liüli'n liicrher 
B cnthallenilpii Hiiaführlicticn Artikel ilr^ K li'igcI'iGlicR ma- 
kat lachen Würtarlitir h t und seiner Su|>plenicn[c elwRi mehr 
Ickainhllgimg Terd(<Tiit, 



14 UUrarischer Bericht CLXXIIL 

niedergelegten neueren schonen allgemeinen Cntersucbungen Aber 
Cnrven und Curvensysteroe, als auch der specielleren aasRlbr- 
lichen Betrachtung der Jacohi' sehen Curve ihre besondere Auf* 
merksanikeit zu widmen. Denn, ohne uns wegen der Beschränkt- 
heit des Raumes auf weitere Ausfuhrungen einlassen la kSnnen, 
wollen wir nur bemerken, dass eben das sorgfliltigste Studium 
dieser Jacobi*schen Curve der Hauptzweck der vorliegendeD 
Abhandlung war, indem der Herr Verfasser selbst darüber sich 
folgendermaassen ausspricht : „ Pero lo scopo principale di questa 
seconda memoria ^ uno studio intorno alla curva JacobiaDa, 
cioe intorno al luogo dei punti doppi delle curve di una figora 
che corrispondono alle rette dell' altra. Tale studio chiarirä che 
la Jacobiana si decompone in piu linee di vari ordini« e che i 
numeri delle linee di questi vari ordini constituiscono una solaiione 
delle diic equazioni di condizione sopra citate *). Le soluiioni di 
queste due equazioni si presentano cosi coniugate a due a dae. 
Ho auche potuto determinare aicune coppie di soluzioni coniogate 
corrispondenti ad n qualunque : ma la ricerca del completo sistema 
delle soluzioni supcra di troppo le mie forze perche io non l'al)- 
bia a lasciare a chi puö rivolvere i difficili problemi del-Tanalisi 
indcterminata." Ueber die Jaco bi'scbe Curve s. ni. das Nfihere in: 

Einleitung in eine geometrische Theorie der ebe- 
nen Curven von Dr. ü. Creaaoua. Nach einer ffir die 
deutsche Ausgabe vom Verfasser zum Teil umgearbei* 
teten Redaction in's Deutsche übertragen von Maxi- 
milian Cartse. Greifswald. Koch'sche Verlags- 
buchhandlung. 1865. 80. S. 132. tr. 

Wir empfehlen die vorliegende ausgeieichnete Schrift den 
Liebhabern der neueren Geometrie wie schon früher» hier von 
Neuem recht sehr. 



Geodftsie und praktische Geometrie überhaupt. 

Lehrbuch der axonometrischen Projectionslehre 
von Dr. M. H. Meyer und Dr. C. Th. Meyer. Hit 51 Ta- 
feln Abbildungen. Leipzig. Hassel. 1855 — 1863. 8^. 



Die Anzeige dieses 410 und im Anhange 71 Seiten ui 
senden, von einem aus 51 sorgfältig entworfenen und geseicioe- 



*) Uebcr welche iwei Gleich angen die No(n 1« dae Weitere est- 
half, niif welche überhaupt biebci Immer xurArlcxogehen iet« 



UiemriiCher Bericht CLX:XIII. 

I TaAln bMlehenden Atlas ftegleitelen Biicbs, tTokhes jedeii- 

la das vollstSndigsle unü nusfuhtlicbste Werk ist, ilas wir über 
nuiatuelnache Proj«clion Ijeeitzeii, ist durch zuRtllig« Unistäiide. 
iB|iUlcblich aber dadurch venügert wonleii, dafls <lic erfile 
crauflgsbe nur aach uiiil nuch in einzelnen Herten — und in 
prn Zwiechenxeiteri — ^folf^te. Wenn wir nun nucb rreilicfa 
knuMeizeii «lürren, ilaw das VVerli bereits hinreichend be- 
kBnl Isl, 80 ivollen "ir doch noch eine kurze Anzeige, iiisbeson- 
BTO «ine fibersichtliche Anzeige seines IhIiaIIs nachholen, weit 

r af1erdini;8 glnubeii. (läse es seiner Ausrüfirlicbkeil und lieiit- 
ehkell und der vielen in ^ini entbnltenen, durch snrgTaltige 2eich- 
BDgen Bfliiulerlen I)eit<|jicle, endlich nucb der vielen in dem 
^ubnnfie niitgelheillen ennatrucliven Aufgaben Über die KegeU 
chuUte wegen, ein gulcR Ilüirsniitlel Tiir Lehrer beim Unter- 
ofil« darbietet, und iti dieser Beaiebung denselben 7Mt lleucb- 
ing empfobleu xu werden verdient; wobei wir noch bemerken 
oll««, dass bei der nmlhemntiscben Darstellung die Herren Ver- 

wer eich nur elementarer, über die e|iblJrischo Trigonometrie 
cht hinauBgnbender, die analytische Geometrie also ausschlies- 

DtUr Uairsmitlel liedient haben. Der liauplinhalt ist fidgender: 
\a\mtaiig (ABch. so wie die Vorreiic, Historisches und Literari- 
pn Mititallcnd). — Malhemnliscbe iiegriiiidung (durch sphärische, 
'■ ' bloss durch ebene Trigonniiielrie). — Anweiidborkett. — 
kichnung des Azensynlems. — Allgemeine Sälae und An&ab- 
Angabe und Enlnehmen der den Axen parallelen Linien 
P'orjttDgung). Hypothetische Vergrüsserung. — I. Abschnitt. An- 
irtignng axnnomefriscber Zeichnungen nach geometrischen Kis- 
' II. Abschnitt. Anfertigung axunomefrischer Zeichnungen 
Kb gegebenen Maassen. I. Aullragen und Abnehmen von Win- 
1 unrf Lungen in axonomelr Ischen und au sseraxono nie tri sehen 
IWnen. 2. Wichtigste Sätze der descri{itiven Ueometri« über 
p'ade Linien und Ebenen in ihrer axonometriücben Darstellung. 

AvUragen und Abnehmen von L.fngen und Winkeln in belie- 
! Ebenen und das Zeichnen von Ebenen und Linien nach 
twissen gegebenen Bedingungen. 4. Axonometrische Uaralel- 
Dg ebener geradliniger Figiirenundebentlüchlgef Körper. 5. Durch- 
logÖDgen. 6. Axonotnelrische Üarstellung krummer Linien und 
r Flächen. — Der Anhang enthütt, wie schon erinnerf, 

I grosse Anzahl constructiver Aufgaben über alle drei Kegel- 
bnitt«. die des Interessanten lUancbes darbieten und auch zur 
Mutzang bei'm Unterrichte in der Lehre von den Kegelachnit- 
■ an sich beachtet zu werden verdienen. 



lÖ Literarischer Bericlit CLXXIIL 



Astronomie. 

Kefractors-Beobachtungen der Kün. Universitäts- 
Sternwarte in Upsala. Vom Februar 1862 bis Januar 
1864. Zur Distribution an die Astronomischen Institu- 
tionen und Fachmlinner. Upsala. Edquist & Bergland. 
1864. 80. 

Diese in deutscher Sprache herausgegebenen Beobachtungen 
der Sternwarte in Upsala geben ein höchst erfreuliches Bild von 
der fruchfreichen Thätigkeit dieser berühmten, unter der Direc- 
tion des Herrn Professor Dr. Gustav Svanberg stehenden ilo- 
stalt. Dieselben sind früher in der „Upsala Universite ts 
Ärsskrift'S deren Jahrgang fiir 1861 wir im Literar. Berichte 
Nr. CLV. S. 14. auslilhrlich angezeigt haben, erschienen und nun 
in höchst dankenswerther Weise in dem vorliegenden schonen 
Werke zur Verthcilung an Institute und Fachmänner gesammelt 
worden. Die sämmtlichen Beobachtungen sind von dem zweiten 
Astronomen und Observator, Herrn Dr. Herman Schultz, an- 
gestellt und augenscheinlich mit der grussten Sorgfalt und Ge- 
nauigkeit, unter Anwendung niler neueren Hiilfsmittel und Me- 
thoden, berechnet und reducirt worden, so dass den Astronomen 
mit diesem Werke unbedingt ein sehr wichtiges Geschenk gemacht 
worden ist. Der Inhalt ist folgender: 

Mars- Beobachtungen 1862, 
Asteroiden - Beobachtungen 1862, 
Beobachtungen des Cometen II 1862, 
Beobachtungen von Nebelflecken im Jahre 1863, 
Beobachtungen einiger Asteroiden und der Cometen des Jah- 
res 1863. 

Jeder dieser Abtheilungen ist eine überall sehr lehrreiche. 
Einleitung vorangeschickt, welche über die angewandten Instra»^ 
mente und deren einzelne Theile, ihre Leistungsfähigkeit, Be- 
richtigung u. s. w. ; über die angewandten .Berechnungs* und 
Reduclionsmethoden u. s.w.' alle erforderliche und irgendwie vrOn- 
schenswertbe Auskunft ertheilt, so dass diese Einleitungen auch 
im Allgemeinen für jeden Astronomen von grossem Interesse 
und sehr instructiv sind. 

W^ir wünschen den Herren Herausgebern Glück zu der Voll- 
endung dieses Werks, und hoffen die Wissenschaft recht bald 
mit seinen Fortsetzungen weiter bereichert zu sehen. 



v^. 



tlttTHriithfr llertcM CL.WIU. 



N a 11 t i k. 

UBBdbach Her iSaulik iina ihrer HüITah isgonB<:bar- 
ten von W. v. Frefiden, Reclur iler Croosherzotilicti 01- 
d»HbnrgUGhen NAvigatioTisscliiile. Olilenburg. Schalle. 
I8ft4. 8". 

WEf glauben, dsM dieses neue Kandbnch der Naalik wegen 
«einer augenscheinlich vnrherrHrheml prnklidchen Tenilene und 
«PRen der »ehr itrosst-n Antnfil vnlUtHndi;' misiiprerlineter. lohr- 
reicher nnmerischer Keis|)iele, auch nppen seiner Vnll«tliniligli«it 
und Di-ullicblceil, üich nnler dem nanliachen Pnblibum Freunde 
*riT«il»en wird, ivnhei wir nur, um nicht missverelaniten zn "er- 
den. Iieiaeiken n-n||<<n, duss, ivenn wir auch vnrhrr die Tendenz 
des Buchs eine forberrNcbend (trakliticfae nannten, daneben duch 
auch die theoretische Begründung nirgends Tehlt. blanche Ge- 
gensl.'inde sind in demselben BusführlicIieT dargeNlelll und bespru- 
chrn, nie in manchen anderen nnutischen Lehrbtichern, wie 
. S. B. du «o wichtige Segeln ira gr^Mtilen Kreise, dem der ganze 
tiAnltn JLbschnitt der gewöhnlichen Schiflfsrechnung genidmel ist. 
I'.O* alcb voiaussetxen ISsst, das» auf der Oldonburglschcn Nävi- 
lijifliMuscbule (in EleflethT) der Unterricht nach diesem reichhal- 
" Lebrbuche nberall mit Iheoretischor Begründung ertbcill 

irfrdt so verdient derselbe gewiss die rUhmlichale Anerkennung. 
Per dgeniliche Mattiemaliker möchte freilich in der mnthemali- 
I Oafstellunc, namentlich in Betreff der llüirttwissenecbarten, 
t grSasere Eleganz, KUrxe und Strenge, bo wie eine grila- 
rwtrBBctflckiikhtigung mancher neueren Darstellnngs- und Entwlcke- 
n wdnschen; aber freilich tritt bei dem hier eigentlich 
Mlhdligten und inleressirten Publikum das relu theoretische Inler- 
«Bse ««hr in den Hinlergtund, dasselbe eilt eo schnell als mfig- 
llcb tur wirklichen praktischen Anwendung, legt mehr Werth auf 
diB ReauKate als auf die dazu fübrenden Wege, und wiinscbt, 
bei grüMler Anxchaulichkeit, letztere so schnell als möglich au 
darchlaufen: daher wollen wir auch rücksiehtlich der iheorell- 
acbeu ParticBn seines Buchs mit dem Herrn Verfasser nicht rech- 
ten, eonpfeblen dasselbe im Gegenlhell nochmals dem nautischen 
Pabfikam zur Beachtung, das auch rdckBichtlicb der Behandlung 
der nautischen Inslmmente alleB ihm Wanschenawertbe und 
NStbtge hier finden wird. 



18 UieraHschtr Bericht CLXXllL 



Physik. 

Abhandlungen über die mechanische Wärmetheo- 
rie von R. Clausius. Erste Abtbeilung. Abhandlungen, 
welche die Begründung der mechanischen Wärroe- 
theorie nebst ihrer Anwendung auf die in die Wftrme- 
lehre gehurigen Eigenschaften der Körper und auf die 
Dampfmaschinen-Theorie enthalten; vervollstMndigt 
durch eine mathematische Einleitung und durch erlSo* 
ternde Anmerkungen und Zusätze. Mit in den Text 
eingedruckten Holzstichen. Braunschiveig. F. Vieweg 
und Sohn. 1864. 

Der Herr Verfasser und der Herr Verleger verdienen jeden- 
falls sehr grossen Dank, dass sie die an verschiedenen Orten 
public! rten Abhandlungen des Herrn Professor Clausius Gber 
die mechanische Wärmetheorie dem mathematischen und physi- 
kalischen Publikum in diesem Werke gesammelt vorlegen» ver- 
sehen mit einer grosseren Anzahl von Anmerkungen und ZusStxen 
und mit einer mathematischen Einleitung, welche in ähnlicher 
Weise, wie es in Dingler's Journal geschehen ist, die Be* 
handlung der hier zur Sprache kommenden Differentialgleicbnn* 
gen in lehrreicher Weise bespricht. Der Inhalt dieser ersten Ab- 
theilung ist folgender: Mathematische Einleitung. Ueber die 
Behandlung von Differentialgleichungen, welche nicht 
im gewM'ihnlichon Sinne integrabel sind. — I. Ueber die 
bewegende Kraft der Wärme und die Gesetze» welche 
sich daraus für die Wärmelehre selbst ableiten las- 
son (mit vielen Zusätzen). — II. Ueber das Verhalten des 
Dampfes bei der Ausdehnung unter verschiedenen Um- 
ständen (mit Zusätzen). — III. Ueber den theoretischen 
Zusammenhang zweier empirisch aufgestellter Gesetie 
über die Spannung und die latente Wärme verscbie« 
dener Dämpfe. — IV. Ueber eine veränderte Form des 
zweiten Hauptsatzes der mechanischen W^ärmelehra. 
— V. Ueber die Anwendung der mechanischen HVär- 
metheorie auf die Üampfroaschine (mit Zusätzen). — 
VI. Ueber die Anwendung des Satzes von der Aeqai- 
valenz der Verwandlungen auf die innere Arbeit (mit 
Zusätzen). — VII. Ueber einen Grundsatz der mcfchani- 
schen Wärmetheorie. — VIII. Ueber die Concentration 
von Wärme- und Lichtstrahlen und die Grämen ihrer 
Wirkung. 



UieiarlacUfi liiilcJil VLXXJU. 



sehen der iircilcn AbtheiluDg lUeBer nehr vcrdletist- 
1 S>mnllu^g mit V'erlniigpn cii([;egen. 



Cntulogue des apjiBrcil« d ' Acouslique consiruit« 
^r Rudolph Kaenig. Paris. Rue Uautefauilk 30. 1805. 8». 

Die berühmte Werkslnite iles Herrn Riid. König in Paris 
r alciwlische Instrumente ist gewiss den meisten Lesern des 
kWt» (m. s. ». B. Liierar. Ber. Nr. CLXVI. S. 2.) bebatint. Wir 
aber sehr, den Lesern den Inhalt des uns gliligst 
bigelheilten neuesten Calalugs des Herrn R, Klinig mittbeilen 
I kfliin«n, indem irir bemerken, dass dieser Calalog syatematiacb 
^orifnet nnd mit sehr sehuncn, einen grüsscren Theil der Inslru» 
B durfitcflendeii HuUschnitten ausgestaltet ist, so dass dor- 
, auch abgesehen von seinem niirhsten Ziveclte, Für jeden 
^ysilter sehr lehrrei<:h ist und namentlich auch allen Lehrern 
r Physik dringend anr ^ur^ßltiicsten Beachtung empriihleii ner- 
, die ellgleich in demselben die Prei~->e, im Verblillniss 
\ (Ut Scfafinlieit der Inslnimentc, nur sehr massig gestellt linden 
Die Anzahl der in diesem Catalog angezeiglen Inatru- 
e betrügt im (Ganzen 'iSI; sein Inhalt ist nach den Haupt- 
I folgender: I. A|>|iareils pour la production du son dans 
I Jirindpaux cas. p. 3. ~ II. Urigioe et ualure du son. p. 6. 
I III. Lea Irois qualil^s Tündanienlales du son, la hauteur, 
|lnlnsil« et le timbre. p. K - IV. Les aulrea propri^t^s 
I'ropagalioa, n^flexion, .liffraotion, relVaclion, 
■ nflavnce du moiivemcnt de Iranslatiiin du corps vi- 
braoL p. 1^. — V. Viltcationssimples detidifferents cnrpüsiuiples. 
pplonnss et masaes d'air, membrunes, cordes, verges, plaques. 
\7. — VI. rommunicalion des vibralions. Vibrations des corps 
«scs et vDirations compiät^s dans des curps simples, p. 'i6. 
II. Pbiinomenes resnitant -le la cnexistence de plueienrs sons 
l'air. Iiilerl'iircnce. Ballements. Sons r^snltants. 
— Vlli. M^lhqdes d'ohnervatinti des viliraUnns sonores suns 
[ SMOara de l'oreille. Methode graphi({ue. Methode op- 
Mdtbode des Hammes manomcitri ques. Mt^lhodn 
bAAt sur l'obKervation des vibralions Irop lentes pour 
I enteiidues, raais rendues visibles pur la grandcur de l'am- 
i. p. 38. — IX. Apiiareils jiour la reprtiscnlalion mecanl- 
nmouvemenls vitirntoires et onJulatoircB. p. 40. — X. Quel- 
ipareils d'acoufitiijiie dun usago pratique. p- fiL — XI. Mod^es 
»mle elastique. p. 52. 

HSge das so buchst verdienstliche, zur Förderung einer in- 



20 Uterartscher liericät CLXXIJI, 

teressaDten, lehrreichen und anschaulichen Einführung in das Reich 
des Schalls so sehr geeignete Unternehmen des Herrn R. KOnig 
die tillgemeinste und ausgehreitetste Beachtung finden! 



Vermischte Schriften. 

Giornale di Matematiche ad uso degli stndenti delle 
universita itaiiane» pubhiieato per cura dei -Prdfess^ri 
G. Battaglini, V. Janni e N. Trudi. Napoli. (S. Literar. 
Ber. Nr. CLXXI. S. 15.). 

Volume III. Gennaio 1865. Sopra aicune formole relati?e 
ai coefiicienti biironiiali; per P. Tardy. p. 1. — Sülle traversali 
nel triangola; per A. Dorna. p. 4. — Soluzione della quiBtioae 
32; per E. d*Ovidio. p. 5. — Sei. d. quist.32; per G. Torelli. 
p. 7. — Teorema sopra i äcterminanti ; per A. Mogni. p. 10. — 
Ricerche di analisi appiicata alla Gcometria; per E. Beltrami. 
p. 15. (Cont. Vcdi Vol. II. p. 375.) — Sulla forme hinarie di 2^ 
grado per G. Battag lini. p. 22. — Sülle forme hinarie dei prlroi 
quattro gradi; per G. Battaglini. p. 24. — Sol. d. quist. 43; 
per F. Armenante. p. 31. 

Volume III. Febbraio 1865. Ricerche di analisi appfi» 
cata alla geometria; per E. Beltrami. (Cont. Vedi pag.22.) p. 29L 
^ Formole pel calcnlo delle orbite di pianeti e comete per A. de 
Gasparis, p. 42. — Soluzione della Quistione 35; per A. At- 
men ante, p. 47. — Sülle forme hinarie dei primi quattro gradi; 
per G. Battaglini. (Contin. vedi p. 31.) p. 51. — Rivista Biblio- 
grafica; sulla teoria delle coniche; per L. Cren^ona. p. 60l (Ueber 
die bekannten, vorzugsweise die Kegelschnitte netreffenden Abhand- 
lungen von Chasles in den Comptes rendus. 1864^ If^vrler» 

— 15 f^vrier. — 7 mars. — 27juln, 4 et 18 juillet. — l-'.aoüt — 
22 aoüt). — Qnisticme. p. 64. 

Atti deir Accademia Pontificia de' Nuovi Lineei» 
coropilati dal Segrctario. (Vergl. Literar. Ber. Nr. CLXXI. 
p. 18.) 

Anno XVIII. Sessione HI« dei 5 Febbraio i86S. Ri* 
duzioni delle osservazioni niagnetiche, fatte all' osservatorio dsl 
Collegio Romano, dal 1859 al 1864. Del P. A. Secchi. p. 107. 

— Formule per determinare la temperatura di un ambiente, 
osservarla. Nota dei prof. P. Volpicelli. p. 233. 



Literarischer Bericht CUMV 



Literarischer Bericht 



CLXXIV. 



A r i t h in e t i k. 

Sülle Qaadraturc, Nota del Coninioiitfatoro ^^ 1 ar<Iy, 
Professoro di Calcolo Differentiale o Integrale nclhi 
lie^ia Universita di Geiiova^ Üircttore de^li Stinli riella 
R. Scnola di Marina etc. etc. Inscrita uel Tomd sccondo 
della Serie seconda delle Memnrie della Socicta Ita- 
liana delle Scienzc residente in iModon.u Vi pir» r.ifia 
doir Erede Soliani. 1865. 4<\ 

Wir glauben unsere Leser auf dieses Interessant» iiuil fiir 
die Theorie der mechanischen Quadratur sehr wirlili:;o .Mfiuoir^.' 
recht sehr aufmcrksani machen zu müssen. Dor nri'erz' ich riete 
Herausgeber des Archivs hat dieser \vichtii;en Theone selbst zwei 
ausßihrliche Abhandlungen gei;\'ic1niet: 

Üebcr die* nUherungsireise Ermitteliin:: dor Werthe 
bectimmter Integrale. Archiv. TM. \IV. Nr. \ \. 
S. 225.— S. 317. 

Ceber Interpolation und mechanische (^Miat' ; a dir. 
ThI. XX- Nr. XXXIII. S. :]01. — S.4IS. 

in denen er vorzüglich die lilntwickclun:; und die genaue und soharfe 
Begründung der Formeln von <''otes und (lauss. einer Forniol 
von LaplacOp und ganz hauptsächlich der nach soitior Mvupin«^ 
sehr wichtigen, aber, uie es scheint, weiji'^rr i» ^:vir«i' n Cnrrec- 
lionsrormeln von Stirling zum Zucck li.'fite. Herr l^innrnfl.'i- 
tore Professor Tardy in Cienua hat in der vorli/v.'OTM]i n ^r'iMnen 
Abhandlang die ganze Theorie der n)oi:lK'^iM Ik*" f ^::it!r.i<"r ii:^ 
ihren ersten Gründen rein analvtiscii onJ'-irk'ir rn! (InJjni <eiv 
Augenmerk bauptsftchlich und ganz vor/.i'i'jli'i! .i'il ili* \n>:rifio vo- 
Restgliedern in sehr henier!«cnsivertlii-»n p!^' rmriiT • •' :'% *;<■ hr» - 

ITiI. ICLY mi. 2. 



2 Uterarischer Bericht CLXXIY, 

Ausdrucken gerichtet, wodurch sich seine vorliegende Arbeit vor 
anderen Arbeiten über diese wichtigen Gegenstände nach unserer 
Meinung besonders auszeichnet und zu sorgHiltigster Beachtung 
sich vorzugsweise empfiehlt. Dabei sind die Arbeiten seiner 
Vorgänger, namentlich die von Cotes, Simpson, Enler, 
Gauss, Poisson, Legendre, Poncelet, Parnientier, 
Weddle, Turazza, Christoffel u. s. w. keineswegs unbe- 
rücksichtigt geblieben, und sind von ihm theihveise vervollstän- 
digt, die betreffenden Formeln aus neuen Gesichtspunkten be« 
wiesen, zuweilen auch berichtigt worden. Ganz besonders hat 
der Herr Verfasser aber auch sein Augenmerk auf eine neue Ent- 
u'ickelnng der sehr bemerkenswerthen Correctionsfomieln ge- 
richtet, welche der berühmte italienische General Herr Mena- 
brea, ausgehend von einer Formel von Fourier, in den Me- 
moiren der Königlichen Akademie der Wissenschaften 
in Turin, Serie 2«. Tom. VIII. gegeben hatte. Uiose kurzen 
Mittheilungen, welche weiter auszudehnen die Beschränktheit des 
Raums uns verbietet, werden schon hinreichend sein, die Wich- 
tigkeit des vorliegenden Memoires des Herrn T a r d y für die Theo- 
rie der mechanischen Quadratur, welches Niemand bei der Be- 
schftftigung mit dieser Theorie unberücksichtigt lassen darf» zu 
zeigen und auf dasselbe dringend aufmerksam zu machen, wie wir 
hicmit zu thun für unsere Pflicht halten. G. 



Physik. 

Die neueren Apparate der Akustik. Für Freunde 
der Naturwissenschaft und der Tonkunst von Dr. Fr. 
Jos. Pisko, Professor der Physik an der Commnnal- 
Oberroalschule auf der Wieden und an der damit in 
Verbindung stehenden Gewerbeschule in Wien, n. e. w. 
Mit 96 i den Text aufgenommenen Holzschnitten. 
Wien. Carl Gerold's Sohn. 1865. 8«. 

Wir glauben, dass durch dieses fleissig und mit grosser 
Sachkenntniss ausgearbeitete, 268 Seiten umfassende« also ziem- 
lich ausgedehnte Werk vielen Physikern, namentlich Lehrern der 
Physik, ein wesentlicher Dienst geleistet werden wird, und dass 
sich dieselben dem Herrn Verfasser mit uns für dasselbe za be- 
sonderem Danke verpflichtet fühlen werden, weshalb wir ans 
auch beeilen, auf dasselbe aufmerksam zu machen. Alle 
wichtigeren neueren akustischen Instrumente, mit besonderer Be- 
rücksichtigung der schunen Arbeiten von König in Paris, sind 
in demselben sehr deutlich beschrieben, ihre Anwendung und ihr 
Gebrauch ist gelehrt, und die beigegebenen sehr guten, in liemlicb 



liurnriicheT B<^iUhi CIXSIX- S 

los^etn Ma&Ksstabe auxgelijhrtcii HolxscIialUo dieiieii setit xu 
l-'_-!f«rxer Voianscbaulichung. ütn die grossä Vullsläadigkeil des 
Werben xu 2t-ig«n, theilen nir im Fulgenilen die Ueberficltrifleii 
Ant llniipInlMcbiillte mit: Einleitung. I. Kesunatoren nrnl Vnckl- 
Aiiitacate nacb Helnihrtlti. II. Vielstimmige äiretie». III. Die 
'lOMclireibekuusI, Pbnrio- oder Vibrographic. IV. Anncndung 
Optik in der Altuslik. V. A|iparale Tür ecbivingeiiüe Suite». 
Ttlneiide Slitbc. VII. T)!ne»de Pliillen. VIII. Die Luft üb 
leitder Kßr|ier (Pfeireo). IX. Ap{>arale bezügticb der Fottpllarr- 
Ming des Schalls. A, Brmitlelung der Schallguschviiiidi^kcit auf 
k\etneicn Strecb«D. B. Die Brechung der •Schallstrufilen. 0. Die 
AeitderuDg der Tnnhübc durvb ruechc Bonegung der Scballquellc 
"der de« Beobachters. Ein Anhang citlblilt Annierkuiigen , Er- 
^.iiizunseii und sehe reicbaltige und surglaltige literariaciie Nach- 
M eise. — M'igc das verdienslliche Werk hei allen Lehrern der 
Ph\-Bilf die gewiss recbl sehr verdiente Beachtung finden. 



Ton 

i 



Vermischte Scbriflen. ! 

Haie di Matematiche ad uao dcgii studen 
Ue nniTersitä ilaliane pultblicalo per cura dei Prn- 
Wi G. Ballagliiti. V. Jani.i e N. Trudi. Wupoli. 
UUrar. 6er. Nr, CLXXIIl. S. 'iÜ.) 

fT»lume III. Marzo J866. Sulla teoria delle superficio; 

r QliBsi Dini. p. 65. — Correxioni. p. ftl. — Ricerrtie dj 

llb) ftppticata alb genmetriai per E. Beltrnnii. p. 83. — Süll' 

bgnxinne per approssimaztone; per Eligio IVlartini, p. Öl. — 

W>MaI ^elle qiiestloni 5, 6, 7; per Ciro Sardi, p. HJ. 

\ Volume III. Aprile t8fi5. Sulla sviluppnliiledi5"urdine; 

> N. Sftlvatore Diuo. p, 100. — Dimosiraaiono di alcutii 

»1 Hulle superficie Bviluppabili di S" ordine; per E. d'Ovldio. 

\'Wi. — Rivista bibliogrnlica; per L. Cromona. p. 113 - 

Teoremn del tnovimento dl un puiilo in un jiiaiio (luando si tien 

conto dclla rotazione dclla terra; per A. Mogni. p. 121. 

Volume III. Maggi» e Giugno 1865. Sulla sviluppa- 

S". ordine; per N, Salvatoro lUno. p. IXt. — Sopra le 

ioBi olgebriche di una verialiile coiiiplesso; dclinila da una 

) dl 3" grado; per E. Betti. p. 1J3. — Di un nuovn 

ma relativo alla rotazione di ou corpo Intorno ad un aase; 

. Tutazza, p. 146. - Avvertenza. p. I4U. ~ Studio ele- 



.i 



Uterarischer Berichi CLXXIV. 



nieiitaro intorno aH'oniologia; per P. Cassani. p. 150. — Teö- 
rema del niovimento di un punto in un piano quando si tien conto 
della rotaziono della terra; per A. Mogni. p. 166. — Dimostra- 
zione di alcuni teorerai sulle superficie sviluppabili di 5*^. ordine; 
per £. d'Ovidio. p. 184. — 8oluzionc delle quistioni 5, 6,7; 
per G. Mola. p. 190. 

Annaii di Matematica pura cd applicata pubblicati 
da Barnaba Tortolini e compilati da E. ßetti a Pisa, 
F. Brioschi a Pavia, A. Genocchi a Torino, B. Tortolini 
a Roma. (Vergl. Literar. Ber. Nr. CLXXI. S. 15«) 

Anno VI. No. 6. Süll' iiitegrazione dell' equazioui differen- 
ziali lineari a coefficienti costanti fra duc variabili. Memoria del 
Prof. B. Tortolini. p. 249. — Intorno ad aicune proprieta deUe 
superficie dir! voluzionc. Nota del Prof, E. Beltrami.p.271. — Impos* 
tiibilita in numeri interi delF cquazione 2"=.'i;" -f 2^" <luAn<loft>tL 
Nota del Prof. L. Calzolari. p. 280. — Intorno all' eqaazione 
a;'^ + yy'^ + 2^ = 0. Nota del Prof. A. Genocebi. p. 287. — 
Bivii4ta blbliogrufiCA« Introduction a la tbeorie des nom- 
bres, par V. A. Lc Besgue. Paris. 1862. — Tables diverses 
pour la decomposition des ^ nombres en leurs fucteurs premicr», 
par V. A. Lo Be8gue. Paris 1864. Del Professor« Angelo 
Genoccbi. p. 289. — Pubblicazioni reccnti. p. 291. 

Wir bemerken hiebci gelegentlich, dass uns froundlicbst e'm 
vollständiges Verzeichniss der sämmtlicben Schriften des berühm- 
ten Herausgebers dieser Annalen, des Herrn Prof. Tortolini, 
unter dem Titel: ^^Elcnco delle Produzionl scientifiche 
di Barnaba Tortolini'* mitgcthcilt worden ist, t«'elches wir, 
als einen nicht unwichtigen Beitrag zur mathematischen Literatur, 
in diesen Literarischen Berichten abdrucken lassen werden, so- 
bald der uns gerade jotzt fehlende Kaum dazu vorbanden ist. 

Hendiconto delle sessioni delT Accademia delle 
scienzo dell* Istituto di Bologna. Anno accademico 
1864--1865. (Voral. «ber das „Hendioonto;" für 1863— 
1864. Literar. Ber. Nr. CLXVII. S. 8.) 

Mit Verweisung auf die vorher genannte Nummer unseres Lite* 
rarischen Berichts wc^cn Zvicck und Einrichtung dieses y,Rcn- 
diconto'* der hcrühintcn Akadenne der Wissenschaften in Do- 
lo gna^ worüber daher hior nichts weiter zu .sagen ist, machen 
wir auf die folgenden, in den Krei.^ des Archivs gehörenden, in 
den verschiedenen ^»itzungen gelesenen Ahhaudluii^cn aufmerksam: 

In A(it 3tcn Sitzuucf, 24sten November 1864, las Prof, Cav. 



^^^^P Uterarhc&iT ßericM CL.\M\. & 

^Krtnio Respight: „Satlfi cnnse del pcriotlu dinrnu 
^BrHi*(ricQ." Die Alihanilluug i»t iti ziemlich uusrahrlicheiu 
^Etaage mllgetlicilt nnd zur Iteaclilung sehr zu empfehlen. — 
^■der Bleo Silsuug, JStcn Deceraber ]S&J, las Prüf. Cav. 
^m!|;1 Crcuiona: „t»irtle tr;islormazioni ge am et riebe 
^BlI* rig u I e |i i All e. No I a '2". " üeber illeHO bereits 
^■btfindlg erscblenetic Mhi'lnc Abbandlan^ ist von una schon 
^B^Literar. lier. Nr. CLXXIII. uusfuhrlicher berichtet war« 
^■hi, worauf wir daher veTneisei). — In ilcr IStcn Sitzung, 
^HO MSrt 1863, wurde gelesen eine „Nola sulla mono- 
^Kana del lUisaissipi, e sojira a» tentativo per 
^Bovare la purlale ilei fiuiii!" inviata dal Prof. Coinmend. 
^H^Britio Htigheiiti. p. J3. mit Bezug auf dns grosse 
^Verk fiber di'ii Missiaip|)i von Humphrey« und Abbot, und 
^me Formel fiber die Geschwindigkeit der Fli'iase. — In der I9teii 
^■bang, 6leD Apiil \>X&, las Prof. Cav. Cremona eine Ahhand- 
^■s almMendcn pensionirlen AUadeniilters Prof. Oav. CheMni; 
^feeir nso delle coordinate oblitiuaii gole nella deter- 
^Mfiftttaiie del monieiiti d'inerzta" p. 54, Aber ivelche wir 
^■Har bMonderK berichten zu («"niicn hoffen. — In der 2lstvn Sitzung. 
■ aitl ISOS, las Doctor Domeiiico Piani: „Sopra alcune 
^■iMtlonl A\ Maleniaiica." pug. Ol. betreffend die Lüsiing 
^Br Imducifoeln Falls ohne Annendung der Reihen von Valz, 
^KArbeiten von RnffiDi über die ISotbivendlgkeil des irredn- 
^Bcte Pitts, über stereonietriscbe und andt^re GcgenetSnde mit 
«tcng auf Arbeiten von Tort icelli, B runacci, Rossi, Perelli, 
Guido Orandi. — In der 'iJslen Sitzung. 18. Mai läßS, las 
Prof. LttrenioDellaCasa: Stil pulcre delle piinte, osser- 
iBioai ed esperienze. p. 04. beireffend Elasticität, Elek- 
eiUt a. s. w. 



Attl dell' Accademia Poatifleia de' Nuovi Lincei 
iApilnti dal Segrctari». Verf>I.Liter. Her. Nr.CLXXUl. 



BDO XV II i. Sessioiie IV". del 5. M«rzo e Sessinoe 

I 'i, Aprile 1805. Sui proKresKi piu reccnti della geogra 

itale. Memoria dl moneig. P. Nardi. p. 340. — Letlere 

■Diebs del Cav. Giuseppe Bianchi. IV. Consideraiionl 

alscenie di Aleteorolof;ia. (Leltera III s.w. Anno XVIII. 

. del 4 Uicetubre 18ti4.}. p. 257. — Sülle osservaiioni 

relogiche c msgoeliebe nell' usservutorio dell' Infaute 

olgi a Lisbiina. Ceniiu del prof. P. Volpicelli. p. 272. 

wohl d»r vorhergehende Brief des Herrn Bianchi, als auch 



(> Liter arhcher ßerichi CLXXIV. 

die Nachrichten, n'elche Herr Volpicelli iu dexn letzteren Auf- 
satze von der £iarichtung und den Arbeiten des meteorologiächen 
und magnetischen Observatoriums des Infanten D. Luigi in Lis- 
sabon, dem als Director der 8ig. Silveira vorsteht, gegeben hat, 
sind sehr interessant und verdienen recht sehr beachtet zu werden). 
~ Ricerche analitiche sul bifilare, tantomagnetometro^quanto elettro- 
metro, sulla curva bifliare, e sulla misura del niagnetismo terres- 
tre. Memoria del prof. P. Volpicelli (Continuazione e fine). 
Quinta Parte. Misura della coniponente orizzontale del niagne- 
tismo terrestre. p. 279. (Die vier früheren Abtheilungen dieser 
wichtigen analytischen Untersuchungen s. m. iu den Atti. VoL 
XVII. und Vol. XVIII. p. I.). — Sur Torigine de nos Chiffres. 
Lettre de M. L. Am. Sedillot a M. le Prince Balthasar Bon- 
eoropagni. p. 316. (Herr Sedillot schliesst diesen in teressao- 
ten Brief mit folgenden Worten : „Quant k ridentification de dos 
chiffres modernes avec les chiffres arabes, eile est bors de doute, 
si Ton consulte les manuscrits arabes d'Espagne du XI' sieefe, 
quoi qu'en dise M. Woepcke, et comme il raflQrme lui-m^me. 
Que ce soit Gerbert ou tout autre qui ait introduit chez iions 
ce nouveau Systeme de numeration, le fait ne peut etre couleste 
et le tableau suivant en offre la meilleure preuve : hier folgen nun 
die Ziffern der Arabes orientaux, der Arabes d'Afriqoe» der Ara- 
bes d'Espagno und die Chiffres modernes, die wir wegen der uns 
mangelnden Typen hier leider nicht mittheilen können, deren 
Aehnlichkeit aber^ allerdings sehr in die Augen fallend ist). 
C*est k M. le prince Balthasar Boncompagni, au savant edi- 
teur du über Algorismi de Jean de Seville, della Tita e 
delle opere di Gherardo Cremonese, du Liber Abbaci 
de Leonard de Pise, qu'il appartient de fixer Fopinion sur cette 
delicute et interessante quetslion.) — A. 8ecchi: Analisi spet- 
trale di talune nebulose. p. 323. — Beigegeben ist diesem Hefte 
der Atti noch eine Iconografia c Sciogralia dell* Osscr- 
vatorio Astronomico eretto nella propria Casa in Mo- 
dena dal Marcbcso Ralmondo Montecuccoll I^aderelil 
und eine besondere Zeichnung Aes Circolo meridiano di 
Starke auf demselben, aus der man von Neuem sieht, wie ver- 
breitet der 8inn für Astronomie in Italien ist, und wie sehr die- 
selbe in der uncigeuniit/Jgsten Weise , so wie von der italienischen 
ßegierung, auch von den reichen und vornehmen Privaten dieses 
herrlichen Landes geförderl wird. 

Sitzungsberichte der kaiscrl. Akademie der Wis- 
senschaften in WMen. (Vergl. Literar. Ber. Nr. CLXXI. 
S. 17.) 



IJIerarlteier Iterlrht rtXXIV. 7 

~ B»nd L. Ileri I. Ula^ek: Transformation und UorechnuDg 
floiger bc»Iirainlen Inlegrale. S. 60. - Stefan'. Heber ilie DU- 
{•erwioD rics Licliles dnrch ürcbung der Polartsaliunttebene im 
CJaarx. S. 88. 

Bnnd h. HcTt II. Stofan: lieber eine Erscbeiiiuiig am 
Newlon'whon Farbenglaae. S. 135. — Stefan: IJeber Inlerferent- 
erscbdnungen im prismatischen um) im Iteugungsspeclrum. S. 138. 

— Oppotier; Untereuclnmg über die Bnlin des Planeten (73) 
„Clyti-i". S. 143. — ünlerdinger: Die Wurzeirormel der all- 
tiMucinen (ileicbimf des vicrlcit (irades. S. 226. — Fritscli: 
[luriclit aber deo verheerenden Hagelfall, der am 13. Juli zwischen 
>4-V l'hr Abends bei Sulx)turg stattfand. S. 23a 

Band L. Heft III und IV. Haidinger; Ein vorhontert- 
srhor Fxtl Ton /nei MetBoroiscnmassen bei Troja. S. 288, — 
DilHt'heiiieT: Uestimmuiig der Wcllenltfiigen der Fraunho- 
it-r'schcn Linien des SnnMensiiectiiims (mit 2 Tafeln). 8. 2{)ft. — 
Wach: lieber ('inige der physiologisehen Akustik angehllrige Er- 
f>i'beinun!>en. S. 342. — Stefan: Ein Versuch über die Natur 
di;9 aniiolaristrlcn Lichtes und die Doppelli rechung des Quar- 
tXM In der Richtung seiner o|itlschan Axe. S. .300. — Üeber Ne- 
bconngv im Ncwton'scheii Farbcnglase. S. 394. — Lippich; 
lolograpben von Sott (mit 1 Tafel). S. 397. — Julluii 
Piebnldt: Ueber Feucrmcleore nach Zahlen, Detonationen, Me- 
wQUI«», Sehweifen und Farben, vergliolien zur Hübe der 
S. 43). 

und lt. Heft V. Haidtnger: der Meleorsteinfall vou 
kladen Kykladen. S. J5S. - U|ipolxer: Ceber den 
driUen Kametcn des .lobres 1864. S, 45U. — Stefan: Ucber 
Interferens des H-eissen Lichtes bei grossen finnguntorschieden, 
S. 481. - Stclnn: Theorie der doppelten Brechung. S. SOS. 

— Wtncbler: Einige Eigenschaften der Transcendentvti, «eiche 
111» der Inl^ration homogener Functionen hervorgeben. S. 3.3L 

Band Li. Heft I und II. Moshammer: Zur TbeoHe 
Lines Systems von Varianten der conoiiüschen Propcllersch raube 
mit 2 Tafeln), p. 4». — Weiss: Babnbestimmung von (ßlt) 
^Inja". 8.77. — UnfeTdingoc Die AunOsong des sphärischen 
'•reiMlfs durch seine drei IMhen (mit I HoUscbnitte). S. 07. — 
Siihrauf: Beitrag m den Ucrcchnungamcthoden der Znillings- 
Uystalle (mit ) Tafel). S. 120. - Mach: Untersucbungcn tlber 
Icn Zdifsinn des Obres (mit 3 Holsscbnitten). S. 133. 




Ulerartscher Bericht CIXX/V. 



Preisanfgabe der Accademia Pontifieia de' Nnovi LmceL 

Die borühmtc Accademia Pontifieia de' Naovi Lincel 
in Rom hat eine Preisaufgabe gestellt und in einem besonderen 
Programm in italienischer und französischer Sprache verGffentiicht» 
welche ivir unseren Lesern, so schnell als es uns möglich ist, 
im Folgenden in französischer Fassung mittheilen: 

ACADI^MIE PONTIFICALE DES NUOVI LIMCEI. 

Programme pour Ic priz Carpi. 

fyAcad^mie, dans le but de confercr le prix annuel» fonde 
par la genöreuse disposition testamentaire d'un de ses membres 
ordinaires, fcu le chevalier docteur Pierre Carpi, propose de 
developper le tli^me suivant. 

T h ^ m e. 

Exposer une methode au moycn de laquellc on puisse defer- 
miner fous les valeurs rationnels de x cap.'ibles de rendre un carre 
ou un cubc parfait le polyn^me A -|- Ba: + Cj;^ + Da* -f E^r*, par 
des valeurs entieres de A, ß, C, 1), E, pourvu qu'une ou plusieun 
de ces valeurs de x existent reeliement, et qiii, en cas contraire, 
en CassG connaitre rimpossibilitd. 

Eclaircissement. 

Une möthodedue au celebre Pierre de F er mat ponr rendre 
un carre 

A + Bo: + Cx^i^Dx^ + Ej;*, 
ou un cube Texpression 

A + Bx + Cx^+Dx^, 

m 

se trouve exposee par le P. Jacques de Billy dans son ouvrage 
intitule: Doctrinae analyUcae iiwentum novum (p. 30 et 31 de 
Tedition intitulee: Diophanti Alexandrini Arithmeticorum UM 
sex, et de numeris multangulis Über unus, etc. Toloaae M.DC.hXX). 
Cette methode se trouve aussi exposäe par Leonard Euler, 
dans les chapitres VIII, IX et X du tome second de son ouvrage 
intitule Anleitung iwr Algebra, traduit eo fran^ais sous le titre 
d' Eldmens d*algebre. 

Le tome Xl^ des Memoires de rAcademie imperiale des 
Sciences de St. Petersbourg (annee 1830) contient plusieurs m^ 
moires posthumes d'EuIer, rclatifs a Tanalyse de Diopbanttf» 
dont Tun est intitule : Methodus nova et facilis fonmilns cubicoi 



■ffüTlMher iitutlii C/..Y.Y/1. • y 

vralicat ait 'jundrafum reducntdi. Ccite m^lhode, »ii In 

ksld^raiil biet), iiVkI aiilre, <Iit Jacobi, que celle <!(■ tu muUi- 

Ballon dtt iiif^gralm el/ipliijiiri ; iii^llioile ilejä [iro|io8ce [iiir 

^ar niÄme ilsiis ses InslilulloHR de Calcnl luli'^r-il, ft nüleurs, 

r rt^floudrR algelinqiienienl l'iSqitiitiiiii triiii^irpnclniitp 



'=/', 



V/'W 
f(x) = .. + b.T + r.T' + rf.r» f e.f*. 

Celtr impurtnrilp nlihcrviilinn ile .lucolti sc trnuvc duBa Ifi 
tbe XIII* iln Joiirtiol ile iiintheiiiiifii/ufi <\p M. A. L. Crellp 
|n^P I83S), (I l'tirticlp: De tiiu tfieoriiie hifef/ralhim e/liptirwi-m 
bttrgratinm AMiaiiorum in avali/si DIofthantea. 
[ La m^llioile donn^e par Pcrmal |iour rendre un cnrre 
A hBi+Cr« hDar' + Ej'» 

i.«iposep aiissi daiis le volumc ititiliit^: Theorie de* nomltret 
ihtime ediliou. Par Adrien IVarte I.egem/re. Tome II. 
r 1830. (p. 123-125.). 
^Dans Uli memoire de Lagrange inlitulö: Sitr qvetquet pro- 
I de tAnalyte de Diopkante, et insere dans les Noneeau.r, 
Memoiret de f Acadimie royale ilei Science» et Bellet- hettreit. 
Anni4 .VDCCLXXFIl. A Berlin lÜDCCLXXIX, est dontiee 
aH««i nne m^lliode paar rösoudre eii nombres ralionncls Ipb 
ef|ualians geiieralea de 3"» et 4"" degre entre dem indeter- 
mince« i, g. 

Cependatit ces m^lbödes snni imparfaites 1". parce qu'elles 
aiippoaent dejä iine Solution connue; 1". parce qu'il n'est pns 
prouve qu'elles fournissenl lautes le» solutioiiü poasilileR. II ae- 
rsit par consequcnt h äinher qn'on en tronvit iine nutre, qiii 
n'eüt besoin de la connaissaiicc d'aucune Solution, Ht connajtr« 
Hl le problüroe anit possible nu non, et dans le cas qu'il soit poa> 
Hilite. et) donnä.t tnutcs lea solutioos; ce qui serait d'iin avanlafie 
remarquable dans la thi^nrie des nombres, ou analyse indeterniin^e, 
et Idi frayerail le chemin ä d'importants progris, n'ayanr et* 
jasqnapT^aeiit satisrait, sauf dans des cas assez particulier» 
traites par des Kavaiits geonietrcH, aux condilions surenonc4es. 
CeU pourrail aussi ätre utile an progr^s d'uutres pnrtiea des 
■cieoces malhematiques, comme on peiif facileinent le voir pur 
■ que Jacebi a indiquee dans roh *crit eile ci-dessus 
t te Probleme expos* et la doctrine des fnncliaiiK eltiptiques. 



H) Uientrischer Heiicht CLXXIW 

Condi tions. 

1^. Los m^moires sur le themc propos^ devront <&tre rödigtfii 
eil Italien, ou en latin, ou cu frani^'ais : nulle autre langue n'est 
adniise. 

2^. Chaqiie memoire portera sur son frontispice une Epigraphe, 
qui sera repötöe a Texterieur d'unc enveloppe cachetee, daiis la- 
quelle tue trouvcroiit le nom et Tadress^c de Tauteur. 

3^\ On onvrira seulement Tenveloppe correspoiidaiite au mi^ 
iiioiro qui aura obtenu le prix. 

4^. Si les autcurs qui auront obtenu une mention honorable 
desirent que TAcademie public leurs noms, il faudra qn'ils en 
iassent la demandc dans les quatre mois qui suivront le jour dana 
lequel le prix aura ete döcern^; ce ternie expire les eiiveloppea 
seront brulees sans etre decachet^es. 

5^. L*Acad^mie a däcidä que» ä Texception de ses trenta 
membres ordinaires^ chacun, quelle que soitsa nationalit^, pooira 
concourir pour ce prix. 

6^. Cbaque memoire avec Teoveloppe cachet^e correspondante 
devra etre envoye franco k rAcademie, avant le dernier jour da 
mois d*octobre I8669 date de la cldture du concours. 

7^. Le prix sera deceru^ par FAcademie dans le mois de 
janvier J867 et consistera en une m^daille d'or de la valeor d« 
Cent ecus romains. 

8*\ Le memoire couronnö sera publik» entiörement ou pax 
extrait, dans les Atti de rAcad^mie, et Fauteur en recevra du- 
quantc exemplaires. 



Rome, 11 juio 1865. 



Le President 

N. Cavalibrr San Bbrtolo. 



Le »ecritatr^ 

P. VOLPICELLI. 



UteruTlmher BfrUltl CLX.W. 



jiterarischer Bericht 

CLXXV. 



I Am täten üctober 18'^ starb eines plötzlichen Todes, der 
|eiitlicbe Prol'esanr der Physik am |)olytechni.<«;)ieii Institute 

Dr. Ferdinand Hessler. 

[ Schon einige Zelt vini seiner Familie vermifsl, «ard er im 
jsilialtscben Kaliincte iva Polytechnikums, seinem Inslitiile, todt 
llDden. Wer, wie der Herausgeber des Archivs, den V'erhliche- 
^ nnd Glieder seiner Ireffllclien Familie, namentlich die Tochter 
I Ata in «ütdigster Weise in die FuB8ta[»fen des Vaters gc- 
teilen 8ohn , (lersiinlich /u kennen, und von seiner grossen 
^enfiW'ü'rdigkeil sich mancher Beweise ton Aurmerknamkeit und 
Hindllcbkeit zu erfreuen das liiiick hatte; wird gans die unend- 
■Hch grnese Trauer, in welche die würdige Familie durch diesen 
Mu plülxlichen, unter besonders lietrQbenden Umständen erfolgten 
Tod versetzt worden ist, zu würdigen verstehen, und aus inner- 
stem Hcrxen derselben wanschen, dass — wie es ihr nicht fehlen 
knnu und wird — der Herr über Leben und Tod sie in seinen 
■Schutz nehmen möge. (i- 

(Jeborcn zu Rcgensbiirg am 23. Februar 1803, machte F. 
Hesslcr die Gymnasial- und philusophischen Studien iu Prag, 
«eine mniheniatischei), naturwissenscliallichen und zugleich juridi- 
schen Studien in Wien, war vom J. 1826—30 supplirende'r Pro- 
fessor der Physik an der UniversitSt zu «raz und zugleich l«29 
eupplirender Professor iler Chemie am ständischen Joanneum, 
1830—35 wirklicher Professor der Physik an der Grazer Univer- 
sität, 1836—38 Professor der Physik an der Prager Universität, 
und seit 1843 Professor der Pby«ik am k. k. polytechnischen In- 
stitute in Wien. In Anerkennung seiner Verdienste war er wtrk- 
li'besDder korrespondircndcs Itlil^lied verschiedener Wissenschaft- 
N-her Gesellschaften und Fakultäten. Er ist der Verfasser des 
Min 1839 an vom Vereine xur Ermunterung des Gewerbsgeistes 
Ib SShmen herausgegebenen „Jahrbuches Rir Technik, Physik und 
' war von 1841 an bis zu seiner Berufung nach Wien im 



2 Uter arischer ßerichl CLXXV. 

Jahre 1843 Redakteur der von demselben Vereine herausgegebenen 
^^Enzyklopädischen Zeitschrift des Gewerbevereins/' und yerfasste 
ein Lehrbuch der Physik für höhere Schulen, sowie auch tod ihm 
mehre wissenschartlich-technische Abhandlongen in verschiedenen 
Zeitschriften erschienen. Et bereiste im Auftrage des Gewerbe- 
vereins zur Ermunterung des Gewerbsgeistes in Böhmen und zu 
industriellen Zwecken in den Jahren 1838, 1839 und 1840 Böhmen 
und andere Länder des usterreichischen Kaiserstaates, mehre 
Staaten des deutschen Bundes, die Niederlande, Belgien, Frank- 
reich und Grossbritannien, und wurde 1840 zum Mitglied der Pro- 
vinzial-Uandelskommission in Böhmen ernannt; er war ein tbätiges 
Mitglied des Beurtheiluogsausschusses von Gew*erbs-Prodnkten- 
Aussteilungen in Prag und Wien, und Wurde von der Wiener 
Handelskammer als Jurymitglied zur allgemeinen Pariser Industrie- 
ausstellung im Jahre 1855 abgeordnet. Als Fachscbriftsteller ver- 
öffentlichte er folgende selbstständige Werke: Lehrbuch der Physik 
nach dem Bedürfnisse der Technik, der Künste und Gewerbe, 
Wien, 1854*); Jahrbuch für Physiker, Chemiker, Mineralogen, Tech- 
niker, Graz, 1835; Jahrbuch fflr Fabrikanten und Gewerbetreibende, 
Prag 1838 und 1839. Im Jahre 1861 wurde Hessler bei der Neu- 
wahl für den Wiener Gemeinderath durch das Vertrauen seiner 
Mitbürger in denselben gewählt. 



Die Mittheiiung einiger biographischer Notizen fiber den in 
diesem Jahre leider verstorbenen Professor Dr. König am 
Kneiphöflschen Gymnasium in Königsberg i. P., dem das Archiv 
mehrere werthvolie Aufsätze (s. Inhaltsverzeichniss zu Theii 
XXV'I. bis XL. S. 25.) verdankt, würde dem Herausgeber sehr 
angenehm sein, und bittet er recht sehr, ihm dieselben h^tdigat 
zugehen zu lassen. 

Auch über den trefflichen, der Wissenschaft leider entrissenen 
Encke möchten wir recht sehr um baldige Mittheilung einiger 
biographischen Notizen bitten. 



Geschichte der Mathematik. 

Histoire des sciences mathematiques et physiqve's 
chez les Beiges; par Ad. Quetelet, DlrecteurderObser- 



*) Die dritte Auflage dieses verdienstlicbon Werks (Wien IM 
Brauniüller) wird von Herrn Prof. Dr. Pisko in Wien fblrtgeseCift» 






Ulernrhc/ter Bericht CLX.XV- 3 

K»fT« Royal de Itruxelles, elc. etc. Uruxcllc^. IM. Ilavez. 



chwierig, aber aticti wie verdienstlich, Benrbeituugeo 
^Geschichte der m^hematischcTi und physikalischen Wissen- 
pften bei einzelnen Vülkeni sind, bähen «vir schon hei 
t anderen Gelegenheit, indem wir niimlich das durch ilcn hoch- 
i\ König Maxim ilion von Bayern in hochherzigster Weise 
, Leben getiifene Unternehmen einer Geschichte der Wtsacn- 
nnd insheaoiidere der mathematischen und jihysikali- 
I Wissenschanen, \n Deutschland*} im Literar. Ber. Nr. 
I^IL £>. I. rorläulig anzeigten, hervorgehoben; und welcbe 
isea Verdienmle der t^ürst B. Uonconipagni in Rom sich, 
3 um die Geschichte der Mathematik überhaupt, insbeson- 
I auch um die in allen Be:!tehnngen so nichtige tieschichte 
rMalhematik in Italien erworben hat, und fortwährend in 
Her erbShetem Alaasee ertrirbl, ist unseren Lesern aus früheren 
pariseben Berichten hinreichend Iiekannt. In die Reihe dieser 
ptilen (ritt nun in wilrdigsler Weise die vorliegende (ieschichte 
matbeniatiscben und physikalischen Wissenschaf- 
ibei den Belgiern, durch deren Puhlication Herr Ad. Que- 
mt seiden bekaunlen grossen Verdiensten auf anderen Gebieten 
nrer Wissenschart ein neues nicht minder grosses hibzugerilgt 
wt. Wir halten dieses aus langjährigen Studien hervorgegangene 
Wvrk -über welches Herr Quelelet in dem „.^ppeud ice" selbst 
sagt; „Ij'ouvrnge (jiii pi^cede litait com]iost) depuis longtemps. 
.le m'^tais propose, en l'^crivant, de recoNnaitto les jihascs qua 
|ir«sentees, dnns l'intc^rieur de la Belgii|ue, le däveloppement des 
i~ciences esacles et des connaisaances qui en d^pendent; je voulais 
ttudier en nienie temps la niarche (|il'il coiivient de suivre dans 
lelat nctuel des choses" — für einen sehr wichtigen Beilrag znr 
Geschichte der Mathematik und Phymk nicht bloss, sondern zur 
l'nllurgejichichte überhaupt, nell Herr Quetelet, mit Intimster 
h'enntniaa der politischen (ieschichte seines vielbetvegten Vater- 
landes, stets die Geschichte der Wissenschaften , ja auch der 
Ktlnete, in ihrer Verbindung mit und in ihrer Abhängigkeit von 
jener betrachtet uud ins Auge Tassl, irubei sogleich auf allen 
Seilen tn einer liir Jeden, dessen Herz selbst von solchen Ge- 
fühlen ben-egt werden kann, im höchsten Grade nohllhuenden und 
reoHehoD Weise sein lebhaftes patriotisches Gefühl bervortrilt. 



t ^i Hngea Uerr Gerhardt in EiiU 
ichl BD lauge auf die I'nblicaliu 
keittn wsrlen latien ! 



1 unit Korr Joll; jii «>■»- 
kr in ihru tlünilc gelcglrii 



4 Ulerarischer Bericht CLXXY. 

Nach einer sehr interessanten allgemeinen Einleitung theilt 
der Herr Vf. sein scliones, anch mit grüsster Eleganz ausgestat- 
tetes Werk in vier Bücher, nämlich: ülvre I. Depuis Torigine 
de la Belgique jusqu'au regne de Charles-Quint. litvre 
II. Depuis Charles-Quint jusqu'ä la ('in du Gouveine* 
nicrit d'Albert et Isabelle. Iilvre III. Fin du regne 
d'Albert et Isabelle, jusqu*a Topoque de la cr^ation de 
TAcadcmie Imperiale de Bruxelles. liivre IV. Depuia 
la creation de l'Academie Imperiale et Royale de Bru- 
xelles jusqu*a 1830., womit zugleich die Gränze bezeichnet 
ist, bis zu welcher Herr Quetelet sein Werk fortgeführt hat 
Auf p. 307. u. s. w. sagt Derselbe: ,,La revolution de 1830 suivit 
le cours ordinaire de toutes les revolutions et changea la face 
(Vunc irilinit^ de choses. II fut aussi question de reorganiser 
TAcademie: mais, nialgre les preju^es qui s'etaient elevös contre 
eile, TAcadtimie qui, des lors, avait la conscience de son arenir, 
sut se tenir debout et resista a Torage qui la nienagait. Elle 
etait loin de pretendro sans doute que son Organisation ne pikt 
^trc auielioree, et qu'il nV eilt aucune modiücation ä introduire 
dnns son Interieur; mais eile avait a coeur de le faire par eile» 
meme, et de montrer avant tout qu'elle avait compris sa niission 
et qu*el!e saurait la remplir. Loin de lui savöir maavais gie de 
sa confiance en eile meme, le gouveriiemcnt et la natioD ue Utr- 
derent pas a lui tcmoigner leur Sympathie et l\ lui donner n^me 
les moyens d*etendrc ses travaux.*' — „Sans me poser en pan^- 
«j^yrist de TAcademie, je dois me borner ici a un simple exposö 
des faits pour appr^cier la perseverance avec laquelle ce Corps 
a constamment marche vcrs le but qail se proposait d*atteindre, 
aniiuc; du noble d^sir de pouvoir, sous le rapport des sciencea 
et des lettres, repräsenter dignement la nation et poser sa pierre 
dans le vastc ädifice des connaissances humaines, auquel tout 
peuplc civiüse doit son tribut". — „Le changement politique qoi 
se maiiifesta dans cette circonstance se lia d'assez pr^s an mouve« 
ment intellcctuel de la nation, pour qu'il füt permis de croire qoe 
la Belgique avait enfin repris le rang qu'elle semblait avoir perda 
depuis longtemps. Les Chambres des Reprdsentants et du jSvuat 
recurent en meme temps une forme digne d*elles; et> soufl un 
prince cclairö, type des rois constitutionels, la Belgique marcha 
vers un avenir glorieux et trauquille, avec la certitude de pouvoir 
se replacer au rang des nations les plus avancäes, d*oü eile avait 
ete ecartee pendant longtemps par les funestes effets des domina* 
tions etrangeres." — Alcigen unsere Leser aus diesen karaen* 
wurtücben Mittheilungen , welche die grosse Wichtigkeit der ihre 
Mission in der würdigsten und richtigsten Weise erkennenden uod 



tUtrai Isther B-^rUhi VLXXV. 



> de Uelgiqiie mit Hecht i 
e illtrigeiia läng«! bekaiinl 



ICf Weis» liervorhebcu, zuglei 

I elegante Diciioii des Ueirii VI«, erkenueul 

fln den auf jeder Seite siuti tlndenden ausluhrrtchcn ?Jot«ri hat 
KÜerr Vr, mit der grüssten Gelehrs.inikoit die reichste Literatur 
Bergelegt, itnd vielfiiche Auszüge ans den betreflendeti, oft 
r seltenen Werben gegeben, die ein sehr deutliches Bild von 
Inhalt und ihrer ivissenschartiichen Bedeutung liefern, 
,ae also auch In dieser BeElehung des Werk kOnTlig eine 
I wichtigsten Quellen sein win] , aui der man eine tiefem 
■ntniss der belgischen Lileratiir auf dL>ni (>ebiete der ezacteti 
kaenschaffftn zu schöpfen bat. Den äcbluss der eigentlichen 
pchichle bildet ein sehr interessanter „Apercu g^n^ral" 
. zwei Bdcberii sind unler den folgenden Titeln ivcrth volle 
I beJ^erOgl: Snuverains ({ui ont tis,ni cn Itclglquc 
(862 ä 1477. (ji. 7-2.) — Mouvement du genie math#- 
lique en llelgique [\t. 374.) — ivelche, nameniliuh die letz- 
, den berühmten Slat'tstikcr lielcunden. 

»•r der eigenllichen (leschichte der mathemaliscben und 
illfldieii Wissenschaft eil enthält das Werk nun noch auf 
— p, 455. einen besonderen Anhang. Wie nichtig die 
ng der Klinigliclien Slernnarte in Brüssel lür die Astro- 
iiid die Physik der Erde ^eivorden ist, ireiss Jeder; und 
dien Bo bekannt ist es, dass dies nur dilri'b die herühniten und 
ausgedehnten Arbeilen unil Verunstaltungen Herrn Quete let'it 
crniiiglicbt nurdeii ist. Deshalb kann demselben die Wissenschaft 
CS nur Dank ivi^sen, ilass er in diesem Anhange eine ausfuhr- 
liebe Daratelinng der Entstehung, des ^ivecks, der ununterbrochenen 
Forlfdhruui; u. s. \\. dieser wichtigen Arbeiten geliefert und da- 
durch zugleich eine h'khst lehrreiche Anleitung zur iH'eeknilfssI^en 
und erfolgreichen Ausfilhrung aller solcher Arbeilen gegelien hat. 
Indem wir einen Jeden, der »ich ftir solche Ariieiten itileressirt. 
•Iriiigend auf diesen Anhang anfnierksam machen, müssen »ir uns 
liier im Uetirigen mit der Tolgenden Mitlheilung der lleberschriften 
seiner einzcbien Abtbeilungeii begudgen, noraus zugleich der grosse 
L'mfang dieser Arbeilen erhellen »ird: Sar le but et les 
(rttTMnx d« rObservotoire royAl de Uruxellea. — Phe- 
noni^iiv«! ii^rlodlqiieii: 1. Va riatinns annuelles et diurnes 
des lemperatures de l'air et du eni. 2. Ondcs almosph«- 
ri')uee, leur propogalion dans l'atmosph ere, 3. Ketours 
pöTiodii|ueB des mar^ea sur les cütes de la Belgique 
et sur le globe en grineral. 4. ('ourants maritimes h In 
aorface du globe. 5. Magn^tisnie terreatte en Beigique. 



i\ Uterarischer Bericht CLXXV. 

6. Electricite statlque et electricit^ dynamique de Tair; 
oragcs. 7. Coiirants electriques pour la determtnatlon 
de rbeure. 8. Longitude de Bruxelles par rapport k 
Green«vich et a Berlin. 9. l^toilcs filantes sporadique« 
et periodiques. 10. Phenomones p^riodiques des plante« 
et aniniaux. 11. Variations periodiques, dinriiea et 
annuelles« quo presente la statistique en Belgiqueet 
dans las dirers Etats. 12. Unit^ projetöe des poids et 
mcsures dans Ics differents pays. — Pantheon Bel^^: 
Embellissements du Parc de Bruxelle« (Aufätellang von 
Statuen berühmter Belgier in dem bekannten prachtvollen Park 
von Brüssel). 

Wir wünschen dem Herrn Vf. von Herzen Glück, dass es ibm 
am Abend seines unablässig fSr die Wissenschaft thStigen, mit 
den schönsten Erfolgen gekrönten Lebens möglich gewesen, ein so 
wichtiges und schönes Werk wie des vorliegende, von dem wir 
mit dem grössten Interesse genaue Kenntniss genommen haben 
und das wir allen Mathematikern und Physikern zu sorgfältigster 
Beachtung empfehlen, zu vollenden; möge zu ferneren Arbeiten 
die gütige Vorsehung ihm noch lange lsj&(t und Muth verleihen! 



Intorno ad unpassodellaDivinaCommediadi Dante 
Allighieri. Lettera del Prof. Ottaviauo Fabrizio Mos- 
sotti a B. Boncompagni. Seguita da una Nota intorno 
a questa Lettera. Roma. Tipografia dcl|e scienzc 
matematiche e fisiche. Via Lata N^ 211 A. 1865. 4^ 

Dieser Brief des berühmten, um Astronomie, Optik und mathe- 
matische Physik überhaupt hochverdienten, der WissenscbaA Jcider 
bereits entrissenen Ottaviano Fabrizio Mossotti in Pisa be- 
triffteine der weiteren Aufkl.ärung allerdings bedürfende Stelle der 
Di vi na Com media von Dante Allighieri. Dieselbe findet 
sich im zweiten Gesänge des Paradieses. V. 97—105., and 
lautet nach der VVitte*schen Uebersetzung (Dante Ailig- 
hieri*s Göttliche Komödie. Ucbersetzt von Kar! Witte- 
Berlin. 1865. 12". S. 367.) folgendermassen : 

97. Drei Spiegel nimm, entferne deren zweie 

Gleich weit von Dir, und lasse zwischen beides 
Den dritten ferner ab Dein Auge treffen. 

100. Lass hinter Deinem Rücken, bist den Spiegeln 
Du zugewandt, ein Licht aufstell'n, das alle 
Erheir und rückgcstrahlt von allen werde. 



I 



Ulermlicher BericAf Cl.UY- 7 

Brroichl nun auch, dos Bildes Grllsee uacli. 
Der rern'te S]>iei;el nicht die beiden nJiliern, 
So siehst Du doch gleicbniassig alle gtünzcii. 

Herr Boncoiiijiagni hat IVlossol ti's Brief mit einer fiheraus 
-i^lehrlen und interessanten „Nota intorno alla Letlera del 
l'i'of. Mossotti" begleitet, nuf die nir, trie natürlich die Leser 
unsers Archiv», auch alle Bearheitec und Commeutaloren des 
bante dringend aufinethsam inachen mSchteti. Uler Inleieaeirl 
uns natürlich votxugsiveise der physikalische oder ofiliache In* 
halt der obigen Verse, Aber Melchen Herr Boncompagni u. A- 
|). 6. aagt: „11 Prof. Mossotti nella sua lettera suddetta avverte che 
Dante in questo passo del suo Paradiso indicö un princlpio teorico 
importante, cioe che le superQcia ptanc luiuinoBe od illuminale 
in egual grado appariscon» della stessa chiarezza a qualunquc 
dialanza esse siano posle." Wir rauchten wohl den einen oder 
den anderen unserer Leser aufTordern, eine weitere mathematische, 
ganz elementare, Erläuterung der obigen Stelle des Dan te zu gehen, 
natürlich mit Rücksicht auf die vorliegende Scbrifl, nnd würden 
einem betreffenden Aufsätze gern eine Stelle im Archiv einräu- 
men. Was Wille in den seiner üeüersetzung beigefiigten „Er- 
läuterungen" S.693. über «hige Stelle sagt, ist jedenfalls ive> 
nig genügend. 



Schlie 
aber die ii 



stich will icl 
Rede stehet 



cotr egsempio dei tre spec 
che le soperiicie piane lum 
ajipajnno della stessa chiare: 
perchä In granden^a dell' 
ceve la pnpilla da c 



noch anführen, was Mossotli selbst 
le Stelle sagt: „A me pare che Dante 



'ointo segnalar 
ise, od illuminate in egual grado 
i a qualunqiie distanza siano poste, 
a;;ine e la qunnlitä di luce che ri- 
I pnnto diminuendo l'una e l'allra nella 
ragione inv«rsa del quadralo della distanza, vi e un compenso, ed 
ogni clemenln d'egual eslensione dell' immugine apparente e sem- 
pre rappresentato da una stessa quantitä di liice nell' ouchlo 
.1 qualunque distanza ai osservi la superficie-" 



Intorno ad una tradu/.ione i 
1341 di una c nmpilazione aslr 
lie di Castiglia. Nota di Enrict 
pografia dellc scicnze mateni 
Lata. N«.21iA. KS65. 8". 



aliana fatta nelT an>iit 
nomica dl Alfonso X. 
Narducci. Roma. Ti- 
iticfae e fisiche. Via 



Eine vod der grossen Gelehrsamkeit des Herrn Enricn Nar- 
aect von Neuem das schönste Zougniss ablegende Beschreibung 



S LiUrarUchtr Bericht CLXXW 

eines auf der Bibliothek des Vatican's sich findenden Coda, 
welche für die Geschichte der Mathematik, insbesondere der 
Astronomie, sehr wichtii; ist, nnd auf welche daher hier besoodin 
aufmerksam gemacht werden mnss. Dieser Codex ist in des 
Catalog der Codices der genannten Bibliothek also bezeichnet: 

,98174. Trattato della Sfera composto per ordine di 
Alfonso Re di Castiglia, e tradotto dalla Lingua Araba 
in Italiano da Gueruccio fi(r|iuolt> di Cione Federigkl 
della molto nobile Citta di Firenze nelTanno 1341, coae 
ricavasi dal Foglio 103. della medesima Opera. Codei 
Memb ran accus in folio sumnii pretii, quia cootiiet 
versionem Italam supradicti Gucruccii Fcderighi, ci- 
jus nulla uicntio habetur apud Crusce scriptores. Cii- 
tinet folia 447. Inc. Questo Libro. Codex Chart Set. 
XIV.« 

Welche Schätze für die Geschichte der Mathematik oögen 
die italienischen Bibliotheken noch enthalten, und wie verdieiMit- 
lich sind die Bemühungen, diese Schätze an's Licht zu ziehen 
und zugänglich zu machen! Wie gross sind namentlich die Ver- 
dienste des Fürsten Bon coro pagni in dieser Beziehung, der ent- 
weder sich selbst solchen Publicationcn unterzogen 6a(, oder 
durch dessen hochherzige Liberalität dieselben müglicb gewMckt 
worden sind! 



Memorie di uii Codice greco Vaticaiio, pubblicate 
dal Prof. Giuseppe Cavaliere Spezi, Scrittore della 
Vaticana. lioma. Tipografiu dellc scienze matema- 
tiche e fisiche. Via Lata. N«. 211. A. I8Ö5. 8^ 

Dieser hier beschrieben«», mit der iSmnmer 191 bezeichnete 
griechische Codex aus dem 13ton Jahrburidert auf ßaumwolien- 
Papier (carta bünibagina) enthält Schriften von Euklid über 
Optik, Katoptrik und Musik, die Data des LLuklides, Schriften 
von Theodosius, Ariwtarch, ilypsikles, Eutocius, Pto- 
lemäus. Pro eins, Eratosthencs, Hipparch, Diophant 
(i-Qi,d'iir]ri7C(av ßißXiov d.; — ne^l nokvyuyvuv «(Ji^ftwr), n. s. w., u. 
s. \v,, im Ganzen an der Zahl i\), die in der verdienstlichen Schrift, 
auf die wir hier leclit i>ehr aufmerksam machen, ihren Titeln nach 
isämnitlich genau verzeichnet sind. 



(>eit« 



OlerarluinT Hfrleltl CLA'.Vl-, 9 

Geometrie. 

reomelrlHcbe Aufgaben iieltst iliren Auriüäuii- 
r den Celiraucb in hitheren Leli ranstal len bear- 
,on Dr. CorlllGcbel. ErslesHeft. Ifeval. Franz 
(Leipzig. R. Hartmann). 1S65. 



Im Lllerar. Ber.Nr.CXI.VIl. S. 3. baticn wir bei Gdesenbeit 
Act Anzeige der scliiinen' „Sammluni; slereomlriscber Auf- 
saben von J. A. Müttricb. Kiinigsberg. J86I." hemerfcl, 
dass slcreomelrisobe Aufgaben für den Unlenicht keinesivcgs in 
U«!bi>rt1uss vorhanden, und Sammlungen golulier .Aufgaben daher 
jedetEeil besonders verdieuKtlich seien. Dies gilt auch von der 
vorlüuftg in ihrem ersten Hefte vorliegenden Sanmdung von Herrn 
Dr. Carl Hechel in Dur|iat. da ivir nncli näherer Kenntniss- 
nahnie ijanz der Meinung sind, dass diese Sammlung ein ziveek- 
tnässiges, mit Dank nuTzunehmendes Hülfsinittel filr den iitereu- 
luelritichen Unterriclit darbietet, auf welches alle Lehrer recht 
sehr aufmerksam za machen sind. Das vorliegende erste Heft 
enlhült die Abschnitte: I. Würfel (I— :(-J). II. Parullelepipedoii 
(33-72). HL Prisma (73-114). IV. Pyramide (115—2-26). V. 
Abgeslurapfte Pyramide (227—283). VL Pyramidale und prisma- 
tische Kugelhaufen (^1—305). VII. Prismatische Abschnitte und 
Ohefrsken (306— 3J2), Vi». Cylinder (343—477). — Das «weite 
Heft, dessen baldiges Erscheinen selir zu ivünscben ist, enthält 
in ungc(%br !}S() Aufgabeni t\. Kegel. X. Kegelslunijif, XI, Ro- 
lationekürper. XII. Kugel. 



\ 



Trigonometrie. 



Auffinden von 


Aufl 


<ienu- 


8ch geordnete 


Für 


mein. 


£um Gebrauch 


heil 


Un- 


nasialanstallo 


n, s 


n wie 


Ottu Böklen. 


stm 


Igarl. 



Lehrbuch der ebenen Tr 
Ten bundort, xur Uebung im 
gen und Keiveison systemati 
Aufgaben und Lehrsätzen, 
lerrichlo in Real- und Gyn 
zum Selbststudium, von Dr. 
Hecher. 1864. 8". 

Dieaea Lehrbuch enthält eine einfache und deutliche Dar* 

Stellung der ebenen Trigonometrie nach gemischter algebraiseh- 

gemetriaeber Methode, ivelche nicht berechtigen würde, dasselbe 

k.bler einer kurzen Besprechung zu unterwerfen. Aber die darin 

IHhallene aefal grosse Sammlung suhüner Uebungaaufgaben, die 



10 Uler arischer Bertcki CLXXV. 

keineswegs alle zu den leichtesten und einfachsten gehören, ver- 
pflichtet uns« hier recht sehr auf dasselbe aufmerksam zu machen, 
weil Lehrer gewiss vieles für ihre Zwecke sehr Brauchbare darin 
finden werden. 



Physik. 

Sülle condizioni igieniche del Clima di Roma. Let- 
tura del P. A. Secchi d. C. d. G. fatta alla Accademia 
di Arcadia nel Giorno 11 di Giugno 1865. Roma. Tipo- 
grafia delie belle arti, 1805. 8<>. 

Wir machen auf diese sehr interressante Schrift des berühn- 
ten Astronomen über das Klima der ewigen Stadt in gesundheit- 
licher Beziehung recht sehr aufmerksam und empfehlen sie in 
besonderer Beachtung. Auf S. 4. sagt der Herr Verfasser: „II 
clima di Roma di sua natura e eccellente« e privilegiato dalla 
natura/^ Wenn er dann aber, nachdem er die ganze Schönheit 
des römischen Klima mit lebhaften Farben geschildert« auf 8.6. 
weiter sagt: ««In mezzo a tanta felicitä un fiero nemico ci tra- 
vaglia in aicuni raesi dell' anno« e questo e la cod detCa malsa- 
nia deir aria« e le febbri che ne sono la conseguenze"« ao müs- 
sen dabei besondere Ursachen wirken« die in dieser lo Jeder 
Beziehung interessanten Schrift in eingehender and sehr lehr- 
reicher Weise besprochen und untersucht werden. Mögen unsere 
Leser dieselbe sich« wie schon gesagt« bestens empfohlen sria 
lassen ! 



Vermischte Schriften. 

Der Monitor. Eine Sammlung von Formeln und Ta- 
bellen aus dem Gebiete der höheren und niederen Ma- 
thematik und Mechanik. Für Techniker u. s. w.« über- 
haupt für alle die sich mit Mathematik beschäftigen« 
zusammengestellt von Hans H. van Aller, Oberst a. D. 
Mit in den Text gedruckten Holzschnitten. Erster 
Theil. Mathematik. Hannover. Wedekind. 1865. kLS^. 

Dieser Susserlich sehr schön und sauber ausgentatte^tlb .aod 
sehr zweckmässig eingerichteite« namentlich eine sehr lieicht^ 
Orientirung gestattende ««Monitor^'.^nthält eine sehr reiche Samp- 
lung von Formeln ans dem ganzen .Gebiete de( vc^nen Muthmy 



literarischer Bericht CLXXW 



II 



tik, ilte wohl, namentlich für alle Fälle <1er Praxis, TütliEr ausrei- 
chend sein durrte. Alles, tvas er enlhäll, ist uher auch wirklich 
allgemein anwendbar uinl ganz an seinem Orte. Logarilfimenla- 
Mn enthält er freilich nicht, nie gewisse andere Sammlungen 
dieser Art, die aber auch an einem solchen Orte gane unniitE 
sind und von Niemand in einem solchen Buche gesucht werden 
dilrflen, überhaupt wohl in dieselben nur mit aufgenommen wur- 
den sind, um recht viel Papier la verbrauchen. Auch verdient 



, daäs der 
Herr Verfasser eich überall der 
chen bedient hat, und nicht si 
von einigen Mathematikern gebr: 
lere ofl selbst gemacht haben. 



Gegenstande völlig geivacfagene 
m Allgemeinsten reciptrten Zei- 
cher, die nur ausnahmHweise 
icht werden, und die sich lefz- 
is aber der Wissenschaft nicht 



frommt und mit Hecht nur selten Anerkennung findet. Wir em- 
pfehlen das hflbsche und nützliche Büchlein recht sehr zur lieach' 
tnng und sehen der zweiten, die Mechanik enthaltenden Ablhei- 
L^tlDg mit Verlangen entgegen. 



Giornaledi Matematiche aduso degli studenti delle 
universitä italiane, pubblicato per cura dei Professori 
G. Badaglini, V. Janni e N. Trudl. Napoli. (S. Lite- 
rar. Ber. Nr. CLXXIV. 8.3.) 

Volume III. Luglio e Agoslo 1805. Nozioni teoriche 
«uir attilto; per Alessandro Dorna. p.202. — Dimostrazione 
di akuni teoremi sutle superficie sviluppabili di 5° ordine; per 
E. d'Ovidio. p. 214. ~~ Sülle Forme binarie dei primi qualtro 
gradij per G. Battaglini. p. 210. — Ricerche di analisi apptl- 
cala atla geonielria (Cnnt. vedi pag. fli.); dlEugenio Bellrami. 
p. 23S. — Sulle superficie di carvatunt custante; noia di Ulisse 
.Dini. p. 241. 



^ Annali di Itl 
da Barnaba To 



l'ini a Koma. (Vergl 



atica pura ed applicata pubblicati 
li e Gompilali da E. ßetli a Pisa, 
, A. Genocchi a Torino, B. Torto- 
Llterar. Ber. Nr. CLXXIV. S. 4) 

Tom. VII. N". I. Sulle superficie nelle quali la somnia dei 

> ''^S' <'■ curvatura principale e eostantc. Nota di ülisse 

p, fi. — Suir uso dei determinanti per rappresentare la 

t delle potenze interc dei nuraeri natural). Nota di F. 

ii. p, 19. ' — 8opra alcuni punti della leoria delle snper- 



12 Uler arischer lierickl CLXXW 

ficie applicabili. Nota di ülisäe Diiii. p. 25. — PabblicaiM 
recenti. p. 48. 



Sitasungsberichte der Icünigl. Bayerischen Akadenie 
der Wissenschaften in München. (Vergl. Literar. Bar. 
Nr. CLXX. S. 19.) 

1864. II. Heft IV. v« Bezold: Zur Lehre vom binocidi- 
ren Sehen. S. 372. 

1865. I. Heft 1. Laniont: Astronomische Bestiinniong 4er 
Lage des bayerischen Dreiecksiietzes auf dem Erdspbäroid. S.fll 
(Ein für Geodfisie mehrfach interessanter Aufsatz» dessen lokK 
folgender ist: Krste MIttheilunip. 1. Geschichtliche Eil- 
leitung. — 2. Aeltere Bestimmungen. — 3. Neue Mei- 
sungen. I. Benediktbeuern. 11. Hohenpeissenberg. III. Coborg. 
IV. München. — 4. Schlussbemerkungen. — (Wir sehen weitem 
Mittheilungen mit Verlangen entgegen), 

1865. 1. Heft II. Enthält in den Kreis des ArcUrs ge- 
hörende Aufsätze nicht. 

1865. 1. Heft 111. H. v. Scblagintivci t: Dw Zenipefi- 
turstationen und Isothermen von Hochasien. S. 226. — Nekro/ity 
auf Friedrich Georg Wilhelm Struve. S. 295. 

1865. 1. Heft IV. Seidel: Ueber den n um eriscfaeo Zu- 
sammenhang, welcher nach Beobachtungen der letzten 9 Jahre 
in München zwischen den iSiveausch wankungen des Grundwas- 
sers und der grösseren oder kleineren Frequenz der Typhusfalle 
zu erkennen ist. S. 348. 

1865. U. Heft I. Enthalt keine in den Kreis des Archiv»' 
gehörende Aufsätze. 

1865. H. Heft II. :Steinheil: Ucber die Bedingungen 
der Erzeugung richtiger dioptrischcr Bilder. In diesem interes' 
santeii Aufs^atzc ^iebt Herr v. Stein heil im Allgemeinen Nach- 
richt über von ihm und seinoni Sohne angestellte neue Unter- 
suchungen über den obeti genannten allerdings sehr wiehfigen 
Gegenstand und sagt darüber am Schiuss des Aufsatzes: m^®'' 
hiermit betretene Weg in der Dioptrik wird diese 
völlig umgestalten. Denn erst jetzt kennen wir die 
Bedingungen, deren Erfüllung richtige Bilder giebt." 
Hierdurch werden allerdings sehr grosse Erwartungen erregt, de* 
neu aber Herr v. Stein heil gewiss entsprechen wird, wie fot 
einem so sehr und so innig theoretisch und praktisch mit dei 



UliTiirhclier Hrrtchi CI.XXV. I3 

i-ticIieJi CegePisfSniien vertrauten Manne gar nicht anders vt- 



i 

Ber. 1 



itillelins ile l'AoBiliSniie Ruyale des sciences, d 
et des beaux-artM de BelE[ique. (Vergl. Liter; 
Nr.CLXXII. S.U.) 



3.>' Aiii.Be. 2"" Ser., T. XVIIL Nouvelle method« 
iiii*iire ile V'inA'iKu tie r^rraclioii des liiiuidesi par M. Monligny. 
!IJ. — Sur uti noiiveaii chriino3Ci>|ie «lectiique a cylindre tour- 
mI. [ni\A6 sur Tcniploi du dinposon; |>nr iM. H. ValcrJus. 
i; .]i)iurl de M. Nielsens, p. 128. — Sur les vilralions des ßls 
■ ie lerrc attaches jiar nne de leiirs exlremitös ä un corps vlttanf 
et libred a Inulre; pur M. II. Vulerius. Rai.potl de M. Mei- 
ßens, p. 131. — Sur quelques effcts ciirieux des forces mol^- 
ul.iire» des liquiiles; par G. Viiii der .Mensliru|;i;he. p. löl. 
Sur l'olHieTvaloire rojal de llruxcJles par M. AcJ. Quctelet. 
itl. — Sur Ics ulieervations des etoilos lilfintcs du 10 aodt 
'U ä Bruxelles el sur [es extremes de lemperature observ^,j 
iLii« Ircnle nns: piir SI. A. Quetolet. p, 225 — Sur les «dro-jj 
>-■«, el «p^cinleuient sur eeu» uliserves ii Atlienes par M. /.'S 
l.midl; note communiciuee par M. Ad. Quetelet. p.315, — 1 
^ri[ («8 variatioiis e^culaires du magni^lisme; pur M. Chr. Uan- 
. t '■ en. p. 379. — Note sur une proposilinn nouvelle relative a la 
'Ü-poeltiuTi de» appuis qu'i correspond au iiiiiiimum de fuligue 
ni:ixiinn daiis Ie cas d'une pl^ce prisniatique charg^e unirurm^- 
iiicnt; par M. L, Derote, Rapport de M. Lamarle. p. 441. — 
i>«r vorstehende Aul«atE iet vollständig milgetheilt p.45!5 — p. 476. 

^'" Annee, 2'»<- Ser. T. XIX. Nute sur la eonstitution 
ire ileR cnrps; par M. Valerius. Rapport de M. Plateau. 
-Sur In eniietitulinii physique du soleil, note ile M. Cha- 
[ftCj adresstSe h H. .Mi. Quetelet, p. 50. — ^ur les ^toUea 
! el sp^cialement sur la n^ceasitä de les obeerver dans 
^Isphjire auetral. Lettre de M. a-A. INewton ä M. Ad. 
elelel. p.SS. — Sur la Constitution iot^rleure des corps; 
l'jr M. Valerius. p. 72. — Note sur cerlaiues illusions d'op- 
tiijue; par H. Oclltocuf. Rapport de M. IMateau. p. 154. — 
~ sur l'indice de refraction de la lutiiiere litanche xi' 

I aans dispersion sensible; par M. Montigny. p. 177. — 
certnines illusioni« d'optique; essai d'niie tb^orie psy- 
lysiqne de la maniere dont l'oeil apprecie les distances et 
igles; par M. Dclboeuf. p. 195. — Sur les tTemblements 
> ea 1863, avec Supplements pour les anales anttfrieures 



14 Uterariuher Berichi CLXXV. 

de 1843 et 1862; par M. A. Perrey. Rapport de M. Dupre» 
p.300. Rapport de M. Quetelet. p.301. — Sur le bolide da 
17 fävrier 18ß5; par M. G. Dewalque. p. 304. — Sor les ^po- 
ques comparees de la feuillaison et de la floraisoa k Bnizellea 
et specialement ä Stettin et ä Vieone; par MM. Ad. Quetelet, 
Linster de Pulkowa et Fritsch de Vienne. p. 395. — Note 
sur les hälicoYdes gauches susceptibles de s'appliquer et de ae 
dävelopper les uns sur les autres; par M. E. Lamarle. p. 407. 
— Sur la transformation des säries et sur quelques integrales 
d^finies, memoire de M. £. Catalan. Rapport de M. Sebaar. 
p. 524. — Magn^tisme terrestre: d^clinaison et indinaison de 
laiguille, par MM. Ad. et Em. Quetelet. p.528. — Sur ks 
etoiles filantes de novembre 1864» aper^ues aux Etats -Unis, et 
sur la d^temiinatton de la hauteur des aurores boreales. Lettre 
de M. H.-A. Newton ä M. Ad. Quetelet. p. 529. |— Sur 
les derniers orages; par M. Ad. Quetelet. p. 535. — Determi- 
nation g^om^trique de la s^ric des surfaces de revolotion snr les- 
quelles peut s'appliquer uh bdlicoi'de; par M. Lamarle. p. 537. 



BLENCO 

DELLE PRODUZIONI SCIENTIFIOHE 

DI 
BJU&ÜABA TORTOlilliri ^) 

PROFBSSORE DI CALCOLO SUBLIME äLL'uMVBRSITA fcOMAHA: 
UNO DEI QUARANTA DELLA SOCIETA ITALIANA DELLE SCXENZB icC EC. 



]. E^ementi di Calcolo infinitesimale. iTom. 1. Calcolo di( 

vol. in a di pag. 622. Roma 1844. Tipografia delle Belle AitL 



***) Dieses Verzeichnitt der sämmtlicheo bis jeUt (1865) pobllcirten 
grötteren Werice und einzelnen Abhandlungen dea berühmten Heraat- 
gebert der „Annali di Matematica pura ed applieata** arit ge- 
nauer Angabe der Sehriften, wo sich dieselben finden, werde ich d«l 
Leeem d«t Archivt, meinem im Literar. Ber. Kr. CLXXIV. S. 4. g e^b e* 
nen Verapreohen gemäat, in einigen der nächsten Nummern dei lAwar. 
Ber. roittheilen, da daaaelbe in eine Nummer aufzunehmen > nicht wehl 
möglich iat, weil es zu grossen Raum beanspruchen wurde. 



UlerarUcher Bericht CLXXV. 

Note inserite ntl Giornate 
dal 1833 al 1860. 



adico di Koma 



k 



: In 8. 



Memoria prima tom. 
: in 8. tarn. L.XVII. 



intilolato Eletltenla Mathe- 
IC. Jesu. Arlicol« Hibliofjra* 



Dpterniinaiioiie dell' iiilegrali di aicune forntole HjBeren^.iali 
si algebriche. ch« trascendenli: iii 8. tom, LVl. lS;i3. 
Teoria analitica «teile superticie generutc dul moto di uoa linea: 
in 8. lom. LVII. 1833. 

Ricerctic eopra aicuni punti di gomelrin nnalilica: in 8. lom. 
LIX. 1834. 

Aiialtsi sojira alcune <|uestioiii di Fisica-MatemaliGa: in 8. 
lom. LXII. 1834. 
Trallato del Calcola dei Kesidui: 
LXMI. 1834 e 1835. 
<Sül Calcolu dei Residui Memoria s 
183«. 

Snprn un Cureo di Matematichu 
trat aactore Andrea CaralTa e Soc 
Gco: in 8. tom. LXXIIt. 1838. 
MemorU enlla qiiadraltira dell' «llissoide a tre aesi in«gaali: 
in 8. \Qia. LXXVIII. 183<J. 

Memoria sopra alcune appllcazloni del melodo inverso delle 
1an»ei>ti: in 8. tom. LXXIX. 1839. 

Memoria sopra le Irasrorma/ioni, e valnri dt aicuni infe^aii 
deriiiili, che si rireriGcono alle «upecßcie, e solid itä dcivolumi: 
in 8. toro. LXXX. 1839. 

Seconda Memoria. Sopra la Irasrormazione, e valori di ai- 
cuni inipgrali definiti ipi 8. lom. LXXXII. 1640. 

Memoria sui limiti di alcune espressioni immaginane; in 8. 
tom. LXXXVII. 1840. 

Memoria suU' applicaxione del calcolo dei Residui all' integra- 
zioue deir eiiuazioiii linear! a differenae Qiiite: in 8. tom. XC. 
1841 

Seconda Memoria sull' applicazione del calcolo del Reaidui 
all' inlegrazione dell' ettuazioni lineari b differenze finite: in 8. 
tont, .XCI. 1842. 

Memoria Buir applicazione del calcolo dei Residui all' inte- 
oe deir equazioni differenziali tirieari: in 8. tom. XCU. 



. suir ap{dicazione del calcolo dei Residui (all' inte- 
Iftue d«ir equazioni lineaii a derivate parziali : in 8. lom. 
" 1842. 



16 Literarischer Bericht CLXXV. 

18. Seconda Memoria suir applicazione del calcolo dei Hesidsl 
air integraztone deir equazioni lineari a derivate parziali: in 8. 
tom. XCIV, e XCV. 1843. 

19. Nota sul passaggio dall' integrali dell* eqaazioni a differenze 
finite all' integrali dell' equazioni differenziali : in 8. tom. XCVU. 
1843. 

20. Rappresentazione geonietrtca delle funzioni ellitticbe di terza 
specie di dato parametro circolore: in 8. tom. C. 1844. 

21. Memoria sopra la rettificazione di alcane curve piane: in 8. 
tom. CV. 1845. 

22. Memoria sopra la rettifieazione dell ellisse sferica e sulla di- 
visione de* suoi archi: in 8 tom. CIX. 1846. 

23. Memoria sopra aicune superficie curve derivate da una data 
superficie, e di genere concoidale: in 8. tom. CXlIl. 1847. 

24. Memoria sulla riduzione di alcuni integrali definiti ai trascen- 
denti ellittici, ed applicazione a differenti problemi di geome- 
tria, e di Meccanica razionale : in 8. tom. CXVI. 1848. 

25. Nota sopra le superficie curve parallele all' ellissoide, e soll' 
espressione generale della loro quadratura: in 8. tom. CXIX« 
1850. 

(Fortsetzung folgl,.) 



Braekfebl^r. 

Im Litcrar. Ber. Nr! CLXXIV. S. 10 (im 2ten Hefte dieses ThoiU) 
niusK es in der Untcrichrift dei ,,Prograrame ponr le priz Carfl** 
•tfitt „N. Cavallere San Bertolo'* tieiMen: „N. Cavalieri &aa 
Bcrtolo*'. 



1 



ilternrlicher BtrlcU CLXXVt. 



Literarischer Bericlit 



GescIiiclKe der Mathematik. 

A HUlory of Ihe iiiatheinntica) Theory of l'roba-^ 
"bilily. ftom tlie lime of Pasral to that of I.aplace. 
Bv I. Todlmnler. M. A.. K. R. S. Cambridge and LnnUon: 
MAcrnillan and Co. 1865. 8*>. 

Der Herr Verfasser dieser Geschichte der m afiie mal i selten 
\VAhr>i:h«(Bflchhettsrechnung hat sich schon dnrch seine im Lile- 
r.-<ii«r]irn Ber. i\r. CXI. IV, 8. I. aii({exeigte schöne Geschichte der 
\ anjhnii..recbniini; um die Geschiciite der mnthenialisclien Wis- 
nuii~<tiiiirn sphr lerdieiil i^emucht. und ernirbl sich durch das 
torlieueiide Werk ein neues sehr anzuerkennendes Verdienst auf 
diesem Gebiete. Da» XVI und 624 Seilen starke, üiieaertich Ireff- 
lichal ausgestattete Werk ist mit sehr grosser Gelehrsamkeit 
_ nnd (inar tief eingehenden Keiintniss aller in demselben bespru- 
■y^MCfl Werke (iber die Wahrscheinlichkeitsrecbniing verrasst, 
^^Hvwe vielen aus diesen Werken gegebenen, oft xieinlicb aus- 
^pndirUcben AosKiige, welche immer ein sehr deutliches Bild von 
dem Inballe und dar wiasenechaniicben Bedeutung dieser Werke 
lierem, und die LecIGre dieser Geschichte der Wabrscheinliufi- 
keil xa tiner höchst interexsanlen und Überaus lehrreirben machen, 
■Di Iteslen bekunden. Seinem Zwecke gemSss hat sieb der Herr 
Verlässer Tür jetzt, wie auch der Titel besagt, auf 4le Zeil von 
Pascal bis Laplace beschränkt, so dasa also die neueren »ich- 
tigen Arbeiten von Ganss, Alry <0n the algebraical and 
anmcrical Theory of errors of obseryations aiid the 
GDtubinaiinn of ubservalions. Camb/ilge, London I8ÖI) 
u. A. fiier unberilcksicbligt geblieben siud und bleiben mussten, 
irenn dieselben auch Iheilueise beiläufig. Ertvühnung gefunden 
babeo. Ueberhaupt besteht das Werk aus awaniig Ksfiltelu, 
-iV.Hfi.j, 4 



2 Uterarischer Bericht CLXXVL 

^velche die folgenden Ueberschriften haben: 1. Cardan. Kepler. 
Galileo. II. Pascal and Fermat. 111. Huygens. IV. On Combi- 
natioris. V. Mortality and Life Insurance. VI. IVliscellaneous In- 
vcstigations between the years 1670 and 1700. VII. James Ber- 
noulli. VUI. Montmort. IX. De Moivre. X. Miscellaneous In- 
vestigations between the years 1700 and 1750. XI. Daniel Ber- 
noulli. Xll. Euler. XIII. D'AIcinbert. XIV. Bayes. XV. Laurange. 
XVI. Miscellaneous Investigations between the years 1750 and 
1780. XVII. Cnndorcet. XVIII. Trembley. XIX. Miscellaneous 
Investigations betireen the years 1780 and 1800. XX. Lapface. 
Appendix (John de Witt. Rizzetti. Kahle. S'Gravesande. Quo- 
tation froni John Bernoulli. Mendelsohn. LhuUier. Waring), aus 
welcher Aufzählung man die grosse Vollständigkeit des Werkes 
erkennen wird. Indem wir nochmals mit besonderer Freude das 
grosse Interesse bekennen, mit welchem wir das schone Werk, 
gelesen haben und dasselbe dringend der Beachtung unserer Leser 
empfehlen, können wir nicht umhin, den Wunsch auszusprechen^ 
dass es dem Herrn Verfasser recht bald gefallen miige, seine 
treffliche Arbeit bis auf die neueste Zeit fortzufuhren, wo dann 
namentlich auch, um uns kurz auszudrücken, die Methode der' 
kleinsten Quadrate und was damit Alles in näherem oder entfern- 
terem Zusammenhange steht, eine ausführliche Be^proc/iung üm\e\\ 
wird und muss. 



Arithmetik. 

Intorno alla formazione ed integrazione d'alcune 
equazioni differenziali nella tcorica delle funiioni 
ellittiche; per Angelo Genocchi. Torino. Stamper/a 
Reale. 1865. 40. 

Herr Professor A. Genocchi in Turin hat schon durch 
viele wichtige Untersuchungen sich um die Theorie der ellipti- 
schen Functionen nnd die Aaalysis überhaupt grosse Verdienste 
erworben und fügt diesen Verdiensten durch die vorliegende 8chune 
Abhandlung, von welcher wir mit grossem Interesse nähere ICeoat* 
niss genommen haben und auf die wir unsere Leser recht sehr 
aufmerksam machen, ein neues hinzu. Zugleich hat derselbe in 
sehr anerkennungswerther Weise sich in der Einleitung über den 
Z\Teck und die Resultate seiner Abhandlung so deutlich ind 
ausführlich ausgesprochen, dass wir glauben, durch eine sieni- 
lieh vollständige Mittheilung dieser Einleitung unsere Leser am 
Besten, Genauesten und Sichersten von der Wichtigkeit dlestr 



IJUrnrUcher llericlii I. 



.\\l. 



Aliliandlun); Qtierzeuiten U'iÜ ileiisclhen einu deutticlie , vun all«n 
MisavcrHlttndiiissfMi Ireic F.iiisichl in deren Inhalt und Tenden« 
icrschallen xu Iciiniien. Herr Genoccln Mpricht sich iiHnilich 
Tnliienilerinausen ulier den i^iveck »einer üutersuchungun und 
diu ilurdi diesolhen genunncnen Resultate aus; 






i tlell« 



„L'UiusIrc Jac( 

If U lni»rorniu)[iiini 

loni n differentiidi ordinär! e (i 
E-rnndemonte ü cnlcnlo effeltivii 
tote dülla futizion« InisroriiiHia, 



er trnvBto il suo celebre tcureins 
oni ellitliche, diede alciine vqua- 
diOfereniiiili |iarztali ch« rouitilanu 
de] iiuDiernlore e dfl denoiniii&- 
(jiidlii delle equaziuni da 






HKii 



ilijicnde il nUDvr) mudulu ed tl inulti;diGa(orc. A qnella equaiioni 
'lilTnrc-niiinU egii ^'tunsc mediante le formnle e relaxioni Komnii- 
I iitrat* dal nipntonato siio teorema, e quindi coiruiulo d«IIa 
■ /■'(Irina da lui detlit arialilica della traxfrirniazinno, che »i t'nnda 
rii-Ild friniiule di nddiaiiinc e n«l priiicipio d«t doppiu periodu; « 
<|ii.)ntiinqiic altri AIntemalici Alitiiann poi dedolU d& priiietpü mera- 
Ltrnlf! algrtrlci le equa^iuni a differenziali ordinarii pel iiumera- 
i.>re * dvnominalore della ritnxione (raD form ata , rimtiiva che il 
.■>imillltaule »i faces^e ftspelt» aWe ullrc equar.ioni Hupra indieate, 
il cht! aii A parso urgnnicnto di qnnlclie inl(?resse, ura special- 
innle cbo la dollrina al(;ebrica d«llu irasfunnaKinne ha chiamnia 
»i V»ttetiiii>De tlei gtrnmelri per eeaers) ricavata da «ssa In 
»»Inzion* generale drlle equazioni di qiiinto ^rado. Di cir'> ml 
n ncllii scriltn che ho l'onore di presenlar« al-1'Acca- 
d^mla: e dop« svure fifahilitc iii modo nssai Hemplico I« equaxioiii 
[)tffrr«iizisll «rdiiinri leM^ accennale, ne Irovo lintesraie coni- 
'lo cho Jacobi non ha dato e niostni desiderare che lossfl 
Uairito; M\ ilu quenln inle^rale cnnipleln, senza ricnrrcrc ad 
priaeipii pi'r cui »i amm^lte una cerla relaxlone fra i Irascen- 
li elltitit'i cnnipleti di prima apecie, (rs}:};o IVigoaxione n dif- 
iBSlali parxiali che dvtermitia e,\\ »^lMi>i numeratnre <• dcnnmi- 
naliire; atl«n^n nel nicdenimii leinpn la noiabile eepreKsioiie d«l 
lU'tlOptIcalore per niexxn del modnio priinilivo, del ruoduln traa- 
faroala «,dei loro diffcrenzinli , e l>(|UBiione dilTercnxiale di lenu 
nt qnc^i diie nioilull: e portuifl l'nccaiiiDnc, cnrresßi* alciinn 
dl Jacitlii; c triivii pure t-llnir^rnli ompltili d) itiffalle 
li. 1,K ronieidrra;cintii o i ralrnli cb« c»pon);o prcsentano 
[rftxionH ilid nielailn. ehe piiii dir«! inlalat» da Abel e ehn 
KU pnrttrolnnnr^nlc <lni sicnnri Lionvilltt r. Tchi>- 
per tieleriiiinar« ■ ca»! In cul un'inleitradiinc yitii effet- 
n una data fnima al^brica n Iraacendenl« , raziimalc 
Iflnale ; e in i«peciul ntodn dlnuiBtr» c applico un («oremn 
|iel quäle dovendosi ridurre ad un'idenlil& ugnl equotlune 



ÜirTnrhcUrr ISerlcM VlJiWI 

Algebricä fm cerle funiioni (rasccndeoli , tie derivano VH 
7Ann\ fra le dlre qitarjttlä In essa comprese. 

Otteiigo inollte le rnnzlotii che si^liniisi chiamar« Jim 
esprea*e mediante uti integrale dupltcato, e IVqniiBian« • 
ciKsimo a differenKiali |iarziali di prlmo e second'otdine, atla 
debbono soddisrare, usandn, per giungera s quesla Mfni 
nnn IraBrormaslone che puii aeriire alla riduzlone d'nllre equ« 
consiniiti ove a'rann aHein[iitite cerle determiiiate condiaHNtii. D 
atease foriunl« diüceniionü le eppresiiorti del nomeralnra e 
denDmiimtorediaazimenlovDle, furniulecol meizn delle Jucobla 

FinalmeDle indico l'aso delle «quaziani a differemiali 
che appartengonn agil stesai numeratorc e denominaliiTe, |MSt 
termiuare i coedicienli dl quesle runiioin, e ne deduco 
ficaiione aeniplice e facile delle foTmolc analtllche ddls Iru 
mazione. 

Tali soijo gli argomertli eapoati rtel presenfe scrtlto; a tl 
tare i quuli confe^iju avernii apinto, nmi ullinin cauAn 
dl« forse tnetodi BimiÜ a quelti che li» qui soguili, ( 
vnre nello sliidin di lunzioni traaceiidenli d'un ordine \Ait tImWi 

Indem wir uiiaere vüllige üehcreinstimmung mit dnt letih 
Worten, nanientlich auch mit der darin ausgeapiucheaeu Ermt 
luiig. in vorhergehender Mlllheiluns aussprechen 
die Abhandlung nochmnls zur eorgfaltigaten Beachrung, 

8tudi intornu ni casi d'integrazioDc sotto Tna 
finita. Memoria di Angela Genocclii. Torino. SiM 
p«ria Reale. 1865. 4". 

Von nicht niindprer Wichtigkeit fOr die Inlegralr«ehnBl 
die vorhergehende ist die vorliegende neuere AbhaFidlnnfc it 
nns hnchgeehrien Herrn Verfasoera, uiiil wir halten e« «km 
diese Wichtigkeit vollkommen gerecbirerltgl, daea wir, weiu 
dadurch ein ziemlich grosser Raum beansprucht 
Uitung, in netcher der Herr Verrasser sich auch hier «ehr 
ständig und sehr deutlich Qlier den Ziveck und den Inbalt M 
Abhandlung audgesprncben hat, unseren Lesern naebattf 
vollständig millbcilen, tveil dadurch auch am lictiten vnUkoBO 
Deutlichkeil erzielt und MiseverstjIndniHse, die auf anderen Wi 
liei Heferaten über Arbeiten dieser Art zu leicht mSfElkfa I 
vollkommen vermieden nerden. Der Herr Verfasser sagt y. 3.— y. 

„I metadi usati per I'ordinario nel calcolo inli-£;ral« can«li 
in arlifiii pii) o menu ingegnosi, dirclli ad otletiere una Ml 
mazione che renda piü facile l'intvgrazinne, e quanilo UM 
ducoiio all'inlegrale deaideralo, lasciaiio dobbia la posalbUM 



Weraristltfr BnUhi r/.t,l!7 



•»litlmeHo meillaote funzioni noie, onde in Inl cako la queslion« 
noD procede H'un {>ft]«B«. Quiiidi il l'oissoti cuiisiilMava conie 
UD vero com|>lenienln dci melodi del calcolo integrote quelle pro- 
poaisioni negative con ciii si dimoKltafiGe rimpnasiliililn dell'iDte- 
grsiionc e^altn : „car (egll clice) co gu'nn peut demsTlder c'eat 
d'oblenir len [nlegralof quand elleo existent, ou de «'assurer ngou- 
reusvittent qn'ellc« n'extstenl pus ')." A ci^ miravK aiiclie l'Aliel 
quando all'nnalial e particnlarmente aI cnlrftt» integrale proponeva 
uns nanvB via nelle ricerche: „Au li«u de deniander utie lelatiori 
dont Oll ne sail pas ei eile existe nu iion, il Tiiut dematidcr s! 
nne teile relatiori est en effel pogsilile. Par excniple, dann le 
cak-ul Integral, uu lieu de chercher, u l'aide dune osp^ce de 
tAtannetnent et de diTinnlinn. d'iitt^s*'^' l^'' rorniulcs dilTerenlicl- 
lea, il Taut platdl chercher 8*il eal possible, de les integrer de 
teile ou teile mani^re. V.n pre«entan( un iirnhlenie de celte 
moniere IVnonr^ ni^me coiitieril le germe de la aolutinn et montre 
la toule qu'il Tatit prendre; et je crnis qu'il y aura peu de cas 
oü l'ftn ne parviendrail ^ des prnposiliims plus ou inoiiu iaipor- 
tahtea, dana le caa mdnie vii Ion ne saurall r^pondre compltfle- 
■nent ä U queotiini ä i^auee de la eomplicaliun des calcuta')." 
Queato nie(odi) che aolo parc nlln u uoniribuire ai progreasi e al 
perreiinnanieiitu del ealculu iiitec;fal» e II solii tcientifico, cone 
■^itliilige lo atesRo Allel: „parce qu'elle est la seule dont on 
sait d'nvaoee qu'elle pcul conduire aii biil propoae." Auche 
Jacobi racciiiutitidnva un siffallo genere di ricerche in un cano 
pnrdcalare, eine riepelt« alla determinaxione deile aolutioni alge- 
briche d'un'equazinne differenxinle: materietn arduam (easo afler- ' 
muvn) attentionr nnoli/itimun dignnm •). 

Ma peco linorn si esercitarono in qneslo nuovo rampn i tAm.- 
VlBmatlcl, distolli prnbaiiiluiente dalla K">nde complieaziune de' 
EMkoli, la quäle nnndimeno Abel olteala eNHere in niolti easi 
•alt) apparetilc e nnn intpedire la scoperla di ullli leoremi. Me^ 
Condorcet cilalo da Jacobi, e Lnplace moutnvato da Pola- 
■ un, voglinnsi princtpnlmente licordiire Abel c il signnr Liou- 
villo come cnloro cui snna duvull i piä iniportanti lavori, dA «i 
(lebbono ummcllrre le piä recenli apeculaainni del »\z- Tcbcbi- 
cbef *). quelle dei eignuri Uriot e llouquel per ciii che apetta 
•11» equasioni integrabili niediante le funsiont ellUticbe '), e qaaDlo 



Wt 1) Rapt>iirl k VKrnifm'n rf«i> SrUnr r <lr<ii »l^nKiirca <ta H. 

I M"*'*lle: Crell«, tum. X. Y»f. :U2. — ») Abel, OttHirci, tam.ll, 
p«)t. IBü, — 8) l''iind. NoTi Ihoorln« rnni^t. rlllptic, pag. Hl. — 4) Jour- 
nal üe Li onTillc, IH&.1n m&T. — b> Th«nils dea fouct. rioubl. p*rl«d., 
1859, |<.a8&-34J. 



() LUerarischer Bericht CLWYl. 

agr itaiiani una Memoria dei Prof. Mainardi sopra riritegrazione 
di fiinziooi contenenti uii radicale cubico ^) , e altre del Profess. 
(yasorati e del giovioe geometra genovese signor Carlo Piuma*). 

£bbi a fare aicuni studi intorno all* indicato argomento in 
occasione delle lezioni di Analisi superiore di cui era incaricato 
in questa illustre Universita, e diedi un prinio estratto di tali 
studi in una Memoria oirca le equazioni differenziali, a cui con- 
duce la trasformazionc delle funzioni ellittiche ^). In questo se- 
condo estratto che oggi ho Tonore di presentare, seguendo il 
sig. Liouville cerco i casi d'integrazione sotto forma finita d'u na 
classe d* equazioni differenziali c specialmente delPequazione del 
Riccati. In una Memoria presentata all* Accademia delle Scienze 
deiristituto di Francia il Liouville diede una regola da coi 
risulta che quelF equazione non e integrahile se non nei casi nei 
quali giä si sapeva trovarne Tintegrale in termini (initi^), e la 
sua dimostrazione fu tenuta per soddisfacente dagli annalisti e 
in ispecie dal sig. Malmsten che applied la regola del Liou- 
ville ad un*equazione apparentemente piü generale, e dal Prof. 
ßrioschi che dimoströ una siffatfa applicazione ^). Ma nondi« 
meno esaminandola attentamente si trovä ch^essa non e del tuttn 
rigorosa e compiuta nella parte che si riferisce alTintenrazione 
roeramentc algebrira; per la quäl cosa stimo far opera non dis- 
cara agii amatori del rigore matematioo ripigüando TaTpomen^» 
per esporre un^altra dimostrazione che reputo esente da ogni 
difficoltä, e nella quäle mi valgo di sostituzioni gia usate da gran 
teropo per Tefifettiva integrazionc della stessa equazione del Ric- 
cati. Avro cosi obbedito ai precotti e imitato gli esempi del 
medcsimo Liouville che credette iion inutile di sostituire altre 
prove a certi ragionamenti di Leibnizio e La place per dimo- 
strar teoreini di simigliante natura, e insegno che „une rigueur 
absolue est indispensable dans ccs recherches qui ont quelque 
rapport avec la theorie des nombres ^)." 

Del resto i principii a cui ricorro sono i medesimi che pro- 
pose il sig. Liouville a piii riprese per lo studio di tali que* 
stioni ^), e ehe formano un metodo ingegnoso e notabilissinio da 
Don abbandonarsi del tutto/sebbene le nuove teoricbe intorno alle 
funzioui di variabili imraaginarie abbiano aperte altre vie, poich^, 



l) Venezial846(Mc!m.f1eiri8tiiiitoVfMictfi). - 2) /Iniiali del Prof.Tur- 
tolini, Koma, 185(» o 186!. — 3) l'rcsentata nirAcradciiiia il 14 fcdtiraio 
1864. (n. vorher.) — 4) Comptex renihis du Tilrad. des Science«, toni. \l, 
pag. 729. Journal de Matheni. 1811, p. 1—13. — 5) Aiinaii del Prof. 
Tortolini, 1851 ; Crelle, tnin 39. p. 110. — 6) Memoires de Tlnititut, 
Savans etrang^ers, 1838, pag.98. — 7) Journal de Math^m.j 1839, pag. 483; 
1840, pag. 441; 1841, pag. 1. 



Utfrnritrber lierUhl Cl.XS VI. 7 

cnOi pnü anc'ira esser utile in ticerche parlicolaii. Ho 
1 nnil di esfiorre compiulamcnlc i (irinci[>:i or acnennaü ai 
I Integrlla dellu dimoMtraEione , e h) p«r deUurne conseguenKC 
dqunnto piii ampli? <Ii quelle rho nn ha tratle e ifelle (junli ha 
avulo bUogno 11 »ie,. Liauvillc. 

Ho pur appHcato ^11 »Icssi priiieipü ngl'inleiirnli Be8»icliani 
•- a quslli che ki cllcnnu trinomii, e comprandon« al'inlpßrali cllit- 
tici dl tirinia e seconda npecie e In enmmn d'tiita cetphre serie 
i|>cr|!eomelricn ; a ho ßiiilu c«n alcuiii teon-iiii generali tnlnrno 
nU'iiilettrn/ionv dellc eqiinzinni differon/iali titirarl ■)," 

Wir »ijiiscbeiisehr, daen diese neuen aiialyliHi'hcn Arheiten den 
Herrn Vetfnssers, in denen sich namentlich auch ein hüohst aner- 
liennungeneitbe« Streben nach aiialylist^her Strenge, nndurch di* 
Iniegralrei-hnung nur allein zu einer iiahri<ii VVlsMtischan erhüben 
»erden kann, kund gielil, die sn (lebr verdlenltr ßeaibluiiK auch 
In Deutachland In voll kommen Mem Maasse finden müjien. 

(Lehrbuch der Pliyaik für Schule und Haus. Vo» 
r. Heinrich Bolic. Zweite « crmchrle und verbeaaerlo 
.aufläge. Tottbus. Atbrrt Heinu. 18li5. S". 

Dieitea in »»«iint. vermcbrier und verliea^vrler Aurin(;e vor uns 
ll.'itpnde hehrliuch <ler Physik , welche» nitb Hlirr da« canx« «ebiet 
der Wisseiisi'hart und auch über die tinindlebren der l.'bemie verbrei- 
tet, ist mit |;ro«ficr Iteutliclkeil verfasst und hat Rii;h bei beson- 
nener Auswahl de» Stoff» mit Recht auf da» bcsebrfltikt, was 
in der Physik aU auAgeioacbl und Znellebi nicht uiilenvof 
feri betrachtet worden darf. Namentlich in dem mechanischen 
Thelle bat auch die elementare Klalbomalik einp /.weckmMsslge 
AnweiiduiiR gcfuDden. die wir nur billigen klinnen und des- 
bati) auch wünschen müchten. daaa auch in der Uptik. iiament- 
lieh in der Lehre von den Spiegel« und Linsen, die Anwendung 
d« Mathematik «ich noch mehr geltend gemacht bfitlc. Je- 
^^nfall« scheint diesen Büchlein Jedem, der sk-h ohne grosse 
Mhematischc VnrkBiiiitoUsc ein« uründflvhe KcnntniaK von den 
iDptlebren der Physik verschaffen will, und auch als Lehrbuch 
r den Unterricht auf Schulen emprohlen werden ta dürfen. 



Physik. 



I) %-n I... Ulla 



a Mr>tii.rin <(pI I'. V 
lioi. ItMiU, (.«riihr 
i mtm IxruiiaKil 



I (iiibltliula 



8 UlerwUeker Bertekt CLXXfl. 

ELB.NCO 

DELLE PRODIIZIONI 8CIENTIFIGHE 

DI 
BARIVABA TORTOI^UIp 

„ PROFBSSORB DI CALCOLO SUBLIMB ALL'uNIVERSITA ROMANA : 
WO DBI QUARANTA DBLLA SOCIBTA ITALIANA DBLLB SCIBNZE EC. BC 

(Fortsetzung von Litcrar. Ber. No. CLXXV. S. 14.) 

Memorie e Note inserite nelF Opera intitolata: Rnccolta di 
lettere, ed altri icritti intorno alla Fitica ed alleMa^ 
tematiche, compüata dal Dr, Clement e Palomba, dal Dr. 
Ignazi'o Cugnoni e da Barnaba Tortolini: ro/. 5. in 8, 

Roma 1845-^1849. 

26. Lettera ai Redattori, Sulla quadratura delle superficie cai've, c 
cubatora de solid! : in 8. toni. 1. 1845. 

27. Nota sopra .differenti proprietä di aicune curve piane del 
qaart' ordine: in 8. tom. 1. 1845. 

28. Mota sopra Tequazione di una curva de! sestp ordine, che 
a;|ncontra in un problema riguardante rellisse^Mfo, tom. 2. 1846. 

29. Soluzione di un problema relative all' elliRfioide; in 8. tom. 2. J84& 
:I0. Nota sopra In quadratura della superficies Inviluppo dei piani 

perpendicolari condotti all' estremitä dei diametri di üh' ellis- 
soide data: in 8. tom. 2. 1846. 

31. Nota sopra 1' equasioni, e proprietä di una curva uiana luogo 
geometrico dei piedi delle perpendicolari abbassate da un 
punto fisso sopra le tangenti di una curva,data: in 8. tom. 3. 1847. 

32. Nota sulla quadratura di una certa superficie curva: in 8. 
tom. 4. 1848. • 

33. Nota suir equazione e rettificazione della curva plana luogo 
geometrico di un punto , dal quäle se si conducono due tan- 
genti a due circoli dati di egual raggio, il loro prodotto sia 
costante: in 8. tom. 4. 1S48. 

34. Nota suir equazione della curva plana luogo geometrico di 
uii^punto tale, dal quäle condotte due tangenti ad un' ellisse 
data r angolo delle medesime sia costante: in 8. tom. 4. 184& 

35. Nota suL movimento dei projetti nell aria: in 8. tom. 5. 1849. 

36. Sulla quadratura di aicune curye sferiche provenienti dall* io- 
tersezione di un. cono, e di una sfera concentrica. E^tratto: 
in & tom. 5. 1849. 

37. Applicazione dei trascendenti ellittici alla risoluzione di aicuni 
problemi riguardanti le attrazioni dei corpi: in8. iom. 5. 1849. 

(Fortsetzung folgt) 



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